2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）热点08+解析几何解答题

2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】
热点八 解析几何解答题
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1. 【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【解析】
所以 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .
2.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此解得
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
.
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，于是l：，即，
所以l过定点（2，）.
3.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【解析】（1）设，设，．
由得．
因为在C上，所以．
因此点P的轨迹方程为．
4.【2016全国卷3理】已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于,两点,交的
准线于,两点.
（1）若在线段上,是的中点,证明；
（2）若△的面积是△的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
【解析】(1)连接,,由,及,得,所以.因为是中点,,所以,所以, ,又,
所以,所以（等角的余角相等）,所以.
5
5.【2016全国卷1理】设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于,两点,过作的平行线交于点.
（1）证明为定值,并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过且与垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围.
【解析】(1)如图所示,圆的圆心为,半径,
因为,所以.又因为,所以,
于是 ,所以.故为定值.
又,点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,
由,,得.故点的轨迹的方程为.
（2）因为直线与轴不重合,故可设的方程为,
过且与垂直的直线方程为.
由,得.
设,,则,.
得.
由,得.
设,,则,.
得.
四边形的面积.
因为,所以,故.
即四边形面积的取值范围是.
6.【2016全国卷2理】已知椭圆E:的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于,两点,点在上,.
（1）当,时,求的面积；
（2）当时,求的取值范围.
【解析】（1）解法一：当时,由于,根据对称性可知,所以 ,
得,所以.
又,所以,所以.
解法二：设点,且交轴于点. 因为,且,所以, .
由,得.又,所以,解之得或.
所以 ,所以.
（2）解法一：设直线,,.
则,,所以.
同理.
因为,所以.
所以.
因为,所以,整理得,．
因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得,解得．
【热点深度剖析】
1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理科一般以椭圆或抛物线为背景,而文科一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑. 在2014年文科考查了圆的方程,理科高考试题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质,弦长公式,函数的最值,直线的方程,基本不等式等,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一．从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预测2017年高考很有可能以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文科也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.
2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．预测2018年高考仍将以求曲线的方程为主要考点,考查学生的运算能力与逻辑推理能力．
【重点知识整合】
1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.
注意：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹.
2．直线和椭圆的位置关系
（1）位置关系判断：
直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到的形式（这里的系数A一定不为0）,设其判别式为,
（1）相交：直线与椭圆相交；
（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
(2弦长公式：
（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则＝,若分别为A、B的纵坐标,则＝,若弦AB所在直线方程设为,则＝.
（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；
（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率.
3.与焦点三角形相关的结论
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,设,则在椭圆中,有以下结论：
(1)＝,且当即为短轴端点时,最大为＝；
（2）；焦点三角形的周长为；
(3),当即为短轴端点时,的最大值为；
4.直线和抛物线的位置关系
（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组,消掉y,得到
的形式,当,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当设其判别式为,
①相交：直线与抛物线有两个交点；②相切：直线与抛物线有一个交点；
③相离：直线与抛物线没有交点.
注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.
（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,,则有,.
（3） 在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.
（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点,反之亦成立.
5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：
步 骤
含 义
说 明
1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标.
建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点.
没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系.
2、现(限)：由限制条件,列出几何等式.
写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确.
3、“代”：代换
用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0
常常用到一些公式.
4、“化”：化简
化方程f(x,y)=0为最简形式.
要注意同解变形.
5、证明
证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).
注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.
【应试技巧点拨】
1.直线与椭圆的位置关系
在直线与椭圆的位置关系问题中,一类是直线和椭圆关系的判断,利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中,要注意直线是否过焦点,如果过焦点,一般可采用焦半径公式求解；如果不过,就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围,涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.
2.如何利用抛物线的定义解题
（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征,并验证其满足抛物线的定义,然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；
（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件,进行有效的转化,探求最值问题.
3.求曲线方程的常见方法：
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求
(3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标联系起来,得到用参数表示的方程.如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程.
注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后,再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.
