2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（选修1-2）专题01+回归方程及其应用

1．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】已知的取值如下表：
与线性相关，且线性回归直线方程为，则=
A. B. C. D.
【答案】B
2．【四川省棠湖中学2018届高三3月月考】如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 2.5
【答案】A
【解析】由题意得，
∵线性回归方程为过样本中心，
∴，
解得．
选A．
点睛：
回归直线一定经过样本中心，是线性回归分析中的重要结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本点中的参数．
3．近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下:
工资总额x/亿元
23.8
27.6
31.6
32.4
33.7
34.9
43.2
52.8
63.8
73.4
社会商品零售总额y/亿元
41.4
51.8
61.7
67.9
68.7
77.5
95.9
137.4
155.0
175.0
建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是(　　)
A. =2.799 1x-27.248 5
B. =2.799 1x-23.549 3
C. =2.699 2x-23.749 3
D. =2.899 2x-23.749 4
【答案】B
【解析】代入验证可知选项正确.
4．【北京101中学2016-2017学年下学期高二年级期中考试】一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（　　）
A. 身高一定是145.83cm
B. 身高在145.83cm以上
C. 身高在145.83cm左右
D. 身高在145.83cm以下
【答案】C
【解析】由回归模型可得y=7.1910x＋73.93=145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83cm左右。
5．已知变量x和y满足关系y＝0.1x－10，变量z与y负相关，则下列结论中正确的是
(　　)
A. x与y负相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y正相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
【答案】C
6．【2017-2018学年高中数学（人教版，选修2-3）阶段质量检测】身高与体重有关系可以用________来分析．(　　)
A. 残差 B. 回归分析
C. 等高条形图 D. 独立检验
【答案】B
【解析】人的身高和体重是两种相关性的量，可以用回归分析来分析．故选：B．
7．【福建省福州市八县（市）协作校2016-2017学年高二下学期期中考试】散点图在回归分析过程中的作用是（ ）
A. 查找个体个数 B. 比较个体数据大小关系
C. 探究个体分类 D. 粗略判断变量是否线性相关
【答案】D
【解析】由于散点图在回归分析过程中的作用是粗略判断变量是否线性相关，
则D正确，
故选：D
8．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】两个变量与的回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合与之间的关系，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
模型
1
2
3
4
0.98
0.80
0.50
0.25
A. 模型1 B. 模型2 C. 模型3 D. 模型4
【答案】A
【解析】两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值， 拟合效果最好的模型是模型，故选A.
9．【《周末培优君》2017-2018学年下学期高一数学——第06周】对于相关指数R2，下列说法正确的是
A. R2的取值越小，模型拟合效果越好
B. R2的取值可以任意大，且R2取值越大，拟合效果越好
C. R2的取值越接近于1，模型拟合效果越好
D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好．故选C．
10．【《周末培优君》2017-2018学年下学期高一数学——第06周】下列说法中，不正确的是
A. 两个变量的任何一组观测值都能得到线性回归方程
B. 在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示两个变量的关系的图象叫做散点图
C. 线性回归方程反映了两个变量所具备的线性相关关系
D. 线性相关关系可分为正相关和负相关
【答案】A
11．为了考察两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2.已知两人所得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都相等,且分别都是s,t,则下列说法正确的是(　　)
A. 直线l1和l2一定有公共点(s,t)
B. 直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)
C. 必有直线l1∥l2
D. l1和l2必定重合
【答案】A
【解析】回归直线方程过样本中心点,过选项正确.
12．【甘肃省武威市第六中学2017-20118学年高二上学期第一次学段考试】设(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是(　).
A. 变量x和y之间呈现正相关关系
B. 各样本点(xn，yn)到直线l的距离都相等
C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D. 直线l过点(,)
【答案】D
13．若有一组数据的总偏差平方和为100，相关指数=0.75，则其残差平方和为_______。
【答案】25
【解析】因为数据的总偏差平方和为，相关指数， ， ，故答案为.
14．【2018届广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_____________．
【答案】
【解析】，将代入，解得：．
15．【河南省信阳市2016-2017学年高二下学期期末教学质量检测】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据,求得线性回归方程为=-20x+.若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_________.
【答案】
故答案为.
点睛：本题考查的知识是线性回归方程及等可能性事件的概率.回归直线方程中系数的两种求法①公式法：利用公式，求出回归系数；②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数；求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键．
16．【陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（重点班）上学期期末考试】已知x、y之间的一组数据如下：
x
0
1
2
3
y
8
2
6
4
则线性回归方程所表示的直线必经过点________.
