2018精品之高中数学（理）黄金100题系列第90题+概率的计算
文档属性
| 名称 | 2018精品之高中数学（理）黄金100题系列第90题+概率的计算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-05-12 11:27:54 | ||
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文档简介
第90题 概率的计算
I．题源探究·黄金母题【例1】将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是 ． 【答案】以所求概率为．【例2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男）共9种，选出的2名教师性别相同的结果有（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），共4种，故所求的概率为．（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男），（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲男2，甲女），（乙女，乙女1），（乙女，乙女2），（乙女1，乙女2），共15种，选出的2名教师来自同一学校的结果有（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲男2，甲女），（乙男，乙女1），（乙男，乙女2），（乙女1，乙女2），共6种，故所求的概率为．【例3】假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 ．【答案】【解析】解法一：－．解法二：． 精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修3P127例3改编；例2：人教A版必修3P130练习T3改编；例3：人教A版必修3P140例4改编．【母题评析】这类题主要考查概率的计算（随机事件的概率、古典概型、几何概型、互斥事件的概率以及条件概率等），考查考生的分析问题解决问题以及基本计算的能力．【思路方法】1．判断类型：（1）互斥事件的概率加法公式计算；（2）独立事件的概率乘法公式计算；（3）对立事件的概率减法公式计算；（4）条件概率的概率除法公式计算．2．计算复杂概率的两个策略：（1）分解策略；（2）正难则反转化为对立事件来计算概率．
II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标1理4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B．秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B．【例2】【2017高考山东理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】标有，，，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是，故选C．【例3】【2017高考江苏7】 记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．【答案】 【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．【例4】【2017高考天津理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 【命题意图】这类题主要考查概率的计算，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题或为解答题的第（1）小题，难度中等．【难点中心】1．概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式计算概率．而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．2．对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算．
III．理论基础·解题原理
1．随机事件及其概率：
（1）事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（2）事件的分类
（3）随机事件A的概率：．
2．古典概型：
（1）基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
（2）古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生．（3）古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有个，事件包含了其中的个基本事件，则事件发生的概率．
3．几何概型：
（1）几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生．
（2）几何概型概率计算公式：．
4．互斥事件：
（1）不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
（2）如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥．
（3）如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：
（4）如果事件彼此互斥，则有：
（5）对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件．
①事件的对立事件记作，
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．
【理科】5．条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率 （1）；（2）如果和是两个互斥事件，则
6．事件的相互独立性
（1）定义：设为两个事件，如果，则称事件与事件相互独立．
（2）性质：若事件与相互独立，则与、与、与也都相互独立，．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【技能方法】
1．古典概型中基本事件数的探求方法
（1）列举法．
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．
（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．
2．当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（1）与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解；与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
（2）求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
（3）求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
3．复杂的概率问题求法：①分解策略；②正难则反．
【易错指导】
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．
4．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
5．对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理．
6．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
7．准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关．
8．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
V．举一反三·触类旁通
考向1 古典概型
古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：
第一步，判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；第二步，分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；第三步，运用古典概型的计算公式计算即可得出结论．
【例1】【2018河北衡水中学高三十五模】《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例2】【2018天津耀华中学模拟】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】所求概率为，故选C．
【例3】【2018山西平遥中学高三3月高考适应性调研】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________．
【答案】
【解析】基本事件的总数为．中间最大，只能放，即，其它位置的方法数为种，故概率为．
【跟踪练习】
1．【2018河南省许平汝高三第五次联考（下学期）】在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合中共有11个元素，所取元素恰好满足方程的由6个：0，2，4，6，8，10，故所取元素恰好满足方程的概率是
2．【2018广东兴宁沐彬中学模拟】“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1．72元，1．83元，2．28元，1．55元，0．62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3．5元的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
