2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（选修2-2）专题03+定积分及其应用

1．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】定积分的值是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】C
2．【山西大学附属中学2017-2018学年高二4月月考】（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
故选C.
3．【江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分面积，
由几何概型性质可知.
本题选择B选项.
4．【甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】由曲线，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 (　　)
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
5．【甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】若，则a的值是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
注意到，据此可得：a＝3是方程的唯一解.
本题选择B选项.
6．【江西省赣州市红旗实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试】若向区域
内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】区域是正方形，面积为，根据定积分定理可得直线与曲线围成区域的面积为，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为，故选B．
7．【河南省信阳高级中学2017-2018学年高二4月月考】已知＝，则m的值为
A. B. － C. D. －1
【答案】A
【解析】由微积分基本定理可得：
，
结合题意可得：，解得：．
故选：A．
8．【河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考】若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】B
9．【甘肃省天水市甘谷县第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】下列定积分不大于0的是(　　)
A. |x|dx B. (1－|x|)dx C. |x－1|dx D. (|x|－1)dx
【答案】D
【解析】则定积分的几何意义为求图形面积相关，要求定积分不大于0，只需被积函数在被积区间在下方，或x轴下方面积大于x轴下方面积。四个选项函数分别为，在区间上，只有函数的图像全在x轴下方。所以选D.
10．【内蒙古乌兰察布市北京八中分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】一质点运动时速度与时间的关系式为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据定积分的物理意义可知，质点做直线运动,则此质点在时间内的位移为：
，故选A.
11．【河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评】已知物体运动的速度与事件的关系式为，则落体从到所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由积分的物理意义可知运动从t=0到t=5所走的路程为，
故选：B．
12．设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是(　　)
A. << B. <<
C. << D. <<
【答案】C
13．【山西大学附属中学2017-2018学年高二4月月考】，则
__________．
【答案】
【解析】故填.
14．【江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】_________
【答案】
15．【北京市朝阳区17中2016-2017学年高二下期期中考试】由直线，，曲线及轴所转成的图形面积为（计算出结果）__________．
【答案】
【解析】由定积分的几何意义可知，由直线，，曲线以及轴所围成的图形面积
，故答案为.
16．变速直线运动的物体的速度v(t)＝5－t2，前2 s所走过的路程为________．
A. B. C. D.
的应用 (3)
【答案】B
【解析】设前2 s所走过的路程为x(2)，∴x(2)＝v(t)dt＝ (5－t2)dt，∴x(2)＝.选B.
17．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】已知函数，.
（1）求函数图象经过点的切线的方程.
（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.
【答案】(1) 切线方程为或(2)
【解析】试题分析：（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入解出即可；（2）函数的图象与直线，解得或．可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积：
，利用微积分基本定理即可得出．
（2）由或
所以所求的面积为.
点睛：点睛：用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加
18．如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。
【答案】
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
19．【甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
【答案】答案见解析
【解析】试题分析：
由题意结合定积分的几何意义可求得，结合定义域讨论函数的单调性可得当时，S1与S2之和取得最小值，且最小值为.
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
点睛：(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．
(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．
20．【甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】一点在直线上从时刻t=0s开始以速度运动，求：
⑴该点在t=4s的位置；
⑵该点在t=4s运动的路程.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合定积分的物理意义可得该点在t=4s的位置为；
(2)由题意结合定积分的物理意义可得该点在t=4s运动的路程为.
试题解析：
⑴.
⑵，
在区间上的；在区间上的
.
21．【江西省赣州市红旗实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知二次函数，直线，直线（其中，为常数），若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示．
（1）求的值；
（2）求阴影面积关于的函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由图形可知二次函数的图象过点，，并且的最大值为，则
，解得，
∴函数的解析式为．
由定积分的几何意义知：
．
22．【北京市人大附中2017-2018学年高二下学期第一次月考】已知曲线与在第一象限内交点为．
（1）求过点且与曲线相切的直线方程；
（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积．
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
（1）联立方程可得交点坐标为，切线方程为，利用点斜式可得切线方程为；
（2）利用定积分的几何意义上下面积作差求解定积分可得阴影部分的面积S=．
点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．