【答案】（1.5,5）
17．【河南省许平汝2017-2018学年高一第五次联考】某淘宝商城在2017年前7个月的销售额 (单位:万元)的数据如下表，已知与具有较好的线性关系.
（1）求关于的线性回归方程；
（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， .
【答案】（1）.（2）126万元.
【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出的值，再求出的值，写出线性回归方程．（2）根据（1）求出的线性回归方程，代入所给的的值，预测预测该商城8月份的销售额.．
（2）由（1）知， ，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万.
将，代入（1）中的回归方程， .
故预测该商城8月份的销售额为126万元.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法和线性回归分析的应用，其中解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件．
18．【广西桂梧高中2017-2018学年高一下学期第一次月考】假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知， .
，
(1)求， ；
(2) 与具有线性相关关系，求出线性回归方程；
(3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
【答案】（1）， ；（2）；（3）12.38
【解析】试题分析:(1)利用平均数公式计算出.(2)利用回归直线方程计算公式计算出,由此求得回归直线方程.(3)将代入回归直线方程,求得维修费用预报值.

(3)当x＝10时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．
19．【河南省南阳市第一中学2017-2018学年高一下学期第一次月考】在2017年初的时候，国家政府工作报告明确提出，2017年要坚决打好蓝天保卫战，加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少，6月至11月的用煤量如下表所示：
（1）由于某些原因， 中一个数据丢失，但根据6至9月份的数据得出少样本平均值是3.5，求出丢失的数据；
（2）请根据6至9月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）现在用（2）中得到的线性回归方程中得到的估计数据与10月11月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过0.3，则认为该地区的改造已经达到预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？（参考公式：线性回归方程，其中）
【答案】（1）4；（2）；（3）该地区的煤改电项目已经达到预期
【解析】试题分析：(1) 设丢失的数据为，则，即可得到丢失的数据；(2)用最小二乘法求出关于的线性回归方程；(3) 当时， 当时， ，所以，该地区的煤改电项目已经达到预期.
（3）当时，
同样，当时，
所以，该地区的煤改电项目已经达到预期.
点睛：求线性回归直线方程的步骤
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；
（3）求： ；
（4）写出回归直线方程．
20．炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一些数据,如下表所示:
x/0.01%
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y/min
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?
(2)求回归直线方程.
(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?
【答案】(1)详见解析;(2)=1.267 3x-30.5145;(3) 大约冶炼172 min.
【解析】【试题分析】(1)根据数据作出散点图.(2)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.(3)将代入回归直线方程,可求得冶炼时间的预测值.
【试题解析】
(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示:
从图中可看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.
(2)列出下表,并用科学计算器进行计算:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
yi
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
xiyi
10 400
36 000
39 900
32 745
22 785
18 090
25 500
39 155
47 940
15 125
=159.8,=172.=265 448,=312 350,xiyi=287 640
设所求的回归直线方程为=bx+a,其中a,b的值使Q=(yi-bxi-a)2的值最小.≈1.267 3,≈-30.514 5,
即所求的回归直线方程为=1.267 3x-30.514 5.
(3)当x=160时,y=1.267 3×160-30.514 5≈172(min),即大约冶炼172 min.
【点睛】本小题主要考查散点图的画法,考查回归直线方程的求解,考查利用回归直线方程进行预测. 考查学生的数据处理能力、分析问题解决问题的能力、回归分析的思想方法.除了要熟练掌握基本的方法、步骤，更重要的是计算要细心，在平时的学习中，要克服对计算器的依赖，逐步认真计算，不断培养提高自身的运算能力.
21．【甘肃省天水市一中2017-2018学年高二上学期第三次考试】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式， ）
【答案】（1）（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨．
【解析】试题分析： 根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出值，得到线性回归方程；
根据第一问中所求的线性回归方程，把代入线性回归方程，即可得到答案；
解析：（1）， ， ， ，
； ，
所求的回归方程为．
（2）时， （吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨）．
22．【湖南省长郡中学2017-2018学年高二12月月考(】某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了处理，相关统计量的值如下表：
（1）根据所给数据，求关于的回归方程（提示：由已知， 是的线性关系）；
（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率；
（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 ）
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）对y=axb（a，b＞0）两边取对数得lny=blnx+lna，令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数及，即可求得y关于x的回归方程；（Ⅱ）由，解得， ，即优等品有3件.
记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为，
从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，即可得恰好取得两件优等品的概率；
（2）由，解得， ，即优等品有3件.
记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为，
从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，则.