4.解析几何解题的基本方法
解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置,因此,要树立将直线与圆锥曲线方程联立,应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系,合理建立曲线模型,然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法,以形助数,用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
5.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避,选择,寻求.所谓回避,就是根据题设的几何特征,灵活运用曲线的有关定义、性质等,从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择,就是选择合适的公式,合适的参变量,合适的坐标系等,一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题,用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题,通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题,在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.
6. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；
（6） 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即；
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；
（8）给出,等于已知是的平分线；
（9）在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
（11）在中,给出,等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中,给出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中,给出,等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中,给出等于已知通过的内心；
（15）在中,给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中,给出,等于已知是中边的中线.
7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
8．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.
【考场经验分享】
１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小,若的分母比的分母大,则焦点在x轴上,若的分母比的分母小,则焦点在y轴上．
２．注意椭圆的范围,在设椭圆上点的坐标时,则,这往往在求与点有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．
３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义．
4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行．
5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．
6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.
【名题精选练兵篇】
1．【宁夏石嘴山市2018届高三4月一模】已知椭圆： 过点，且两个焦点的坐标为， .
（1）求的方程；
（2）若， ， （点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点， 为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
【解析】
（1）由已知得，
∴，则的方程为；
（2）设代入得
，
设，则，
，
设，由，得
，
∵点在椭圆上，∴，即，∴，
在中，令，则，令，则.
∴三角形面积，
当且仅当时取得等号，此时，
∴所求三角形面积的最小值为.
2．【河北省武邑中学2018届高三下学期期中】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.
（1）求抛物线的方程椭圆的方程；
（2）若，求的取值范围.
(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，
由消去整理得（*）
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
设，则①，②，
∵，
∴
∴，③
由①②③消去得.
∴
，即 ，将代入上式得，
，
∵在上单调递减，
∴，即，
∴ ，
∴，即的取值范围为.
3．【四川省绵阳市2018届高三第三次诊断】在直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点， ， 为椭圆的上顶点， 的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于， ，且满足，求的面积.
【解析】
（1）设，由题意可得，即.
∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①
又由题知， 为椭圆的上顶点，∴的面积，
整理得，即，②
联立①②可得，变形得，解得，进而.
∴椭圆的方程为.
(2)由可得，两边平方整理得.
直线斜率不存在时， ， ，不满足.
直线斜率存在时，设直线的方程为， ， ，
联立，消去，得，
∴， ，（*）
由得.
将， 代入整理得，
展开得，
将（*）式代入整理得，解得，
∴， ，
的面积为 ，
代入计算得，即的面积为.
4．【重庆市2017届高三4月调研测试（二诊）】已知分别为椭圆： 的左、右顶点, 为椭圆上异于两点的任意一点,直线的斜率分别记为．
（1）求；
（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点,问： 的面积是否为定值？请说明理由．
【解析】（Ⅰ）设,则；
（Ⅱ）由题知,直线,直线,设,
则,由,
同理可得,故有,
又,故, .
5．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】已知椭圆： （）的离心率为, 、分别是它的左、右焦点,且存在直线,使、关于的对称点恰好是圆： （, ）的一条直径的四个端点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点,射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内？若存在,求出数集；若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ）将圆的方程配方得： ,所以其圆心为,半径为2.
由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以,
又,所以,从而,故椭圆的方程为.
注意到与同向, 与同向,所以
点在以线段为直径的圆内
,②
当且仅当 即时,总存在,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程 的两根均为正数,故使②成立的,从而满足①.
故存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内.
6．【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考】已知椭圆的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点
（1）求椭圆的方程；
（2）已知、是椭圆上的两点, , 是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为,求四边形面积的最大值；
②当, 运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由
【解析】（1） ∴
∴ 又
∴ ∴ 椭圆方程为
（2）①设 ,
设方程 代入化简
,
又、
当时, 最大为
②当时, 、斜率之和为.
设斜率为,则斜率为
设方程
代入化简


同理
,
∴
直线的斜率为定值
7．【天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考（一）】已知椭圆： 的焦点在轴上,椭圆的左顶点为,斜率为的直线交椭圆于, 两点,点在椭圆上, ,直线交轴于点.
