2018精品之高中数学（理）黄金100题系列第91题+二项分布、正态分布及其应用

第91题 二项分布、正态分布及其应用
I．题源探究·黄金母题【例1】天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地恰有一个地方降雨的概率为 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：，故选C．【例2】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【例3】若，则 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选D．【例4】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是 （ ）A．32 B．16 C．8 D．20【答案】B 精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-3P55T3；例2：人教A版选修2-3P53例1改编；例3：人教A版选修2-3P75B组T2；例4：人教A版选修2-3P74练习T1改编．【母题评析】这类题主要考查独立重复试验、二项分布和正态分布，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力．【思路方法】1．利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件发生的概率是一个常数；（2）次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示次试验中事件恰好发生了次的概率．2．（1）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1．注意下面两个结论的活用：①；②．
II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考浙江8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2．若0C．>，< D．>，>【答案】A【解析】．，，故选A．【例2】【2017高考新课标II理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．【答案】【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．【例3】【2017高考新课标1理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0．01）．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【解析】试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，则零件的尺寸在之外的概率为0．0026，而，进而可以求出的数学期望．（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9．22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差，即为的估计值．（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10．02．，剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为． 【命题意图】高考中本部分主要考查独立重复试验、二项分布和正态分布，有时也会与期望、方差交汇考查，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，偶尔也会以解答题的形式出现，属于中低档题．【难点中心】1．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得正确．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为次独立重复试验．在每次试验中事件发生的概率是否均为；二是随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数．且表示在独立重复试验中，事件恰好发生次的概率．3．数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则．
III．理论基础·解题原理
1．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中是第次试验结果，则．
(2)二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是，其中，于是得到随机变量的概率分布如下：
0 1 … k … n
… …
我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率．
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了次；
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等．
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是
2．正态分布
(1)正态分布的定义：如果对于任何实数，随机变量满足，则称随机变量X服从正态分布，记为．
(2)正态曲线的性质
正态变量概率密度曲线函数表达式：，其中是参数，且．记作如下图：
正态曲线有如下性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交，与轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值；
④当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①；②；③．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，偶尔也会以解答题的形式出现，属于中低档题．
【技能方法】
1．二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了次．
(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．其中．
2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1．
【易错指导】
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
2．注意二项分布与超几何分布的联系与区别．有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
V．举一反三·触类旁通
考向1 二项分布问题
解题一般步骤：第一步，首先写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否是独立重复试验；第二步，运用二项分布随机变量所对应的各自的概率；第三步，画出分布列表即可得出结论．
【例1】【2018山西榆社中学高三诊断性模拟】若随机变量服从二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【例2】【2018上海黄浦区高三4月模拟（二模）】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_____．(结果用数值表示)
【答案】
【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率
故答案为．
【例3】【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念．而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇．为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务．某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略．在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：
（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率．今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为，求概率；
（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为，求的分布列和数学期望．
【跟踪练习】
1．【2018内蒙古赤峰二中高三下学期第二次月考】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【解析】由题意每个学生的得分服从二项分布，其中，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生的数学期望为，因此10个同学的的数学期望是，应选答案C．
2．【2018河北衡水高三金卷（三）】某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】次独立重复实验，故概率为．
3．【2018广东梅州高三下学期一检（3月）】集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．【2018广东珠海一中等六校高三第一次联考】一台仪器每启动一次都随机地出现一个位的二进制数，其中，的各位数字中，出现的概率为，出现的概率为，若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得分，失败一次得分．则次重复试验的总得分的方差为___________．
