2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题5.4+立体几何中的轨迹问题、最值问题通关

第一类 椭圆离心率求值
1．如图所示，正方体的棱长为， ， 分别是棱， 的中点，过直线， 的平面分别与棱， 交于， ，设， ，给出以下四个命题：
①四边形为平行四边形；
②若四边形面积， ，则有最小值；
③若四棱锥的体积， ，则是常函数；
④若多面体的体积， ，则为单调函数．
其中假命题为（ ）．
A． ① B． ② C． ③ D． ④
【答案】D

连接， ， ，
则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以为底，以， 为顶点的两个小棱锥，
因为的面积是个常数， ， 到平面的距离和是个常数，
所以四棱锥的体积是常函数，故③正确；
对于④，多面体的体积为常数函数，故④错误．
综上所述，假命题为④．
故选．
2．已知正方体ABCD-的棱长为2，E为棱的中点，点M在正方形内运动，且直线AM //平面,则动点M 的轨迹长度为
A． B． C． 2 D． π
【答案】B
3．在空间直角坐标系中，到轴和轴距离相等的点的轨迹为（ ）
A． 一个平面 B． 两个平面 C． 一条直线 D． 两条直线
【答案】B
【解析】到轴和轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选．
4．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴， 轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
故选．
5．如图所示，在正方形中， 分别为的中点，点是底面内一点，且平面,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D

6．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
7．如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
【答案】B
【解析】∵到直线的距离为
∴空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，即点在内的轨迹为一个椭圆， 为椭圆中心， ， ，则
∴为椭圆的焦点
∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值
∴的最大值为
故选B.
8．如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且，则的最大值为（ ）．
A． B． C． 2 D．
【答案】D
【解析】
∴平面，
同理， 平面，
∴当在直线上时，都满足，
∴是最大值．
故选项是正确的．
9．如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱、交于，，设，，给出以下四个命题：
①平面平面；
②当且仅当时，四边形的面积最小；
③四边形周长，是单调函数；
④四棱锥的体积为常函数；

以上命题中假命题的序号为（ ）．
A． ①④ B． ② C． ③ D． ③④
【答案】C
②连接，
∵平面，
四边形的对角线是固定的，
要使面积最小，
只需的长度最小即可，
此时为棱中点，，
长度最小，对应四边形的面积最小，②正确；
④连接，，，
四棱锥分割成两个小三棱锥，
以为底，分别以、为顶点，
∵面积是个常数，
、到平面的距离是个常数，
∴四棱锥的体积为常函数，④正确．
10．如下图在直三棱柱中， ， ，已知与分别为和的中点， 与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∴当时，线段长度的最小值是，
当时，线段长度的最大值是，（因为不包括端点，故不能取，即长度不能等于），
故线段的长度的取值范围是： ，
本题选择A选项．
11．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）
A． B． C． 1 D．
【答案】A
12．如图，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：
① 直线与直线是异面直线；② 一定不垂直；
③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为．
其中正确的个数是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
【解析】如图，
∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；
∴正确命题的个数是3个。
本题选择C选项．
13．已知边长为1的正方形与所在的平面互相垂直，点分别是线段上的动点（包括端点），，设线段的中点的轨迹为，则的长度为（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】A
【解析】如图，
∵0≤s≤1，0≤t≤1，
∴．
∴PQ中点M的轨迹方程为．
轨迹l为在垂直于y轴且距原点的平面内，半径为的四分之一圆周．
∴l的长度为．
故选：D．
14．在棱长为2的正方体中， 分别是、中点， 分别为线段上的动点，若，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D． 1
【答案】A
【解析】
∴，
∴当时，
线段MN长度取最小值．
本题选择A选项．
15．底面为正方形的四棱锥，且平面， ， ，线段上一点满足， 为线段的中点， 为四棱锥表面上一点，且，则点形成的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∴平面，
∴P点轨迹为．
∵, ，
∴的周长为．
故选：B．
16．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面两两互相垂直，点，点到的距离都是2，点是上的动点，满足到的距离是到点距离的2倍，则点的轨迹上的点到的距离的最大值是__________．
【答案】
17．如图，等腰所在平面为， ， ，点， 分别为， 的中点，点为的中点．平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）．若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当与CD重合时， =0，由题意得为直角三角形，且斜边为定值，所以要求最大值，只需GH最小，GH最小值为，所以，填。
18．在内切圆圆心为的中， ， ， ，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为__________．
【答案】
19．已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___．
【答案】；
【解析】该几何体为正四面体,体积为．各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故．
20．已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为__________．
【答案】

