2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘专题3.4+压轴大题突破练04（解析几何+函数与导数）（第02期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析大题
椭圆中的定值问题
椭圆中的三角形面积范围问题
借助于椭圆的参数形式求最值
导数大题
含参的不等式证明问题
构造“差函数”证明不等式
导函数的因式分解的灵活应用
1.解析大题
在平面直角坐标系中，椭圆： 的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动.
①证明： 为常数；
②当时，利用上述结论求面积的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题解析：
(1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，可知，
所以椭圆的方程为，
又点在椭圆上，
所以，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）①易知且不与轴垂直，
设， ，
由对称性可知，
所以，从而，
因为点， 在椭圆上，
所以 ，
因此为常数.
②当时，可知，
2.导数大题
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求证：.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
（Ⅱ）令 ，
则 ，
设，
则，
∵,
∴当时， 单调递增；
当时， 单调递减．
∴（因为），