专题：运动学问题的思路与方法

解答运动学问题的思路与方法综述
匀变速直线运动是高中物理中的重要内容，也是历年高考的必考内容。这部分知识不仅自成体系，而且与力学、电学、光学等知识联系紧密。近年来高考考查的重点是匀变速直线运动的规律以及v-t图象的应用。对本章知识的单独考查主要是以选择、填空的形式命题。虽然没有仅以本章知识单独命题的计算题，但较多的是将本章知识与牛顿运动定律、功能知识、带电粒子在电场中的运动等知识结合起来考查。所以从本章在物理学中的地位看，可以说是学习力学，乃至电磁学的基础。另外需要指出的是，考纲中虽然不要求会用v-t图去讨论问题，但实际上高考中图象问题却频频出现，且要求较高。原因是图象问题属于数学方法在物理学中应用的一个重要方面。运动图象是学生进入高中后首次接触到的图象，是学习其它图象的基础。因此，不论是从今后的学习和发展，还是从高考的角度看，都应对运动图象予以足够重视。
由于本章涉及的基本公式和导出公式繁多，且各公式之间又相互关联，使得处理问题的方法也不唯一，因此本章的题目常可一题多解。这就使不少学生在解答具体问题时，因为找不到简捷的方法，使解题过程复杂化，白白浪费了时间，增加了难度。本文就拟对解答运动学问题的思路与本章涉及的许多特殊方法，象比例法、逆向转化法、平均速度法、图象法、巧选参照考系法等作一综合分析。以便使学生达到能够根据试题特点，迅速准确找到一种行之有效的方法，从而顺利解题的目的。
一、依靠匀变速直线运动的基本公式
匀变速直线运动的速度公式，位移公式，以及重要推论是匀变速直线运动的最基本的公式。一般来说，利用这三个基本公式可以求解所有的匀变速直线运动问题。以上公式中涉及的五个物理量，上述三个基本公式含有五个物理量中的四个，每个公式中各缺少一个物理量，解题时题目中不要求或不涉及哪个物理量，就选用缺这个物理量的公式，这样可少走弯路。
特别需要注意的是以上三个公式都是矢量式，各物理量的正（+）、负（-）号与选定的正方向有关。一般情况下都是选择初速度（v0）方向为正方向，但并不绝对。凡与规定正方向同向的量都为正（+）值；反向的量都为负（-）值。
要想迅速准确的解题，必须弄清题意，建立一幅物体运动的图景，画出物体运动示意图，并在图上标明相关位置和所涉及的物理量，明确那些量已知；那些量未知，然后根据各个公式的特点恰当选择公式求解。这对解答任何运动学问题都是必要的。特别对较复杂运动，画草图的方法能使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。为了准确快捷分析问题应养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。
1、全程法
如果物体不是做单方向的匀变速直线运动，而是做加速度不变的往复运动，由于加速度的方向始终和初速度方向相反，此种情况下，完全可以把整个过程作为一个匀减速直线运动处理，将各物理量直接代入公式进行计算。这样解题比分段考虑方便。
例1、气球载一重物以2m/s2的加速度从地面升起，10s末重物与气球分离，求重物从与气球分离到落回地面需要多长时间？
解法1（分段分析法）：把重物的运动过程分成上升和自由下落两个阶段。上升阶段：重物与气球脱离后，只受重力作用，其加速度大小为g与初速度方向相反。取竖直向上为正方向，v0=at=2×10=20m/s ， ，得；。下落阶段：重物与气球脱离时的离地高度s=。由，得，=。。
解法2（全过程分析法）：重物与气球脱离后，只受重力作用，其加速度大小为g始终与初速度方向相反，全过程可按匀变速运动处理。如图1所示，取竖直向上为正方向，v0=at=2×10=20m/s ，= -g，s=；根据，得-100=20t-5t2 ，t=2±4.9（时间不能取负值）t=6.9s。
点评：比较上面两种解法，可以看出解法2——把全过程作为匀变速运动处理较简单。但在使用公式时应注意正方向的规定和式中各物理量的正、负号的确定。
2、对称法
对于竖直上抛运动，和与之对应的自由落体运动有以下特点：①物体先后通过同一位置时的速度等大反向；②物体从同一位置开始上升和下降的时间相等，这就是所谓竖直上抛运动的对称性。
例2、物体做竖直上抛运动，先后经过同一位置的时刻分别为t1和t2，求物体的初速度？
解法1（利用速度对称）：设物体的初速度为v0，由竖直上抛运动对称性可知：物体在t1和t2时刻的速度大小相等，方向相反。取向上为正方向，则有：，解得：。
解法2（利用时间对称）：设物体的初速度为v0，物体两次经过同一位置所用的时间，由竖直上抛运动对称性可知：物体从该位置上升到最高点和从最高点下降到该位置所用的时间相等，。则物体整个上升阶段或下降阶段所用的时间，物体的初速度。
