2018高一高二数学百所好题分项解析汇编（2018版）（必修4）专题03+平面向量的数量积

1．【陕西省延安市黄陵中学2017-2018学年高二4月月考】将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)
①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝· (≠0)，可得＝.
则正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】B
2．【湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①共线的充要条件；
②若，则存在唯一的实数，使；
③对于空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；
④.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】① 与的夹角是，即共线，共线且同向时不成立，故是共线的是充分不必要条件，不正确；对于②，需为非零向量结论才成立，不正确；对于③，，由共面向量定理可知四点共面不正确；对于④，由于
，故不正确，综上所述不正确命题的个数为 ，故选D.
3．【广东省执信中学2017-2018学年高二上学期期中考试】在中，
，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
因为，
所以．
故选．
4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足，则的值为
A. 2 B. C. ﹣2 D.
【答案】B
【解析】由题意
，
，故选B．
5．【四川省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】如图，正方形的边长为6，点， 分别在边， 上，且， ．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个
A. 2 B. 4 C. 6 D. 0
【答案】B
若在上， ；
同理， 在上时也有；
所以，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立．
故选B.
6．【河南省豫南九校2017-2018学年上学期高二第一次联考】已知，且关于x的方程有实根，则的夹角取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，所以
，又，所以 ，选B.
【点睛】求平面向量夹角公式：，若，则
7．【天津市耀华中学2017届高三第一次校模拟考试】已知， 为单位向量，且，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．【河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试】已知，点为斜边的中点，
，则等于（ ）
A. B. C. 9 D. 14
【答案】D
【解析】∵在，点为斜边的中点， ,
∴
∵,,,
∴，
∴
故选D
点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的数量积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.
9．【河北省邢台市第一中学2017-2018学年高二上学期第三次月考】若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
10．【2016-2017学年浙江省台州中学高二上学期第一次统练】在中， 且，点满足，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】试题分析：∵，
∴
故选B．
考点：?三角形法则求向量的加减法；?数量积运算．
11．【河南省许平汝2017-2018学年高二上学期第一次联考】向量满足
，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12．【辽宁省凌源市2017-2018学年高二10月月考】已知向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
, ,则, ,故选D.
点睛:本题考查三角函数和向量问题的综合问题,属于中档题目.在求有两种算法,一是将原式等价写成平方再开根号的形式,利用完全平方公式,将向量的平方, 向量的平方和两向量的数量积代入化简,再根据的范围求解;二是先求出向量,写出坐标,再根据模长公式计算取值范围;做题时可根据需要选取合适的方法,达到计算快捷简便的目的.
13．【安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二下学期第一次统考】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，， ，则 ___________.
【答案】5
【解析】，所以，故填：5.
14．【福建省莆田第一中学2017-2018学年高二下学期期初考试】过点作直线，与抛物线有两交点，若，则的取值范围是________．
【答案】
恒成立， 解得 3．故答案为．
15．【山西省陵川第一中学校2017-2018学年高二上学期期末测评】已知抛物线与直线相交于两点，则为坐标原点）的最小值为__________．
【答案】
【解析】 由题意，设点，则，
所以的最小值为．
点睛：本题考查了抛物线方程的应用和二次函数的性质的应用，其中解答中涉及到平面向量的数量积的运算和二次函数的图象与性质，其中根据抛物线的方程，设出点的坐标，利用向量的数量积的运算，转化为的函数是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．
16．【浙江省名校协作体2017-2018学年高二上学期考试】已知扇形半径为， ，弧上的点满足，则的最大值是__； 最小值是__；
【答案】
17．【河南省豫南九校2017-2018学年上学期高二第一次联考】已知向量=（cos ，sin ），=（cos ，-sin ），且x 。
（1）求及；
（2）当 （0,1）时，若f（x）=- 的最小值为-，求实数的值。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析;(1)由向量的数列坐标运算可求得数量积与模。（2）由（1），化同名同角函数，得，外函数是二次函数，利用二次函数性质可得。
（2）由（1）知，∴，
∵，当时， 有最小值，解得.
综上可得：
【点睛】
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
本题属于题型（2）。
18．【内蒙古乌兰察布市北京八中分校2017-2018学年高二上学期期末考试】已知空间中三点
A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=,=.
(1)求与的夹角的余弦值; (2)若与k-2互相垂直,求实数k的值.
【答案】(1)- .(2)2或- .
【解析】试题分析：（1）根据 的坐标，求出向量 ，直接利用空间向量夹角余弦公式可求得与的夹角的余弦值；(2)根据向量垂直数量积为零，列出关于 的方程组，解方程即可的结果.

(2)　因为ka+b=(k-1,k,2). ka-2b=(k+2,k,-4),
且ka+b与ka-2b互相垂直,
所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
所以k=2或k=-,
所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或
19．【山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校2017-2018学年高二上学期期末考试】已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，（ 为原点）
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 ： 与双曲线恒有两个不同的交点 和 ，且，求 的取值范围.
【答案】(1) 双曲线 的方程为;(2) 的取值范围为.
【解析】试题分析：（1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b2的值，则双曲线C的方程可求；（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解的取值范围，然后结合得答案．
（2）将 代入 得
.由直线 与双曲线交于不同的两点得
即 且 .①
设 、 ，则 ， ，
由 得 ，而




于是 ，即 .解此不等式得 ，②由①②得
故 的取值范围为.
20．【上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期末考试】已知， ， ，且.
（1）求向量在向量的方向上的投影；
（2）求实数的值及向量的坐标.
【答案】（1） （2），
【解析】试题分析：（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量在方向上的投影为，利用平面向量数量积公式求出,从而可结果；〔2〕先求得，再利用两个向量垂直的数量积为零列出关于的方程求解求得，从而解得.
【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、向量的投影，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
21．【上海市位育中学2017-2018学年高二第一学期期中考试】已知， 的夹角为45°.
（1）求方向上的投影；
（2）求的值;
（3）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由射影定义可得在方向上的投影；（2）利用公式可求得向量的模；（3）由与的夹角是锐角，可得，且与不能同向共线，即可解出实数的取值范围.
试题解析：（1）∵， ， 与的夹角为
∴
∴在方向上的投影为1
22．【2016-2017学年浙江省台州中学高一下学期期中】如图，.
（1）若，求之间的关系式；
（2）若在（1）的条件下，又有，求的值及四边形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）首先用向量AB，BC，CD表示出向量AD，然后根据的条件，得出结果．
（2）先表示出向量AC，BD，再由，求出向量AC，BD的坐标，进而求出面积．
试题解析：
（1）∵
∴，
又∵，
∴，即.
化简，得：，∴
当时，，于是有，
∴，∴；
当时，，于是有，
∴，∴；
∴.