2018高中数学（文）黄金100题系列第92题+直接证明与间接证明

第92题 直接证明与间接证明
I．题源探究·黄金母题
【例1】证明不等式所用的最适合的方法是 （ ）
A．综合法 B．分析法 C．间接证法 D．合情推理法
【答案】B
【解析】欲证明不等式，只需证，只需证，只需证，故选B．
【例2】求证：对于任意角，．
【证明】，原式成立．
【例3】设实数成等差数列，非零实数分别为与与的等差中项，试证：．
【证明】甴已知条件得， ①
． ②
要证，只要证，只要证．
由①②得，
，命题成立．
精彩解读
【试题来源】例1：人教A版选修1-2P44练习T2改编；例2：人教A版选修1-2P44练习T1；例3：人教A版选修1-2P46习题2．2B组T2．
【母题评析】这类题主要考查直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考查，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力的考查．
【思路方法】
1．直接从条件出发证明结论思路受阻时，可以考虑利用逆推法来求解结论成立的充分条件即可，直到化简成为恒等式或与条件相符的式子为止．
2．利用重要的不等式证明不等式是综合法的一种重要应用，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标2文23】已知．证明：
（1）；
（2）．
【答案】(1)证明略；(2)证明略．
【解析】试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．
试题解析：(1)
(2)
，因此．
【例2】【2017高考江苏21D】已知为实数，且证明．
【答案】见解析
【解析】由柯西不等式可得，即，故．
【考点】柯西不等式
【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设为实数，则，当且仅当或存在一个数，使时，等号成立．
【例3】【2017高考北京文18节选】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
【答案】详见解析
【解析】证明：（Ⅰ） ，
平面，平面，且，
平面，平面，；
（Ⅱ），是的中点，，
由（Ⅰ）知平面，平面，平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，平面平面．
【命题意图】这类题主要考查直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修中的不等式证明为载体加以考查，关注学生的分析问题、解决问题以及推理论证能力等的考查．
【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大．
【难点中心】
1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
2．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．
用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．
3．线线、线面的平行与垂直位置关系的证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面，这两种途径都可以证明线面垂直．
III．理论基础·解题原理
直接证明与间接证明
（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．框图表示：
要点：顺推证法；由因导果．
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因．
（3）反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．的证明方法．它是一种间接的证明方法．
用反证法证明命题“若则”的过程用框图表示为：
→→→．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大．
【技能方法】
1．分析法的适用范围：分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
2．用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
（1）定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式等．
（2）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．
3．对于较复杂的问题，我们常常把分析法与综合法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论．若由可以推出成立，就可以证明结论成立，这种方法称为分析综合法．
4．反证法证明一个命题的一般步骤：
（1）（反设）假设命题的结论不成立；
（2）（归谬）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；
（3）（下结论）断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
【易错指导】
（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键；
（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论．
（3）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
V．举一反三·触类旁通
考向1 分析法
【例1】若，则的大小关系是
A． B．
C． D．由的取值确定
【答案】C
【例2】【2018河南豫西名校高二下学期第一次联考】当时，证明：．
【证明】要证，即证，只要证，即证 ，即证，只要证 ，而上式显然成立，所以 成立．
【例3】已知，且，试用分析法证明不等式成立．
【解析】要证，只需证，只需证，只需证，即证或，而由，可得显然成立，所以不等式成立．
【名师点睛】分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
【跟踪练习】
1．【2018陕西省黄陵中学高二下学期期末考试】分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件
【答案】A
【解析】由分析法的定义：“一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．”可知A答案是正确，故选A．
2．用分析法证明：当，时，．
【证明】要证不等式成立，只需证成立，即证：成立，即证：成立，即证：成立，因为所以，所以原不等式成立．
3．当时，求证：．
【证明】要证，只需证，即证，
只需证．，故得证．
令，则，即，
则，从而．
考向2 综合法
【例4】【2018西藏山南地区第二高级中学高三下学期期中考试】以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）
