2018高中数学（文）黄金100题系列第85题+抽样方法

第85题 抽样方法
I．题源探究·黄金母题
【例1】在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，200是 （ ）
A．总体 B．个体 C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本
【答案】C
【例2】某工厂生成三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么样本容量为 ．
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【解析】由已知可得，解得，故选C．
【例3】设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取16名组成暑假西部讲师团，教师从1～112进行编号．按编号顺序平均分成16组（1～7号，8～14号，…，106～112号），若第8组应抽出的号码为52，则在第一组中按此抽签方法确定的号码是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由分层抽样及已知可知各号码从小到大排列成等差数列，其中，故选C．
精彩解读
【试题来源】例1：人教A版必修3P100A组T1；例2：人教A版必修3P100A组T2（2）；例3：人教A版必修3P64A组T5．
【母题评析】这类重点题考查分层抽样和系统抽样的计算．
【思路方法】在应用问题中识别模型，选择适当的抽样方法抽取样本及抽取过程．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2015高考四川文3】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
【答案】C
【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样，故选C．
【例2】【2015高考北京文4】某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年人数为（ ）
类 别
人 数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，老年教师人数为，故选C．
【例3】【2017高考江苏3】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
【答案】18
【解析】所求人数为，故答案为18．
【例4】【2017高考北京文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】（Ⅰ）0．4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）．
试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为．所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0．4．
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为．
所以总体中分数在区间内的人数估计为．
（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为．所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为．
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．
【命题意图】这类重点题考查分层抽样和系统抽样的计算．考查考生基本计算能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，主要以选择题或填空题为主，属于中低档题．
【难点中心】
1．在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即．
2．
III．理论基础·解题原理
1．随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：
①简单随机抽样
1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．www.21-cn-jy.com
2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．
抽签法的操作步骤：第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上．
第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀．
第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．随机数表法一般步骤：第一步，将总体中的所有个体编号；第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数；第三步，从选定的数开始依次向右(向左、向上、向下)读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本．www-2-1-cnjy-com
②系统抽样：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法称为系统抽样．
步骤：(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔，对编号进行分段，当是整数（如果N不能被n整除，可以从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除）时，取；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将加上间隔k得到第2个个体编号，再加得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．21*cnjy*com
③分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．【出处：21教育名师】
(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样．
(3)步骤：第一步分层，按某种特征将总体分成互不交叉的层；第二步计算抽样比，计算样本容量与总体的个体数之比；第三步计算各层抽取的个体数，依据抽样比各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；第四步合成，综合每层抽样，组成样本．注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为．
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中各个个体被抽到的机会都相等，都是不放回抽取
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体容量较少
系 统 抽 样
将总体分成几部分，按预先定出的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体容量较多，单个体差异不大
分 层 抽 样
将总体分成几部分，每一部分按比例抽取
每层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的若干部分组成
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这部分内容命题趋向主要以选择题、填空题为主，重点考查基础知识、基本概念及其简单的应用．在复习中，要理解几种抽样方法的区别于联系，应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统计中处理问题的基本思想方法．其试题难度属低档题．21教育网
【技能方法】
1．解题模板：第一步，认真分析题意，认清考查的是哪种随机抽样方法；第二步，运用对应的简单随机抽样进行求解；第三步，得出结论．2·1·c·n·j·y
2．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是．【来源：21·世纪·教育·网】
3．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．
4．分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．21·世纪*教育网
【易错指导】
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的．
V．举一反三·触类旁通
考向1 简单随机抽样及其应用
【例1】从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则（ ）21cnjy.com
A．100 B．4000 C．101 D．4001
【答案】B
【名师点睛】(1)简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等；(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．21教育名师原创作品
【例3】【2018河南许平汝高三第五次联考】已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：




