06年高三物理精讲精练（全套力学部分）[下学期]

　　 力学最新精选题　一．选择题?1．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是　　［　　］
　?Ａ．风速越大，雨滴下落时间越长
　?Ｂ．风速越大，雨滴着地时速度越大
　?Ｃ．雨滴下落时间与风速无关
　?Ｄ．雨滴着地速度与风速无关
　?2．从同一高度分别抛出质量相等的三个小球，一个坚直上抛，一个坚直下抛，另一个平抛．则它们从抛出到落地　　［　　］
　?Ａ．运动的时间相等　　　Ｂ．加速度相同
　?Ｃ．落地时的速度相同　　Ｄ．落地时的动能相等
　?3．某同学身高1．6ｍ，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横越过了1．6ｍ高度的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（ｇ取10ｍ／ｓ２）　　［　　］
　?Ａ．1．6ｍ／ｓ　　　　Ｂ．2ｍ／ｓ
　?Ｃ．4ｍ／ｓ　　　　　　Ｄ．7．2ｍ／ｓ
　?4．如图1-1所示为Ａ、Ｂ两质点作直线运动的ｖ-ｔ图象，已知两质点在同一直线上运动，由图可知　　［　　］图1-1　?Ａ．两个质点一定从同一位置出发
　?Ｂ．两个质点一定同时由静止开始运动
　?Ｃ．ｔ２秒末两质点相遇
　?Ｄ．0～ｔ２秒时间内Ｂ质点可能领先Ａ
　?5．ａ、ｂ两物体同时、同地、同向做匀变速直线运动，若加速度相同，初速度不同，则在运动过程中，下列说法正确的是　　［　　］
　?Ａ．ａ、ｂ两物体速度之差保持不变
　?Ｂ．ａ、ｂ两物体速度之差与时间成正比
　?Ｃ．ａ、ｂ两物体位移之差与时间成正比
　?Ｄ．ａ、ｂ两物体位移之差与时间平方成正比
　?6．质量为50ｋｇ的一学生从1．8ｍ高处跳下，双脚触地后，他紧接着弯曲双腿使重心下降0．6ｍ，则着地过程中，地面对他的平均作用力为　　［　　］
　?Ａ．500Ｎ　　　　Ｂ．1500Ｎ
　?Ｃ．2000Ｎ　　　　Ｄ．1000Ｎ
　?7．如图1-2所示，放在水平光滑平面上的物体Ａ和Ｂ，质量分别为Ｍ和ｍ，水平恒力Ｆ作用在Ａ上，Ａ、Ｂ间的作用力为Ｆ１；水平恒力Ｆ作用在Ｂ上，Ａ、Ｂ间作用力为Ｆ２，则　　［　　］图1-2　?Ａ．Ｆ１＋Ｆ２＝Ｆ　　Ｂ．Ｆ１＝Ｆ２
　?Ｃ．Ｆ１／Ｆ２＝ｍ／Ｍ
　　Ｄ．Ｆ１／Ｆ２＝Ｍ／ｍ
　?8．完全相同的直角三角形滑块Ａ、Ｂ，按图1-3所示叠放，设Ａ、Ｂ接触的斜面光滑，Ａ与桌面的动摩擦因数为μ．现在Ｂ上作用一水平推力Ｆ，恰好使Ａ、Ｂ一起在桌面上匀速运动，且Ａ、Ｂ保持相对静止，则Ａ与桌面的动摩擦因数μ跟斜面倾角θ的关系为　　［　　］图1-3　?Ａ．μ＝ｔｇθ　　　　Ｂ．μ＝（1／2）ｔｇθ
　?Ｃ．μ＝2·ｔｇθ　　　Ｄ．μ与θ无关
　?9．如图1-4一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬一重物，ＡＯ段中张力大小为Ｔ１，ＢＯ段张力大小为Ｔ２，现将右杆绳的固定端由Ｂ缓慢移到Ｂ′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为　　［　　］图1-4　?Ａ．Ｔ１变大，Ｔ２减小　　Ｂ．Ｔ１减小，Ｔ２变大
　?Ｃ．Ｔ１、Ｔ２均变大　　　Ｄ．Ｔ１、Ｔ２均不变
　?10．质量为ｍ的物体放在一水平放置的粗糙木板上，缓慢抬起木板的一端，在如图1-5所示的几个图线中，哪一个最能表示物体的加速度与木板倾角θ的关系　　［　　］图1-5　　11．一木箱在粗糙的水平地面上运动，受水平力Ｆ的作用，那么　　［　　］
　?Ａ．如果木箱做匀速直线运动，Ｆ一定对木箱做正功
　?Ｂ．如果木箱做匀速直线运动，Ｆ可能对木箱做正功
　?Ｃ．如果木箱做匀加速直线运动，Ｆ一定对木箱做正功
　?Ｄ．如果木箱做匀减速直线运动，Ｆ一定对木箱做负功
　?12．吊在大厅天花板上的电扇重力为Ｇ，静止时固定杆对它的拉力为Ｔ，扇叶水平转动起来后，杆对它的拉力为Ｔ′，则　　［　　］
　?Ａ．Ｔ＝Ｇ，Ｔ′＝Ｔ　　Ｂ．Ｔ＝Ｇ，Ｔ′＞Ｔ
　?Ｃ．Ｔ＝Ｇ，Ｔ′＜Ｔ　　Ｄ．Ｔ′＝Ｇ，Ｔ′＞Ｔ
　?13．某消防队员从一平台上跳下，下落2ｍ后双脚着地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0．5ｍ，由此可估计在着地过程中，地面对他双脚的平均作用为自身所受重力的　　［　　］
　?Ａ．2倍　　Ｂ．5倍　　Ｃ．8倍　　Ｄ．10倍
　?14．如图1-6所示，原来静止、质量为ｍ的物块被水平作用力Ｆ轻轻压在竖直墙壁上，墙壁足够高．当Ｆ的大小从零均匀连续增大时，图1-7中关于物块和墙间的摩擦力ｆ与外力Ｆ的关系图象中，正确的是　　［　　］图1-6图1-7　?15．如图1-8所示，在楔形木块的斜面与竖直墙之间静止着一个铁球，铁球与斜面及墙之间的摩擦不计，楔形木块置于水平粗糙地面上，斜面倾角为θ，球的半径为Ｒ，球与斜面接触点为Ａ．现对铁球再施加一个水平向左的压力Ｆ，Ｆ的作用线通过球心Ｏ．若Ｆ缓慢增大而整个装置仍保持静止．在此过程中　　［　　］图1-8　?Ａ．竖直墙对铁球的作用力始终小于水平外力Ｆ
　?Ｂ．斜面对铁球的作用力缓慢增大
　?Ｃ．斜面对地面的摩擦力保持不变
　?Ｄ．Ｆ对Ａ点力矩为ＦＲｃｏｓθ