【答案】
【解析】启动一次出现数字为A=10101的概率由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有 ∴η的数学方差为．设得分为，所以=．
【名师点睛】认识到实验次数是符合二项分布，分数和次数满足一定的关系，
，再由方差的公式
5．【2018衡水金卷高三大联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0．15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
6．【2018河南郑州高三二模】光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
用电量（单位：度）
户数 7 8 15 13 7
(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；
(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0．8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 元．
试题解析：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则．
由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故．
(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得
，则该自然村年均用电量约156 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元．
【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是：“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．
考向2 正态分布问题
【例4】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】参加2018年自治区第一次诊断性测试的10万名理科考生的数学成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数为（ ）
（附：，则 ）
A．311740 B．27180 C．13590 D．4560
【答案】C
【例5】【2018河南洛阳高三上学期尖子生第一次联考】已知随机变量，，若，，则__________．
【答案】
【解析】∵随机变量服从，∴，解得：．
又，∴，故答案为0．1．
【例6】【2018湖南G10教育联盟4月高三联考】某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数．
（1）求该校此次数学考试平均成绩；
（2）计算得分超过141的人数；
（3）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．
【答案】（1）23；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩；（2），141分以上的人数为；（3）的取值范围为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差．
试题解析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩．
（2），
故141分以上的人数为人．
（3）的取值范围为0，1，2，3，4，
，，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
期望，方差．
【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是：“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．
【例7】【2018广西梧州高三3月适应性测试（二模）】某工厂生产的10000件产品的质量评分服从正态分布．现从中随机抽取了50件产品的评分情况，结果这50件产品的评分全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组，第二组，，第六组，得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）试用样本估计该工厂产品评分的平均分（同一组中的数据用该区间的中间值作代表）；
（2）这50件产品中评分在120分（含120分）以上的产品中任意抽取3件，该3件在全部产品中评分为前13名的件数记为，求的分布列．
附：若，则，，．
【答案】（1）107．（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）由所有条形面积之和为1可得的频率，将每组的组中值和对应频率相乘，再相加即可得平均数；（2）根据正态分布的性质得前13名的成绩全部在130分以上，根据频率分布直方图可得120分以上10人，其中130分以上4人，根据超几何分布可得分布列．
（2）由于，根据正态分布，因为，所以，即，所以前13名的成绩全部在130分以上．
根据频率分布直方图这50件产品评分的分数在130分以上（包括130分）的有件，
而在的产品共有，所以的取值为．
所以，，
，．
所以的分布列为
【名师点睛】本题主要考查了通过频率分布直方图求数字特征以及离散型随机变量的分布列，属于常规题；频率分布直方图的几何意义即每个条形的面积即为该组对应的频率，其平均数为每组的组中值和对应频率之积再相加，理解透彻超几何分布和二项分布的区别是解题的关键．
【例8】【2018广东中山一中高三第五次统测】中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为．
（1）求这种灯管的平均使用寿命；
（2）假设一间课室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率．
【答案】（1）18个月；（2）（写成0．1808也可以）．
【解析】试题分析：（1）根据题意，显然，结合正态分布密度函数的对称性可知，，从而得出每支这种灯管的平均使用寿命；（2）先算出每支灯管使用个月时已经损坏的概率，假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则，独立重复使用概率公式概以及对事件的概率公式可得出至少两支灯管需要更换的概率．
（2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为，
假设使用个月时该室需更换的灯管数量为支，则
故至少两支灯管需要更换的概率（写成0．1808也可以）．
【跟踪练习】
1．【2018山东潍坊市寿光现代中学高三4月月考】已知，且，则等于（ ）
A．0．1 B．0．2 C．0．6 D．0．8
【答案】A
【解析】，且，
，故选A．
2．【2018吉林省吉林市高三第三次调研】某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分) 服从正态分布 ，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附：满足：；；
．
【答案】
3．【2018海南高三二模】某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为__________．（附：若，则，，）
【答案】0．8185
【解析】因为，所以．
．
故答案为：．
4．【2018凉山州高三第二次诊断性检测数】已知离散型随机变量服从正态分布，且，则__________．
【答案】
【解析】∵随机变量X服从正态分布，∴μ=2，得对称轴是x=2．∵，
∴P（2<ξ<3）= =0．468，∴P（1＜ξ＜3）=0．468=．故答案为：．
5．【2018百校联盟TOP20三月联考】春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为__________．
【答案】
【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过1100人的概率：
．
所以这三个安检人口每天至少有两个超过1100人的概率为．
6．【2018河北邢台高三上学期期末考试】某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为__________．（附：若，则，）
【答案】0．8185
【解析】因为，所以．
所以
．
7．【2018辽宁省沈阳高三一模】已知随机变量，若，则__________．
【答案】0．8
8．【2018广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联合调研】在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示．
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：：
（ⅰ）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费（单元：元） 20 40
概率 0．75 0．25
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
附：参考数据与公式 ，若，则
①；
②；
③．
【答案】（1）0．8186．（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）使用加权平均数公式计算得到，然后利用正态分布的有关知识计算即可；（2）利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表即可．
（2）易知，获赠话费的可能取值为20，40，60，80．
；，
；．
的分布列为：
20 40 60 80
∴．