热点04客观题中的数列、概率、解析几何（文）-2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）

2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】
热点四 客观题中的数列、概率、解析几何(文)
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1.（2015全国Ⅱ文5）设是等差数列的前项和，若，则（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知，则，.又因为 .故选A.
2.（2017全国1文4）如图所示，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.
A. B. C. D.
【答案】B
3.（2017全国2卷文11）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为.故选D.
4.（2016全国丙文5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是，，中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5,中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】前2位共有种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为.故选C.
5.（2016全国乙文3）为美化环境，从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中，余下的种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）.
A. B. C. D.
【答案】C
6.（2015全国Ⅰ文4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个
数为一组勾股数.从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，可知只有是一组勾股数.
从中任取3个不同的数，其基本事件有：，
，，共种.则从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率.故选C.
7.（2017全国1文12）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（）.
A. B.C. D.
【答案】A
图1 图2
当时，如图2示，有，则，所以
，解得.
综上可得，的取值范围是.故选A.
8.（2016全国乙文5）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）.
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由等面积法可得，故，从而.故选B.
9.（2017全国3文11）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）.
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】因为直线与圆相切，即，整理得.令，则有，，，.故选A.
10.（2017全国1卷文5）已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（）.
A． B． C． D．
【答案】D
11.（2017全国2卷文5）若，则双曲线的离心率的取值范围是（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，因为，所以，则.
故选C.
12.（2017全国2卷文12）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）.
A. B. C. D.
【答案】C
解法二：如图所示，在中，由抛物线定义知，.因为，所以.又轴，所以，所以为等边三角形，且，则点到直线的距离为.
【热点深度剖析】
1．等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性,是高考必考内容,着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法,题型不仅有选择题、填空题、还有解答题,题目多为难度中等．从近几年的考题看,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．从近几年的高考试题来看,本部分在高考中若出现解答题,一般不会再有客观题,若没有解答题,一般会有两道数列客观题,数列客观题突出小巧活,主要数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等,可能是容易题,也可能是难题；数列解答题,主要考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识,属于中档题．预测2018年高考在客观题中考查数列的可能性比较大.
2.从近三年全国卷高考来看,若解答题中只考查统计知识,没有概率问题,一般会有一道概率客观题,难度一般不大,主要考查等可能事件的概率,古典概型,几何概型,互斥事件的概率．预测2018年全国卷考查几何概型的可能性比较大,此外古典概型、互斥事件及随机模拟也应引起重视.
3．椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点,每年必考,一般是两小一大的布局,小题部分，椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的热点,试题难度往往是有一道基础题,另一道是提高题,难度中等以上,有时作为把关题．考查方面离心率是重点,其它利用性质求圆锥曲线方程,求焦点三角形的周长与面积,求弦长,求圆锥曲线中的最值或范围问题,过定点问题,定值问题等．从近几年的高考试题来看,小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点,题型大多为选择题、填空题,难度为中等偏低,主要考查双曲线的定义及几何性质,考查基本运算能力及等价转化思想,而椭圆、抛物线的性质一般,一道小题,一道解答题,难度中等,有时作为把关题存在,而且三大曲线几乎年年都考,故预测2018年高考题中基础客观题仍会以双曲线为载体,综合性客观题有可能以椭圆与抛物线为载体进行命题,一个热点是求曲线的离心率,另一个热点是圆锥曲线中的最值或范围问题．
【重点知识整合】
1.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或.
（2）等差数列的通项：或.
（3）等差数列的前和：,.
（4）等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且.
2.等差数列的性质：
（1）当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列.
（3）当时,则有,特别地,当时,则有.
(4) 若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列；若是等比数列,且,则是等差数列.
（5）在等差数列中,当项数为偶数时,；项数为奇数时,,（这里即）；.
（6）若等差数列、的前和分别为、,且,则.
(7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
3.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法,其中或.
（2）等比数列的通项：或.
（3）等比数列的前和：当时,；当时,..
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解.
（4）等比中项：若成等比数列,那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个.
4.等比数列的性质：
（1）当时,则有,特别地,当时,则有.
(2) 若是等比数列,则、、成等比数列；若成等比数列,则、成等比数列； 若是等比数列,且公比,则数列 ,…也是等比数列.当,且为偶数时,数列 ,…是常数数列0,它不是等比数列.
(3)若,则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ,则为递减数列；若, 则为递增数列；若,则为摆动数列；若,则为常数列.
(4) 当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列.