　　16．矩形滑块由不同材料的上、下两层粘结在一起组成，将其放在光滑的水平面上，如图1-9所示．质量为ｍ的子弹以速度ｖ水平射向滑块，若射击上层，则子弹刚好不穿出，若射击下层，则子弹整个儿刚好嵌入，则上述两种情况相比较　　　［　　］图1-9　?Ａ．两次子弹对滑块做的功一样多
　?Ｂ．两次滑块所受冲量一样大
　?Ｃ．子弹嵌入下层过程中对滑块做功多
　?Ｄ．子弹击中上层过程中，系统产生的热量多
　?17．Ａ、Ｂ两滑块在一水平长直气垫导轨上相碰．用频闪照相机在ｔ０＝0，ｔ１＝Δｔ，ｔ２＝2·Δｔ，ｔ３＝3·Δｔ各时刻闪光四次，摄得如图1-10所示照片，其中Ｂ像有重叠，ｍＢ＝（3／2）ｍＡ，由此可判断　　［　　］图1-10　?Ａ．碰前Ｂ静止，碰撞发生在60ｃｍ处，ｔ＝2．5Δｔ时刻
　?Ｂ．碰后Ｂ静止，碰撞发生在60ｃｍ处，ｔ＝0．5Δｔ时刻
　?Ｃ．碰前Ｂ静止，碰撞发生在60ｃｍ处，ｔ＝0．5Δｔ时刻
　?Ｄ．碰后Ｂ静止，碰撞发生在60ｃｍ处，ｔ＝2．5Δｔ时刻
　?18．如图1-11所示，光滑小球夹于竖直墙和装有铰链的薄板ＯＡ之间，当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中，则　　［　　］图1-11　?Ａ．小球对板的压力增大
　?Ｂ．小球对墙的压力减小
　?Ｃ．小球作用于板的压力对转轴Ｏ的力矩增大
　?Ｄ．小球对板的压力不可能小于球所受的重力
　?19．如图1-12所示，Ａ、Ｂ两质点从同一点Ｏ分别以相同的水平速度ｖ０沿ｘ轴正方向被抛出，Ａ在竖直平面内运动，落地点为Ｐ１，Ｂ沿光滑斜面运动，落地点为Ｐ２．Ｐ１和Ｐ２在同一水平面上，不计空气阻力，则下面说法中正确的是　　［　　］图1-12　?Ａ．Ａ、Ｂ的运动时间相同
　?Ｂ．Ａ、Ｂ沿ｘ轴方向的位移相同
　?Ｃ．Ａ、Ｂ落地时的动量相同
　?Ｄ．Ａ、Ｂ落地时的动能相同
　?20．如图1-13所示，一轻弹簧左端固定在长木板Ｍ的左端，右端与小木块ｍ连接，且ｍ、Ｍ及Ｍ与地面间接触光滑．开始时，ｍ和Ｍ均静止，现同时对ｍ、Ｍ施加等大反向的水平恒力Ｆ１和Ｆ２，从两物体开始运动以后的整个运动过程中，对ｍ、Ｍ和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是　　［　　］图1-13　?Ａ．由于Ｆ１、Ｆ２等大反向，故系统机械能守恒
　?Ｂ．由于Ｆ１、Ｆ２分别对ｍ、Ｍ做正功，故系统的动能不断增加
　?Ｃ．由于Ｆ１、Ｆ２分别对ｍ、Ｍ做正功，故系统的机械能不断增加
　?Ｄ．当弹簧弹力大小与Ｆ１、Ｆ２大小相等时，ｍ、Ｍ的动能最大
　?21．如图1-14所示，将一根不能伸长、柔软的轻绳两端分别系于Ａ、Ｂ两点上，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ１，绳子张力为Ｆ１；将绳子Ｂ端移至Ｃ点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ２，绳子张力为Ｆ２；将绳子Ｂ端移至Ｄ点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ３，不计摩擦，则　　［　　］图1-14　?Ａ．θ１＝θ２＝θ３　　　Ｂ．θ１＝θ２＜θ３
　?Ｃ．Ｆ１＞Ｆ２＞Ｆ３　　Ｄ．Ｆ１＝Ｆ２＜Ｆ３
　?22．如图1-15，在一无限长的小车上，有质量分别为ｍ１和ｍ２的两个滑块（ｍ１＞ｍ２）随车一起向右匀速运动，设两滑块与小车间的动摩擦因数均为μ，其它阻力不计，当车突然停止时，以下说法正确的是　　［　　］图1-15　?Ａ．若μ＝0，两滑块一定相碰
　?Ｂ．若μ＝0，两滑块一定不相碰
　?Ｃ．若μ≠0，两滑块一定相碰
　?Ｄ．若μ≠0，两滑块一定不相碰
　?23．如图1-16所示，一个质量为ｍ的物体（可视为质点）以某一速度从Ａ点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为3ｇ／4，这物体在斜面上上升的最大高度为ｈ，则在这个过程中物体　　［　　］图1-16　?Ａ．重力势能增加了3ｍｇｈ／4
　?Ｂ．重力势能增加了ｍｇｈ
　?Ｃ．动能损失了ｍｇｈ
　?Ｄ．机械能损失了ｍｇｈ／2
　?24．如图1-17所示，两个质量都是ｍ的小球Ａ、Ｂ用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态．已知墙面光滑，水平地面粗糙．现将Ａ球向上移动一小段距离．两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对Ｂ球的支持力Ｎ和轻杆上的压力Ｆ的变化情况是　　［　　］图1-17　?Ａ．Ｎ不变，Ｆ变大　　Ｂ．Ｎ不变，Ｆ变小
　?Ｃ．Ｎ变大，Ｆ变大　　Ｄ．Ｎ变大，Ｆ变小
　?25．如图1-18所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度ｖ匀速运动，现将质量为ｍ的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的P处，已知物体ｍ和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体ｍ放到木板上到它相对木板静止的过程中，对木板施一水平向右的作用力Ｆ，力Ｆ要对木板做功，做功的数值可能为　　　［　　］图1-18　?Ａ．ｍｖ2／4　　Ｂ．ｍｖ2／2　　Ｃ．ｍｖ2　　Ｄ．2ｍｖ2
