热点05数列与三角形的解答题-2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）

2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】
热点五 数列与三角形的解答题
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1.【2017课标1，文17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
2.【2017课标II，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
(1)若 ，求的通项公式；
（2）若，求.
【解析】
（2）由得.
解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
3.【2017课标3，文17】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
【解析】
（2）由（1），
∴.
4.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
5.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求。
【答案】(1)；
(2)。
6.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
试题解析：（1）由已知得 ，所以 .
在 △ABC中，由余弦定理得 ，即 .
解得： (舍去)， .
7.【2016全国卷1理】的内角,,的对边分别为,,,已知
（1）求；
（2）若,的面积为,求的周长．
【解析】 （1）由已知及正弦定理得,,
即,故,可得,所以.
（2）由已知得,.又,所以.
由已知及余弦定理得,,故,
从而.所以的周长为.
8.【2016全国卷2理】为等差数列的前项和,且,．记,其中表示不超过的最大整数,如,．
（1）求,,；
（2）求数列的前项和．
9.【2016全国卷3理】已知数列的前项和,.其中.
（1）证明是等比数列,并求其通项公式；
（2）若,求.
【解析】（1）由题意得,故,,.
由,,得,即.
由,,得,所以.因此是首项为,公比为的等比数列.
于是.
（2）由（1）得.由,得,即,解得.
【热点深度剖析】
1.新课标高考对数列的考查重点是考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和公式,简单递推数列问题、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法．通过三年的高考试题也可以发现,试题的位置均为第一大题,试题难度中下,主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题,不在考查递推数列问题.. 2016年文理6份试卷5份均为数列，2017年文科3套试题均为数列，从近几年的高考试题来看,等差数列,等比数列作为最基本的数列模型,一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目,小题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前n项和公式为载体,结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法；解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查．预测2018年高考解答题考查数列重点是等差等比数列的通项、求和及错位相减法求和、裂项求和.重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题．
2. 三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测2018年高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．
【重点知识整合】
1.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或.
（2）等差数列的通项：或.
（3）等差数列的前和：,.
（4）等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且.
2.等差数列的性质：
（1）当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.
（3）当时,则有,特别地,当时,则有.
(4) 若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列；若是等比数列,且,则是等差数列.
（5）在等差数列中,当项数为偶数时,；项数为奇数时,,（这里即）；.
（6）若等差数列、的前和分别为、,且,则.
(7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
3.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法,其中或
.
（2）等比数列的通项：或.
（3）等比数列的前和：当时,；当时,..
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解.
（4）等比中项：若成等比数列,那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个.
4.等比数列的性质：
（1）当时,则有,特别地,当时,则有.
(2) 若是等比数列,则、、成等比数列；若成等比数列,则、成等比数列； 若是等比数列,且公比,则数列 ,…也是等比数列.当,且为偶数时,数列 ,…是常数数列0,它不是等比数列.
(3)若,则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ,则为递减数列；若, 则为递增数列；若,则为摆动数列；若,则为常数列.
(4) 当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列.
(5)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列,故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
5.数列的通项的求法：
⑴公式法：
①等差数列通项公式；
②等比数列通项公式.⑵已知（即）求,用作差法：.
⑶已知求,用作商法：.
⑷若求用累加法：
.
⑸已知求,用累乘法：.⑹已知递推关系求,用构造法（构造等差、等比数列）.特别地,（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21)已知,求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.
注意：（1）用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（,当时,）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解.
6.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式,特别声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③,；（6）通项转换法：先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.
7.求角问题
（1）内角和定理：三角形三角和为.任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.
（2） 正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
正弦定理的变式：,；
（3）余弦定理：,,；
（4）利用面积公式：,,.
8.求边问题
（1）边与边关系：a + b > c,b + c > a,c + a > b,a－b < c,b－c < a,c－a > b；
（2）正弦定理的变式；
（3）余弦定理:.变形式：
；
（4）利用面积公式：;
（5）射影定理：.
9.求三角形的面积问题
三角形的面积公式：
（1）＝aha＝bhb＝（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）＝＝＝；
（3）＝（其中为三角形内切圆半径）,；
（4）.(与向量的数量积联系)
10.求三角形的综合问题
（1） 求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性：
；
；
；
.
（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.
（3）在△ABC中,熟记并会证明：∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列.
（4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；
钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.
（5）三角形内常见的不等关系
①;
②锐角中,,;
③钝角中,设为钝角,则,.
【应试技巧点拨】
1.等差数列的判断与证明的方法
(1)利用定义：或,其中为常数；
(2)利用等差中项：；
(3)利用通项公式：；
(4)利用前项公式：.
注意证明等差数列的方法必须用定义法或等差中项的方法去证明；在选择题和填空题中,可根据题设条件恰当的选择任意一种方法.有时还可以利用“归纳----猜想----证明”的方法去打开解题思路.如果证明数列不是等差数列,可采用举反例的方法,如证明.
2.等差数列前项和的最值问题
对于等差数列前项和的最值问题,取决于首项和公差的正负即：,时,有最大值；,时,有最小值.常用下面两个方法去解决：
(1)若已知,可用二次函数最值的求法（）；
(2)若已知,则最值时的值（）可如下确定或.
3. 如何判断和证明数列是等比数列
判断和证明是等比数列常用以下几个方法：
（1）利用定义： 或（为非零常数）；
（2）利用等比中项：；
（3）利用通项公式：（）；
（4）利用求和公式：（,,）.
注意证明数列为等比数列只能用定义和等比中项去证明,但是在选择题或填空题中可以用任何一种方法.
4.利用等比数列求和公式注意的问题
在利用等比数列前n项和公式求和时,如果公比未知,且需要利用求和公式列方程时,一定要对公比分两种情况进行讨论.
5.如何选择恰当的方法求数列的和
在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号入座,得到求和方法.
特征一：,数列的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”.
特征二：,数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相减法”.
特征三：,数列的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”.
特征四：,数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序相加法”.
6. 利用转化,解决递推公式为与的关系式.
数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：,根据题目求解特点,消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉,利用已知递推式,把n换成（n+1）得到递推式,两式相减即可.若消掉,只需把带入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式成立的条件
7.由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个.
(2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p,q均为常数,）.把原递推公式转化为：,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.
８.余弦定理的重要应用
三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用.为此,就其常见的几种变形形式,介绍如下.
①联系完全平方式巧过渡:
由则.
②联系重要不等式求范围：
由,则当且仅当等号成立.
③联系数量积的定义式妙转化：
在中,由.
９.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题
利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边,求其他边角；二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活应用.
余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一.
【考场经验分享】
1．数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性．
2．由求时,注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．
3．如果,,则,一般地,,必须是两项相加,当然可以是．
4．等差数列的通项公式通常是的一次函数,除非公差.
5．公差不为0的等差数列的前项和公式是的二次函数,且常数项为0.若某数列的前项和公式是的常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列．
6．特别注意时,这一特殊情况．
7．由,,并不能立即断言为等比数列,还要验证.
8.因试题难度与位置的调整,数列问题已经变为学生得全分的题目,故需要学生值得花费时间和精力去攻克,在考试过程中,计算出错极易出现,故不论求通项公式还是数列求和问题均可以利用进行验证,此法切记！
9．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．
10．在解实际问题时,需注意的两个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．
11.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.
【名题精选练兵篇】
1.【湖南省永州市2018届高三下学期第三次模拟】在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若， 的面积为，求的值.