点评：由例2可以看出，应用对称法求解竖直上抛运动非常实用。如果涉及物体做竖直上抛运动，就应该优先想到应用对称法解题。
二、用活匀变速直线运动的比例式
对初速度为零的匀变速直线运动，除可用基本公式求解外，还有以下特殊规律。（设T为任意时间间隔，并将零时刻作为起点）
①第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末的速度之比v1:v2:v3:…:=1:2:3:…:n
②前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比s1:s2:s3:…:=1:4:9:…:n2
③第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比sⅠ:sⅡ:sⅢ:…:=1:3:5:…:(2N-1)
④通过连续相等位移所用时间之比t1:t2:t3:…: =1:::…:
以上特点中，特别是③④两式应用广泛，望同学们熟练掌握。
3、比例式法
例3、一观察者站在列车第一节车厢的前端，列车从静止开始作匀加速直线运动。第一节车厢驶过他身边所用的时间为t1，设每节车厢等长。求第n节车厢驶过他身边需要多长时间？（车厢之间的距离不计）
解法1（常规解法）：设列车加速度为a，每节车厢长为L，则第一节车厢驶过观察者有：；前n节车厢驶过观察者有：；前n-1节车厢驶过观察者有：。且第n节车厢驶过观察者所用时间。由以上四式联立解得：。
解法2（比例式法）：列车作初速度为零匀加速直线运动，且每节车厢等长。则列车通过任意连续相等位移所用时间之比为…………,则第n节车厢驶过观察者所用时间。
点评：本题有多种解法，除上述两种方法外，还可用判别式法和图象法求解。比较而言，仍然是比例式法最简便。凡是涉及物体做初速度为零的匀加速直线运动的问题，就应该优先想到比例式法。
4、逆向转化法
把物理过程的时间反过来看，即让“时光倒流”，从现在回逆过去，有如倒放电影或录相，这样分析问题的思想方法就叫逆向转化法。对末速度为零的匀减速直线运动，就可以采用逆向转化法，把它看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，这样初速度为零的匀加速直线运动的各种公式和推论均可应用，会使问题的求解变得较为简便。
例4、如图2所示，三块完全相同的木块固定在水平地面上，一初速为v0的子弹水平射穿第三块木块后速度恰好为零。设木块对子弹的阻力不随子弹速度变化，子弹依次穿过三块木块的过程中的平均速度之比为多少？
解析：因木块对子弹的阻力不随子弹速度变化，故子弹受到的阻力恒定，子弹在木块中的运动为匀变速运动，设子弹穿过三块木块所用的时间分别为t1、t2、t3，将其看成反方向的初速度为零匀加速直线运动，有t3：t2：t1=，则t1：t2：t3=：：1
所以：：=：：=：：1
点评：应用逆向转化法时要注意分清原过程（正向）与逆过程（反向）的时间、位移、速度的对应关系，千万不要搞反了。
三、巧用匀变速直线运动的特殊公式
前面已经提到，应用基本公式就可以求解所有的匀变速直线运动问题。但是在不少情况下，若从基本公式出发求解，过程可能比较繁琐或计算复杂。根据匀变速直线运动的特点，还可以推导出下列匀变速直线运动的特有公式：
①匀变速直线运动的平均速度；②对匀变速直线运动，在某个过程中间时刻的瞬时速度等于这个过程中的平均速度；③对匀变速直线运动，在某个过程中，位移中点的瞬时速度；④在任意连续相等时间间隔T内的位移之差（推广开来，第K个T内的位移sK与第N个T内的位移sN之差sN-sK=(N-K)aT2）。
应用匀变速直线运动的特有公式就会使一些特殊的匀变速直线运动问题得到简化。
5、平均速度法
如果已知某个物体运动中的初、末速度；或这个过程中的位移和发生这段位移所用时间，应优先考虑应用平均速度解题。
例5、有一物体置于光滑水平面上，今用恒力F1使物体开始加速，经一段时间后撤去F1同时加一个与F1方向相反的恒力F2，经相同的时间物体又回到原出发点。此时速度的大小为8m/s，试求撤去F1时物体速度的大小？
解析：如图3所示，取恒力F1的方向为正方向，
对恒力的F1作用过程有，……①
对恒力的F2作用过程有，……② 由①②两式得：，。
例6、如图4所示，某人在高为2m的窗口观察楼下放炮，他测得炮竹上升时经过窗口的时间为0.2s。问该炮竹从窗的上沿起还能上升多高？
解析：忽略空气阻力时，炮竹经过窗口时作匀减速直线运动，则==10m/s等于炮竹经过窗口时间中间时刻的瞬时速度。从P点起还能上升=1s，从窗口上沿还能上升，。