　?26．如图1-19所示，水平地面上有两块完全相同的木块Ａ、Ｂ，在水平推力Ｆ作用下运动．用ＦＡＢ代表Ａ、Ｂ间的相互作用力．　　　［　　］图1-19　?Ａ．若地面是完全光滑的，则ＦＡＢ＝Ｆ
　?Ｂ．若地面是完全光滑的，则ＦＡＢ＝Ｆ／2
　?Ｃ．若地面是有摩擦的，则ＦＡＢ＝Ｆ
　?Ｄ．若地面是有摩擦的，则ＦＡＢ＝Ｆ／2
　?27．如图1-20是古代农村中的一种舂米工具，Ｏ为固定转轴，石块固定在Ａ端，脚踏左端Ｂ可以使石块升高到Ｐ处，放开脚石块会落下打击稻谷．若脚用力Ｆ，方向始终竖直向下，假定石块升起到Ｐ处过程中每一时刻都处于平衡状态，则　　［　　］图1-20　?Ａ．Ｆ的大小始终不变
　?Ｂ．Ｆ先变大后变小
　?Ｃ．Ｆ的力矩先变大后变小
　?Ｄ．Ｆ的力矩始终不变
　?28．如图1-21所示，质量为ｍ、初速度为ｖ０的带电体ａ，从水平面上的Ｐ点向固定的带电体ｂ运动，ｂ与ａ电性相同，当ａ向右移动ｓ时，速度减为零，设ａ与地面间摩擦因数为μ，那么，当ａ从Ｐ向右的位移为ｓ／2时，ａ的动能为　　［　　］图1-21　?Ａ．大于初动能的一半
　?Ｂ．等于初动能的一半
　?Ｃ．小于初动能的一半
　?Ｄ．动能的减少量等于电势能的增加量
　?29．如图1-22所示，图线表示作用在某物体上的合外力跟时间变化的关系，若物体开始时是静止的，那么　　［　　］图1-22　?Ａ．从ｔ＝0开始，3ｓ内作用在物体的冲量为零
　?Ａ．前4ｓ内物体的位移为零
　?Ｃ．第4ｓ末物体的速度为零
　?Ｄ．前3ｓ内合外力对物体做的功为零
　?30．浸没在水中物体质量为Ｍ，栓在细绳上，手提绳将其向上提高ｈ，设提升过程是缓慢的，则　　［　　］
　?Ａ．物体的重力势能增加Ｍｇｈ
　?Ｂ．细绳拉力对物体做功Ｍｇｈ
　?Ｃ．水和物体系统的机械能增加Ｍｇｈ
　?Ｄ．水的机械能减小，物体机械能增加
?　31．有“高空王子”之称的美籍加拿大人科克伦，于1996年9月24日晚，在毫无保护的情况下，手握10ｍ长的金属杆，在一根横跨在上海浦东两幢大楼之间、高度为110ｍ、长度为196ｍ的钢丝上稳步向前走，18ｍｉｎ后走完全程．他在如此危险的高空中走钢丝能够获得成功，是因为充分利用了下述哪些力学原理 　　［　　］
　?Ａ．降低重心　　　　　
　?Ｂ．增大摩擦力
　?Ｃ．力矩平衡原理　　　
　?Ｄ．牛顿第二定律
　?32．如图1-23所示，质量为ｍ的物体，在沿斜面向上的拉力Ｆ作用下，沿质量为Ｍ的斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，则水平面对斜面　　［　　］图1-23　?Ａ．有水平向左的摩擦力
　?Ｂ．无摩擦力
　?Ｃ．支持力为（Ｍ＋ｍ）ｇ
　?Ｄ．支持力小于（Ｍ＋ｍ）ｇ
　?33．在水平面上有Ｍ、Ｎ两个振动情况完全相同的振源，在ＭＮ连线的中垂线上有ａ、ｂ、ｃ三点，已知某时刻ａ点是两列波波峰相遇点，ｃ点是与ａ点相距最近的两波谷相遇点，ｂ点处在ａ、ｃ正中间，见图1-24，下列叙述中正确的是：　　［　　］图1-24　?Ａ．ａ点是振动加强点，ｃ是振动减弱点
　?Ｂ．ａ和ｂ点都是振动加强点，ｃ是振动减弱点
　?Ｃ．ａ和ｃ点此时刻是振动加强点，经过半个周期后变为振动减弱点，而ｂ点可能变为振动加强点
　?Ｄ．ａ、ｂ、ｃ三点都是振动加强点
　　34．如图1-25所示，电梯质量为Ｍ，它的水平地板上放置一质量为ｍ的物体，电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为Ｈ时，电梯的速度达到ｖ，则在这段过程中，以下说法正确的是　　［　　］图1-25　?Ａ．电梯地板对物体的支持力所做的功等于（1／2）ｍｖ２
　?Ｂ．电梯地板对物体的支持力所做的功大于（1／2）ｍｖ２
　?Ｃ．钢索的拉力所做的功等于（1／2）Ｍｖ２＋ＭｇＨ
　?Ｄ．钢索的拉力所做的功大于（1／2）Ｍｖ２＋ＭｇＨ
　?35．如图1-26所示，质量相同的木块Ａ、Ｂ用轻弹簧连接后置于光滑的水平面上，开始弹簧处于自然状态，现用水平恒力Ｆ拉木块Ａ，则弹簧第一次被拉至最长的过程中　　［　　］图1-26　?Ａ．Ａ、Ｂ速度相同时，加速度ａＡ＝ａＢ
　?Ｂ．Ａ、Ｂ速度相同时，加速度ａＡ＜ａＢ
　?Ｃ．Ａ、Ｂ加速度相同时，速度ｖＡ＜ｖＢ
　?Ｄ．Ａ、Ｂ加速度相同时，速度ｖＡ＞ｖＢ
　?36．竖立在水平地面上的轻弹簧，下端与地面固定，将一金属球放置在弹簧顶端（球与弹簧不粘连），用力向下压球，使弹簧做弹性压缩，稳定后用细线把弹簧栓牢，如图1-27（ａ）所示．烧断细线，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，如图1-27（ｂ）所示．那么该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中　　［　　］图1-27　?Ａ．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小
　?Ｂ．球刚脱离弹簧时的动能最大
　?Ｃ．球所受合力的最大值不一定大于重力值
　?Ｄ．在某一阶段内，球的动能减小而它的机械能增加
　?37．一物体从某一高度自由落下落在竖立于地面的轻弹簧上，如图1-28所示，在Ａ点物体开始与轻弹簧接触，到Ｂ点时，物体速度为零，然后被弹簧弹回，下列说法正确的是　　［　　］图1-28　?Ａ．物体从Ａ下降到Ｂ的过程中动能不断变小
