2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（选修2-2）专题02+导函数研究函数的性质

1．【江西省赣州市十四县（市）2017-2018学年高二下学期期中联考】已知定义在R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为(　 　)
A. (1，＋∞) B. (－∞，－1) C. (－1,1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造
， 构造， 构造等
2．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】已知定义在上的函数，其导函数为，若， ，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构造函数.有
则.
所以在上为减函数.
则不等式等价于，即.
所以.
故选C.
点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： ，构造xf(x)；
2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；
，构造;
，构造；
，构造.等等.
3．【山西大学附属中学2017-2018学年高二4月月考】函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．【贵州省三都民族中学2017-2018学年高二第二学期第一次月考】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
A. B.
C. D.
【答案】C
5．【四川省棠湖中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】若函数在
上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1﹣cos2x+acosx≥0，
即有﹣cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，
由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥﹣；
当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，
由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤．
综上可得a的范围是[﹣， ]．
另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
解得a的范围是[﹣， ]．
故选：A．
点睛：本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.
6．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】若函数
在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
∴要使函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，需满足，
即，
解得或，
又，
∴或．选B．
7．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】若函数在上的最大值为，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
②当，即时， 在上单调递减，故．
令，解得，符合题意．
综上．
点睛：
（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．
（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．
8．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知为函数的极小值点，则＝（ ）
A. －9 B. －2 C. 4 D. 2
【答案】D
9．【四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】已知函数， 的图象分别与直线交于两点，则的最小值为? ??
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意， ，其中， ，且，所以.
令，则， 为增函数.
令，得.
所以.时， 时,
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时, .
故选B.
点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：
（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；
（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.
10．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】函数在[0，2]上的最大值是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
11．【江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】设函数在上存在导函数，对任意，都有且
时，，若则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
令,，
∴函数g(x)为奇函数.
时,.时, ,故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数,
由,可得在R上是增函数.
,等价于，
即，，解得.
本题选择B选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
12．【山东省淄博市淄川中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最大值也可能是f(x0) B. 函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)
C. 函数f(x)有最小值f(x0) D. 函数f(x)不一定有最小值
【答案】C
13．【四川省雅安中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】已知的定义域为， 为的导函数，且满足，则不等式的解集是_____________
【答案】
【解析】设，则，
函数在上是减函数，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为： .
点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： ，构造xf(x)；
2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；
，构造;
，构造；
，构造.等等.
14．【江西省赣州市红旗实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知函数
，若不等式对所有的都成立，则的取值范围是__________．
【答案】
即大于等于在区间上的最大值，
令，则，当时，单调递增，
所以的最大值为，即，
所以的取值范围为，故答案为．
15．【江西省赣州市红旗实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知实数，函数
在上单调递增，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】在上单调递增，，即，由，得时，，综上，，故答案为．
【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.
16．【北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试】已知函数的图象在点处的切线与直线＝0垂直，且函数在区间上是单调递增，则b的最大值等于___________.
【答案】
17．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】已知.
（1）假设，求的极大值与极小值；
（2）是否存在实数，使在上单调递增？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1) ，，
(2)
试题解析：
（1）当时，，其定义域为.则
，
所以当或时，；当或时，；，所以在上单调递减,在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，所以当或时，取得极小值；当时，取得极大值，
所以，，.
（2）.因为在上单调递增，所以当时，.又因为当时，，
所以当时，，所以解得，所以当时，在上单调递增.
18．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】已知函数.
（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，?f′（x）≥0在（，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；
（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（2）当时，.
令，得.当时，，当时，，故是函数在上唯一的极小值点，故.
又，，故.
点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）
19．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】已知函数（），（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对， ， 恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析：（1）的定义域为，当时， ，
∵，∴，又∵，
故在处的切线方程为： .
（2）若对， ， 恒成立，
，
∵在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，∴
，当时，恒成立.
， ，
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴.
20．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；
（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】试题分析：（1）， 算出m值，然后求出的单调区间和极值；
（2）因为对任意，总存在使得，
即成立，分别求与的最值即可.
（2）由， ，当时， ， 单调递增，故有最小值，
因为对任意，总存在使得，
即成立，所以对任意，都有，
即，
也即成立，从而对任意，都有成立，
构造函数 ，则，令，得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为.
21．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.
（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）
（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.
【答案】(1)当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大；(2)答案见解析.
试题解析：
（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），则 ， .所以当时， ，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.
（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），则由此两项所增加的收益为 .
对求导，得，令，得或（舍去）.当时， ，即在上单调递增；当时， ，即在上单调递减，∴当时， .
故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元.
22．【江苏省泰州市2017～2018学年度高二第一学期期末考试】某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为： ．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
⑴求的表达式；
⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
【答案】⑴⑵见解析
⑵
由得
所以在上单调递减，在上单调递增
故当时， 取得最小值
答：⑴
⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．