3．【2018上海徐汇区高三下学期二模】将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是_______．
【答案】
【解析】由题意知，，则共有36种，由，得，即，共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为．
【名师点睛】此题主要考了向量的位置关系在求概率问题中的应用，以及古典概型概率的计算等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题．此题中，抛掷两颗骰子的试验中所有可能的情况为36种，结合题中条件，从中找出满足条件所求事件的个数，再根据古典概型概率的计算公式进行求解，从而问题可得解．
4．【2018上海崇明区高三4月模拟考试（二模）】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在
相邻车位的概率是________
【答案】
3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为．
【名师点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
考向2 几何概型
解题步骤：第一步，判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；第二步，分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；第三步，运用几何概型的计算公式计算即可得出结论．
【例4】【2018四川资阳高三4月模考】已知，在⊙O：上任取一点P，则满足的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为OA=2，OP=1，所以当时∠，所以满足的概率为=，选C．
【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
【例5】【2018四川雅安高三下学期三诊】，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：．若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】【全国市级联考】数学（文）试题
【答案】D
由题得事件对应的区域为图中的阴影部分，
所以由几何概型的公式得故选D．
【名师点睛】本题的难点在于作集合D对应的平面区域，因为其中有个[t]．对于这种定义题，不好理解的，大家可以通过列举给t取值，找到它对应的区域，促进自己理解题意．这一点突破了，后面就迎刃而解了．
【例6】在区间上随机取一个数，使得成立的概率为 ．
【答案】
【解析】，所求概率测度为长度，即
【跟踪练习】
1．【2018衡水金卷调研五】甲、乙两人各自在米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过米的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题．解决此类问题的关键是熟练掌握几何概型的使用条件，以及几何概型的计算公式．
2．【2018福建闽侯第四中学模拟】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，是上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，考查如下轨迹方程问题：到点的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可得，轨迹方程为，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域，对求解定积分可得其面积为：，据此可得，满足题意的概率值为．故选A．
【名师点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可．
3．【2018衡水金卷（三）】已知圆锥的底面半径为2，高为4，若区域表示圆锥及其内部，区域表示圆锥内到底面的距离小于等于1的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，故选D．
4．【2018江西新余高三二模】如图，在菱形中，，，以该菱形的个顶点为圆心的扇形的半径都为．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是__________．
【答案】
【解析】在菱形ABCD中，∵AB=2，∠ABC=60°，
考向3 条件概率
可以用以下两种方法计算条件概率
方法一：运用 求条件概率
解题步骤：第一步，首先求出事件包含的基本事件数；第二步，然后再求出事件与事件的交事件中包含的基本事件数；第三步，最后利用可求得得出结论．
【例7】先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为为偶数，事件为，则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为事件的基本事件分别为
，共18种情形；其中的情形，共6种情形，所以事件为的情形有12种，则所求条件事件的概率，应选答案D．
方法二：运用 求条件概率
解题步骤：第一步，首先求出事件包含的基本事件数；第二步，然后再求出事件与事件的交事件中包含的基本事件数；第三步，最后利用可求得得出结论．
【例8】抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现点数为偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例9】如图，是以为圆心、半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形 (阴影部分)内”，则
（1） ＝_____
（2） ＝_____
【答案】
【解析】因为圆的半径为，所以正方形的边长为，所以圆的面积为，正方形面积为，扇形面积为．故，，故答案为：，．
【跟踪练习】
1．【2018湖南永州高三模拟】袋中有大小完全相同的个红球和个黑球，不放回地摸出两球，设“笫一次摸得红球”为亊件，“摸得的两球同色”为亊件，则概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，则条件概率，故选A．
2．【2018广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟（十）】某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】条件概率的求法
（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得．
注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．
（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．
3．【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校联考】盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P（A）=，P（AB）=．
∴P（B|A）=．故选．
【名师点睛】本题考查的是条件概率．条件概率一般有两种求解方法：（1）定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．（2）基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．
4．【2018辽宁庄河高级中学模拟】若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．
【答案】
【解析】设事件A={两件中有一件不是废品}，事件B={两件中恰有一件为废品}，则．
考向4 相互独立的概率问题
（1）求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．
（2）求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【例10】【2018山东潍坊寿光现代中学高三4月月考】设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例11】【2018上海普陀高三下学期质量调研（二模）】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为和，两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为，根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，故答案为．
【例12】【2018衡水金卷调研卷（三）】电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【跟踪练习】
1．【2018河北邯郸高三一模】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0．8，0．7，0．6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A．0．56 B．0．336 C．0．32 D．0．224
【答案】D
【解析】该选手只闯过前两关的概率为，选D．
2．【2018衡水金卷高三信息卷 （四）】有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标，甲、乙两人站在距离圆盘线外的2米处用小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标被套上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小目标M被套上包括甲抛掷的套上、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上，所以故选D．
