第100题数学文化-2018精品之高中数学（理）黄金100题系列

第100题 数学文化
I．题源探究·黄金母题
【例1】习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．我国古代数学名著《九章算术》中收录了“更相减损术”这一经典算法，据此设计的程序框图如图所示，若输入的的值分别为16，24，1，则输出的的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由程序框图得，，．，不满足，不满足，，，满足，，，不满足，满足，输出的值为．故选C．
精彩解读
【试题来源】2018疆乌鲁木齐地区高三下学期第二次诊断性测验．
【母题评析】本题考查算法框图，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力．
【思路方法】循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I文4理2】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B．
秒杀解法：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B．
【例2】【2017高考新课标I理】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） （ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【解析】将数列排成以下形式
第1层：1
第2层：1，2
第3层：1，2，4
……………………………
第层：1，2，4，……，
注：（1）第层有项，前层共有项；
（2）第层的和为，前层的和为；
（3）每层前项的和为．
解法一（以退为进）：由于这是选择题，为求最小值，从最小的开始检验．
选项D：若，由知第项排在第14行，第19个
由是奇数知不能写成2的整数幂
选项C：若，由知第项排在第21行，第10个
是大于1的奇数，不能写成2的整数幂
选项B：若，由知第项排在第26行，第5个
，同理，不能写成2的整数幂，故选A．
【评注】以退为进，是思考数学问题的一种非常重要的策略！
解法二（直接法）：由能写成2的整数幂可知，，，且由知，故满足条件的的最小值为，得且．
解法三（直接法）：该数列的前项和为
，要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，而，∴对应满足的最小条件为，故选A．
解法四（二进制转化法）：按照上面形式重新排列后，第层：1，2，4，……，的和为，把每一层的和的二进制数重新排列（低位对齐）
第1层： 1
第2层： 11
第3层： 111
……
第层： 11……11
由于2的整数幂的二进制数为：，前层的和再加多少可以写成2的整数幂
为方便相加，首先，每层都加1，则总共加了，得：
第1层： 10
第2层： 100
第3层： 1000
……
第层： 10……000
此时前层的和为：，仍然不是2的整数幂，再加上2即可！
所以在前层总和的基础上，再加可使和成为2的整数幂．
设第层的前个数的和为，即，后面的方法同“解法二”，此处略．
【例3】【2017高考新课标II理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，由等比数列前项和公式得：，解得，即塔的顶层共有灯盏，故选B．
【例4】【2017高考北京文理8】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，两边取对数得，∴，即最接近，故选D．
【例5】【2017高考浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．
【答案】
【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则．
【命题意图】这类题新颖，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力以及基本计算能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【难点中心】
1．对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算．
2．例2非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和．另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断．
3．用数列知识解实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型．求解时要明确目标，即弄清楚是求和、求通项还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、不等式问题还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果返回到实际问题中进行检验，最终得出结论．
4．例5粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
III．理论基础·解题原理
考点1　渗透数学文化的函数题
这类题主要有狄利克雷函数、牛顿迭代法（求函数零点的近似值）、三次函数等．
考点2　渗透数学文化的数列题
在近几年的高考题和各地的高考模拟题中有很多以数学史为背景的数列题，主要考查等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式以及基本性质等．意在考查学生的数学文化素养和应用意识．求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学，建立恰当的数列模型，运用方程思想求解计算．
考点3　渗透数学文化的几何题
中国古代数学遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活生产结合紧密，具有浓厚的实际背景，体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征．几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查几何的有关知识，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华优秀传统文化．
考点4　渗透数学文化的统计与概率题
这类题以中国古代几何模型（如勾股弦图、太极图等）为源考查简单的统计与概率的计算．
考点5　渗透数学文化的推理题
这类题如杨辉三角、堆垛术、阿波罗尼斯圆、伯努力不等式、四色定理、格点问题、逻辑推理等．
考点6　渗透数学文化的算法与程序框图题
中国古代数学遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活生产结合紧密，总结的丰富的一个个“术”，而以这些术为背景可以命制算法与程序框图题（如著名的秦九韶算法、更相减损术等）．
考点7　渗透现代科技或数学时事的创新题
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．还可以以中国古代数学著作中的特殊几何体（如堑堵、阳马、鳖臑等）作为载体，考查空间平行与垂直的证明、空间角、空间距离以及面积与体积的计算，难度中等．
【技能方法】
（1）函数类创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法．
（2）用数列知识解数列类数学文化问题，关键是列出相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型．求解时要明确目标，即弄清楚是求和、求通项还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、不等式问题还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果返回到实际问题中进行检验，最终得出结论．
（3）我国古代数学中含有丰富的立体几何模型和数学原理，是数学文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．解决问题需要熟练掌握立体几何有关定理、公式解题．
（4）考查统计与概率的数学文化题需仔细审题，弄清楚题意，再应用古典概型、几何概型公式解题即可．
（5）将数学文化嵌入到程序框图：①要读懂程序框图，按程序框图依次执行；②要理解数学文化的人文价值，弘扬正能量．
V．举一反三·触类旁通
考向1 渗透数学文化的函数题
【例1】（改编）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805—1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形．其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
确．取，恰好为等边三角形，故④正确，故选C．
【名师点睛】这类函数创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法．
【跟踪练习】
1．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，∵，∴，，∴表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B．
2．【2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考】中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“等周面函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“等周面函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“等周面函数”；④函数是“等周面函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）．
【答案】①③
考向2 渗透数学文化的数列题
【例2】【2018安徽模拟】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B．
【解析】设增量为，由等差数列前项和公式得：，解得，故选B．
【例3】【2018甘肃兰州西北师大附中调研】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】C
【例4】【江西省赣州市2018届期中】《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两分之和，则最小的1份为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差是，首项是，由题意得，，则，解得，所以最小的一份为，故选C．
【跟踪练习】
1．【2018百校联盟联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
2．【2018湖南永州高三二模】我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，)，则（ ）
A．1020 B．1010 C．510 D．505
【答案】D
【解析】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D．
3．【2018福建南平高三一模】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第4天走了（ ）
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
【答案】D
4．【2018河北廊坊八中高三模拟】《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间两节容量分别是（ ）
A．升、升 B．2升、3升 C．升、升 D．升、升
【答案】D
【解析】设从上而下，记第节的容量为升，故，，设公差为，则有，解得，故，，选D．
点睛：对于数学文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数学知识去解决．
5．【2018四省名校高三联考】中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列
满足，，则（ ）
A．4 B．5 C．9 D．16
【答案】C
【解析】由题意可得：，，
则：等比数列的公比，故．
本题选择C选项．
6．【2018湖北模拟】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ．
【答案】
7．【2018河北衡水中学高三二调】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A．日 B．日 C．日 D．日
【答案】D
【解析】
试题分析：设日相逢，，解得．
考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．
8．【2018湖北稳派教育高三上学期联考二】“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，记其前n项和为 (t为常数)，则___________ (用t表示)．
【答案】
考向3 渗透数学文化的几何题
【例5】【辽宁省沈阳市2018年质监】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱．若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【例6】【甘肃省会宁2018届月考（12月）】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(　　)
A．，1 B．，1 C． ， D．，
【答案】C
【例7】 【2018辽宁瓦房店高三一模】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
【答案】B
【例8】【2018贵州黔东南州高三一模】我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A．3步 B．6步 C．4步 D．8步
【答案】B
【例9】（1）【2017湖南模拟】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是 （ ）
A． B． C． D．
（2）【2018湖南模拟】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 （ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
【答案】（1）A；（2）B．
【名师点睛】“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．试题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等．我国古代数学中含有丰富的立体几何模型和数学原理，是数学文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．
【例10】【广西贵港市2018届12月联考】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A

