第98题高考数学信息题解法-2018精品之高中数学(文)黄金100题系列

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名称 第98题高考数学信息题解法-2018精品之高中数学(文)黄金100题系列
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资源类型 教案
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科目 数学
更新时间 2018-05-11 16:50:32

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文档简介

第 98题 高考信息题解法
I.题源探究·黄金母题
【例1】对于定义域为的函数,若满足① ;② 当,且时,都有;
③ 当,且时,都有,则称为“偏对称函数”.现给出四个函数:;;
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】因为条件②,所以与同号,不符合②,不是“偏对称函数”;对于;,满足①②,构造函数,,在 上递增,当,且时,都有,,满足条件 ③,是“偏对称函数”;对于,,满足条件①②,画出函数的图象以及在原点处的切线, 关于 轴对称直线,如图,由图可知满足条件③,所以知是“偏对称函数”;函数为偶函数,,不符合③,函数不是,“偏对称函数”,故选C.
精彩解读
【试题来源】2018广州高三一模.
【母题评析】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想,属于难题.
【思路方法】新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.
II.考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考山东理15】若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
①;②;③;④.
【答案】①④
【解析】①在上单调递增,故具有性质;②在上单调递减,故不具有性质;
③,令,则,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;
④,令,则,在上单调递增,故具有性质.
【命题意图】本题主要考查新定义问题以及利用导数研究函数的单调性.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等以上(压轴题难度大).
【难点中心】
1.新定义的概念实质上只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);
(2)求导函数f′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集.
(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单调区间.
3.由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是否可以取到.
III.理论基础·解题原理
所谓“新信息背景问题”,是指题目中会介绍一个“课本外的知识”,并说明它的规则,然后按照这个规则去解决问题.它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力.这类问题有时提供的信息比较抽象,并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键.
读取“新信息”的步骤
(1)若题目中含有变量,则要先确定变量的取值范围;
(2)确定新信息所涉及的知识背景,寻找与所学知识的联系;
(3)注意信息中的细节描述,如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律;
(4)把对“新信息”的理解应用到具体问题中,进行套用与分析.
IV.题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等以上(压轴题难度大).
【技能方法】
理解“新信息”的技巧与方法
(1)可通过“举例子”的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对新信息的理解
(2)可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容,如果能够清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻.
(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律
(4)如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广,则要关注此信息与原概念的不同之处,以及在什么情况下可以使用原概念.
V.举一反三·触类旁通
类型1 集合类信息题
【例1】设集合,在上定义运算为:,其中为被4除的余数,,则满足关系式的的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【例2】设是两个集合,定义集合,如果,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依可知该集合为在中且不属于中的元素组成,或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合.先解出中的不等式. ,,所以,从而可得:
【例3】【2018北京海淀区高三一模】已知数集具有性质:对任意的 ,,使得成立.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(Ⅱ)求证;
(Ⅲ)若,求数集中所有元素的和的最小值.
【答案】(1)具有(2)见解析(3)最小值为
【解析】试题分析:
(1)利用性质的含义及特例可判断数集不具有性质,数集具有性质.(2)数集具有性质可得,,,,
将上述不等式相加得,化简得,即为所求.(3)由及性质可得,从而易知数集的元素都是整数,构造或者,此时元素和为,然后再证明是最小的和.
试题解析:()∵,∴数集不具有性质.∵,,,
∴数集具有性质.
()∵集合具有性质即对任意的,,使得成立,又,,∴,,∴,,∴,即,,,,将上述不等式相加得,化简得.
()最小值为.
首先注意到,根据性质,得到,所以易知数集的元素都是整数,
构造或者,这两个集合具有性质,此时元素和为.下面,证明是最小的和.
假设数集,满足最小(存在性显然,因为满足的数集只有有限个).
第一步:首先说明集合中至少有个元素:
由()可知,,,,又,∴,,,,,,∴.
第二步:证明,,,若,设,
∵,为了使最小,在集合中一定不含有元素,使得,
从而;若,根据性质,对,有,,使得,显然,
∴,此时集合中至少有个不同于,,的元素,
从而,矛盾,∴,进而,,且.
同理可证:若,则.假设,∵,根据性质,有,,使得,显然,∴,此时集合中至少还有个不同于,,,的元素,从而,矛盾,∴,且,
同理可证:若,则.
假设,∵,根据性质,有,,使得,显然,
∴,此时集合中至少还有个不同于,,,,的元素,从而,矛盾,∴,且.
至此,我们得到,,,,,
根据性质,有,,使得,我们需要考虑如下几种情形:
①,,此时集合中至少还需要一个大于等于的元素,才能得到元素,则;
②,,此时集合中至少还需要一个大于的元素,才能得到元素,则;
③,,此时集合,;
④,,此时集合,.
综上所述,若,则数集中所有元素的和的最小值是.
【跟踪练习】
【2018北京朝阳区高三一模】已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.
(Ⅰ)当时,

