第四章 三角形
4.5利用三角形全等测距离
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”， “角边角”，“角角边”， “边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。【来源：21·世纪·教育·网】
学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。www-2-1-cnjy-com
二、教学任务分析
学习的最高境界是将知识进行迁移，也就是知识的应用。在本章前几节学生已经掌握三角形知识的基础上，本课时的教学及学习任务是利用所探求的三角形全等的条件“边边边”， “角边角”，“角角边”， “边角边”来测距离。本节课的教学目标如下：21世纪教育网版权所有
1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题。
2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 2-1-c-n-j-y
3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：复习提问，情境引入，合作探究，当堂达标，学以致用，课堂小结，布置作业
第一环节 复习提问
活动内容： ① 复习全等三角形的性质及判定条件
② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下：21*cnjy*com
活动目的： 通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。21·世纪*教育网
实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。
第二环节 情境引入
活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；
在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。【版权所有：21教育】
配合简图如下:
教师提出问题： 你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？
活动目的: 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用,适时的提问,激发了学生的学习积极性和好胜心。学生独立思考后，小组间相互交流看法。教师要注意帮助学生审题，引发学生思考,并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离。
实际教学效果：由故事所引发的问题使学生产生了好奇心，并激发了他们的求知欲，有了学习的积极性，使问题变的生动有趣。但是有些同学对此问题不是很理解，也有一些同学意见不同，针对此，教师可做如下安排：
① 先让学生体会这个情境，明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;如:找出教室中与你距离相等的两个点,小组成员合作通过测量来验证战士的做法的合理性。条件允许的情况下,可以安排时间把学生拉到操场或野外选择一定目标亲自做一做。21教育名师原创作品
② 在上述条件下,学生总结并解释战士采用的方法的数学道理。
事实表明，学生们主动参与，积极思考,在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度。在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围。21*cnjy*com
第三环节 合作探究
活动内容: ① 教师引导学生可以用全等的方法测距离，来解决生活中的许多解决相关问题。给出例题:(见教科书174页,教师可适当加入情境,合理安排问题),个人思考后,小组讨论。
小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
② 展示各组方案,小组成员代表讲述画法和原理,全班选定最佳方案，教师作出鼓励性评价。
活动目的: 让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法 ,鼓励学生通过积极探索、讨论找出解决方案，通过合作从不同的角度得出不同的测量方法。使学生理解透彻明白。
实际教学效果：学生讨论出的三种方法,初步感受到成功的喜悦.
方法1：
方法2：
方法3：
第四环节 当堂达标
活动内容：巩固所学知识学生完成以下练习：
练习1 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( )www.21-cn-jy.com
A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS
练习2、 你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？
练习3：如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径。现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？
练习4 如图，太阳光线AC与A’C’是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？2·1·c·n·j·y
活动目的：对本节课的知识进一步的理解、巩固、提高。
实际教学效果：学生基本掌握了利用三角形全等知识解决生活中的实际问题，达到较好的学习效果。锻炼了学生思维的逻辑性和发散性。在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，提高了学生的口头表达能力。
第五环节 学以致用
活动内容：师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。（着重思考如何把距离的测量转化为三角形全等的问题）学生回忆、交流，尝试着对所学知识进行归纳、梳理。教师引导学生回忆所学内容，与学生一起进行补充完善，使学生更加明确所学知识。【来源：21cnj*y.co*m】
活动目的：使学生知道数学与利用所学的数学知识，把生活中的实际问题转化为几何问题，知道运用数学建模的方法解决身边的实际问题，并体会其中的转化思想。【出处：21教育名师】
实际教学效果：学生畅所欲言自己的感受与实际收获，体验成功的喜悦。（图片显示）：
第六环节 课堂小结
请同学们谈一谈你在本节课的收获？
第七环节 布置作业
活动内容：1.请你找两个被建筑物或河流等隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识或数学原理。
2.找些相关习题（略）
活动目的：学生通过户外活动，进一步增强应用意识与运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学与实际生活的密切联系。21教育网
四、 教学设计反思
1. 本节课的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题。教学中先让学生充分发表意见，并给予激励性的评价，培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力。同时适当地把教育激励策略运用于教学活动中，是一种较好的育人艺术。21cnjy.com
2. 在本节课里，首先创设了一个“现实情境”，使学生的练习具有“真实”地解决问题的意味，然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动。通过这样的交流，可以激发学生的好奇心和求知欲，刺激他们思维的多向性与逻辑性，同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯，使他们在积极的互动中掌握知识，发展分析问题、解决问题的能力。注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导，以及及时的反馈与评价。21·cn·jy·com
3. 注意时间的把握，应给学生充分的思考时间，题的难易程度不同，使用时间应不同，交流中及时发现问题并解决，力争课堂更具效果。
4.5 利用三角形全等测距离
基础题 （课后作业：分层设计）
知识点 利用三角形全等测距离
1．利用三角形全等测量距离的原理是( )
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边相等
C．大小和形状相同的两个三角形全等
D．三边对应相等的两个三角形全等
2．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A．边边边 B．角边角
C．边角边 D．角角边
3．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到判定三角形全等的方法是 ．21cnjy.com
4．如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿势不变原地转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B点，他度量出BC＝30米，于是小明测出河宽为 米．www.21-cn-jy.com
5．小明想测量一下马戏团中钢丝间的距离，他爸爸帮他想了一个好办法，把两根草绳AB，CD中点O连在一起，将绳子拉直，只要测出BD间的距离，就可以知道钢丝AC间距离了，你能说出其中的道理吗？www-2-1-cnjy-com
6．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB.
