2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题4.3+圆锥曲线中的范围、最值问题通关

第一类 椭圆中的参数范围及几何量的最值
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；
（Ⅱ）求面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）, ．
试题解析：
（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为（），则，解得，所以的方程为．
设，则，所以的斜率，因为，所以， 因为 ，所以
2．已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线： 与圆相切：
（ⅰ）求圆的标准方程；
（ⅱ）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．
【答案】（1）（2），
【解析】试题分析：
（1）由椭圆过点和其离心率可得，故可得椭圆的方程．（2）由题可得直线的斜率存在，设出直线的方程后根据直线与椭圆、圆的位置关系分别求出弦长，求得后根据所得目标函数的特点选择求最值的方法求解即可．
(2) (i)圆的标准方程为,圆心为，
∵直线： 与圆相切，
∴圆的半径,
∴圆的标准方程为．
（ⅱ）由题可得直线的斜率存在, 设,
由消去整理得，
∵直线与椭圆交于不同的两点，
∴，
解得．
设,
则,
,
∵，
∴ ，
∵的取值范围为．
3．在平面直角坐标系中，椭圆： 的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动．
①证明： 为常数；
②当时，利用上述结论求面积的取值范围．
【答案】（1）（2）
试题解析：
(1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，可知，
所以椭圆的方程为，
又点在椭圆上，
所以，
故所求椭圆的标准方程为．
所以 ，
因此为常数．
②当时，可知，
由 ，
因此直线的方程为，
令，所以，且已知，
因此．
设（其中为参数），由点到直线的距离公式可知
（其中），
因此，
当时， 最大为，且此时点与不重合．无最小值．
所以的取值范围是．
4．已知椭圆： 的离心率，过点、分别作两平行直线、， 与椭圆相交于、两点， 与椭圆相交于、两点，且当直线过右焦点和上顶点时，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若四边形是菱形，求正数的取值范围．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】试题分析：（1）由题意布列a，b的方程组，解之即可；（2）依题意可以分别设的方程为： ，由椭圆的对称性得： ，所以是平行四边形，所以是菱形，等价于，即，联立方程，由韦达定理及垂直关系可得： ，结合条件建立m，k的不等关系，即可得到正数的取值范围．
所以椭圆方程为： ；
5．已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线： 与曲线有（）个公共点．
（1）若，求的最小值；
（2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意曲线由抛物线及抛物线组成，故联立与，得出交点个数，因为直线与曲线有个公共点．且，所以再联立与，得综合两个结论即得出结论
（2）设， ， ， ，根据弦长公式求出AB和CD，然后求出的表达式建立k的表达式，根据函数思维求出最值即可得出范围
（2）设， ， ， ，
则两点在抛物线上， 两点在抛物线上，
∴， ， ， ，且， ，∴．
∴， ，
∴ ．
∴，∴，∴．
6．已知椭圆： 的左右焦点分别为， ，左顶点为，上顶点为， 的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线： 与椭圆相交于不同的两点， ， 是线段的中点．若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由题意可知．，由，可求得椭圆方程。（2）分和讨论，当时，因为两直线互相垂直，所以直线的方程为， 即点到直线的距离， 即点到直线的距离，用点到直线的距离公式计算，结合韦达定理，把长度表示为k的形式，所以表示为k的函数，即可求范围。
（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则， ．
∴．
②当时，直线的方程为．
则直线的方程为，即．
设， ．
联立方程，消去，得 ．
此时．
∴， ．∴．
∵即点到直线的距离，
∴ ．
又即点到直线的距离，∴．
7．已知椭圆 的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的斜率的取值范围；
【答案】（1）；（2）或．
【解析】试题分析：（1）利用右焦点为，求出,得到,通过点, 在椭圆上，得到，求出 、的值可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，点 ，由得，利用韦达定理以及 ，结合判别式的符号，可求解的范围．
试题解析：(1) 由题意得：
因为 点 在椭圆C上 解得：
椭圆方程为．
解得，的取值范围是或．
8．已知椭圆： 的一条切线方程为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线： 与椭圆交于， 两个不同的点，与轴交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据离心率化简椭圆方程，再联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为零求，（2）联立直线方程与椭圆方程根据判别式大于零得，利用韦达定理以及关系求得，代入不等式，解得实数的取值范围．
试题解析：解：（1）由题意知，离心率，
∴， ，
∴，
将代入，得，
由，得，
故椭圆的标准方程为．
∴，即，
当时， 不成立，
∴，
∵，
∴，即，
∴，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
9．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于不同两点，．为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1的周长为可得，由离心率，结合性质可得，，从而可得椭圆的方程是；（2）的方程为，
由，整理得．根据判别式大于零得，由 ，求出代入椭圆方程化简得，再利用弦长公式及可得，综上可得结果．
（2）设，，，的方程为，
由，整理得．
由，得．
∵，，
∴ ，
则， ．
由点在椭圆上，得，化简得． ①
又由，即，
将，代入得，
化简，得，则，，∴． ②
由①，得，联立②，解得．
∴或，即．
10．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）（2）6
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可．
故，故
当且仅当即时等号成立，
四边形面积的最大值为．
方法二：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
有，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，
有，
函数，