(i)写出方程的解;
(ii)若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
(Ⅱ)证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.
【答案】(Ⅰ)(),();(Ⅱ)证明见解析.
假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.
试题解析:(Ⅰ)()方程的解有:
()以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:;
中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和):4,5,6,6,5,4;
中间相隔二数的两数差:;中间相隔三数的两数差:;中间相隔四数的两数差:;中间相隔五数的两数差:;中间隔一数的两数差:.
这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,所以的可能取值有.
(Ⅱ)证明:不妨设.
记, ,共个差数.
假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而


这与矛盾,所以结论成立.
考向2 函数类信息题
【例4】在内有定义.对于给定的正数,定义函数
取函数.若对任意的,恒有,则( ) A.的最大值为2 B.的最小值为2 C.的最大值为1 D.的最小值为1
【答案】D
【例5】如果函数对任意两个不等实数,均有,在称函数为区间上的“G”函数,给出下列命题:
① 函数是上的“G”函数
② 函数是上的“G”函数
③ 函数是上的“G”函数
④ 若函数是上的“G”函数,则
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题看似所给不等式复杂,但稍作变形可得:,所以即与同号,反映出是上的增函数,从而从单调性的角度判断四个命题:①:恒成立,所以是上的增函数
②③:可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增,通过作图可知②正确,③不正确
④:若是“G函数”,则是上的增函数,所以即恒成立,因为,所以可得:,④正确
综上所述:①②④正确,共有三个命题
【例6】【2018黑龙江哈尔滨三中高三二模】已知函数的定义域为,若存在常数,使得对所有实数均成立,则称函数为“期望函数”,给出下列函数:
①;②;③;④;
其中为“期望函数”的是__________.(写出所有正确的序号)
【答案】③④
恒成立.④成立,当时,,上式当时值小于零,当时值大于零,故满足.
【名师点睛】本题主要考查新定义函数的性质的应用,考查函数的单调性和含有绝对值函数的处理方法.对于新定义函数的题目,首先要理解清楚新定义函数性质,本题中新定义函数的要求是“存在常数使得恒成立”,问题等价于函数加了绝对值之后的图象在函数加了绝对值之后的图象下方.利用差比较法可以判断两个函数的大小关系.
【跟踪练习】
1.【2018河南高三4月普通高中毕业班高考适应性考试】定义域为的函数的图象的两个端点分别为,,是图象上任意一点,其中 ,向量.若不等式恒成立,则称函数在上为“函数”.已知函数在上为“函数”,则实数的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
所以函数在单调递增,在()上单调递减,所以
所以k≥4.故选D.
【名师点睛】本题的难点在于信息量大,条件比较复杂,属于定义题.解决这种问题,首先是要理解题目,把题目条件逐一化简,再分析思路.本题实际上解答并不复杂.
2.【2018湖北襄阳届高三1月调研】若函数对定义域D内的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,则称f (x)为“自倒函数”.给出下列命题:
①是自倒函数;
②自倒函数f (x)可以是奇函数;
③自倒函数f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函数,且定义域相同,则也是自倒函数.
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号).
【答案】①②
【解析】为上的单调函数,否则方程 不止一个实数解.对于①,在是单调增函数,且其值域为,对于任意的,则 ,故 在有唯一解,①正确;对于②,取,,的值域为,因为在和都是单调减函数,故对于,有唯一解 ,,为“自倒函数”,②正确;对于③,如果的值域为,取,无解,③不正确;④取,其中,它们都是“自倒函数”,但是,这是常数函数,它不是“自倒函数 ”.
【名师点睛】依据定义,如果为“自倒函数”,则必定为单调函数,然后在这个判断下依据各个条件给出证明或给出反例即可.
3.【2018四川省树德中学高考适应性测试数学】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆的一个太极函数;
③存在圆,使得是圆的一个太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数;
⑤若函数是圆的太极函数,则
所有正确的是__________.
【答案】②④⑤
【解析】对①显然错误,如图
对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确
对③,函数为奇函数,当x→0(x>0)时,
f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→1,[f(x)>1],函数递减;当x→0(x<0)时,f(x)→?∞,当x→?∞时,f(x)→?1,[f(x)对于⑤函数为奇函数,与圆的交点恒坐标为(?1,1),∴且,∴,令,得,得t=1即x=±1;
对,当k=0时显然无解,△<0即04时,函数图象与圆有6个交点,均不能把圆一分为二.故所有正确的是②④⑤,故答案为:②④⑤
4.【2018四川成都七中高二下学期零诊】设,,定义(,且为常数),若,,.
①不存在极值;
②若的反函数为,且函数与函数有两个交点,则;
③若在上是减函数,则实数的取值范围是;
④若,在的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直.
其中真命题的序号有__________(把所有真命题序号写上).
【答案】②③
考向3 数列类信息题
【例7】【2018江西八所重点中学高三下学期联考】对于任一实数序列,定义为序列,它的第项是,假定序列的所有项都是,且,则_________.
【答案】1000
【解析】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为,则,于是.由于,即,解得.故.
【名师点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的:对于对于一个给定的数列,把它的连续两项与的差记为,得到一个新数列,把数列称为原数列的一阶差数列,如果常数,则的二阶等差数列.用累加法求得数列的通项公式.
【例8】对任意实数定义运算如下:,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【名师点睛】本题也可以利用数形结合的方式,的图像为将的图像画在同一坐标系下,取位于下方的部分,从而作出的图像,其中的交点通过计算可得,所以结合图像即可得到的值域为,即.
【例9】【2018上海浦东新区高三下学期二模】已知数列中,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;
(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对一切,恒成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由;
(3)若数列为“数列”,且,证明:.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
,而,所以得证.
试题解析:(1)数列为“数列”,则,故,两式相减得:,
又时,,所以,故对任意的恒成立,即(常数),故数列为等比数列,其通项公式为;.
(2)

当时,
因为,则;