已知甲班有60位同学，编号为号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ）21*cnjy*com
A．08，01，51，27 B．27，02，52，25 C．15，27，18，74 D．14，22，54，27
【答案】C
【解析】因为答案C中编号74大于甲班60位同学的总数60，则抽到的4位同学的编号不可能是C故选C．
【例3】总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_____．
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481
【答案】01
【名师点睛】简单随机抽样分为抽签法和随机数表法，适用于个数较少的总体．随机数表法的步骤是：一将总体一一编号，二在随机数表上任意规定抽样的起点和顺序，三从随机数表上抽取样本，凡是抽到编号范围内的号码，就是要选取的数字，若抽到编号以外的号码或者重复的号码，则舍去．21·cn·jy·com
【跟踪练习】
1．【2018云南玉溪第一中学模拟】总体由编号为的各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14，05，11，09，则第四个数字是09，选B．
2．【2018衡水金卷（一）】地的天气预报显示，地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由随机数表可知，满足题意的数据为978，479，588，779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 选D．
3．将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是___法．
【答案】抽签
【解析】抽签法分为编号、制签、取样三步，这里用了学生的学号作为编号，后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤，所以采用的是抽签法．
考向2 分层抽样及其应用
【例4】某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　)
A．8 B．11 C．16 D．10
【答案】A
【名师点睛】(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．21世纪教育网版权所有
【例5】【2018山东烟台高三下学期诊断性测试】已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本，若已知样本中有18名男职工，则样本容量为
A．20 B．24 C．30 D．40
【答案】B
【解析】设样本容量为，则，选B．
【例6】【2018河北省保定高二上学期期末调研】某工厂的三个车间在12月份共生产了双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为：．
【跟踪练习】
1．【2018江西宜春二模】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为（ ）
A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25
【答案】A
【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则在高一年级抽取的人数是人，高二年级抽取的人数是人，高三年级抽取的人数是人，故选．
2．【2018福建福州高三3月质量检测】为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样
【答案】C
【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．了解某地区的“微信健步走”活动情况，，按年龄分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理，故选C．
3．【2018河南许平汝高三第五次联考】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．
【答案】
【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，采取分层抽样的方法抽取5人，
【名师点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键．
考向3 系统抽样及其应用
【例7】高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】系统抽样抽取的编号构成等差数列，由4号、18号、46号同学在样本中可知剩余的号为32号．
【名师点睛】(1)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是；(2)系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
【例8】【2018河北衡水中学高三十五模】用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________．【版权所有：21教育】
【答案】002
【例9】【2018内蒙古自治区北方重工业集团有限公司三中高三3月月考】某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号分别为，若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是______．
【答案】617
【解析】第一步：将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中剔除4人剔除方法可用随机数法，将剩下的620名职工重新编号，分别为，并分成62组；第三步：在第一组的十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007；第四步：将编号为的个体抽出，便可得到所要的样本．故样本中的最大编号是617，答案：617．
【跟踪练习】
1．用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是( )
A．7 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】用系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第一段中被确定的号码是5．
2．【2018重庆高三4月调研测试（二诊）】某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．
【答案】64
【解析】 设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数
3．【2018河南南阳一中高三下学期第一次月考】用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从编号，按编号顺序平均分成 20组(号，号，号)．若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是__________．
【答案】35
【解析】由题意可得分段间隔是8，抽出的这20个数成等差数列，首项为3，∴第5组中用抽签方法确定的号码是3+32=35．故答案为：35．
考向4 随机抽样方法的综合应用
【例10】下列关于抽样的说法中正确的是(　　)
A．已知总体容量为109，若要用随机数表法抽取一个容量为10的样本，可以将总体编号为000，001，002，003，…，108
B．当总体、样本容量较大时，一般采用简单随机抽样
C．当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用系统抽样
D．在系统抽样的过程中，有时要剔除一些个体，所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性不相等
【答案】A
【解析】A正确，B中系统抽样的适用范围应是总体中的个体数目较多且含有的个体均衡．C中应该采用分层抽样，D中在系统抽样的过程中，虽然有时要剔除一些个体，但是每个个体被抽到的可能性是相等的．
【例11】某社区有600个家庭，其中高收入家庭120户，中等收入家庭420户，低收入家庭60户．为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高中二年级有15名男篮球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样　②系统抽样
B．①分层抽样 ②简单随机抽样
C．①系统抽样 ②分层抽样
D．①分层抽样 ②系统抽样
【答案】B
【解析】对于①，∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，∴要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法，故选B．
【例12】【2018河南南阳一中高三下学期第一次月考】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中．编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．15
【答案】C
【解析】960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差
【名师点睛】本题考查了抽样方法中的系统抽样问题，对于系统抽样的抽法是先对总体编号，根据样本平均分组，确定组距，再在第一组中抽取一个编号，依次等距抽取，其中把握系统抽样的原则是解答此类问题的关键．
【跟踪练习】
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作样本
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
【答案】C
【解析】不符合简单随机抽样中个体数是有限的特点；②是有放回的抽样，而简单随机抽样是无放回的；③符合简单随机抽样的特点，所以是简单随机抽样．故选C．
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是 (　　)
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【答案】A

3．【2018吉林吉林大学附属中学高三模拟】某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为______________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】100
【解析】∵工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，
设总体中员工总数为x，则由，可得x=100，该单位员工总数为100．