3．【2018广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考】科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．
【答案】
【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为．填
4．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ．
【答案】
考向4 较复杂的概率问题
首先要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义；然后正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式；最后得出结论．
【例13】【2018陕西西安八校高三上学期第一次联考】若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【解析】∵为对立事件，其概率分别为
∴，即
∴，当且仅当时取等号．
故选B．
【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
【例14】【2018河北唐山高三二模】甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例15】【2018上海普陀区高三下学期质量调研（二模）】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为和，两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为，根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，故答案为．
【跟踪练习】
1．【2018重庆九校联盟高三上学期第一次联考】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】事件与事件是对立事件，，
故选C．
2．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．【2018河南濮阳高三二模】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯泡亮的概率为，故选D．
4．甲、乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）2人中恰有1人射中目标的概率；
（2）2人至少有1人射中目标的概率．
．
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0．26．
（2）(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
(法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是
，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为
．
5．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个．
某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
（1） 任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率．
（2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过次就按对的概率．
【答案】（1） ；(2）．
【解析】试题分析：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的有两种情形一种是按1次就按对了和第一次没有按对，第二次按对了，由概率的加法公式得；
（2）在记得最后一位是偶数的前提下不超过2次就按对，利用进行求解即可．
试题解析：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码．
(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得．
(2）用表示最后一位按偶数的事件，则 ．
6．某个兴趣小组有学生人，其中有人是三好学生．现已把这人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组人，其中三好学生人．
（1）如果要从这人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？
（2）现在要在这人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？
【答案】 （1） ；（2） ．
【解析】试题分析：（1）利用古典概型公式计算即可；（2）利用条件概率公式计算即可．
（2） ，．∴
【名师点睛】在解答条件概率事件是要运用条件概率公式，本题通过将实际问题转化为数学问题，运用条件概率来求解，先计算出，然后计算，运用公式解答．
I．题源探究·黄金母题【例1】将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是 ． 【答案】以所求概率为．【例2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男）共9种，选出的2名教师性别相同的结果有（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），共4种，故所求的概率为．（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为：（甲男1，乙男），（甲男2，乙男），（甲男1，乙女1），（甲男1，乙女2），（甲男2，乙女1），（甲男2，乙女2），（甲女，乙女1），（甲女，乙女2），（甲女，乙男），（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲男2，甲女），（乙女，乙女1），（乙女，乙女2），（乙女1，乙女2），共15种，选出的2名教师来自同一学校的结果有（甲男1，甲男2），（甲男1，甲女），（甲男2，甲女），（乙男，乙女1），（乙男，乙女2），（乙女1，乙女2），共6种，故所求的概率为．【例3】假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 ．【答案】【解析】解法一：－．解法二：． 精彩解读【试题来源】例1：人教A版必修3P127例3改编；例2：人教A版必修3P130练习T3改编；例3：人教A版必修3P140例4改编．【母题评析】这类题主要考查概率的计算（随机事件的概率、古典概型、几何概型、互斥事件的概率以及条件概率等），考查考生的分析问题解决问题以及基本计算的能力．【思路方法】1．判断类型：（1）互斥事件的概率加法公式计算；（2）独立事件的概率乘法公式计算；（3）对立事件的概率减法公式计算；（4）条件概率的概率除法公式计算．2．计算复杂概率的两个策略：（1）分解策略；（2）正难则反转化为对立事件来计算概率．
II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标1理4】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B．秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B．【例2】【2017高考山东理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】标有，，，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是，故选C．【例3】【2017高考江苏7】 记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．【答案】 【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．【例4】【2017高考天津理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 【命题意图】这类题主要考查概率的计算，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题或为解答题的第（1）小题，难度中等．【难点中心】1．概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式计算概率．而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．2．对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算．
III．理论基础·解题原理
1．随机事件及其概率：
（1）事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
（2）事件的分类
（3）随机事件A的概率：．
2．古典概型：
（1）基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
（2）古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生．（3）古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有个，事件包含了其中的个基本事件，则事件发生的概率．
3．几何概型：
（1）几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生．
（2）几何概型概率计算公式：．
4．互斥事件：
（1）不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
（2）如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥．