A．①—分析法，②—反证法 B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法 D．①—综合法，②—分析法
【答案】D
故本题正确答案为D．
点晴：本题考查的是综合法和分析法的概念．一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法；一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法．
【例5】【2018河南郑州一中高三考前冲刺三】已知a，b，c均为正数．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
，∴．
当且仅当时，等号成立．
（2）
=34+24+18+24=100．
当且仅当a=3b=9c，且a+4b+9c=1时，等号成立，即当且仅当时，原式取等号．
【例6】【2018安徽太和中学高三下学期第三次月考】在中，用综合法证明：是的充分不必要条件．
【答案】见解析
【解析】试题分析：先由正弦定理将角的关系转化为边的关系：，去分母整理得．再由余弦定理得，根据基本不等式可得，即得，因此充分性成立，而必要性不成立，只需举一个反例，如3，4，5构成的三角形，3对应的角B满足，但不满足．
试题解析：
．
，
而不可逆，故是的充分不必要条件．
【名师点睛】
1．综合法证题的一般思路：综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．其逻辑依据是三段论式的演绎推理，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
2．解决数列综合题常见策略有：（1）关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；（2）重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；（3）数学归纳法．
【跟踪练习】
1．在中，已知△ABC的面积为，外接圆的半径为1，三边长分别为．
求证：．
【答案】见解析．
试题解析：设外接圆的半径为，的面积为．∵，，，
∴，且不全相等，否则与矛盾，∴．
又，，，
∵不全相等，∴上述三式中“=”不能同时成立．∴，
即．因此．
2．已知函数．
（1）当时，证明：当时，；
（2）当时，证明：．
（2），令，，时，，时，，即在上为减函数，在上为增函数，∴①
令，∴时，，时，，即在上为减函数，在上为增函数，∴②
∴由①②得．
3．【2018浙江省高三上学期高考模拟】设函数，．证明：（1）；（2）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】试题分析：（1）构造函数，对求导，利用导数证明即可得证；（2）求导，判断出函数的单调性，求出函数的极值与最值后即可得证．
试题解析：（1）记，则，
，∴在区间上单调递增，又∵，∴，从而；（2），记，由，，知存在，使得，∵在上是增函数，∴在区间上是单调递减，在区间上单调递增，又∵，，从而，另一方面，由（1）得当时，，且，故．
考向3 分析综合法
【例7】【2018河北武邑中学高三上学期期中考试】设集合，在集合中定义一种运算“"，使得．
（1）证明：；
（2）证明：若，则．
【答案】（1）见解析（2）见解析
试题解析：（1）证明：由已知得，
∴，
而，所以结论正确．
（2）证明：由已知得：，要证，
只需证，即证，亦即证，
只需证
而，，
有，所以原命题成立．
【例8】【2018浙江温州中学高三10月模拟】已知数列，，，．
记．，求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）证明见解析．
试题解析：（Ⅰ）证明：因为
所以同号，即与一致．因为，且，
，
即，
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），得．
因为，所以．，所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，又因为，所以．
考点：数列及不等式等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题以数列的递推关系式为背景，考查的是运用不等式的有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息，利用等式的性质，再运用实数的符号法则推得对任何都成立；第二问则运用叠加的方法推得，再运用不等式的缩放法推得；第三问的推证中巧妙运用由推得，从而证得．
【例9】【2018江苏沭阳县高三上学期期中调研】已知函数为其定义域内的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求不等式的解集；
（3）证明：为无理数．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
试题解析：（1）因为为其定义域内奇函数，所以 ，
即 ，即
所以 ，当时，对数无意义，故舍去，所以
（2）的定义域为，由，得，
，又因为的定义域为，所以得解集为．
（3）（）．
假设为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，
设（其中为两个互质的正整数），得 ，即 （*），
因为为两个互质的正整数，所以为奇数，为偶数，显然奇数不等于偶数，所以（*）式不成立，所以假设不成立，所以为无理数．
【跟踪练习】
1．已知数列满足，都有．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题解析：（1）∵，与同号，∵，∴．
∵，又，∴与同号，
∵，∴．∴，则．
∴．
当时，，且，
又，∴，．
（2）∵，又，
∴．
当时，，
又，∴．
∴
，
∴．
考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．
【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，借助题设数列的递推关系式，运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式的成立．第二问题中，先运用不等式及有关性质进行推算，进而使用缩放的方法进行推证，从而使得两个不等式获得证明．
2．如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（）的横坐标构成数列．
（1）试求与之间的关系，并证明：；
（2）若，求证：．
与异号，注意到，知，，即．
证法2：由，可得
故有，即是以为公比的等比数列．
设，则，解得，
从而有，由可得，
，，；
（2），
，
，，故有，从而可知，
故，
，
．
3．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”．
（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，，设，证明：．
【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析．