(5)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列,故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
5.数列的通项的求法：
⑴公式法：
①等差数列通项公式；
②等比数列通项公式.⑵已知（即）求,用作差法：.
⑶已知求,用作商法：.
⑷若求用累加法：
.
⑸已知求,用累乘法：.⑹已知递推关系求,用构造法（构造等差、等比数列）.特别地,（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21)已知,求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.
注意：（1）用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（,当时,）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解.
6.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式,特别声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③,；（6）通项转换法：先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.
7．随机事件的概率,其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
8.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=.理解这里m、ｎ的意义.
9.互斥事件：（A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生）.计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B).
10.对立事件：（A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生）.计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；
11.独立事件：（事件A、B的发生相互独立,互不影响）P(A B)＝P(A) P(B) .提醒：（1）如果事件A、B独立,那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P().
12.古典概型：
满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：
(1)有限性：在一次试验中,可能出现的不同的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．
古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个,随机事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为P(A)＝.
13．几何概型
区域A为区域Ω的一个子区域,如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝,其中μA表示构成事件A的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)．
14．椭圆及其标准方程：
椭圆的定义：椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||,则这样的点不存在；若距离之和等于||,则动点的轨迹是线段.
椭圆的标准方程：（＞＞0）,（＞＞0）.
椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点）,求其标准方程时,为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；
椭圆的参数方程： 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
15．椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.
范围： -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
顶点：有四个（-a,0）、（a,0）（0,-b）、（0,b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时,椭圆越扁；反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时,这个动点的轨迹是椭圆.
准线：根据椭圆的对称性,（＞＞0）的准线有两条,它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程,只要把x换成y就可以了,即.
椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（-c,0）,（c,0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点,M（x,y）是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为,,椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
在椭圆中,如果一个三角形的两个顶点是焦点,另一个顶点在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,则三角形的周长为定值等于,面积等于,其中是短半轴的长；
过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为
16．双曲线及其标准方程：
双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a＜||,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||,则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||,则无轨迹.
若＜时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若＞时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程：和（a＞0,b＞0）.这里,其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,不一定大于,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点）,求其标准方程时,为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或
17．双曲线的简单几何性质
双曲线的实轴长为,虚轴长为,离心率＞1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式：,其中k是一个不为零的常数.
双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是（-c,0）和（c,0）,与它们对应的准线方程分别是和.
在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有与的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
在双曲线中,如果一个三角形的两个顶点是焦点,另一个顶点在椭圆上,称该三角形为焦点三角形,则面积等于,其中是虚半轴的长；
过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为
18．抛物线的标准方程和几何性质
抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线.
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线.
抛物线的方程有四种类型：、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.
抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0,0）,注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程；
（6）焦半径公式：抛物线上一点,F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB,A,B,AB的倾斜角为,则有或,以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求.
在抛物线中,以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；
【应试技巧点拨】
1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量(或),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算．
2．深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔,首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式,然后要熟悉它们的变形使用,善用技巧,减少运算量,既准又快地解决问题．
3．等差、等比数列的判定与证明方法：
(1)定义法：(为常数) 是等差数列； (为非零常数) 是等比数列；
(2)利用中项法： () 是等差数列； () 是等比数列(注意等比数列的,)；
(3)通项公式法：(为常数) 是等差数列；(为非零常数) 是等比数列；
(4)前项和公式法： (为常数) 是等差数列；(为常数,) 是等比数列；
(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用验证即可．
等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含(或),与这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个．其中 (或)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现．
[易错提示]　等差(比)数列的基本运算中,容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量．
4.等差数列前项和的最值问题
对于等差数列前项和的最值问题,取决于首项和公差的正负即：,时,有最大值；,时,有最小值.常用下面两个方法去解决：
(1)若已知,可用二次函数最值的求法（）；
(2)若已知,则最值时的值（）可如下确定或.
5. 利用转化,解决递推公式为与的关系式.
数列{}的前项和与通项的关系：.通过纽带：,根据题目求解特点,消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉,利用已知递推式,把n换成（n+1）得到递推式,两式相减即可.若消掉,只需把带入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式成立的条件
6.由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个.
(2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p,q均为常数,）.把原递推公式转化为：,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.
7.事件的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数与事件包含的基本事件数.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题,解题才不会出错．
8．几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”．即随机事件的概率可以用“事件包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．
9.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解．一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解
10．焦点三角形问题的求解技巧
(1)所谓焦点三角形,就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点,另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．
(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：
①椭圆或双曲线的定义；
②勾股定理或余弦定理；
基本不等式与三角形的面积公式．
11．离心率的求法
双曲线与椭圆的离心率就是的值,有些试题中可以直接求出的值再求离心率,在有些试题中不能直接求出的值,由于离心率是个比值,因此只要能够找到一个关于或的方程,通过这个方程解出或,利用公式求出,对双曲线来说,,对椭圆来说,.