故函数，在上单调递增，
有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为．
四边形的面积，
令 则
,
，
，
综上，四边形面积的最大值为．
11．已知点P（0，-2），椭圆E： 的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由直线PF的斜率和离心率列方程组求解即可；
（2）当直线l与y轴平行时，易得△AOB面积为，当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与椭圆联立得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，用弦长公式和点到直线距离公式求解面积即可．
（2）记点O到直线l的距离为d，则，
①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴，
②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得，∴，
由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，
∴，，∴，
，
，当且仅当k=±1时取等号，
综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为
12．椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点， 为其右焦点， 是椭圆的左、右顶点，点满足．
①证明： 为定值；
②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值．
【答案】(1) ；(2)①．证明见解析；②．3．
【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，与离心率联立方程组解得a．b,（2）①根据两点间距离公式，代入椭圆方程化简可得，再求比值即可，②先设，根据点斜式可得直线， 方程，分别与椭圆方程联立解得两点坐标，再根据焦半径公式可得，最后根据基本不等式求最小值．
（2）由（1）知，
，
而，∴为定值；
由整理得，
∴，得，
由①知，
∴，
∵（当且仅当即时取等号）
∴，即的最小值为3．
13．已知椭圆： 的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆的右顶点为，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（， ）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
（1）根据可求得，再由离心率可得c，于是可求得b，进而得到椭圆的方程．（2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得，结合可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围．
（2）由消去y整理得： ，
∵直线与椭圆交于不同的两点、，
∴，
整理得．
设， ，
则，
14．已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴长为2．直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，又l与直线， 分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
（1）由离心率及可得，于是可得椭圆的方程．（2）结合题意逐步求解，先求得点A,B的坐标，并根据点的位置得到；然后根据直线与椭圆的位置关系可得，于是．由△OAB的面积为2计算可得，最后根据数量积的定义将用表示，并可得到所求范围．
试题解析：
(1)∵离心率e＝， ，
∴＝＝，解得a2＝2，
∴椭圆的方程为＋y2＝1．
∵|AB|＝＝，
原点到直线的距离为，即△OAB底边AB上的高为，
∴S△OAB＝·· ＝ ＝ 2，
∴m2＝1－4k2．
由消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∵直线与椭圆交于两点，
∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2>0，解得k2>0．
15．已知椭圆的长轴长为, 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率;
（Ⅱ）设点,动点在椭圆上,且在轴的右侧,线段的垂直平分线与轴相交于点,求的最小值．
【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为,离心率为；（Ⅱ） ．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆长轴长为可得，解出即可得椭圆方程即离心率；（Ⅱ）设点，利用中点坐标公式可得：线段的中点坐标，由垂直平分线可可得直线的斜率为，利用直线的方程可得的纵坐标，又，得，可得，利用基本不等式的性质即可得出．
试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长为,所以
所以,所以,,而,所以
所以椭圆的方程为,离心率为．
16．已知,椭圆的离心率, 是椭圆的右焦点,直线的斜率为, 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于, 两点,当的面积最大时,求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得a,b,c．(2) 设，与椭圆组方程组，由弦长公式，点到距离公式，求得三角形面积。
试题解析：(1)设，由条件知， ，
又，
故椭圆的方程为；
∴△OPQ的面积，
设，则， ∴，
当且仅当，即时等号成立，
满足，∴当时，△OPQ的面积取得最大值2，此时直线的方程为或．
17．已知椭圆：过点，且两个焦点的坐标为，．
（1）求的方程；
（2）若，，（点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】试题分析：（1）由椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为，列出方程组，求出，由此能求出椭圆E的方程;
(2) 设代入得，利用韦达定理及，可得，，即，由点P在椭圆上可得，表示三角形面积求最值即可．
（2）设代入得
，
设，则，
，
设，由，得
，
∵点在椭圆上，∴，即，∴，
在中，令，则，令，则．
∴三角形面积，
当且仅当时取得等号，此时，
∴所求三角形面积的最小值为．
18．已知椭圆的上顶点为,离心率为． 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
证明：以为直径的圆经过点；
记和的面积分别是,求的最小值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析，②．
试题解析：（1）已知．中，令得，，
又，则，从而,
椭圆的方程为：,
（2） 直线的斜率显然存在，设方程为．由得
设,
由已知，所以．
,
故以为直径的圆经过点 ．
那么 ,
，
当且仅当时等号成立，即最小值为．
