专题05解析几何-高考数学备考关键问题指导高端精品（2018版）

专题五 解析几何
【高考考场实情】
解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位．
【考查重点难点】
近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下：
考什么
怎么考
题型与难度
1．圆与圆锥曲线的定义、标准方程与性质
考查圆锥曲线的定义、标准方程与性质
题型：选择题或填空题
难度：基础题
2．直线与(圆)圆锥曲线的位置关系
主要考查直线与圆锥曲线的位置关系
题型：解答题
难度：中档题或难题
3．与(圆)圆锥曲线有关的范围与最值
主要考查与圆锥曲线有关的范围与最值问题，常与函数、不等式交汇命题
题型：解答题
难度：中档题或难题
4．定点、定值的探究与证明
①考查以直线、圆、圆锥曲线为载体，探究直线或曲线过定点；
②考查与圆锥曲线有关的定值问题．
题型：解答题
难度：中档题或难题
5． (圆)圆锥曲线中的点、线、参数等存在性问题
①考查以圆锥曲线为载体，探究平分面积的线、平分线段的点等问题；
②考查某解析式成立的参数是否存在．
题型：解答题
难度：中档题或难题
【存在问题分析】
（一）缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯
【指点迷津】定义是数学问题研究的起点．圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．
【例1】（2016全国I卷理20）设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程．
【解析】圆的方程可化为的圆心为，半径为4；动点C，D落在圆上，满足；（点在圆上，根据圆的定义有）
等腰三角形中，；
；
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）．（根据定义知点的轨迹是椭圆）
【名师点睛】未能从动点与定点的位置关系角度理解问题，去探究目标“证明为定值”的证明思路，未能结合定义预判可能的轨迹类型，从而没能联系已有的几何条件寻找突破口．
究其原因在于研究求轨迹方程这类问题时，没有养成优先站在“观察发现动点运动变化过程中不变的几何关系”的角度探究问题的意识；没有养成“定义”的应用意识，未能从圆锥曲线的定义审视动点满足的不变的几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．
建议复习中凡涉及轨迹问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析．
（二）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究
【指点迷津】解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．
【例2】（唐山2017）已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】从试题中的关键条件出发，因为三点均在y轴上，从坐标关系角度加以理解，从而引入关联参数实现几何条件代数化：设点，
则直线，直线，
联立即可得：，，答案：A
【名师点睛】本题显然是从2016年全国Ⅲ卷理11演变过来的．题中的几何条件（，）的转化与使用是关键．无从下手、找不到该几何条件与探究目标的联系或结合点是主要原因．
究其原因是未能认真分析几何图形，思考几何关系的形成过程（相关点、由何而来，如何求得）以及从动态的角度理解几何条件（），未能从求离心率的角度认识问题中各个几何量间的联系．本题是动态的、需要一个参变量，可以设，也可以设．
大凡两直线上的交点或者动点问题，代数上多结合几何条件或设点或列方程，进而用方程思想求解问题，而求离心率，多是从几何图形中抽象相关性质并转化为有关的等量关系或是方程（组）．
建议必须依题构图，结合曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．
（三）缺乏对算法、算理、算式的分析，简化运算的意识待加强
有效运算、简便运算是求解解析几何问题必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程、如何整体代换、如何化简等．
【例3】（2017全国Ⅰ卷理10）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】解一：设直线的方程：，（这样设方程减少一次的平方运算）
并联立抛物线方程得： ，，
，（弦过抛物线的焦点，选用公式减少运算）
因为，通过焦点且互相垂直，则同理得，（互相垂直，将换成即可，不必重复运算）
．
【名师点睛】解题时将所求量|AB|+|DE|孤立的理解两条含参的动弦长之和，感到运算量大，没信心求解，只是瞎猜结果．究其原因在于没能先从计算求解方法上用联系的观点认识两条含参的动弦长的区别与联系（方法公式相同，斜率互为负导数），从而不懂得用等价代换的思想简化运算．建议不能只是谈思路方法，应通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换结果中的参数即可．
【例4】（2015全国Ⅱ卷理20）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（略）
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【解析】（Ⅱ）如图，设直线斜率存在且小于0，设直线：，中点，
又由（1）得，则有
，（看出方程两边可以同除以后再两边平方，降低方程的次数）
，，；
当点时，
，，．
综上．
【名师点睛】此题是含参的椭圆中某性质转化得到的一般性结论，由于参数多，计算量相对较大，必须结合圆锥曲线的定义并合理利用几何特征设参，分析算式结构合理消参、降次，才能准确求得最终答案．
获取直线的斜率的等量关系需通过平行四边形成立的几何条件获得，如一组平行且对边相等（两条弦长及所对应的斜率相等）；对角线互相平分（两中点横坐标相等）；无论采用哪一种方法都要设直线与椭圆联立的方程，选择后者稍显简洁．如果根据(Ⅰ)得到两直线的斜率积可设得两对角线的斜率分别为，也可以通过解两个二次方程组得到中点横坐标的有关的关系式，但是式子复杂、运算繁琐较难化简．
联想题中的关联参数，容易得到的斜率为定值是一般性的结论，在运算求解过程中的某个环节，参数能被消去；若采取先求得中点的坐标，再由四点共线转化为斜率相等，避免再次联立求弦中点坐标的繁杂运算．
（四）缺乏参数的选择与解题过程中的优化意识
【指点迷津】我们往往需要设元引参，但选择什么作为参数对问题的解决影响较大，
【例5】（2017厦门高二理11）抛物线与椭圆 有相同焦点，两条曲线在第一象限内的交点为．若直线的斜率为2，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【名师点睛】求得点并发现是是关键。如果仅从代数角度认识问题，直接联立直线、椭圆、抛物线方程去求点的坐标，发现计算量非常庞大耗时耗力，难以消参．
