2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘专题3.1+压轴大题突破练01（解析几何+函数与导数）（第02期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析大题
直线与椭圆的位置关系
椭圆方程的求解需要数形结合
椭圆与圆的双二次问题
数形结合
弦长公式的应用
导数大题
极值与不等式综合
含参不等式的证明
1.解析大题
已知、分别是离心率为的椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于、两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
【答案】(1);(2)6.
（2）由题意，设的方程为（，），
∵直线与圆相切，∴，即，
由得，
设 ，（），则，，
，
又，
∴，
同理，
∴ ，
∴，即的周长为定值6．　
点睛：本题主要考查求椭圆的方程、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等，属于中档题。熟练掌握圆的性质是解答本题的关键。
2.导数大题
已知函数.
（1）若，证明:；
（2）若只有一个极值点，求的取值范围，并证明:.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
令得，
且，单调递増；，单调递减，
∴，
即成立，也即.
当时，单调递増；当时，单调递减，
∴当时，，
∴当时，，即，
由根的存在性定理知，在上必有一根.
此时在上有两个极值点，故不符合题意.
②当时，恒成立，单调递增，
当时，；
当时，，下证：当时，.
令，∵在上单调递减，∴，
∴当时，，