【例11】【辽宁省凌源市2018届12月联考】我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例12】【2018河南商丘高三山学期一模】我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为
，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为__________．
【答案】
【解析】由可得：，
由可得：
∴
故答案为：
【跟踪练习】
1．【2018河南中原名校联考】《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形网格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
2．【2018安徽皖南八校12月联考】榫卯（ ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为
A． B． C． D．
【答案】C
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．
3．【2018吉林长春高三二模】堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何?”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少?”(注：一丈=十尺)，答案是　　(　　)?
A．25500立方尺 B．34300立方尺 C．46500立方尺
D．48100立方尺
【答案】C
【解析】由已知，堑堵的体积为．故选C．
4．【2018河北模拟】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）

A． B． C． D．
【答案】B
5．【2018山西高三一模】《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为边，将图形补形为长方体，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即，故球的表面积为．选B．
6．【2018百校联盟高三3月联考】我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：斛立方尺，）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
7．【2018甘肃兰州高三一诊】刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
8．【2018湖南衡阳高三一模】刍薨( chu hong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“当薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，若用茅草搭建它，则覆盖的面积至少为
．
A． B． C． D．
【答案】C
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
9．【2018贵州遵义高三联考二】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若，则，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为
__________．
【答案】
10．【2018湖北八校高三12月联考】我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．
【答案】