　?Ｂ．物体从Ｂ上升到Ａ的过程中动能不断变大
　?Ｃ．物体从Ａ下降到Ｂ以及从Ｂ上升到Ａ的过程中速率都是先增大后减小
　?Ｄ．物体在Ｂ点时所受合力为零
　?38．如图1-29所示，两根质量可忽略的轻质弹簧静止系住一小球，弹簧处于竖直状态．若只撤去弹簧ａ，撤去的瞬间小球的加速度大小为2．6ｍ／ｓ２，若只撤去弹簧ｂ，则撤去的瞬间小球的加速度可能为（ｇ取10ｍ／ｓ２）　　［　　］图1-29　?Ａ．7．5ｍ／ｓ２，方向竖直向上
　?Ｂ．7．5ｍ／ｓ２，方向竖直向下
　?Ｃ．12．5ｍ／ｓ２，方向竖直向上
　?Ｄ．12．5ｍ／ｓ２，方向竖直向下
　?39．一个劲度系数为ｋ、由绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为ｍ、带正电荷ｑ的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当加入如图1-30所示的场强为Ｅ的匀强电场后，小球开始运动，下列说法正确的是　　［　　］图1-30　?Ａ．球的速度为零时，弹簧伸长ｑＥ／ｋ
　?Ｂ．球做简谐振动，振幅为ｑＥ／ｋ
　?Ｃ．运动过程中，小球的机械能守恒
　?Ｄ．运动过程中，小球的电势能、动能和弹性势能相互转化
　?40．如图1-31所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于ａ位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到ｂ位置．现将重球（视为质点）从高于ａ位置的ｃ位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置ｄ．以下关于重球运动过程的正确说法应是　　［　　］图1-31　?Ａ．重球下落压缩弹簧由ａ至ｄ的过程中，重球做减速运动
　?Ｂ．重球下落至ｂ处获得最大速度
　?Ｃ．由ａ至ｄ过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由ｃ下落至ｄ处时重力势能减少量
　?Ｄ．重球在ｂ位置处具有的动能等于小球由ｃ下落到ｂ处减少的重力势能
　?41．质量相等的两物块Ｐ、Ｑ间用一轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上，并使Ｑ物块紧靠在墙上，现用力Ｆ推物块Ｐ压缩弹簧，如图1-32所示，待系统静止后突然撤去Ｆ，从撤去力Ｆ起计时，则　　［　　］图1-32
　?Ａ．Ｐ、Ｑ及弹簧组成的系统机械能总保持不变
　?Ｂ．Ｐ、Ｑ的总动量保持不变
　?Ｃ．不管弹簧伸到最长时，还是缩短到最短时，Ｐ、Ｑ的速度总相等
　?Ｄ．弹簧第二次恢复原长时，Ｐ的速度恰好为零，而Ｑ的速度达到最大
　?42．如图1-33所示，Ａ、Ｂ是两只相同的齿轮，Ａ被固定不能转动，若Ｂ齿轮绕Ａ齿轮运动半周，到达图中的Ｃ位置，则Ｂ齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是　　［　　］图1-33　?Ａ．竖直向上　　　Ｂ．竖直向下
　?Ｃ．水平向左　　　Ｄ．水平向右
　?43．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的是　　［　　］
　?Ａ．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
　?Ｂ．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
　?Ｃ．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
　?Ｄ．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
　?44．把一个筛子用四根相同的
　弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它转动过程中，给筛子以周期性的驱动力，这就做成了一个共振筛．筛子做自由振动时，完成20次全振动用时10ｓ，在某电压下，电动偏心轮的转速是90ｒ／ｍｉｎ（即90转／分钟），已知增大电动偏心轮的驱动电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，要使筛子的振幅增大，下列办法可行的是　　　［　　］
　?Ａ．降低偏心轮的驱动电压
　?Ｂ．提高偏心轮的驱动电压
　?Ｃ．增加筛子的质量
　?Ｄ．减小筛子的质量
　?45．甲、乙二位同学分别使用图1-34中左图所示的同一套装置，观察单摆做简揩运动时的振动图象，已知二人实验时所用的摆长相同，落在木板上的细砂分别形成的曲线如图1-34中右图所示．下面关于两图线不同的原因的说法中正确的是　　［　　］图1-34　?Ａ．甲图表示砂摆摆动的幅度较大，乙图摆动的幅度较小
　?Ｂ．甲图表示砂摆振动的周期较大，乙图振动周期较小
　?Ｃ．甲图表示砂摆按正弦规律变化，是简谐运动，乙图不是简谐运动
　?Ｄ．二人拉木板的速度不同，甲图表示木板运动速度较大
　?46．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为ｆ固，则　　［　　］驱动力频率／Ｈｚ304050607080受迫振动振幅／ｃｍ10．216．827．228．116．58．3　　Ａ．ｆ固＝60Ｈｚ　　　　　　Ｂ．60Ｈｚ＜ｆ固＜70Ｈｚ