未充分理解题意、未能发现“两曲线有相同焦点与直线的斜率为2”共同“作用”反应在几何图形中的现象------．
需从“两曲线有相同焦点与直线的斜率为2”这条件去分析思考图形的特性，发现是，这是一般性的结论，我们要理解．我们也可以写出直线的方程，联立直线与抛物线求得，注意到点A的特性也可以发现是．再回归椭圆定义与性质分析三角形中边角关系，获取参数的等量关系式，从而求得结论．
【解决问题对策】
（一）立足概念，返璞归真-----适度挖掘图形的特征，善于运用圆锥曲线的定义．
【指点迷津】数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分析（图形的几何性质）有机结合，可简化计算量上．圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义．
【例6】（2015重庆理21）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且．
（1）若，，求椭圆的标准方程．
（2）若，求椭圆的离心率．
【解析】（1）由椭圆的定义，故．
设椭圆的半焦距为，由已知，
因此，即，从而．故所求椭圆的标准方程为．
（2）如图所示，连接，由椭圆的定义，，，
因此．
【名师点睛】1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．
2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，抛物线的焦点是在x轴的正半轴、负半轴，还是y轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
3．求解离心率的时候，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a、c的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．
（二）巧用平几，事半功倍------关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用，关注几何图形（特别是三角形）相关方法在运算中的应用．
【指点迷津】解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．
提高等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．
【例8】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 ．
3．回归题意确定变量的范围，计算求解：又，所以，因此线段长的取值范围为
【名师点睛】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
【例9】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线交于A、B两点，射线OA和OB分别和圆交于D、E两点，若，则的最小值等于
A． B． C． D．
【解析】设、，由得，即．又， ，即．
设、，直线OA：，直线OB：，则．
由得，同理．
由得，同理．
，，
，．
．
【名师点睛】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；
2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图写图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．
（三）设而不求，参数归一------立足目标意识，寻求点的坐标之间的关系，剖析变量内在的几何意义，通过整体代换的思想，简化运算过程，实现设而不求，简洁明了、准确解题．
【指点迷津】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能受到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求”，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．
譬如圆锥曲线中的定点、定值问题，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示所求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关．其基本策略：定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．另外，对于某些定点问题的证明，可以先通过特殊情形探求定点坐标，然后对一般情况进行证明，这种方法在填空题中更为实用．
【例10】过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【名师点睛】1． 两种二次曲线的交汇需分清“主次”，充分利用相关概念与性质分步朝探究目标化归；
2．两支圆锥曲线交汇是全国卷高考常见的考查方式，本题涉及圆锥曲线的概念、圆的切线问题，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解．
【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．求证：对任意＞0，都有PA⊥PB．
【名师点睛】1．方法一，利用直线与椭圆联立，求点坐标，再转化求直线点斜率，最后利用斜率乘积等于-1证明垂直，这是常规方法，思维比较自然，但计算量大；方法二，利用点A、C在椭圆上，所以满足椭圆方程，利用点差法，先求出，再利用，得到结论，方法很巧妙；
2．设出点的坐标，但目的不是求出坐标，而是通过它作为媒介寻求变量间的关系，确立解题目标，简化运算和快速准确解决问题，这就是设而不求．
3．对于椭圆，有如下结论：若是椭圆上关于原点对称两点，P为椭圆上动点（不同于），则=，特殊地，若是椭圆长轴的顶点，更有此结论，该结论还可推广到椭圆弦中点，以及双曲线也有类似结论．
（四）函数思想，方程互化-----整体意识下利用方程思想处理求值，利用函数思想求范围和最值．
【例12】（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．
【解析】(1)由已知有，又由，可得，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由已知有，解得．
(2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，
消去，整理得，解得或，因为点在第一像限，
可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为．
(3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得．