【解析】试题分析：
试题解析：（1）因为数列为“数列”，则，故，两式相减得：，又时，，所以，故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为．
（2）假设存在这样的数列，则有，故有，
两式相减得：，故有，
同理由是“数列”可得，所以对任意恒成立．
所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，所以，所以，故有，，
又时，，故，满足，
所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：．
故，
所以，
两式相减得 ，显然，
故，即．
点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．
（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．
考向4 反证法
1．何时使用反证法：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步（反设）
分清命题“”的条件和结论，作出命题结论相反的假设
第二步（归谬）
由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第三步
（下结论）
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是结论成立，从而间接地证明了命题为真
3．常见的结论和反设词
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有个
至多有个
都是
对任意成立
对任意不成立
不都是
反设词
一个都没有
至少有两个
至多有个
至少有个
不都是
存在某个不成立
存在某个成立
都是
【例10】【2018河北邢台高三上学期第二次月考】①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，由反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）
A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确
【答案】C
【例11】【2018安徽太和中学高二下学期期中考试】已知，则下列三个数，，（ ）
A．都大于6 B．至少有一个不大于6 C．都小于6 D．至少有一个不小于6
【答案】D
【例12】设是三个互不相等的实数，三条抛物线：
（1）；（2）；（3）．试用反证法证明三条抛物线中至少有一条与轴的交点不只一个．
【解析】假设这三条抛物线与轴的交点至多有一个交点，则
与已知矛盾，故原结论成立．
【名师点睛】反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是，或者是，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．
【跟踪练习】
1．【2018北京海淀区高三一模】已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为，如图所示．将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如．若，，则以下结论正确的是
A．中至少有一个为正数 B．中至少有一个为负数
C．中至多有一个为正数 D．中至多有一个为负数
【答案】A
点睛：借此题关键是要根据题意明白所表达的意思，然后容易发现（）=>0从而得出结论
2．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列中任意三项不可能按原来顺序成等差数列．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【解析】（1）解：当时，，则．
又两式相减得，
是首项为1，公比为的等比数列，．
（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为（，且），
则．(*)
又因为，．(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．
3．【2018吉林乾安七中高三上学期第三次模拟】证明：对任意，，，这个值至少有一个不小于．
【解析】假设命题的结论不成立，由假设的不等式同向相加推出与己知事实矛盾．
试题解析；（1）（2）假设这3个值没有一个不小于0，
即
则，（*）
而．
这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
【点睛】反证法是，假设命题的结论不成立，即反面成立，再根据假设及条件及己知公式定理，推出与条件或定理公理或已知事实矛盾的结论，即假设不成立，原命题成立．
4．【2018武汉蔡甸区汉阳一中高三第五次模拟】已知，，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）证明：与不可能同时成立．
【答案】(1)2(2)见解析
试题解析：（1）∵，，
∴
∴．
由题设条件知，
∴．
证明：（2）∵，而，故．
假设与同时成立．即与同时成立，
∵，，则，，∴，这与矛盾，
从而与不可能同时成立．
点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
5．若的定义域为，值域为，则称函数是上的“四维光军”函数．
（1）设是上的“四维光军”函数，求常数的值；
（2）是否存在常数，使函数是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在存在常数，使函数是区间上的“四维光军”函数．
（2）假设函数在区间上是“四维光军”函数，因为在区间上单调递减，即解得，这与已知矛盾．故不存在存在常数，使函数是区间上的“四维光军”函数．
6．【2018北京东城区高三二模】对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量．对于两个维向量定义．
（1）若，求的值；
（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量．
(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的．
【答案】（1）（2）不存在（3）
试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得．
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，
使得，．
因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，
不妨设的第个分量变化了次之后变成，
所以将中所有分量 变为 共需要 次，此数为奇数．
又因为，说明中的分量有个数值发生改变，
进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾．
所以该序列中不存在维向量．
（Ⅲ）此时．