　?Ｃ．50Ｈｚ＜ｆ固＜60Ｈｚ　　Ｄ．以上三个答案都不对
　?47．如图1-35所示是一列横波在某时刻的波形图，波速ｖ＝60ｍ／ｓ，波沿ｘ轴正方向传播，从图中可知　　［　　］图1-35　?Ａ．质点振幅为2ｃｍ，波长为24ｃｍ，周期为2．5ｓ
　?Ｂ．在ｘ＝6ｍ处，质点的位移为零，速度方向沿ｘ轴正方向
　?Ｃ．在ｘ＝18ｍ处，质点的位移为零，加速度最大
　?Ｄ．在ｘ＝24ｍ处，质点的位移为2ｃｍ，周期为0．4ｓ
　?48．一列简谐横波在某时刻的波形如图1-36中实线所示，经2．0ｓ后波形如图1-36中虚线所示，则该波的波速和频率可能是图1－36　?Ａ．ｖ为1．5ｍ／ｓ　　Ｂ．ｖ为6．5ｍ／ｓ
　?Ｃ．ｆ为2．5Ｈｚ　　　Ｄ．ｆ为1．5Ｈｚ
　?49．一列横波在ｘ轴上传播，ｔ（ｓ）与（ｔ＋0．4）（ｓ）在ｘ轴上－3ｍ～3ｍ的区间内的波形图如图1-37所示，由图可知　　［　　］图1-37　?Ａ．该波最大波速为10ｍ／ｓ
　?Ｂ．质点振动周期的最大值为0．4ｓ
　?Ｃ．（ｔ＋0．2）ｓ时，ｘ＝3ｍ的质点位移为零
　?Ｄ．若波沿＋ｘ方向传播，各质点刚开始振动时的方向向上
　?50．如图1-38所示为机械波1和机械波2在同一种介质中传播时某时刻的波形图，则下列说法中正确的是　　［　　］图1－38　?Ａ．波2速度比波1速度大
　?Ｂ．波2速度与波1速度一样大
　?Ｃ．波2频率比波1频率大
　?Ｄ．这两列波不可能发生干涉现象
　?51．一列横波沿直线传播波速为2ｍ／ｓ，在传播方向上取甲、乙两点（如图1-39），从波刚好传到它们中某点时开始计时，已知5ｓ内甲点完成8次全振动，乙点完成10次全振动，则波的传播方向和甲、乙两点间的距离为　　［　　］图1-39　?Ａ．甲向乙，2ｍ　　　Ｂ．乙向甲，2ｍ
　?Ｃ．甲向乙，1．6ｍ　　Ｄ．乙向甲，5ｍ
　?52．ａ、ｂ是一条水平的绳上相距为Ｌ的两点，一列简谐横波沿绳传播，其波长等于2Ｌ／3，当ａ点经过平衡位置向上运动时，ｂ点　　［　　］
　?Ａ．经过平衡位置向上运动
　?Ｂ．处于平衡位置上方位移最大处
　?Ｃ．经过平衡位置向下运动
　?Ｄ．处于平衡位置下方位移最大处
　?53．一列波沿ｘ轴正方向传播，波长为λ，波的振幅为Ａ，波速为ｖ，某时刻波形如图1-40所示，经过ｔ＝5λ／4ｖ时，正确的说法是　　［　　］图1-40　?Ａ．波传播的距离为（5／4）λ
　?Ｂ．质点Ｐ完成了5次全振动
　?Ｃ．质点Ｐ此时正向ｙ轴正方向运动
　?Ｄ．质点Ｐ运动的路程为5Ａ
　?54．如图1-41所示，振源Ｓ在垂直ｘ轴方向振动，并形成沿ｘ轴正方向、负方向传播的横波，波的频率50Ｈｚ，波速为20ｍ／ｓ，ｘ轴有Ｐ、Ｑ两点，ＳＰ＝2．9ｍ，ＳＱ＝2．7ｍ，经过足够的时间以后，当质点Ｓ正通过平衡位置向上运动的时刻，则　　［　　］图1-41　?Ａ．质点Ｐ和Ｓ之间有7个波峰
　?Ｂ．质点Ｑ和Ｓ之间有7个波谷
　?Ｃ．质点Ｐ正处于波峰，质点Ｑ正处于波谷
　?Ｄ．质点Ｐ正处于波谷，质点Ｑ正处于波峰
　?55．呈水平状态的弹性绳，左端在竖直方向做周期为0．4ｓ的简谐振动，在ｔ＝0时左端开始向上振动，则在ｔ＝0．5ｓ时，绳上的波可能是图1-42中的　　［　　］图1-42　?56．物体做简谐振动，每当物体到达同一位置时，保持不变的物理量有　　［　　］
　?Ａ．速度　　Ｂ．加速度　　Ｃ．动量　　Ｄ．动能
　?57．水平方向振动的弹簧振子做简谐振动的周期为Ｔ，则　　［　　］
　?Ａ．若在时间Δｔ内，弹力对振子做功为零，则Δｔ一定是Ｔ／2的整数倍
　?Ｂ．若在时间Δｔ内，弹力对振子做功为零，则Δｔ可能小于Ｔ／2
　?Ｃ．若在时间Δｔ内，弹力对振子冲量为零，则Δｔ一定是Ｔ的整数倍
　?Ｄ．若在时间Δｔ内，弹力对振子的冲量为零，则Δｔ可能小于Ｔ／4
　?58．一列简谐波沿ｘ轴传播，某时刻波形如图1-43所示，由图可知　　［　　］图1-43　?Ａ．若波沿ｘ轴正方向传播，此时刻质点ｃ向上运动
　?Ｂ．若波沿ｘ轴正方向传播，质点ｅ比质点ｃ先回到平衡位置
　?Ｃ．质点ａ和质点ｂ的振幅是2ｃｍ
　?Ｄ．再过Ｔ／8，质点ｃ运动到ｄ点
　?59．用ｍ表示地球通讯卫星的质量，ｈ表示它离地面的高度，Ｒ０表示地球的半径，ｇ０表示地球表面处的重力加速度，ω０表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为　　［　　］
　?Ａ．0　　　　　　　　　　　　　Ｂ．ｍω０2（Ｒ０＋ｈ）
　?Ｃ．ｍＲ０2ｇ０／（Ｒ０＋ｈ）2　　Ｄ．ｍ
　?60．一卫星绕行星做匀速圆周运动，假设万有引力常量Ｇ为已知，由以下物理量能求出行星质量的是　　［　　］
　?Ａ．卫星质量及卫星的动转周期
　?Ｂ．卫星的线速度和轨道半径
　?Ｃ．卫星的运转周期和轨道半径
　?Ｄ．卫星的密度和轨道半径
　?61．宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站　　［　　］
　?Ａ．只能从较低轨道上加速
　?Ｂ．只能从较高轨道上加速
　?Ｃ．只能从与空间站同一高度轨道上加速
　?Ｄ．无论在什么轨道上，只要加速都行
