2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（选修1-2）专题03+推理与证明

1．【安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高二上学期第四次月考】将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……………
则在表中数字2017出现在（ ）
A. 第44行第80列 B. 第45行第80列 C. 第44行第81列 D. 第45行第81列
【答案】D
2．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】观察下列各式： ， ， ， ， ，…，则 (　　)
A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
【答案】C
【解析】观察各等式可得，各式的值构成数列，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和， 值为数列中的第十项，继续写出此数列为，第十项为，即，故选C.
3．【内蒙古北京八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】已知数列中，a1＝1，当n≥2时，，依次计算a2，a3，a4后，猜想的一个表达式是(　　)
A. n2－1 B. (n－1)2＋1 C. 2n－1 D. 2n－1＋1
【答案】C
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
4．【陕西省太原市黄陵中学2017-2018学年高二4月月考】数列0，，，，…的一个通项公式是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符。所以选A.
【点睛】
对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项。
5．【北京市朝阳区2018年高三一模】某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
6．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B.
7．【广西河池市高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考】已知函数,则（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】∵
∴
，
归纳猜想：
故选：B
8．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“...”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）
A. B. 3 C. 6 D.
【答案】A
9．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校2017-2018学年高二下学期期中考试】已知， 且，则， 的值满足（ ）
A. ， 都大于1 B. ， 至少有一个小于1
C. ， 都小于1 D. 以上说法都不正确
【答案】B
【解析】假设和都大于， ， ，且，两式相加得
， 相矛盾，因此假设和都大于不成立，所以， 至少有一个小于正确，故选B.
10．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】观察下列各式： 的不同整数解 的个数为的不同整数解 的个数为的不同整数解 的个数为12，…，则的不同整数解 的个数为(　　)
A. 76 B. 80 C. 86 D. 92
【答案】B
【方法点睛】本题通过观察几组等式的整数解的个数，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
11．【江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）
A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125
【答案】B
【解析】根据题意,55=3125，其末四位数字为3125，
56=15625，其末四位数字为5625，
57=78125，其末四位数字为8125，
58=390625，其末四位数字为0625，
59=1953125，其末四位数字为3125，
510=9765625，其末四位数字为5625，
511=48828125，其末四位数字为8125，
512=244140625，其末四位数字为0625，
…
分析可得：54k+1的末四位数字为3125,54k+2的末四位数字为5625,54k+3的末四位数字为8125,54k+4的末四位数字为0625,(k?1).又由2018=4×504+2,则52018的末四位数字为5625.
本题选择B选项.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
12．【内蒙古北京八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A. ① B. ③ C. ①② D. ①②③
【答案】D
13．【内蒙古自治区北方重工业集团有限公司第三中学2017-2018学年高二3月月考】观察数组：，则______ ．
【答案】169
【解析】由题意得数组中的第1个数依次成等差数列，第2个数依次成等比数列，
且这两个数列的通项公式分别为，第3个数为该数组前2个数的积．


．
答案：169．
点睛：破解归纳推理的思维步骤
(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．
14．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】对奇数列,进行如下分组:第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数；…试观察猜想每组内各数之和 与组的编号数的关系式为____________.
【答案】
15．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】
若均为正实数），猜想， ________， ________．
【答案】
【解析】根据题意，分析所给的等式可得：
，依次类推，有
且是正整数），当时，有，即
，故答案为.
16．【山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试】有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2)
→(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳
＝__________.
【答案】
此时；
……
由此可猜想： ．
答案：
点睛：破解归纳推理的思维步骤
(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．
17．【陕西省太原市黄陵中学2017-2018学年高二（重点班）4月月考】在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB．其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理．写出对空间四面体性质的猜想．
【答案】见解析
【点睛】
升维类比，一般低一维度量类比高一维度的量，如本题边长类比面积，线线角类比为面面角，将平面中的三角形类比成空间中的三棱锥。
18．【吉林省长春外国语学校2017-2018学年高二下学期第一次月考】已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.

【答案】见解析
【解析】试题分析：矩形对角线类比为长方体对角线，线线角类比为线面角，等式类比为，最后根据直角三角形性质证明结论.
试题解析：命题：长方体中(如图2)，对角线与棱、、所成的角分别为，则.
证明：∵， ， ，
∴.（此题答案不唯一）
点睛：（1）类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；（2）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；（3）类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.
19．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】（1）已知，证明： ；
（2）已知 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
试题解析：（1）证明： ，要证，只要证，只要证
，即证，而恒成立，故成立.
（2）假设不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设，下面分和两种情况讨论，如果，则与矛盾， 不可能，如果，那么由可得， ，又，于是
，这和已知相矛盾，因此， 也不可能，综上所述， ，同理可证，所以原命题成立.
【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.
20．【甘肃省天水市甘谷县第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】已知△ABC的三边长为a，b，c，三边互不相等且满足b2＜ac
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：B不可能是钝角．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由分析法，要证，只需证，即证b2＜ac
（2）用反证法，结合余弦定理可导出矛盾。

(2)证明：假设B是钝角，则cos B＜0，而cos B＝
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．所以B不可能是钝角．
【点睛】
反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些疑难问题的有力工具．熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益．
一、反证法的基本内容
1．步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．
其中推出矛盾主要有下列情形：①与已知条件矛盾；②与公理、定理、定义及性质矛盾；③与假设矛盾；④推出自相矛盾的结论．
2．宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．
21．【《课时同步君》2017-2018学年高二文科数学人教选修1-2】已知非零向量， 满足，求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】试题分析：利用分析法，先去分母，并平方，结合向量性质得，代入化简得，成立，最后根据推导过程步步可逆得结论.
22．【广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测】请按要求完成下列两题的证明
（1）已知，用分析法证明：
（2）若都是正实数，且用反证法证明： 与中至少有一个成立.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照分析法的格式和步骤分析证明. (2)第（2）问，先假设， ，再找到与已知x+y>2的矛盾即得证.
只需证明（a-1）（1-b）0
只需证明
因为
所以上式恒成立，故原不等式得证.
（2）假设， ，
则， ，
所以，
与条件矛盾，
所以假设不成立，即与中至少有一个成立.