请你说明他们做法的正确性．
7．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰为BC中点，且E，F，M在同一条直线上，在BE段道路上停放了一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？说明其中的道理．
中档题
8．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )21世纪教育网版权所有
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
9．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？21教育网
10．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A点，另一端分别固定在地面上的两个木桩B，C上(绳结处的误差忽略不计)，现在只有一把卷尺，如何检验旗杆是否垂直于BC？请说明理由．21·cn·jy·com
11．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，OB＝OD.AC，BD相交于点O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．2·1·c·n·j·y
12．阅读理解题：某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；(Ⅱ)如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．问：【来源：21·世纪·教育·网】
图1 图2
(1)方案(Ⅰ)是否可行？ ，理由是 ；
(2)方案(Ⅱ)是否可行？ ，理由是 ；
(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ) (填“成立”或“不成立”)．21·世纪*教育网
课件25张PPT。北师大版七年级下第四章 三角形5 利用三角形全等测距离1、利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。
2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
3、培养学生的动手实践能力和小组合作能力学习目标预习交流1、要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等.（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三 角形全等.（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个
三角形全等.（4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.用图形表示三角形全等的判定方法：全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。SSSSASASAAAS预习交流 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。创设情境 这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。ACBD你觉得他的这种方法可行吗？说明其中的理由。12解：在△ADB与△ADC中，有∴△ADB≌△ADC (ASA) .∴DB=DC (全等三角形对应边相等).请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，应该怎么画？ABCACB合作交流如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？1、说出你的设计方案。 2、你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？AB小组合作，设计方案BA· 方案1、先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离.CDE····交流展示方案2：作AB的垂线BF，在BF上取两点C，D，使CD＝BC.再过点D作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是A 、 B间的距离.FABDECG方案3：分别过点A、B作AB的垂线AE、BF，在AE、BF上取两点C，D，使AC＝BD.连接CD。这时测得的CD的长就是A 、 B间的距离.FABDEC通过研究以上方案的设计过程，我们总结构造全等三角形的方法主要有：延长法，垂直法。如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A、SSS B、ASA
C、AAS D、SASB4、做一做，比比看谁的速度快！当堂达标 2、 你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 解：连结BC、B’C’.在△DOC和△D’O’C’中，有∴△DOC≌△D’O’C’（SSS）.∴∠DOC=∠D’O’C’ (全等三角形对应角相等). 如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径。现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？·中点CAB 如图，太阳光线AC与A’C’是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？解：∵AC∥A’C’,∴∠ACB=∠A’C’B’
(两直线平行，同位角相等).在△ABC和△A’B’C’中，有∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）.∴BC=B’C’
(全等三角形对应边相等).思维拓展： 1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军兵营在莱
茵河东岸Q处，如图所示。因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌兵营，聪明的拿
破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对
面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚
站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，并下令按这个距
离炮轰敌兵营。试问法军能命中目标吗？
好高的纪念碑呀！相当于几层楼高呢？学以致用纪念碑想到办法了，要站在路中间。他在干吗呢？ABCA1B1 本节课我们学习了利用全等三角形的性质测
，还学会了把生活中实际问题转化为
几何问题。在测量的过程中，要注意利用已有的
条件和选择适当的 。测量方法越 越
准确越好。课堂小结请同学们谈一谈你在本节课的收获距离方法便捷《导学案》第 124页
A层：1--6题
B层：1---5题
预习作业：《导学案》
第 126---127页
课后作业
赠你一把钥匙，把数学之门打开！
借你一双慧眼，实现数与型结合！
给你一双巧手，把握解题的技巧！
送你一只画笔，把生命蓝图挥洒！