（Ⅰ）当点为椭圆的上顶点, 的面积为时,求椭圆的离心率；
（Ⅱ）当, 时,求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）直线 的方程为
直线 的方程为,令,

于是 ,
（Ⅱ）直线的方程为,
联立并整理得,
解得或,


因为
,整理得, ．
因为椭圆的焦点在轴,所以,即,
整理得,解得．
8．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟】已知的顶点,点在轴上移动, ,且的中点在轴上.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知轨迹上的不同两点, 与的连线的斜率之和为2,求证：直线过定点．
【解析】（Ⅰ）设（）,因为在轴上且中点在轴上,所以,由,得,
化简得,所以点的轨迹的方程为（）．　
（Ⅱ）设直线的方程为, , ,
由得,
所以,
,同理,
所以,化简得,
又因为,所以,
所以直线过定点.
9．【陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）】已知直线： 与轴的交点是椭圆： 的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点,是否存在使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．

(Ⅱ) 将直线的方程代入并整理得.
设点,则．
假设以线段为直径的圆恰好经过坐标原点,则,即．
又,于是, 解得,
经检验知：此时（*）式,适合题意.
故存在,使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．
10．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模】已知圆与轴交于两点,点为圆上异于的任意一点,圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于,直线和交于点,设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点为,则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形,若存在,求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程,若不存在,请说明理由.
【解析】（Ⅰ）设,则处的切线为,
则, ,则,则；
（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直,可设,则
,得,由于恒成立,设两个根为,
则,同理,
由知： ,得：
（1）时,得得： 或
（2）时,得得： 或
综上,共分三种情况
（1）两条直角边所在直线方程为： ；
（2）两条直角边所在直线方程为：
（3）两条直角边所在直线方程为：
11．【2017届淮北市高三第二次模拟考试】已知椭圆, 是坐标原点, 分别为其左右焦点, , 是椭圆上一点, 的最大值为
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点,且
（i）求证： 为定值;
（ii）求面积的取值范围.
【解析】（1）由题意得,得椭圆方程为：
（2）
i)当斜率都存在且不为0时,设,
由消得,
同理得,
故
当斜率一个为0,一个不存在时,得
综上得,得证.
ii) 当斜率都存在且不为0时,

又
所以
当斜率一个为0,一个不存在时,
综上得
12．【2017届湖南省长沙市高三下学期统一模拟考试】已知过的动圆恒与轴相切,设切点为是该圆的直径．
（Ⅰ）求点轨迹的方程；
（Ⅱ）当不在y轴上时,设直线与曲线交于另一点,该曲线在处的切线与直线交于点．求证: 恒为直角三角形．
【解析】(Ⅰ) 设点坐标为,则点坐标为．
因为是直径,所以,或、均在坐标原点．
因此 ,而 , ,
故有,即,
另一方面,设是曲线上一点,
则有,
中点纵坐标为,
故以为直径的圆与 轴相切．
综上可知点轨迹的方程为．
直线的斜率,
于是 ．
因此 ．
所以恒为直角三角形．
13．【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】如图,已知圆经过椭圆的左右焦点,与椭圆在第一象限的交点为,且, , 三点共线.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点,当的面积取取最大值时,求直线的方程.
【解析】(1)∵, , 三点共线,∴为圆的直径,且,
∴.由,得,∴,∵, ∴, ∴, .
∵,∴,∴椭圆的方程为. (2)由（1）知,点的坐标为,∴直线的斜率为,故设直线的方程为,将方程代入消去得： , 设 ∴, , ,∴, 又：
=,∵点到直线的距离, ∴ ,
当且仅当,即时等号成立,此时直线的方程为.
14．【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知点,直线,直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点,过且与轴不垂直的直线交于两点,直线分别交于点,求证：以为直径的圆必过定点.
【解析】（1）依题意得,即到直线的距离与到点的距离相等,
所以点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线.
设抛物线方程为,则,即点的轨迹的方程是.
（2）
由题意可设直线,代入,得,
设,则；
又,设直线的斜率分别为,
则,
设,
令,得,
同理,得,
从而；
.