（3）如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：
（4）如果事件彼此互斥，则有：
（5）对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件．
①事件的对立事件记作，
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．
【理科】5．条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率 （1）；（2）如果和是两个互斥事件，则
6．事件的相互独立性
（1）定义：设为两个事件，如果，则称事件与事件相互独立．
（2）性质：若事件与相互独立，则与、与、与也都相互独立，．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【技能方法】
1．古典概型中基本事件数的探求方法
（1）列举法．
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．
（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．
2．当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（1）与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解；与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．
（2）求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
（3）求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
3．复杂的概率问题求法：①分解策略；②正难则反．
【易错指导】
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．
4．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
5．对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理．
6．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
7．准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关．
8．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
V．举一反三·触类旁通
考向1 古典概型
古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：
第一步，判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；第二步，分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；第三步，运用古典概型的计算公式计算即可得出结论．
【例1】【2018河北衡水中学高三十五模】《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例2】【2018天津耀华中学模拟】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】所求概率为，故选C．
【例3】【2018山西平遥中学高三3月高考适应性调研】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________．
【答案】
【解析】基本事件的总数为．中间最大，只能放，即，其它位置的方法数为种，故概率为．
【跟踪练习】
1．【2018河南省许平汝高三第五次联考（下学期）】在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合中共有11个元素，所取元素恰好满足方程的由6个：0，2，4，6，8，10，故所取元素恰好满足方程的概率是
2．【2018广东兴宁沐彬中学模拟】“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1．72元，1．83元，2．28元，1．55元，0．62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3．5元的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
3．【2018上海徐汇区高三下学期二模】将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是_______．
【答案】
【解析】由题意知，，则共有36种，由，得，即，共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为．
【名师点睛】此题主要考了向量的位置关系在求概率问题中的应用，以及古典概型概率的计算等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题．此题中，抛掷两颗骰子的试验中所有可能的情况为36种，结合题中条件，从中找出满足条件所求事件的个数，再根据古典概型概率的计算公式进行求解，从而问题可得解．
4．【2018上海崇明区高三4月模拟考试（二模）】某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在
相邻车位的概率是________
【答案】
3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为．
【名师点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
考向2 几何概型
解题步骤：第一步，判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；第二步，分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；第三步，运用几何概型的计算公式计算即可得出结论．
【例4】【2018四川资阳高三4月模考】已知，在⊙O：上任取一点P，则满足的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为OA=2，OP=1，所以当时∠，所以满足的概率为=，选C．
【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
【例5】【2018四川雅安高三下学期三诊】，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：．若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】【全国市级联考】数学（文）试题
【答案】D
由题得事件对应的区域为图中的阴影部分，
所以由几何概型的公式得故选D．
【名师点睛】本题的难点在于作集合D对应的平面区域，因为其中有个[t]．对于这种定义题，不好理解的，大家可以通过列举给t取值，找到它对应的区域，促进自己理解题意．这一点突破了，后面就迎刃而解了．
【例6】在区间上随机取一个数，使得成立的概率为 ．
【答案】
【解析】，所求概率测度为长度，即
【跟踪练习】
1．【2018衡水金卷调研五】甲、乙两人各自在米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过米的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题．解决此类问题的关键是熟练掌握几何概型的使用条件，以及几何概型的计算公式．
2．【2018福建闽侯第四中学模拟】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，是上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，考查如下轨迹方程问题：到点的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可得，轨迹方程为，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域，对求解定积分可得其面积为：，据此可得，满足题意的概率值为．故选A．
【名师点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可．
3．【2018衡水金卷（三）】已知圆锥的底面半径为2，高为4，若区域表示圆锥及其内部，区域表示圆锥内到底面的距离小于等于1的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，故选D．
4．【2018江西新余高三二模】如图，在菱形中，，，以该菱形的个顶点为圆心的扇形的半径都为．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是__________．
【答案】
【解析】在菱形ABCD中，∵AB=2，∠ABC=60°，
考向3 条件概率
可以用以下两种方法计算条件概率
方法一：运用 求条件概率
解题步骤：第一步，首先求出事件包含的基本事件数；第二步，然后再求出事件与事件的交事件中包含的基本事件数；第三步，最后利用可求得得出结论．
【例7】先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为为偶数，事件为，则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为事件的基本事件分别为
，共18种情形；其中的情形，共6种情形，所以事件为的情形有12种，则所求条件事件的概率，应选答案D．
方法二：运用 求条件概率
解题步骤：第一步，首先求出事件包含的基本事件数；第二步，然后再求出事件与事件的交事件中包含的基本事件数；第三步，最后利用可求得得出结论．