则,因为

因为,则,且时,,
解得:.
(3)
,由归纳知,,
,由归纳知,,


于是
于是,,

结论显然成立.
【名师点睛】在利用叠代法求项时,一定要注意使用转化思想.把对应项放缩后成等差数列或等比数列,再进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在放缩时要注意方向以及放缩大小.
【跟踪练习】
1.【2018湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前项和,则
(Ⅰ)__________; (Ⅱ)若,则__________.(用表示)
【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)
因为
所以
2.【2018江西重点中学协作体高三下期第一次联考】设是函数的极值点,数列 ,若表示不超过x的最大整数,则=( )
A.2017 B.2018 C.2019 D.2020
【答案】A
∴=
===.
∴.选A.
【名师点睛】(1)已知数列的递推公式求通项时,要掌握由递推公式求通项公式的基本方法,即先对递推公式进行变形,然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题;(2)数列求和时要根据通项公式的特点选择相应的求和方法,如通项为分式的形式时一般用裂项相消法求和等.
3.【山西晋中市高三1月高考适应性调研】艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列:满足,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()有两个零点,,数列为牛顿数列,设,已知,,的前项和为,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
, ,且,
,数列是以1为首项,以2为公比的等比数列,则,.故选:C.
【名师点睛】由已知得到a,b,c的关系,可得f(x)=ax2﹣3ax+2a,求导后代入,整理可得,两边取对数,可得是以2为公比的等比数列,再由等比数列的通项公式求得结果.
考向4 向量类信息题
【例10】定义两个平面向量的一种运算,其中为的夹角,对于这种运算,给出以下结论:① ;②;③ ;④ 若,则
你认为恒成立的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
,即.综上所述,①④正确
【例11】【2018四川成都七中高三上学期一诊】在直角坐标平面上的一列点简记为若由构成的数列满足其中为方向与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.有下列说法
①为点列;
②若为点列,且点在点的右上方.任取其中连续三点则可以为锐角三角形;
③若为点列,正整数若,满足则
④若为点列,正整数若,满足则.
其中,正确说法的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】①由题意可知,,显然有是点列,①正确;②在中,,,点在点的右上方,为点列,,,则,为钝角,为钝角三角形,不可以为锐角三角形,②错;
③,,
,③正确;
④同理②, 由于为点列,于是,可推导,,即,④正确,正确说法的个数为,故选C.
【跟踪练习】
在实数集中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”.定义如下:对于任意两个向量,当且仅当“ ”或“且”,按上述定义的关系“”,给出下列四个命题:
① 若,则
② 若,,则
③ 若,则对于任意的,
④ 对于任意的向量,其中,若,则
其中命题正确的序号为__________
【答案】①②③
①:显然,所以,,所以,综上可得:
②:由可知:或“且”,同理:由可得:或“且”,所以由不等式和等式的传递性可得“或“且”成立,所以
③:设,由由可知:或“且”,所以或“且”成立,所以
④:设,由可知:或“且”,考虑 若“且”,则 由可知存在一种情况:且,则即,故④不正确
【名师点睛】本题处理④的关键在于定义中的一种情况:且对无大小限制,且数量积的结果不仅与取值相关,还与的值相关.所以在考虑反例时就可以利用消除横坐标大小的关系.进而的大小关系由的纵坐标决定,就能轻松找到反例了.
类型5 不等式类信息题
【例12】【2018四川高三(南充三诊)】已知单位向量,,两两的夹角均为 (,且),若空间向量,则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作,有下列命题:
①已知,,则;
②已知,,其中,,均为正数,则当且仅当时,向量,的夹角取得最小值;