又以为直径的圆的方程为： ,
即,即,
令,解得或,
从而以为直径的圆恒过定点和.
15．【安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量检测】如图,抛物线： 与圆： 相交于, 两点,且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于, 两点,分别以, 为切点作抛物线的切线, , 与相交于点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程.
【解析】（Ⅰ）由点的横坐标为,可得点的坐标为,
代入,解得
16．【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知、分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若是第一象限内该椭圆上的一点,,求点的坐标；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角（其中为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆方程为,知,
∴,设,
则,
又,联立,解得,∴．
（2）显然不满足题意,可设的方程为,设,
联立,∴,
且,∴,
又为锐角,∴,∴,∴,
∴,
∴,又∵,∴,∴.
【名师原创测试篇】
1．已知圆： 及点,为圆上一动点,在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：．
（Ⅰ）求动点的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角（其中为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围．
（Ⅲ）设是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点．求四边形面积的最大值
【解析】（Ⅰ）又已知,圆,则半径为4,由,则 三点共线,且,则 ,故动点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆,且,所以,动点的轨迹方程为.
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得： ,∴,由得：,又 ∴,又
∵,即 ∴,故由①、②得或.
（Ⅲ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为,． 又,所以四边形的面积为=, 当,即当时,上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设,,．设,,由①得,, 故四边形的面积为,当时,上式取等号．所以的最大值为．
2. 已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为,直线与抛物线相交于两点,且线段的中点为．
（I）求抛物线的和直线的方程；
（II）若过且互相垂直的直线分别与抛物线交于求四边形面积的最小值．
【解析】（I）依题意可设抛物线的方程为：．由焦点为可知,所以．所以所求的抛物线方程为．设直线的方程为,与联立消去,得由韦达定理可得,又的中点为直线的方程为．
（II）设直线的方程为,与联立消去,整理得
由弦长公式得,同理可得,,所以四边形面积
当且仅当,即时,四边形面积取最小值．
3. 已知椭圆:,经过点且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过原点的直线与椭圆交于不同的两点,若直线的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.
【解析】(1)因为椭圆的离心率为,所以,又因为椭圆经过点,所以,则,故椭圆的方程为；
(2)联立直线与椭圆方程可得消去得: ,则, ,故,因为直线的斜率依次成等比数列,,,所以 ,由于故.
4. 椭圆（）过点,且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆相切于点且交直线于点,求椭圆的两焦点、到切线的距离之积；
（Ⅲ）在（II）的条件下,求证：以为直径的圆恒过点．
【解析】（I）由题意得,解得：,椭圆的标准方程为；
（II）由,消去,得：, 即,动直线与椭圆相切于点,,即,焦点 到直线的距离分别为 ,,
5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 是圆 O：与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A
右侧）,点 Q(-2,0), x 轴上方的动点 P 使直线 PA,PQ,PB 的斜率存在且依次成等差数列．
(I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；
（II）设直线 PA,PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S,T,求证：点 Q,S,T 三点共线．
【解析】（I）由题设知, A(?1,0) ,B(1,0) ．设,则因为成等差数列,所以,即所以,故动点 P 的横坐标为定值；
（II）由（I）知直线 PA 的方程为 ,代入得,于是点 S 的横坐标从而,同理可得因为,所以直线 QS 和直线 QT 的斜率相等,故点 S,T,Q 共线．
6. 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点在抛物线的准线上,且椭圆过点,直线与椭圆交于两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线的斜率为,且不过点,设直线,的斜率分别为,求证：为定值；
（Ⅲ）若直线过点,为椭圆的另一个焦点,求面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）抛物线的准线方程为,由题意知.故设椭圆的方程为.则由题意可得,解得.-故椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明∵直线的斜率为,且不过点,∴可设直线. 联立方程组,消得. 又设,,故有,
所以 ,所以为定值0.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知,.设,,过点的直线方程为.由,消得,所以,. 故,所以 所以的面积
因为,而函数在区间上单调递增,所以,故.所以当,即时,的面积取得最大值3.