①当时，有，因此，于是，得；
②当时，有，因此，于是，得
综上所述，直线的斜率的取值范围是．
【例13】（2015四川理20）如图所示，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知点在椭圆上．
所以，解得，．所以椭圆方程为．
则，，由，有，解得或．所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为．
下面证明：对任意的直线，均有．
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，的坐标分别为，．联立，得．
所以， ，．
因此．
易知，点关于轴对称的点的坐标为．
又，，
所以，即三点共线．
所以．
故存在与点不同的定点，使得恒成立．
【名师点睛】1．求轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题．涉及多个动点时，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点．与圆锥曲线有关的轨迹求解，也要注意取值范围和“杂点”的去除．
2．对于最值、定值问题的处理，常采用①几何法：利用图形性质来解决；②代数法：建立目标函数，再求函数的最值，确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，或利用圆锥曲线的有界性来求解．
【新题好题训练】
1．已知椭圆的右焦点关于直线的对称点为，点为的对称中心，直线的斜率为，且的长轴不小于，则的离心率（ ）
A. 存在最大值，且最大值为 B. 存在最大值，且最大值为
C. 存在最小值，且最小值为 D. 存在最小值，且最小值为
【答案】B
【解析】设，则，解得，则，即的离心率存在最大值，且最大值为，选B.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
2．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直
平分线与轴交于点 ，则点 C 与圆的位置关系为( )
A. 圆上 B. 圆外 C. 圆内 D. 不能确定
【答案】C
【解析】由点差法：AB的斜率，所以其中垂线斜率为，故AB的垂直平分线方程为，令得，所以，所以在圆内，选C.
4．设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】∵为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点
∴，
∴以为圆心，为半径的圆的标准方程为.
故答案为.
点睛：本小题主要考查考查椭圆的定义，由于点即是椭圆上的点，故点满足椭圆的定义，再根据列方程组，解方程组即可求得的值，进而利用勾股定理得出，从而可得圆的方程.
5．过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点，过、两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，若，，则抛物线的方程为__________．
【答案】
【解析】由抛物线的定义可知，，所以三角形AMF为等腰三角形，又，所以MF平分，同理NF平分，所以，在直角三角MFN中，,因为，所以，即，抛物线的方程为。
点睛：本题主要考查抛物线的应用，属于基础题。考查作图能力，计算能力。
6．已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.
（1）求抛物线在点处的切线方程；
（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值.
【答案】（1）（2）见解析
试题解析：解：（1）依题意得
∴.∵，∴，故的方程为.
由得，，∴，
又，∴所示切线的方程为，即.
（2）设（，且），则的横坐标为，.
（法一）由题可知，与联立可得，，
所以，
则为定值.
（法二）∵，，
∴
∴
为定值.
7．已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.
【答案】（1）；（2）2.
试题解析：（1）由题意知，直线的方程为.
联立得.
设两点的坐标分别为，
则.
由抛物线的性质，可得，
解得，所以抛物线的方程为.
因为，
所以.
因为三点共线，且方向相同，
所以，
所以，
所以，
代入①，得 解得，
又因为，所以，
所以
.
点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及过焦点弦长问题，属于中档题；联立直线与抛物线的方程将韦达定理和弦长公式相结合属常见方法，解决此题的难点是将面积关系转化为向量关系.
8．在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
（1）试讨论点M的轨迹形状；
（2）当0【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）设点，根据条件化简，根据方程形式确定轨迹形状，（2）利用两角和表示∠APB，结合斜率公式已经正切和公式表示b的函数，最后根据点的范围确定b的取值范围.
（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，
因为点P在点M的轨迹上，所以
，
∴
因此的取值范围是
9．已知，为椭圆：的左、右顶点，，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】试题分析：
（1）依题意，结合离心率公式，则.椭圆方程为：.
（2）设，（），则直线方程：，直线方程.
设，，联立直线方程与椭圆方程有，.，，则.利用换元法，设，则，面积函数，结合对勾函数的性质可得.
（2）设，（不妨设），则直线方程：，直线方程.
设，，
由得，则，
则，于是.
由，得，则，
则，于是，
.
设，则，
，
在递减，故.
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
10．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.
【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.
试题解析：
（1）曲线的参数方程为（为参数，），
消去参数可得，
由于，所以，
故曲线的轨迹方程是.
由，可得，即，
把代入上式可得，
故直线的直角坐标方程为.
（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，
半圆的圆心到直线的距离等于，
故的最小值为.
点睛：解答本题时注意以下两点：
（1）消去参数方程中的参数得到普通方程时，要注意参数取值范围的限制，在普通方程中仍要注明取值范围．
（2）解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．