12．求圆锥曲线方程的方法
(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法．
(2)待定系数法：①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为或(),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时不具有的几何意义．
②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,
椭圆方程可设为 (),
双曲线方程可设为 ()．
这样可以避免繁琐的计算．
利用以上设法,根据所给圆锥曲线的性质求出参数,即得方程．
13．最值或范围问题的解决方法
解析几何中的最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多样,但最常用的方法有以下几种：
(1)利用函数,尤其是二次函数求最值；
(2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值；
(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值；
(4)利用判别式求最值；
(5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值．
14．求定值问题的方法
定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题．
15． 有关弦的问题
(1)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”；有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算．
①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,,则所得弦长或,其中求与时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：
,.
②当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算．
【考场经验分享】
1.关于等差(等比)数列的基本运算,一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于 (或)的方程或方程组解决,如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．
(1)在等差数列与等比数列的综合问题中,特别要注意它们的区别,避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．
2.等差数列与等比数列有很多性质很类似,但又有区别,学习时需对比记忆,灵活应用．
3.等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用．
4.应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式
5．数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性．
6．由Sn求an时,an＝,注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．
7．如果p＋q＝r＋s,则ap＋aq＝ar＋as,一般地,ap＋aq≠ap＋q,必须是两项相加,当然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap．
8．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列．
9．特别注意q＝1时,Sn＝na1这一特殊情况．主要各项不为0的常数列即是等差数列,又是等比数学.
10．由an＋1＝qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
11.古典概型求解时应注意：
对于古典概型的概率计算问题,常见错误是基本事件数列举重复或遗漏,导致计数错误,避免此类错误发生的最有效方法是按照某种标准进行列举.
12.几何概型求解时应注意：
(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域．
(2)由概率的几何定义可知,在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无关．
13.如果题设条件比较复杂,且备选答案数字较小,靠考虑穷举法求解,如果试题难度较大并和其他知识联系到一起,感觉不易求解,一般不要花费过多的时间,可通过排除法模糊确定,一般可考虑去掉数字最大与最小的答案
14.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求,双曲线的定义中要求.
15．区分双曲线中的大小关系与椭圆关系,在椭圆中,而在双曲线中.
16．双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率．
17.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：
(1)设方程及点的坐标；
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零)；
(3)应用根与系数的关系及判别式；
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解
18.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程
19.求解圆锥曲线的离心率,基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程,多为二次齐次式,然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解,要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．
22.求解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用,即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等,解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题．
【名题精选练兵篇】
1．【2017届贵州省黔东南州高三下学期高考模拟】在集合中随机取一个元素,恰使函数大于1的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
2．【2017届福建省莆田市高三下学期质量检查】从区间中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由几何概型的概率公式可得 .故选B.
3．【2017届安徽省安庆市高三模拟考试（二模）】我们知道,“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述,它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在中说一个数,甲说的数记为,乙说的数记为,若,则称甲、乙两人“心有灵犀”,由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．【2017届重庆市高三学业质量调研抽测（第一次）】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米2000石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得300粒内夹谷36粒,则这批米内夹谷约为（ ）
A. 1760石 B. 200石 C. 300石 D. 240石
【答案】D
【解析】由题意,由统计知识可知,通样本的特征数来估计整体数据的特征,所以,故选D.
5．【北京市海淀区2017届高三3月适应性考试（零模）】已知, ,若向区域上随机投一点,则点落入区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】做出可行域如图,其中,根据几何概型知,故选D．
6．【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】在数字中任取两个数相加,和是偶数的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
7．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红（朱）色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用勾股股勾朱实黄实弦实,化简,得勾股弦．设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计）,则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A. 866 B. 500 C. 300 D. 134
【答案】D
【解析】由题意,大正方形的边长为2,中间小正形的边长为,则所求黄色图形内的图钉数大约为,故选D.
8．【湖南省益阳市2018届高三4月调研】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（ ）
A. 无限大 B.
C. D. 可以取
【答案】B
【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为，，，…，则数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，当时，则.故选B.