　?62．启动卫星的发动机使其速度加大，待它运动到距离地面的高度比原来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动成为另一轨道的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比　　［　　］
　?Ａ．速率增大　　　　　Ｂ．周期增大
　?Ｃ．机械能增大　　　　Ｄ．加速度增大
　?63．土星外层上有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以根据环中各层的线速度ｖ与该层到土星中心的距离Ｒ之间的关系来判断　　［　　］
　?Ａ．若ｖ∝Ｒ，则该层是土星的一部分
　?Ｂ．若ｖ2∝Ｒ，则该层是土星的卫星群
　?Ｃ．若ｖ∝1／Ｒ，则该层是土星的一部分
　?Ｄ．若ｖ2∝1／Ｒ，则该层是土星的卫星群
　?64．如图1-44中的圆ａ、ｂ、ｃ，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言　　［　　］图1-44　?Ａ．卫星的轨道可能为ａ
　?Ｂ．卫星的轨道可能为ｂ
　?Ｃ．卫星的轨道可能为ｃ
　?Ｄ．同步卫星的轨道只可能为ｂ
　?65．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比　　［　　］
　?Ａ．地球与月球间的万有引力将变大
　?Ａ．地球与月球间的万有引力将变小
　?Ｃ．月球绕地球运动的周期将变长
　?Ｄ．月球绕地球运动的周期将变短
　?66．下列叙述中正确的是
　?Ａ．人类发射的通讯、电视转播卫星离地面越高越好，因为其传送的范围大
　?Ｂ．某一人造地球卫星离地面越高，其机械能就越大，但其运行速度就越小
　?Ｃ．由于人造地球卫星长期受微小阻力的作用，因而其运行速度会逐渐变大
　?Ｄ．我国于1999年11月20日发射的“神舟”号飞船在落向内蒙古地面的过程中，一直处于失重状态
二．填空
?　　?1．飞机以恒定的速度ｖ沿水平方向飞行，飞行高度为2000ｍ，在飞行过程中释放一炸弹，经30ｓ后飞行员听见炸弹落地爆炸声．假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为320ｍ／ｓ，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取ｇ＝10ｍ／ｓ２．则炸弹经________ｓ时间落地，该飞机的飞行速度ｖ＝________ｍ／ｓ．（答案保留2位有效数字）
　?2．一辆运货的汽车总质量为3．0×10３ｋｇ，这辆汽车以10ｍ／ｓ的速度匀速通过凸圆弧形桥，桥的圆孤半径是50ｍ，则汽车通过桥中央（圆孤顶部）时，桥面受到汽车的压力大小为________Ｎ．如果这辆汽车通过凸形桥圆弧顶部时速度达到________ｍ／ｓ．汽车就没有受到桥面的摩擦力．（ｇ取10ｍ／ｓ２）
　?3．某同学在跳绳比赛中，1ｍｉｎ跳了120次，若每次起跳中有4／5的时间腾空，该同学体重为500Ｎ，则它起跳时向上的速度为________ｍ／ｓ；他在跳绳中克服重力做功的平均功率为________Ｗ．（ｇ＝10ｍ／ｓ２）
　?4．如图1-45所示，光滑圆筒竖直放置，筒半径为Ｒ，在筒上部有一个入口Ａ，沿Ａ处的切线方向有一光滑弧形导轨．一个小球从导轨上距Ａ点足够高为Ｈ处，由静止开始滑下，进入Ａ后，沿筒壁运动，为了使小球从Ａ正下方的出口Ｂ飞出，Ａ、Ｂ间的高度差应该是________．图1-45　?5．喷水池喷出的竖直向上的水柱高ｈ＝5ｍ．空中有水20ｄｍ３．空气阻力不计，则喷水机做功的功率约为________Ｗ．（ｇ取10ｍ／ｓ２）
　?6．如图1-46，一物块以150Ｊ的初动能从斜面底端Ａ沿斜面向上滑动，到Ｂ时动能减少100Ｊ，机械能减少30Ｊ，则第一次到达最高点时的势能为________Ｊ，若回到Ａ时和挡板相碰无能量损失，则第二次到达最高点时的势能为________Ｊ．图1-46　?7．如图1-47所示，水平绳与轻弹簧共同固定一个重球静止，弹簧与竖直方向成θ角．现剪断水平绳，在绳断时，重球的加速度大小为________，方向________．图1-47　?8．如图1-48所示，传送带与水平面倾角为θ＝37°，以10ｍ／ｓ的速率运行，在传送带上端Ａ处无初速地放上一质量为0．5ｋｇ的物体，它与传送带间的动摩擦因数为0．5．若传送带Ａ到Ｂ的长度为16ｍ，则物体从Ａ到Ｂ的时间可能为（ｇ＝10ｍ／ｓ２，ｓｉｎ37°＝0．6）________ｓ．图1-48　?9．空间探测器从某一星球表面竖直升空，已知探测器质量为1500ｋｇ（设为恒量），发动机推动力为恒力．探测器升空后发动机因故障突然关闭，如图1-49是探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图线，则由图象可判断该探测器在星球表面达到的最大高度Ｈｍ＝________ｍ，发动机的推力Ｆ＝________Ｎ．图1-49　?10．如图1－50所示，固定在竖直平面内的光滑圆周轨道的半径为Ｒ，Ａ点为轨道的最低点，Ｃ为轨道的最高点，Ｂ点和Ｄ点与圆心Ｏ在同一水平面上，一质量为ｍ的小球（可视为质点）从Ａ点开始向右沿轨道内侧运动，经Ｃ点时对轨道的压力刚好减小到零，若小球做圆周运动的周期为Ｔ，则________．图1-50　?（1）小球经过最高点Ｃ时的速度大小为________．
　?（2）小球由Ｃ经Ｄ到达Ａ点的过程中，重力对小球做功的平均功率是________．