【例8】抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现点数为偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【例9】如图，是以为圆心、半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形 (阴影部分)内”，则
（1） ＝_____
（2） ＝_____
【答案】
【解析】因为圆的半径为，所以正方形的边长为，所以圆的面积为，正方形面积为，扇形面积为．故，，故答案为：，．
【跟踪练习】
1．【2018湖南永州高三模拟】袋中有大小完全相同的个红球和个黑球，不放回地摸出两球，设“笫一次摸得红球”为亊件，“摸得的两球同色”为亊件，则概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，则条件概率，故选A．
2．【2018广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟（十）】某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】条件概率的求法
（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得．
注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．
（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．
3．【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校联考】盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P（A）=，P（AB）=．
∴P（B|A）=．故选．
【名师点睛】本题考查的是条件概率．条件概率一般有两种求解方法：（1）定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．（2）基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．
4．【2018辽宁庄河高级中学模拟】若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为__________．
【答案】
【解析】设事件A={两件中有一件不是废品}，事件B={两件中恰有一件为废品}，则．
考向4 相互独立的概率问题
（1）求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．
（2）求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【例10】【2018山东潍坊寿光现代中学高三4月月考】设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【例11】【2018上海普陀高三下学期质量调研（二模）】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为和，两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为，根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，故答案为．
【例12】【2018衡水金卷调研卷（三）】电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【跟踪练习】
1．【2018河北邯郸高三一模】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0．8，0．7，0．6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A．0．56 B．0．336 C．0．32 D．0．224
【答案】D
【解析】该选手只闯过前两关的概率为，选D．
2．【2018衡水金卷高三信息卷 （四）】有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标，甲、乙两人站在距离圆盘线外的2米处用小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标被套上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小目标M被套上包括甲抛掷的套上、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上，所以故选D．
3．【2018广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考】科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．
【答案】
【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为．填
4．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ．
【答案】
考向4 较复杂的概率问题
首先要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义；然后正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式；最后得出结论．
【例13】【2018陕西西安八校高三上学期第一次联考】若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【解析】∵为对立事件，其概率分别为
∴，即
∴，当且仅当时取等号．
故选B．
【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
【例14】【2018河北唐山高三二模】甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例15】【2018上海普陀区高三下学期质量调研（二模）】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【解析】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为和，两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为，根据对立事件的概率公式可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为，故答案为．
【跟踪练习】
1．【2018重庆九校联盟高三上学期第一次联考】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】事件与事件是对立事件，，
故选C．
2．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．【2018河南濮阳高三二模】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯泡亮的概率为，故选D．
4．甲、乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）2人中恰有1人射中目标的概率；
（2）2人至少有1人射中目标的概率．
．
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0．26．
（2）(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
(法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是
，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为
．
5．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个．
某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
（1） 任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率．
（2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过次就按对的概率．
【答案】（1） ；(2）．
【解析】试题分析：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的有两种情形一种是按1次就按对了和第一次没有按对，第二次按对了，由概率的加法公式得；
（2）在记得最后一位是偶数的前提下不超过2次就按对，利用进行求解即可．
试题解析：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码．
(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得．
(2）用表示最后一位按偶数的事件，则 ．
6．某个兴趣小组有学生人，其中有人是三好学生．现已把这人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组人，其中三好学生人．
（1）如果要从这人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？
（2）现在要在这人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？
【答案】 （1） ；（2） ．
【解析】试题分析：（1）利用古典概型公式计算即可；（2）利用条件概率公式计算即可．
（2） ，．∴
【名师点睛】在解答条件概率事件是要运用条件概率公式，本题通过将实际问题转化为数学问题，运用条件概率来求解，先计算出，然后计算，运用公式解答．
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