6、巧用解题
对匀变速直线运动，若出现相等时间问题（即常说的纸带类问题），可优先考虑用处理纸带的方法求解。
例7、物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨道上的四点，测得AB=2m，BC=3m，CD=4m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则OA之间的距离为多少？
解析：设物体通过AB、BC、CD所用的时间为T，则，得……①
又……② 将①②两式代入 得=3.125m。
SOA=SOB-S AB=3.125-2=1.125m。
四、善用运动图象
物理图象能够直观、形象地表达物理规律、描述物理过程、反映各相关物理量之间的关系，因此应用广泛。能够灵活运用图象分析物理规律解决物理问题，不仅能使思路更清晰，而且有些情况下还可以简化解题过程。用运动的位移图象、速度图象解答定性分析问题、追击相遇问题非常有效。所以应建立利用图象解题的思想。
7、图象法
例8、（定性分析问题）一个小球一次沿光滑管道ABC由静止滑下，另一次沿光滑管道ADC由静止滑下。如图6—甲所示，AB和BC间以及AD和DC间用小圆弧连接，问小球沿哪个管道能够较快的从A点落到C点？
解析：因为管道光滑，所以不管小球沿哪个管道到达C点时的速度大小相等。小球的速度图象如图6—乙所示，在管道AB和DC；BC和AD段小球的加速度相等，速度图象的斜率相同。在图上两段路程数值上分别等于两速度图象与两坐标轴围成的“面积”。因为两段路程相等，这两部分面积应相等。由此可知，tABC点评：例8就是利用了v-t图象直观的反映了两小球位移随时间变化的情况，从而轻松解题。利用图象法解题的关键是要正确理解图象的物理意义；准确的认识图象反映出的各物理量的特征和它们之间的关系；或根据实际情景抓住重要特征画出恰当的图象，清晰的反映出各物理量之间的关系。
例9、（追击相遇问题）一条直路上并排停有A、B两车。A先启动，加速度为2m/s2，B晚3s启动，加速度为3m/s2。以A车启动为计时零点，问在两车相遇前何时相距最远？最远距离是多少？
解析：依题意作出两物体的速度图象，如图7所示。两条速度图象的交点，是一个重要的临界点。在时刻t以前，任意一段时间里A的位移一直大于B的位移；在时刻t以后，任意一段时间里B的位移一直大于A的位移。这说明，在t时刻前，A、B间的距离将逐渐增大；在t时刻后，A、B间的距离将逐渐减小。因此在t时刻A、B相距最远。这种关系在速度图象上可直观的体现出来！根据上述分析，可先求出t值，由图象可知在t时刻vA=vB即：a1t=a2(t-3) 2t=3(t-3) t=9s 在t时刻vA=vB=18m/s Δs的值为图中两个三角形面积之差。即图中阴影部分的面积，Δs=(3×18)/2=27m。
8、数学极值法
例9也可以采用数学方法求解。
解析：当A车的运动时间为t时，A车的位移……①；B车的位移……②；则两车之间的距离……③，由①②③联立得……④，这是一个关于t的一元二次函数，由于，所以有最大值。当时；。
点评：数学与物理密不可分，是解决物理问题的有效工具，也是高考五种能力要求之一。学会灵活运用某些数学规律或结论解答物理问题，对学好物理有很大帮助。二次函数常用来计算有关物理极值，如果所求物理量与其它物理量是二次函数关系，就可以利用二次函数性质求极值。如：求追击问题中两物体间的最大距离，电学中某电阻消耗的最大功率等。
五、灵活选取巧选参考系
物体的运动是绝对的，但运动形式具有相对性，与选取的参照物有关。一般情况下，如果没有特别说明，物体的运动均指对地运动，即选择地面为参照物。选择不同的参照物，物体的运动形式就不一样。参照物选的合适，可以化繁为简、化难为易，有助于我们解题。
9、巧选参考系法
例10、从地面以初速度v1竖直上抛物体1的同时，从其正上方高H（m）处以初速度v2(v2解法Ⅰ（常规解法）：设竖直上抛的物体1在t时刻到达A点，水平抛出的物体2同时到达B点。A、B之间的距离为Δs，A、B之间的竖直距离为Δh，A、B之间的水平距离为Δx。则：Δh=…① ……② …③由①②③三式得： 由二次三项式性质可得：
解法Ⅱ（巧选参照物）：以物体1为参照物，物体2对物体1的加速度为零，物体2对物体1的竖直分速度v1,方向竖直向下；物体2对物体1的水平分速度v2,方向水平向右；则物体2对物体1的合速度V= 与竖直方向成角。如图8所示，物体2相对物体1斜向下做匀速直线运动，二者之间的最近距离就是物体1初始位置到物体2相对物体1运动方向的垂直距离。可得。