　?11．设质量为ｍ的质点Ａ和质量为2ｍ的质点Ｂ之间存在恒定的引力Ｆ，先将质点Ａ、Ｂ分别固定在ｘ轴上的原点Ｏ和距原点为ｌ的Ｍ点，释放Ａ、Ｂ后，它们在恒定引力Ｆ作用下将发生碰撞，在Ａ、Ｂ碰撞前瞬间质点Ａ的速度大小为________．
　?12．中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度，通过观察已知某中子星的自转角速度ω＝60πｒａｄ／ｓ，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子量的密度，试写出中子星的密度最小值的表达式为ρ＝________，计算出该中子星的密度至少为________ｋｇ／ｍ3．（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字．）
　?13．如图1-51所示，在劲度系数为ｋ的弹簧下端挂有一质量为ｍ的物体，开始时用托盘托着物体，使弹簧保持原长，然后托盘以加速度ａ匀加速下降（ａ小于重力加速度ｇ），则从托盘开始下降到托盘与物体分离所经历的时间为________．图1-51　?14．竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为Ｈ1，如图1-52所示．现将一质量为ｍ的物体轻轻放在平板中心，让它从静止开始向下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面间的距离为Ｈ2，若取弹簧无形变时为弹性势能的零点，则此时弹簧的弹性势能为________．图1-52　?15．如图1-53所示，被轻质弹簧（劲度系数为ｋ）连接的物块Ａ和Ｂ的质量均为ｍ．现用外力竖直向下使Ａ下移压缩弹簧，然后撤去外力，当Ａ向上运动使弹簧长度为Ｈ1时，Ｂ对水平地面的压力为零．现若改在轨道半径为Ｒ的航天飞机上重复上述操作，则当Ｂ对支持面的压力为零时，弹簧的长度Ｈ2＝________，此时Ａ的加速度ａ＝________．（已知地面上重力加速度为ｇ，地球半径为Ｒ0，操作中弹簧均处在弹性限度内）图1-53　?16．如图1-54所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放一个质量ｍ＝12ｋｇ并处于静止的物体Ｐ，弹簧劲度系数ｋ＝300Ｎ／ｍ，现给Ｐ施加一个竖直向上的力Ｆ，使Ｐ从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0．2ｓ内Ｆ是变力，在0．2ｓ以后Ｆ是恒力，ｇ取10ｍ／ｓ2，则物体Ｐ做匀加速运动的加速度ａ的大小为________，Ｆ的最小值是________Ｎ，最大值是________Ｎ．图1-54　?17．由于地球本身的自转和公转以及月亮和太阳对海水的作用力，两者合起来结果形成潮汐运动．若已知地球自转能量与其自转周期的关系式为Ｅ＝Ａ／Ｔ２，其中Ａ＝1．65×10３５Ｊ·ｓ２，Ｔ为地球自转一周的时间，现取为8．64×10４ｓ．最近一百万年来（3．16×10１３ｓ）由于潮汐作用，地球自转周期长了16ｓ，试估算潮汐的平均功率________Ｗ．
　?18．1999年12月20日，我国成功地发射了第一艘试验飞船——“神舟号”，如果已知地球半径为Ｒ，地球表面重力加速度为ｇ，“神舟号”绕地球运行的周期为Ｔ，则“神舟号”飞行时离地高度为________．
　?19．一人做“蹦迪”运动，用原长15ｍ的橡皮绳拴住身体往下跃，若此人质量为50ｋｇ，从50ｍ高处由静止下落，运动停止瞬间所用时间为4ｓ，则橡皮绳对人的平均作用力约为________．（ｇ取10ｍ／ｓ２）
三．计算题
　?　　1．在光滑的水平面内，一质量ｍ＝1ｋｇ的质点以速度ｖ０＝10ｍ／ｓ沿ｘ轴正方向运动，经过原点后受一沿ｙ轴正方向的恒力Ｆ＝5Ｎ作用，直线ＯＡ与ｘ轴成37°角，如图1-70所示，求：图1-70　?（1）如果质点的运动轨迹与直线ＯＡ相交于Ｐ点，则质点从Ｏ点到Ｐ点所经历的时间以及Ｐ的坐标；
　?（2）质点经过Ｐ点时的速度．
　?2．如图1-71甲所示，质量为1ｋｇ的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力Ｆ，1ｓ末后将拉力撤去．物体运动的ｖ-ｔ图象如图1-71乙，试求拉力Ｆ．图1-71　?3．一平直的传送带以速率ｖ＝2ｍ／ｓ匀速运行，在Ａ处把物体轻轻地放到传送带上，经过时间ｔ＝6ｓ，物体到达Ｂ处．Ａ、Ｂ相距Ｌ＝10ｍ．则物体在传送带上匀加速运动的时间是多少 如果提高传送带的运行速率，物体能较快地传送到Ｂ处．要让物体以最短的时间从Ａ处传送到Ｂ处，说明并计算传送带的运行速率至少应为多大 若使传送带的运行速率在此基础上再增大1倍，则物体从Ａ传送到Ｂ的时间又是多少
　?4．如图1-72所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度ｇ／2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17／18，已知地球半径为Ｒ，求火箭此时离地面的高度．（ｇ为地面附近的重力加速度）图1-72　?5．如图1-73所示，质量Ｍ＝10ｋｇ的木楔ＡＢＣ静止置于粗糙水平地面上，摩擦因素μ＝0．02．在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量ｍ＝1．0ｋｇ的物块由静止开始沿斜面下滑．当滑行路程ｓ＝1．4ｍ时，其速度ｖ＝1．4ｍ／ｓ．在这过程中木楔没有动．求地面对木楔的摩擦力的大小和方向．（重力加速度取ｇ＝10／ｍ·ｓ２）图1-73　?6．某航空公司的一架客机，在正常航线上作水平飞行时，由于突然受到强大垂直气流的作用，使飞机在10ｓ内高度下降1700ｍ造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究飞机在竖直方向上的运动，且假定这一运动是匀变速直线运动．试计算：