③已知,,则;
④已知,,,则三棱锥的表面积.其中真命题为__________.(写出所有真命题的序号)
【答案】②③.
③已知,,则,
所以,所以是正确的;
④由,则三棱锥为正四面体,
棱长为,其表面积为,所以不正确,
故选②③.
【名师点睛】本题主要考查了向量的新定义运算,此类问题正确理解新定义的运算方式是解答的关键,对于向量问题:(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
【跟踪练习】
1.【2018石景山区高三一模】设是由一平面内的个向量组成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.则称是的极大向量.有下列命题:
①若中每个向量的方向都相同,则中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量,在该平面内总存在唯一的平面向量,使得中的每个元素都是极大向量;
③若中的每个元素都是极大向量,且中无公共元素,则中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是_______________.
【答案】②③
考向6 解析几何类信息题
【例13】【2018甘肃高三二模】若直线和直线相交于一点,将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为,则角就叫做到的角,,其中分别是的斜率,已知双曲线:的右焦点为,是右顶点,是直线上的一点,是双曲线的离心率,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:设 的斜率为,由题意可知:,不妨设,当 时由对称性可知结果一致,则:,令,
则,当 取得最大值时满足题意,很明显,则:,当且仅当 时等号成立,此时 .
本题选择C选项.
【名师点睛】本题的实质是离心率的问题,离心率是圆锥曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合a,b,c的关系转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
【跟踪练习】
1.已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为到的距离,记作
(1)求点到线段的距离
(2)设是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积
【解析】(1)设线段的端点,代入直线方程可得:,.
,.
(2)若,则点的轨迹为长,宽的正方形和两个半径的半圆的组合图形,.
2.若直线与曲线满足下列两个条件:
(i)直线在点处与曲线相切;(ii)曲线在点附近位于直线的两侧.则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①直线在点处“切过”曲线;
②直线在点处“切过”曲线;
③直线在点处“切过”曲线;
④直线在点处“切过”曲线;
⑤直线在点处“切过”曲线.
【答案】①③④
的曲线的切线,又时,时,,满足曲线在附近位于直线两侧,命题③正确;对于④,由,得,则,直线是过点的曲线的切线,又时,时,,满足曲线在附近位于直线两侧,命题④正确;对于⑤,由
,得,则,曲线在处的切线为,设,得,当时,,当时,在上有极小值也是最小值为,恒在的上方,不满足曲线在点附近位于直线的两侧,命题⑤错误,故答案为①③④.
【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断,利用导数求切线方程以及不等式恒成立问题与新定义问题,属于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题定义直线在点处“切过”曲线达到考查利用导数求切线方程以及不等式恒成的目的.
考向7 其它类信息题
【例14】【2018四川成都市第七中学高考热身考试】如图,在棱长为的正方体中,动点在其表面上运动,且,把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数,给出下列结论:
①;②;③;④
其中正确的结论是:__________.(填上你认为所有正确的结论序号)
【答案】②③④
【解析】
【跟踪练习】
1.定义:对于一个定义域为的函数,若存在两条距离为的直线和,使得时,恒有,则称在内有一个宽度为的通道.下列函数:
①;②;
③;④.
其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为
A.①② B.②③
C.②④ D.②③④
【答案】D