考向4 渗透数学文化的统计与概率题
【例13】【2018湖南株洲高三质检一】如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)．设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
A．134 B．866 C．300 D．500 （ ）
【答案】A
【例14】【2018河北衡水金卷高三一模】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例15】【2018山西孝义高三一模】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
考点：用样本的数据特征估计总体．
【例16】【2018江西高三二模】欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例17】2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响．
（1）求选手获得5个学豆的概率；
（2）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
（2）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则互斥，
．
【名师点睛】1．弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．
2．从古代文化经典选取素材，如2017年新课标Ⅰ卷第4题以《易经》八卦中的太极图为载体，丰富了数学文化的取材途径、试题插图的创新是本题的亮点．
其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．
【跟踪练习】
1．【2017新疆奎屯市一中高三上学期第二次月考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．【2017福建省数学基地校高三模拟】《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约(　　)
A．134石 B．169石 C．268石 D．338石
【答案】B
【解析】设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得，得x≈169．故选B．
3．【2018安徽芜湖高三一模】“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考向5 渗透数学文化的推理题
【例18】【2018北京朝阳区高三一模】 庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】由四人的预测可得下表：
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
?
?
?
?
乙
?
?
?
?
丙
?
?
?
?
丁
?
?
?
?
1．若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；2．若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；3．若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；4．若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意；故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，选．
【例19】（原创题）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第3个数；
（2）若第行中从左到右第13与第14个数的比为，求的值；
（3）写出第12行所有数的和，写出阶（包括阶）杨辉三角中的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现，事实上，一般地有这样的结论：第斜列中（从右上到左下）前个数之和，一定等于第斜列中第个数．试用含有的数学式子表示上述结论，并证明．
证明：左边
右边．
【名师点睛】杨辉三角与二项式定理是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学．求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”．
【跟踪练习】
1．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N．请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．
图1
图2
探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数学名著和欧洲数学有解的结合在一起，进行和合理命题．
2．【2018湖南模拟】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，…以此类推：记格点坐标为的点（均为正整数）处所标的数字为，若，则 ．
【答案】
考向6 渗透数学文化的算法与程序框图题
【例20】【2018福建南平高三质检一】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【例21】【2018湖南长沙二模】我国南宋时期的数学家秦九昭在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九昭算法，即将改写成如下形式：
，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这种算法至今仍是比较先进的算法．将秦九昭算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】1．秦九韶算法如下：计算多项式的值时，可改写成嵌套形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这种算法至今仍是先进的算法，其最大的意义在于把求次多项式的值转化为求个一次多项式的值，因此大幅简化运算．
2．将数学文化嵌入到程序框图：
（1）要读懂程序框图，按程序框图依次执行；（2）要理解数学文化的人文价值．弘扬正能量．
【例22】【2018吉林普通高中二调】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为

A． B． C． D．
【答案】C
【例23】【2018广东高三一模】大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）
A．是偶数， B．是奇数，
C．是偶数， D．是奇数，
【答案】D
【跟踪练习】
1．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为则输出的为 （ ）
A．4 B．2 C．0 D．14
【答案】B 【解析】由题意输出的是的最大公约数2，故选B．
2．（2017安徽模拟）下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入分别为225，135，则输出的 （ ）
A．5 B．9 C．45 D．90
【答案】C
3．【2018四川德阳高三二诊】《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如．若输入的值为8时，则输出的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
4．【湖南省郴州市2018届二质监】如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（ ）
A．0 B．14 C．4 D．2
【分析】由程序框图知，本框图是利用“更相减损术”求12，40的最大公约数，由“更相减损术”求12，20的最大公约数即为输出结果．
5．【河南省郑州市2018年二质测】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的分别为96、36，则输出的为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
6．【云南省昆明市2018届二质检】执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）
A．7 B．20 C．22 D．54
【答案】B
【解析】初始值a=1，b=1，s=0，k=0；s=2，a=2，b=3，k=2，；s=7，a=5，b=8，k=4；s=20，a=13，b=21，k=6输出s=20，选B．
7．【江西省上饶市2018届二模】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
8．【云南省保山市2018届二统测】如图所示，其功能是判断常数是否为完全数的程序框图，若输出的结果是是完全数，则输入的可以是（ ）
A．5 B．12 C．16 D．28
【答案】D
【解析】由程序框图可知，完全数等于其所有真因子的和，而，即是一个完全数，故选D．
考向7 渗透现代科技或数学时事的创新题
【例24】【2017届河北定州中学高三高补班上月考二】计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】先找出十六进制中A、B在十进制中表示的数，算出A×B，再将算出的十进制数化为十六进制数．
【跟踪练习】
1．【2018四川成都七中高三上学期一诊】《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】B