第97题高考数学填空题的解法-2018精品之高中数学（文）黄金100题系列

第 97题 高考填空题的解法
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知角x终边上的一点，则的值为 ．
【解析】，根据三角函数的定义，可知，故原式．
【例2】若恒成立，则的取值范围是 ．
【解析】当时，不等式等价于：，即不是恒成立，
要使恒成立，则，即．
精彩解读
【试题来源】例1：人教A版必修4P27例4改编；例2：人教A版必修5P81习题3．2B组T2改编．
【母题评析】例1考查三角函数的定义及诱导公式；例2考查含参数的不等式恒成立问题．
【思路方法】1．数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，解答时必须按规则进行正确的计算或者合乎逻辑的推演和判断．
2．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标3理15】设函数则满足的x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令，
当时，，
当时，，
当时，，
写成分段函数的形式：，
函数 在区间 三段区间内均单调递增，
且：，
据此x的取值范围是：．
【例2】【2017高考北京理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________．
【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
【解析】相矛盾，所以验证是假命题．
【例3】【2017高考山东理15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为 ．
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
【例4】【2017高考北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________．
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________．
【答案】；
【解析】
作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大，所以第一位选
分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选
【例5】【2017高考浙江17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或：，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【例6】【2017高考江苏11】已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，∴函数是奇函数，
∵，∴数在上单调递增，又，即，∴，即，解得，故实数的取值范围为．
【例7】【2017高考江苏14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑 的情况，在此范围内， 且 时，设，且 互质．若，则由，可设，且 互质，因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此．因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
【命题意图】填空题高频考点：数列、三角函数、线性规划、函数相关内容．考查三角函数的单调性、对称性，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力等．
【考试方向】高考中填空题共4题，一般2-3道基础题，1-2题压轴题，难度大．
【难点中心】数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题．这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现．因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．
III．理论基础·解题原理
填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等．
近五年填空题分析
2013
2014
2015
2016
2017
13
向量数量积
二项式定理
平面向量
线性规划
线性规划
14
概率
三角函数
线性规划
三角问题
数列
15
三角函数
抽象函数、绝对值不等式的解法
二项式定理
函数性质、导数的几何意义
分段函数与不等式的解法
16
数列
导数求参数范围
数列
直线与圆的位置关系
立体几何
高频考点：数列、三角函数、线性规划、函数相关内容，次高频考点：向量、二项式定理．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
高考中填空题共4题，一般2-3道基础题，1-2题压轴题，难度大．
【技能方法】
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
【易错指导】
从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加．我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确．
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论．
(3)要重视对所求结果的检验．
(4)注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的．
V．举一反三·触类旁通
方法1 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过巧妙地变形、严密地推理和准确地运算，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．
【例1】【2018河南郑州高三第一次质量检测】在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（ ）
A．28 B．36 C．48 D．56
【答案】C
∵，当且仅当时等号成立．
∴，解得．故的最小值为48．选C．
【名师点睛】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
【例2】【2018届华大新高考联盟高三1月】设函数为自然对数的底数），当时，恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
，切线过点，则：，
解方程可得：或或，结合函数图像可得：，即．
表示为区间形式即．
【名师点睛】本题的实质是切线问题，直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，注意“过某点”与“在某点”的区别．
【例3】【2017高考新课标3文16】设函数则满足的x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得：当时 恒成立，即；当时 恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是．
【跟踪练习】
1．设a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j为互相垂直的单位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________．
【答案】－2
2．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
2．【2017高考新课标1文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】设，则，所以，所以在处的切线方程为，即
3．【2017高考北京理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．
若，=___________．
【答案】
方法2 特殊化法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．
【例4】【2018届二轮复习】设F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为________．
【答案】＋1
【解析】如图，取F2P的中点M，则＋＝2．又由已知得·＝0，∴⊥．
又OM为△F2F1P的中位线，∴⊥．在△PF1F2中，2a＝||－||＝(－1)| |，
2c＝2||．∴e＝＝＋1．
【例5】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________．
(2)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
【答案】(1)；(2)S3【解析】

(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点，故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S3【名师点睛】第(1)题中的法一，将一般三角形看作特殊的等边三角形，减少了计算量，优化解题过程．
【例6】【2017高考新课标3理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°．
其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【名师点睛】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
【跟踪练习】
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，则＝__________．
【答案】
【解析】特殊化：令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，cos A＝，cos C＝0，从而所求值为．
2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则＋＝________．
【答案】4a
方法3 构造法
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
【例7】【2018届广东省汕头市高三上学期期末】已知，则__________．
【答案】6
【解析】由题意得，
令，则，∴函数为奇函数．
∴，
．
【名师点睛】本题的求解中若直接求解则比较困难，利用函数的性质可使问题的解决变得方便、容易．解题的关键是观察出分离常数后把原函数变形为常数与一个奇函数的和的形式，再利用奇函数中这一性质求解．
【例8】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知是上的连续可导函数，满足．若，则不等式的解集为_______．
【答案】
【名师点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造．构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等．
【名师点睛】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．
【例9】【2017高考天津文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为．
【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1．若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2．若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3．若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单．
【跟踪练习】
1．【2017高考新课标1文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
2．【2017高考新课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为
【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
3．【2017高考山东文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
【答案】
【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．
方法4 数形结合法
一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
【例10】【2017高考新课标3理13】若，满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值．
【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
【例11】已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【名师点睛】1．图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．
2．运用数形结合(图解法)的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
【例12】【2018届宁夏育才中学高三第四次月考】在中，，，对平面内的任一点，平面内有一点使得，则__________．
【答案】6
【解析】根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；
∴由得：
3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；
∴ ∴，
故答案为：6．
【名师点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．
【跟踪练习】
1．如果不等式 ＞(a－1)x的解集为A，且A?{x|0＜x＜2}，那么实数a的取值范围是________．
【答案】[2，＋∞)
2．已知实数x，y满足(x－3)2＋y2＝3，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】可看作是过点P(x，y)与M(1，0)的直线的斜率，其中点P在圆(x－3)2＋y2＝3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为tan θ＝．
3．【2017高考新课标1理13】设x，y满足约束条件，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线直线过点时，取得最小值，所以取得最小值为．
不等式组表示的可行域如图所示，
【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离．
方法5 等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．
【例13】【2017高考北京文11】已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．
【答案】
【例14】不等式＞ax＋的解集为(4，b)，则a＝__________，b＝__________．
【答案】　 36
【例15】【2017高考浙江15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，
【解析】
【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
【跟踪练习】
1．不论k为何实数，直线y＝kx＋1与曲线x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】[－1，3]
【解析】题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，∴a2＋1≤2a＋4．∴－1≤a≤3．
2．【2017高考新课标II理14】函数（）的最大值是 ．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1．
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
3．【2017高考北京文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2，0)，O为原点，则的最大值为_________．
【答案】6
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若最大，即向量在方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果．