19．如图，已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知是轨迹的三个动点，点在一象限， 与关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）连接，根据题意， ，则 ，可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即可求出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出的坐标，同理可得点的坐标，进而表示出的面积，利用基本不等式，即可得出结论．
，
同理可得|OC|＝
当且仅当k＝1时取等号，∴S△ABC≥．
综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值．
20．已知、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点的坐标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
【答案】(1) (2)
试题解析：
（I）因为椭圆方程为，知， ，设，则 ，
又，联立 ，解得 ，
21．已知椭圆： 的离心率为，，分别为的右顶点和上顶点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，分别是轴负半轴，轴负半轴上的点，且四边形的面积为2，设直线和的交点为，求点到直线的距离的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于的方程组，解方程组即可． (2)第（Ⅱ）问，先转化四边形的面积为2，得到点的轨迹，再结合点P的轨迹球点P到AB的距离的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由得．
又，所以，．
所以椭圆的方程为．
22．已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【试题分析】(1)将点代入椭圆方程,结合,解方程组可求得的值,求得椭圆方程．(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,代入题目所给的向量运算,化简得,由此求得的取值范围,利用弦长公式求出弦长的表达式,利用二次函数求最值的方法求得弦长的最值．
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，
由得，
∴，得，
设，，，则，
由得，
代入椭圆方程得，
由得，
∴ ，
令，则，∴．
第二类 双曲线中的参数范围及最值
1．已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于P、Q两点，且．求|OP|2+|OQ|2的最小值．
【答案】1 ； 2．
【解析】试题分析：
(Ⅰ) 由，可得，故双曲线方程为，代入点的坐标可得，由此可得双曲线方程． (Ⅱ)根据直线的斜率存在与否分两种情况求解．当斜率存在时，可根据一元二次方程根与系数的关系及两点间的距离公式求解即可．当斜率不存在时直接计算可得结果．
∴ 双曲线的方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y整理得，
当时上式取等号，且方程（*）有解．
②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则有，
由可得，
可得，解得．
∴．
∴ ．
综上可得的最小值是24．
2．已知点, ,直线相交于点,且它们的斜率之积为．
（Ⅰ）求点的轨迹方程;
（Ⅱ）若点,求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．
【解析】试题分析：（Ⅰ）设,由题意,化简即可得到点的轨迹方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的方程，利用双曲线的定义，转化为,判定直线与双曲线的交点即为时，得到最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点的轨迹方程是双曲线
所以．
所以为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为,
因为在第一象限，所以若最小,则在双曲线的右支上．
由双曲线的定义知,则,
所以
因为两点之间线段最短,所以连接,则直线与双曲线的交点即为
所以．
所以的最小值为．
3．如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为S．
⑴ 求出点、的坐标及实数的取值范围；
⑵ 当取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值．
【答案】(1) 详见解析;(2)详见解析．
【解析】试题分析：（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由得， 即， ，再由第一象限和第三象限求得的取值范围（2）要求出S的最小值，将四边形沿轴分割成两个三角形，以为公共底， 为高，表示出，运用不等式求出结果
点在第三象限， ，得，
故， ，故实数的取值范围为；
4．已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为1．
（1）求的方程；
（2）过的直线与相交于点，直线分别与相交于点和．求的取值范围．
【答案】（1）的方程为， 的方程为．（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得，从而可得的方程，用直接法可求得的方程；（2）直线的方程为，直线与曲线联立，根据韦达定理，焦半径公式将用 表示，进而可得结果．
试题解析：（1）由题意可知点的轨迹是以为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，故有，
∴的方程为，
设，则有，化简得，
即的方程为．
直线的方程为，代入有，
设，则有，
∴，
同理．
∴，
∴．
5．已知双曲线， 是上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）设，写出点到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2） ，根据 化简，转化为二次函数求最小值．
（2）设，由平面内两点距离公式得，
，
∵，可得，∴，
又∵点在双曲线上，满足，∴当时， 有最小值， ．
第三类 抛物线中的参数范围及最值
1．已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，．
（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；
（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小．若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为
【解析】试题分析：（1）由题意知，得出抛物线的方程，由，得出，，根据，得，由此能求出点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立方程组，设两个交点，由得，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为．
（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为
联立方程组
设两个交点，由，整理得，此时，恒成立．故直线的方程可设为从而直线过定点．
又∵