(Ⅱ)由，得,
， ,
，
即.
2.【贵州省2018年普高等学校招生适应性考试】在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，已知.
（1）求角的大小；
（2）若， 为的中点， ，求的面积.
【解析】
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴， ，
∴， ，
∴.
（2）∵，∴，
∴，∴，
又， ，
∴，
∴.
3．【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知等比数列与等差数列成等差数列，成等比数列.
(Ⅰ)求，的通项公式；
(Ⅱ)设分别是数列，的前项和，若,求的最小值.
【解析】 (Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，则
解得（舍）或
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)易知.
由，得,
是单调递增数列，且,
的最小值为7.
4．【内蒙古鄂伦春自治旗2018届高三下学期二模】设为数列的前项和，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
【解析】
证明：∵，，∴，
∴，∴，，
∴是首项为公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知，，∴，
∴，
∴，∴，
即，，成等差数列.
5．【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考】已知数列的前项和为,且满足, （）
（1）证明：数列为等比数列.
（2）若,数列的前项和为 ,求
（2）由（1） ∴
又 ∴
∴

设

两式相减
∴
又
∴
6．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟】数列的前项和为, ,且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若,求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）由,可得（）,
两式相减,得,
,即,
故是一个以1为首项, 为公比的等比数列,
所以．
（Ⅱ）．
,①
,②
①②,得,
所以．
7．【2017届湖南省长沙市高三下学期统一模拟】已知数列为等差数列,其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记,设的前项和为．求最小的正整数,使得．