21．已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则四棱锥体积的最大值为________．
【答案】
【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，
底面积最大时，ABCD为正方形，此时底面积，
高有最大值，首先要保证平面平面，
由可知，点在平面内的轨迹是以中点为圆心， 长度为直径的圆，
则高的最大值为： ，
综上可得：体积的最大值为： ．
22．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是__________．
【答案】
23．如图，有一圆锥形粮堆，其正(主)视图是边长为6m的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是________________m．
【答案】
【解析】
圆锥的底面半径为3m，周长是6πm,
展开图中大圆半径为6m，则圆心角为，
即圆锥侧面展开图的圆心角是180度。
则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90°。
∴在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是m．
故答案是： ．
24．空间四边形的两条对棱、的长分别为和，则平行于两条对棱的截面四边形在平移过程中，周长的取值范围是__________．
【答案】
故答案为： ．
25．四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．
【答案】
【解析】
如图所示，四棱锥中，可得： 平面平面平面，过作于，则平面，故，在中， ，设，则有， ,又 ，则，四棱锥的体积取值范围为．
26．已知空间四边形中，对角线，则空间四边形中平行于和的截面四边形的周长的取值范围是____________
【答案】
27．点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】因为，所以在过且垂直于的平面上，如下图（1），取， ，则平面，所以在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心到该平面的距离即为，在直角三角形中， ，而，故， ， 所在的圆周的半径为，故其轨迹的长度为
图（1） 图（2）
28．在棱长为1的正方体中， 为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为__________．
【答案】
29．如图,在四面体中, 与所成的角为60°,点分别在棱上,若直线都平行于平面,则四边形面积的最大值是_________．
【答案】

30．在中， ， ， ，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时， 的长为__________．
【答案】
【解析】由勾股定理易得： ，设，则，
而△AED∽△ABC，故，四棱锥的体积：
，
求导可得： ，
当时， 单调递增；
当时， 单调递减；
故当时， 取得最大值．
31．已知是半径为5的球面上的点，且，当四面体的体积最大时， __________．
【答案】
32．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = ，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当 取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
【答案】(1) 有最大值为;(2) 二面角的余弦值为：－．
【解析】试题分析：（1）由平面， ，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值．
（2）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），
D（0，2，2），F（0，3，0）,∴ （－2，2，2）,
则，即，
取x＝3，则y＝2，z＝1，∴
面BCF的一个法向量为
则cos<>=．
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－
33．如图，在三棱锥中， ， ， ， ，直线与平面成角， 为的中点， ， ．
（Ⅰ）若，求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ．
（Ⅱ）若，则，故， ，
设是到面的距离， 是到面的距离，则，
由等体积法可得， ．
设直线与平面所成角为，则 ，据此可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
（Ⅱ）若，∴，∵，∴， ，
设是到面的距离， 是到面的距离，则，
由等体积法： ，
∴，∴．
设直线与平面所成角为，则
．
∵，∴．
∴
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
34．如图， 是圆的直径，点是圆上异于的点， 垂直于圆所在的平面，且．
（1）若为线段的中点，求证平面；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若，点在线段上，求的最小值．
【答案】（1）见解析（2）（3）．
【解析】试题分析：
(1)由等腰三角形三线合一可得，由线面垂直的定义可得，最后利用线面垂直的判断定理可得平面．
(2)当底面ABC面积最大时，三棱锥体积由最大值，由几何关系可得当时， 面积的最大值为，结合三棱锥体积公式可得三棱锥体积的最大值为．
(3)将将侧面绕旋转至平面C，使之与平面共面，由平面几何的知识可知， ， 共线时， 取得最小值．结合筝形的性质计算可得的最小值为．
（2）因为点在圆上，所以当时， 到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，
故三棱锥体积的最大值为．
（3）在中， ， ，所以．
同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示．

35．如图， 中， ， ， ， ， , ．
（1）若与平面成角，求此时与平面所成的角的正弦值；
（2）求长的最小值．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由， 与平面成角，求得的长， ，给出线面角，求出各边长度即可求出与平面所成的角的正弦值（2）要求长的最小值，只要最小即可，即当时最小
解析：
。

,
要让最小，只要最小即可，即当时最小，
．
36．如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为线段上一点，直线与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)．
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面．
(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得．
（Ⅱ）解：由于是矩形，所以，
由（Ⅰ）知：平面，
以为坐标原点，分别以为的正方向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，设点，
平面的法向量为，
则，，
令，得平面的一个法向量为，
所以 ，
当时，，从而．