∴的面积
∴当时有最小值，此时直线的方程为．
2．已知点到点的距离比到轴的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线： ，交轨迹于、两点， 为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】试题分析：（1）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所学的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；（2）根据题意先分析如何使的面积最大，可知当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出面积。
轨迹C方程为： ， 或 ．
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,
直线l化成斜截式为 ,当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大,
3．如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点 ，直线与轴相交于点，记， 的面积分别是， ．
（1）若，求点的纵坐标；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由斜率公式可得， ．由，得即，得；（2）设直线： ，则，联立，消去得，则， ，由弦长公式及点到直线距离公式可得，利用二次函数的性质可得结果．
（2）设直线： ，则，由，知．
联立，消去得，则， ．
所以 ，
，
点到直线的距离 ．
所以
故当时， 有最小值．
4．在直角坐标系中， ，动点满足：以为直径的圆与轴相切．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线过点且与交于两点，当与的面积之和取得最小值时，求直线的方程．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】试题分析：（1）设点，圆心，由圆与轴相切于点，得| ，结合两点间的距离公式整理可得点P的轨迹方程为 ；
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为 ，可得 ．
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为 联立直线方程与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得
再由 ，结合等号成立的条件求得的值，进一步得到值，则与的面积之和取得最小值时，直线的方程可求
（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，方程为： ，
易得．
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设方程为： ， ， ，
由消去并整理得： ，
所以， ，
所以 ，
当且仅当时等号成立，又，
所以， 或， ，
所以，解得： ，
因为，所以当两个三角形的面积和最小时，
直线的方程为： ．
5．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点．
（1）若的坐标为，求的值；
（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为可得，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线的方程为，由求得，由切点在抛物线上可得到，即为所求。
试题解析：
（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，
则抛物线的方程为．
设切线的方程为，代入得，
由得，
当时，点的横坐标为，
则，
当时，同理可得．
综上得。
因为直线与圆相交，所以。
设，则，
所以，
所以，
设，因为，所以，
所以，
所以．
6．已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交曲线于， 两点，若，当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由题意得曲线是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，进而可得其方程为。（2）设直线为y=kx+1，代入抛物线方程消去y可得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由得，
又，可构造，由函数的单调性可得，即，解得。即为所求。
（2）由题意设直线的方程为y=kx+1，
由消去y整理得，
∵ 直线与抛物线相交，
∴，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∵，即，
∴，
∴，
7．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： 的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2： 相切于点Q．
（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．
【答案】（1）x2y（2）
【解析】试题分析：（1）依据题设条件，借助导数的几何意义求出切点坐标及其斜率，建立方程组求解；（2）运用直线与圆相切的建立等量关系，通过解方程组求得点Q的坐标，进而求出S1 ，S2，建立目标函数，然后运用基本不等式求解：
（Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即，
根据切线又与圆相切，得，即，化简得，
由方程组，解得Q（，），
所以|PQ|=|xP-xQ|==，
点F（0，）到切线PQ的距离是d==，
所以=××=，
=，
而由知，4p2=，得|x0|＞2，
所以===
==+3≥2+3，
当且仅当时取“=”号，即，此时，p=，所以的最小值为．
8．已知曲线：，曲线：，直线与曲线交于，两点，O为坐标原点．
（1）若，求证：直线恒过定点；
（2）若直线与曲线相切，求（点P坐标为）的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）因为直线包含斜率不存在的直线，所以设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，代入，得到，所以直线恒过定点；（Ⅱ）直线与半圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得到，同时 再利用根与系数的关系表示， 得到取值范围．
（Ⅱ）直线与曲线相切， ,显然
,整理得：①
由（Ⅰ）及①可得：
，即的取值范围是
【总结】
（1）圆锥曲线中求最值或范围的常见求法
选择适当的参数，将所求的量表示出来，建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数的最值时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用基本不等式求出参数的取值范围；
②利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
（2）圆中弦长的求法一般根据半径、弦长的一半、弦心距所构成的直角三角形，利用勾股定理求解．