9．【湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测】已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直
平分线与轴交于点 ，则点 C 与圆的位置关系为( )
A. 圆上 B. 圆外 C. 圆内 D. 不能确定
【答案】C
10．【山西省太原市2017届高三模拟考试（一）】已知是等差数列的前项和,则2,则（ ）
A. 66 B. 55 C. 44 D. 33
【答案】D
【解析】由等差数列的性质有,所以 ,则 .故选D.
11．【河南省2017届高中毕业年级考前预测】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,此日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见此日行数里,请公仔仔细算相还”,其意思为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问第二天走了（ ）
A. 96里 B. 48里 C. 192 里 D. 24里
【答案】A
【解析】由题意,得该人每天走的路程形成以为公比、前6项和为378的等比数列,设第一天所走路程为 ,则,解得,即第二天走了96里；故选A.
12．【山东省青岛市2017届高三统一质量检测】已知, ,且, , 成等差数列,则有
A. 最小值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最大值
【答案】B
【解析】由题意得 ,所以 ,当且仅当 时取等号,即有最小值,选B.
13．【河南省2017届高中毕业年级考前预测】数列前项和是,且满足, , ,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
14．【2017届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测】已知数列中,将数列中的整数项按原来的顺序组成数列,则的值为（ ）
A. 5035 B. 5039 C. 5043 D. 5047
【答案】C
【解析】由题意得,此数列为：,的整数项为：,即整数为：.其规律就是各项之间是这样递增的,,由,解得,,故选C.
15．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】数列满足,则数列的前100项和为（ ）
A. 5050 B. 5100 C. 9800 D. 9850
【答案】B
16．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模】已知双曲线的左、右焦点分别为,焦距为,抛物线的准线交双曲线左支于两点,且,其中为原点,则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】如下图：
,
, ,代入双曲线方程,可得,解得,选C.
17．【2017届淮北市高三第二次模拟考试】已知是双曲线的右顶点,过左焦点与轴平行的直线交双曲线于两点,若是锐角三角形,则双曲线的离心率范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得： ,即,选C.
18．【2017届湖南省长沙市高三一模】椭圆的焦点在轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由条件可知 , ,所以椭圆方程为 ,故选C.
19．【山西省三区八校2017届高三第二次模拟】已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计）,若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的5倍,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近,到右顶点的距离最大,所以由题设可得,即,应选答案D .
20．【河北省五个一联盟（石家庄一中、保定一中等）2017届第一次模拟】设椭圆,双曲线,（其中）的离心率分别为 ,则
A. B. C. D. 与1大小不确定
【答案】B
21．【山西省大同市灵丘2017届高三下学期第三次模拟】已知是抛物线的焦点,过点且斜率为的直线交抛物线于, 两点,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线AB方程为： 设,联立直线与抛物线方程可得： , , =
22．【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知直线过点且与相切于点,以坐标轴为对称轴的双曲线过点,其一条渐近线平行于,则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【名师原创测试篇】
1.已知数列是等差数列,若,则( )
A.45 B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则,,故的公差d=5,
所以,,故选D.
2. 数列中,若存在正整数k,使得,成等比数列,则=( )
A. 27 B. 33 C. 243 D.729
【答案】D
【解析】由为等比数列的前3项可得,即,解得,所以该等比数列的前2项依次为1,3,故该数列的公比为3,是该数列的第7项,所以 ,故选D.
3.等差数列的前n项和分别为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由为等差数列可得,同理可得,所以,故选C.
4.设数列的前n项和为,若,且成等差数列,则 时,k的值不可能是( )
A. 11 B. 41 C. 81 D.101
【答案】C
5.若数列满足且,则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以当 时 ,当n=1时 ,也满足,故选A.
6．某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为,第二次向上的点数记为,在平面直角坐标系中,以为坐标的点落在直线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子,共有种结果,
满足条件的事件是为坐标的点落在直线上,当 共有3种结果,∴根据古典概型的概率公式得到以为坐标的点落在直线上的概率：,故选A.
7．甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.若从这6名教师中任选2名,选出的2名教师来自同一学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．已知抛物线一条过焦点的弦,点在直线上,且满足,在抛物线准线上的射影为,设是中的两个锐角,则 ( )
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】由抛物线知识可知是直角三角形,则,,故选C.
9. 若双曲线的焦点在轴上,过点作圆的切线,切点分别为,直线恰好经过点,则双曲线方程为 .
【答案】．
10. 已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,则（ ）
A. B. C. D.由直线的斜率决定
【答案】C
【解析】若轴,则,所以；若直线的斜率存在,则设,与抛物线方程联立,消去,可得,设,则有.因为,所以.所以,故选C.