2.在实数集R中定义一种运算“ ”,对任意为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意;
(2)对任意.
关于函数的性质,有如下说法:①函数的最小值为;②函数为偶函数;③函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
3.已知数列{an}的通项为an=log(n+1)(n+2) (n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”,则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 (  )
A.1 024 B.2 012 C.2 026 D.2 036
【答案】C
【解析】由,得
,即,解得,所以所有“优数”之和为
;故选C.
4.已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是________.
①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=lnx;④f(x)=tanx;⑤.
【答案】①③⑤
5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
6.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面,中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴整体(油滴是直径为0.2的球)正好落入孔中的概率是__________.
【答案】
7.函数的定义域为,如果存在实数,使得对任意满足且的恒成立,则称为广义奇函数.
(Ⅰ)设函数,试判断是否为广义奇函数,并说明理由;
(Ⅱ)设函数,其中常数 ,证明是广义奇函数,并写出的值;
(Ⅲ)若是定义在上的广义奇函数,且函数的图象关于直线(为常数)对称,试判断是否为周期函数?若是,求出的一个周期,若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)是广义奇函数(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
(Ⅱ)由题意结合广义奇函数的定义可得,时,是广义奇函数.则,据此可得原式.
(Ⅲ)由题意可得,恒成立.则:
..故恒成立.把用代换得据此可得分类讨论有:当时,是函数的一个周期.当时,对恒成立.
则题中的结论成立.
试题解析:
(Ⅰ)是广义奇函数.理由如下:的定义域为,
只需证明存在实数,使得对任意恒成立.
由,得,即.
所以对任意恒成立,即
从而存在,使对任意恒成立.
所以是广义奇函数.
(Ⅲ)因为是定义在上的广义奇函数,且函数的图象关于直线对称,
所以有,恒成立.
由得.
由得.
所以①恒成立.把用代换得

即②
由①②得:
当时,为周期函数,是函数的一个周期.
当时,由①得,从而对恒成立.
函数为常函数,也为周期函数,
任何非零实数均为函数的周期.
【名师点睛】(1)本题解题的关键是抓住新定义中的广义奇函数的概念,可将问题迎刃而解.
(2)对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
8.如过函数对于定义域内的任意两个数都满足:,那么称函数为下凸函数;而总有时,那么称函数为上凸函数.根据以上定义,判断指数函数(且)在上是否为下凸函数,并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】试题分析:根据凹函数的定义,结合指数函数的图象和性质,用作差法比较大小,可得结论.

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