2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（选修2-3）专题01+排列组合与二项式定理

1．【重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种
A. 120 B. 260 C. 340 D. 420
【答案】D
2．【北京市朝阳区北京工业大学附属中学2016-2017学年高二下期期中考试】某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】第一种：甲乙相邻排在初一，初二或初六，初七，则先排甲和乙，有种，然后排丙（甲乙相邻排在初一，初二）或乙（甲乙相邻排在或初六，初七），有种，剩下的其他四个人全排列有种，因此有种安排方案；第二种：甲乙相邻排中间，若丙排初七，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有种，然后丙排在初七，剩下四个人全排列有种，若丙不排初七，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有种，然后排丙，丙不在初一和初七，有种，接着排丁，丁不在初七，有种，剩下个人全排列，有种，因此共有种安排方案，所以共有
种不同的安排方案，故选．
3．【广东省珠海市2018届高二3月质量检测】将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种
A. B. C. D.
【答案】C
4．【陕西省西北工业大学附属中学2017-2018学年高二上学期期中考试】有双不同的鞋中任取只，其中至少有一双取法共有（ ）种
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】从双不同鞋子取出只鞋的取法种数是，取出的四只鞋都不成双的方法有
，故事件“从双不同鞋子中取出只鞋，其中至少有只鞋配成一双”的取法种数是，故选．
【方法点睛】本题主要考查分步计数原理及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
5．【2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3】若=42,则的值为　(　　)
A. 6 B. 7 C. 35 D. 20
【答案】C
【解析】因为=42=×2×1,
解得n=7,
所以===35. 选C.
6．【湖北省孝感市八校2017-2018学年高二上学期期末考试】若，则的值为（ ）
A. 4 B. 4或5 C. 6 D. 4或6
【答案】D
【解析】因为，所以 或，所以 或，选D.
7．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为(　　)
A. 270x－1 B. 270x
C. 405x3 D. 243x5
【答案】B
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数和问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
8．【北京市北大附中2017-2018年高二期末考试】若的展开式中含有常数项,则最小的正整数等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：
，
展开式中含有常数项，则：有正整数解，
满足题意的最小的正整数为：.
本题选择D选项.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
9．【北京市北大附中2017-2018年高二期末考试】的展开式中的项的系数是
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
10．【北京市北大附中2017-2018年高二期末考试】的展开式中的项的系数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为： ，
当时， 展开项为，
当时， 展开项为，
则的展开式中的项的系数是.
本题选择D选项.
点睛：二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．
11．【山东省潍坊市寿光现代中学2017-2018学年高二4月月考】已知
，则（ ）
A. 253 B. 248 C. 238 D. 233
【答案】B
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
12．【2017_2018学年高中数学模块综合检测新人教A版选修2_3】的展开式中只有第6项二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360
【答案】A
【解析】∵的展开式中只有第6项二项式系数最大
∴
∴展开式的通项为
令，得.
∴展开式中的常数项为
故选A.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可有某项得到参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
13．【重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）
【答案】528
点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可。
14．【2017-2018年北京市首都师大附中高二期末】在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为_________.
【答案】60
【解析】①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种；
②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种.
∴所有的出场顺序的排法种数为.
故答案为.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
15．【广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测】的展开式中的系数是__________.
【答案】
点睛：本题主要是理解解题的逻辑， 的展开式中的系数，实际上是展开式中的系数和展开式中的系数的和,所以分别求出再相加即可.
16．【北京市101中学2016-2017学年高二下学期期中考试】已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是____.
【答案】-560
【解析】展开式的二项式系数之和为128， ，解得；
∴展开式的通项公式为
，
令，解得；
∴展开式中含项的系数是
点睛：二项式定理揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝an－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．
17．【湖北省松滋市第一中学高二人教版选修2-3练案】(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________.
【答案】-162
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
18．【吉林省长春市十一高中等九校教育联盟2017-2018学年高二下学期期初考试】已知二项式 的展开式.
(1)求展开式中含项的系数；
(2)如果第项和第项的二项式系数相等，求的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】试题分析：（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
试题解析：(1)设第k＋1项为Tk＋1＝
令10－k＝4，解得k＝4，
故展开式中含x4项的系数为3 360.
(2)∵第3r项的二项式系数为，第r＋2项的二项式系数为，
∵ ＝，故3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，
解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1.
19．【山东省潍坊市寿光现代中学2017-2018学年高二4月月考】已知展开式中第5项是常数项.
（1）求的值；
（2）求展开式中所有有理项.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）求得展开式的通项公式为，在二项展开式的通项公式中，令且的幂指数等于零，即可求出的值；（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，可得的值，从而得到展开式中所有有理项.
（2）在通项公式中，令的幂指数为整数，
可得，
故有理项为， .
20．【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设
.
①求；
②求；
③求；
(2)求除以9的余数．
【答案】（1）16，256，15；（2）7
【解析】试题分析：（1）利用赋值法，令，求；（2）令x=-1，与（2）相加求；，；③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把 分解为9的倍数形式，再求对应的余数．
试题解析：(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.
（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2
＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.
21．【湖北省孝感市八校2017-2018学年高二上学期期末考试】3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？
（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）
【答案】（1）144；（2）1440.
【解析】试题分析：（1）利用插空法，先排男生，产生4个空，再安排女生，最后根据乘法原理得排法，
（2）利用捆绑法，先将甲、乙两人看成一个整体，与其余5人进行全排列，再乘以两人之间全排列得结果.
22．平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线．
（1）过每两点连线，可得几条直线？　　　
（2）以每三点为顶点作三角形可作几个？；
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
【答案】（1）31；（2）80；（3）66；（4）72.
⑶不共线的五点可连得条射线，共线的四点中，外侧两点可发生条射线，内部两点各可发生条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有条，故共有
条射线
⑷任意两点之间，可有方向相反的个向量各不相等，则可有个向量