(Ⅱ) 因为,
所以
．
令 ,
解得,故取．
8．【福建省2017届高三4月单科质量检测】某公司生产一种产品,第一年投入资金1000万元,出售产品收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元,同时,当预计投入的资金低于20万元时,就按20万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.
（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；
（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）
（2）由（1）可知当时,总利润
,
所以, ,
因为为增函数, ,
所以,当时, ；当时, ,
又因为,
所以,当时, ,即前6年未盈利,
当时, ,
令,得.
综上,预计该公司从第8年起开始盈利.
9．【江西省2017届高三下学期调研考试（四）】已知数列为公差不为0的等差数列,满足,且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足,且,求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为,则,
解得,∴.
（2）由,∴,
当时,
,
对上式也成立,
∴,∴,
∴.
10．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】已知中, , , .
（Ⅰ）求边的长；
（Ⅱ）设是边上一点,且的面积为,求的正弦值.
【解析】（Ⅰ）因为,所以,由得
.
即,从而,
又,所以, ,所以.
（Ⅱ）由已知得 ,所以.在中,
由余弦定理得 , ,
再由正弦定理得,故.
11．【陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且
（1）求角B的大小
（2）若b＝3,sinC=2sinA,求a、c的值及△ABC的面积
12．【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】已知函数,在中,角, , 的对边分别为, , .
（1）当时,求函数的取值范围；
（2）若对任意的都有, , ,点是边的中点,求的值..
【解析】（1） ,
当时, , ,所以；
（2）由对任意的都有得： ,
由 ,
所以.
13．【河北省五个一联盟（石家庄一中、保定一中等）2017届第一次模拟】已知向量, , ,且 , , 分别为△的三边所对的角．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若, , 成等比数列,且, 求边c的值．
14．【福建省2017届高三4月单科质量检测】如图,有一码头和三个岛屿, , , .
（1）求两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩,然后返回码头.问该游船应按何路线航行,才能使得总航程最短？求出最短航程.
【解析】（1）在中, ,
由正弦定理得, ,即,
解得,
又因为在中, ,所以,
所以,从而,
即两个岛屿间的距离为；
. 15. 【四川省资阳市2015届高三第二次诊断】等差数列的前n项和为,数列是等比数列,满足,, ,．
(Ⅰ)求数列和的通项公式；
(Ⅱ)令设数列的前n项和,求．
【解析】 (Ⅰ)设数列的公差为d,数列的公比为q,则由得解得所以,．
(Ⅱ)由,得,
则即
．
【名师原创测试篇】
1．已知等比数列的公比,且, ．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设, 是数列的前n项和,对任意正整数不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设数列的公比为,则,
∴
∵,∴,∴数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：
∴

∴
∴=
∴对任意正整数恒成立,设,易知单调递增．
为奇数时, 的最小值为,∴得,
为偶数时, 的最小值为,∴,
综上, ,即实数的取值范围是．
2.已知数列的前项和.是公差不为0的等差数列,其前三项和为3,且是的等比中项.
（1）求；
（2）若,求实数的取值范围.
（2）由（1）,可知, ,从而,
令,
即,③
×2,得,④
-④,得
,
即,
故题设不等式可化为,（*）
当时,不等式（*）可化为,解得；
当时,不等式（*）可化为,此时；
当时,不等式（*）可化为,因为数列是递增数列,所以,
综上, 的取值范围是.
3. 设各项均为正数的数列的前项和为,满足
且构成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数,有.
【解析】（Ⅰ）当时,,,, ,当时,是公差的等差数列. 构成等比数列,,,解得,当时,, 是首项,公差的等差数列. 数列的通项公式为.
（Ⅱ）
4. 在中,内角、、所对的边分别为,,,,且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若点是中角的外角内的一点,且,过点,,垂足分别为,．求的最大值．
5.已知数列满足,,.
（1）求证：是等差数列；
（2）证明：.
【解析】（1）, 是以3为首项,2为公差的等差数列.
（2）由（1）知：, ,,
.
6．中,角的对边分别为, .
（1）求的大小；
（2）若,且边上的中线长为,求的值.
（2）
由（1）得, ,①
又因为在中, ,
取中点,连结.
因为,
在中, ,
所以,②
把①代入②,化简得,
解得,或（舍去）,所以.