2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（必修5）专题03+线性规划与二次不等式

1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
选A
2．【山东省济南第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试】一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．【辽宁省大连渤海高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试】关于的一元二次不等式
的解集为,则的值为（ ）
A. 6 B. -5 C. -6 D. 5
【答案】A
【解析】由题可知-1和 是方程 的两根，由根与系数关系可知 ，
所以 。所以选A。
4．【北京市朝阳区17中2016-2017学年高二下期期中考试】已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得 的取值范围的.
5．【河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考】在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则(　　)
A. B. 0＜a＜2 C. －1＜a＜1 D.
【答案】A
【解析】由已知，得，
即，
令，只需，
又，由，
所以，即，
解得，故选A．
6．【北京顺义牛栏山一中2017-2018学年高二上期中】设， 满足不等式组，则
的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据不等式组作图如下：
即到的距离，
故最小值为点到直线的距离，
．
故选．
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。
7．【广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期期末考试】设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 23
【答案】A
点睛：本题考查了简单的线性规划问题，线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】如图，不等式组表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2,7)．
若用平行于x轴的直线截梯形得到三角形，则的取值范围是．选C．
9．【陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知正数、满足，则的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由可得
由图可知，当时，的最大值为
故选
10．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】已知实数 、 满足 ，求 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
11．【广西南宁市第三中学、柳州铁一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（　　）
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数，得，如图所示，当直线 过点B时， 最小，把B 代入，解得 ，故选C.
点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值在B点取得，从而求出．
12．【陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试】已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
即函数的值域为 ，若原不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么 与值域的交集为空集所以 ，所以
故选A.
13．【】已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．
【答案】
【解析】因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.即m的取值集合是
14．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________.
【答案】[－2,2]
【解析】由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
15．【广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末考试】已知的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】或
∴不等式cx2+bx+a＜0化为2ax2﹣3ax+a＜0，
2x2﹣3x+1＞0
解得，或x＞1；
∴所求不等式的解集为或．
故答案为： 或．
16．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】作出可行域，如图阴影部分（含边界），当对数函数的图象过，，，由对数函数性质知且.
17．【广东省江门市2017-2018学年高二上学期调研测试】设实数满足约束条件.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）8;（Ⅱ）
【解析】试题分析：
(Ⅰ)绘制不等式组表示的平面区域，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内点的距离的平方，数形结合可得的最小值是8
(Ⅱ)目标函数的几何意义为点与平面区域内点的连线的斜率，数形结合可得目标函数的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）可行域如图所示
的几何意义是原点到可行域内点距离的平方
原点到直线的距离
由图可知，原点到可行域内点的距离的最小值，即是原点到直线的距离，所以的最小值是8
18．【河南省豫南九校2017-2018学年上学期高二第一次联考】设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）<0的解集是（1,5）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x ，不等式f（x）≦2+t有解，求实数t的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数关系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，即t≥，x 。
（2）不等式f（x）≤2+t?在[1，3]有解，
等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，
只要t≥即可，
不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，3]上单调递减
∴g（x）≥g（3）=-10，
∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）
【点睛】
不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题。
19．【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式f（x）＜x+5．
【答案】（1）100；（2）
【解析】试题分析：（1）由，代入函数解析式得到化简后得到关于 的等式记作②，又因为恒成立，把的解析式代入后，令0，根据平方大于等于0，即可求出 的值，把的值代入②即可求出的值；（2）由（1）可确定出的解析式，然后解关于的一元二次不等式即可．
（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，
即x2+4x+1＜x+5，
所以x2+3x﹣4＜0，
解得﹣4＜x＜1，
因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．
20．已知二次函数，其中是实数.
（1）若函数没有零点，求的取值范围；
（2）设不等式的解集为，当为什么正数时，集合？
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：
（1）分和两种情况讨论，然后根据判别式求解．（2）由题意先求得不等式的解集，根据是集合的子集转化为不等式求解．
试题解析：
（1）①当时，，函数有零点，不合题意．
②当，
∵函数没有零点，
∴，
即,
解得．
∴实数的取值范围为．
∴．
∵，
∴，解得．
故当时，集合．
21．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.
(1)是否存在实数a，b使不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)若a为整数，b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值．
【答案】（1） （2）a＝－1.
【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解集和方程的关系，利用韦达定理，即可求解的值，再代入验证，即可判定结果；
（2）由，得到，由，得到函数两个零点，在根据函数在上恰有一个零点，得，进而得到的值.
(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1.
∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点．
又函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，
∴f(－2)·f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0，
解得－22．【山东省泰安市2017-2018学年高二上学期期末考试】某运输公司有7辆可载的型卡车与4辆可载的型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为型车8次， 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为型车160元， 型车252元，每天派出型车和型车各多少辆，公司所花的成本费最低？
【答案】1304
【解析】试题分析：根据任务以及资源限制列约束条件，画出可行域，根据目标函数，确定最值取法，解方程组得最优解.
试题解析：设每天派出型车辆， 型车辆，成本为
所以和需满足：
可行域如图