点评：选择参照物应以对物体运动的描述比选地面为参照物更简单，研究问题更方便为原则。只涉及两个物体的系统，选择其中一个合适的物体为参照物即可；涉及多个物体的系统，应以更多的物体相对这个参照物的运动得到简化为基准。不妨再看一道例题。
例11、、一钓鱼者驾小船逆水航行，行至岸边某棵树下，船上渔竿滑落水中并立即顺流而下。十分钟后渔夫发现并马上掉转船头去寻找（船掉头时间不计）。结果在树下游1800米处将其找到。设小船在静水中的划速一定，则水的速度为（ ）
A、1m/s B、1.5m/s C、2m/s D、3m/s
解析：如选河岸为参照物,解题过程将非常繁琐。渔竿落入水中后和水保持相对静止，若以水为参照物，小船对水的划速一定，小船对渔竿的划速也一定。则小船相对渔竿向上游划行了十分钟，要使它再次追上渔竿，很显然也得需要十分钟。
所以从渔竿落入水中到再次追上渔竿共需20分钟。此过程中渔竿对地位移是1800米，即水的位移也是1800米。则水的速度为1800米/20分=1.5m/s 正确答案为B。
点评：这样选择参照物，避免了涉及船与河岸间的复杂位移关系，优点显而易见。由此可见，利用运动相对性巧选参照物解答某些运动学问题，要比常规方法简便、快捷。
六、复杂运动应用运动的合成与分解
对于一些复杂运动，可以根据运动的独立性原理，将其分解成几个简单的运动形式处理。所谓运动的独立性是指“物体在任何一个方向上的运动都按其自身的规律进行，不会因其它方向上的运动是否存在而受影响”。
10、运动的合成与分解法
例12、光滑水平面上，一个质量为2kg的物体从静止开始运动，在前5s受到一个沿正东方向大小为4N的水平恒力作用；从第5s末开始改受正北方向大小为2N的水平恒力作用了10s。求物体在15s内的位移和15s末的速度。
解析：如图9所示，物体在前5s内由坐标原点沿X轴正向（正东方向）作初速度为零的匀加速直线运动，其加速度 方向沿X轴正向，5s末物体沿X轴方向的位移，到达P点，此时的速度。从第5s末开始，物体参与两个分运动；一是沿X轴正向做速度为10m/s的匀速直线运动，经10s其位移。二是沿Y轴正向（正北方向）做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度。经10s物体沿Y轴正方向的位移，沿Y轴正方向的速度。设15s末物体到达Q点，OQ= 方向为向东偏北。15s末物体的速度 方向为向东偏北。
点评：在高中阶段，一般情况下无法处理非特殊的曲线运动。但有些曲线运动可看成几个直线运动的合成，如平抛运动、带电粒子在电场中的偏转等。这样的运动可以将其分解成相应的几个直线运动，然后就可以利用直线运动的规律求解了。例12就是这样的一道试题。如果遇到物体做曲线运动的问题，就应该想到运动的合成与分解法。
11、递推法
递推法又称为不完全归纳法，是指在数学上由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。用归纳法可以帮助我们从有限事例中发现一般规律。这种方法同样可以应用在物理上，对过程复杂的问题寻求规律尤为有效。一般情况下，只要涉及到按一定规律变化的物理过程，就应该想到应用递推规律求解。
例13、一弹性小球自h0 =5m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经历的时间。
解析：小球运动情形如图1所示，设小球第一次落地时的速度，那么第2，3，4，……（n+1）次落地的速度分别为，，……，。小球从开始下落到第一次与地面发生碰撞经过的时间，。小球从第一次与地面发生碰撞到第二次与地面发生碰撞经过的时间，。小球从第二次与地面发生碰撞到第三次与地面发生碰撞经过的时间，。小球从第三次与地面发生碰撞到第四次与地面发生碰撞经过的时间，。……由此可以推测，小球每与地面发生一次碰撞经过的时间为公比q=的等比数列，，所以总时间t=，当n→∞时，。
点评：运用递推规律写出通式以及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法。物理和数学是紧密联系的，应用数学知识处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年高考均对该能力提出了较高的要求。因此在平时练习中应注意数学知识和物理知识的结合，能够在正确理解题目所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解。
以上对运动学部分的常见题型及解题的思路与方法作了简要总结。由于这部分内容涉及的公式、规律较多，要想熟练掌握哪种题型应用哪种方法，还需要通过练习去仔细揣摩。
图10
PAGE
9