　?（1）飞机在竖直方向上产生的加速度多大 方向怎样
　?（2）乘客所系安全带必须提供相当于乘客体重多少倍的竖直拉力，才能使乘客不脱离座椅？（ｇ取10ｍ／ｓ２）
　?（3）未系安全带的乘客，相对于机舱将向什么方向运动 最可能受到伤害的是人体的什么部位
　?（注：飞机上乘客所系的安全带是固定连结在飞机座椅和乘客腰部的较宽的带子，它使乘客与飞机座椅连为一体）
　?7．宇航员在月球上自高ｈ处以初速度ｖ０水平抛出一小球，测出水平射程为Ｌ（地面平坦），已知月球半径为Ｒ，若在月球上发射一颗月球的卫星，它在月球表面附近环绕月球运行的周期是多少
　?8．把一个质量是2ｋｇ的物块放在水平面上，用12Ｎ的水平拉力使物体从静止开始运动，物块与水平面的动摩擦因数为0．2，物块运动2秒末撤去拉力，ｇ取10ｍ／ｓ２．求
　?（1）2秒末物块的即时速度．
　?（2）此后物块在水平面上还能滑行的最大距离．
　?9．如图1-74所示，一个人用与水平方向成θ＝30°角的斜向下的推力Ｆ推一个重Ｇ＝200Ｎ的箱子匀速前进，箱子与地面间的动摩擦因数为μ＝0．40（ｇ＝10ｍ／ｓ２）．求图1-74?　（1）推力Ｆ的大小．
　?（2）若人不改变推力Ｆ的大小，只把力的方向变为水平去推这个静止的箱子，推力作用时间ｔ＝3．0ｓ后撤去，箱子最远运动多长距离
　?10．一网球运动员在离开网的距离为12ｍ处沿水平方向发球，发球高度为2．4ｍ，网的高度为0．9ｍ．
　?（1）若网球在网上0．1ｍ处越过，求网球的初速度．
　?（2）若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离．
　?取ｇ＝10／ｍ·ｓ２，不考虑空气阻力．
　?11．地球质量为Ｍ，半径为Ｒ，万有引力常量为Ｇ，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．
　?（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据．
　?（2）若已知第一宇宙速度的大小为ｖ＝7．9ｋｍ／ｓ，地球半径Ｒ＝6．4×10３ｋｍ，万有引力常量Ｇ＝（2／3）×10－10Ｎ·ｍ２／ｋｇ２，求地球质量（结果要求保留二位有效数字）．
　?12．如图1-75所示，质量2．0ｋｇ的小车放在光滑水平面上，在小车右端放一质量为1．0ｋｇ的物块，物块与小车之间的动摩擦因数为0．5，当物块与小车同时分别受到水平向左Ｆ１＝6．0Ｎ的拉力和水平向右Ｆ２＝9．0Ｎ的拉力，经0．4ｓ同时撤去两力，为使物块不从小车上滑下，求小车最少要多长．（ｇ取10ｍ／ｓ２）图1-75　?13．如图1-76所示，带弧形轨道的小车放在上表面光滑的静止浮于水面的船上，车左端被固定在船上的物体挡住，小车的弧形轨道和水平部分在Ｂ点相切，且ＡＢ段光滑，ＢＣ段粗糙．现有一个离车的ＢＣ面高为ｈ的木块由Ａ点自静止滑下，最终停在车面上ＢＣ段的某处．已知木块、车、船的质量分别为ｍ１＝ｍ，ｍ２＝2ｍ，ｍ３＝3ｍ；木块与车表面间的动摩擦因数μ＝0．4，水对船的阻力不计，求木块在ＢＣ面上滑行的距离ｓ是多少 （设船足够长）图1-76　?14．如图1-77所示，一条不可伸长的轻绳长为Ｌ，一端用手握住，另一端系一质量为ｍ的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为Ｒ、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径Ｒ的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为Ｐ，求：图1-77　?（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小．
　?（2）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小．
　?15．如图1-78所示，长为Ｌ＝0．50ｍ的木板ＡＢ静止、固定在水平面上，在ＡＢ的左端面有一质量为Ｍ＝0．48ｋｇ的小木块Ｃ（可视为质点），现有一质量为ｍ＝20ｇ的子弹以ｖ０＝75ｍ／ｓ的速度射向小木块Ｃ并留在小木块中．已知小木块Ｃ与木板ＡＢ之间的动摩擦因数为μ＝0．1．（ｇ取10ｍ／ｓ２）图1-78　?（1）求小木块Ｃ运动至ＡＢ右端面时的速度大小ｖ２．
　?（2）若将木板ＡＢ固定在以ｕ＝1．0ｍ／ｓ恒定速度向右运动的小车上（小车质量远大于小木块Ｃ的质量），小木块Ｃ仍放在木板ＡＢ的Ａ端，子弹以ｖ０′＝76ｍ／ｓ的速度射向小木块Ｃ并留在小木块中，求小木块Ｃ运动至ＡＢ右端面的过程中小车向右运动的距离ｓ．
　?16．如图1-79所示，一质量Ｍ＝2ｋｇ的长木板Ｂ静止于光滑水平面上，Ｂ的右边放有竖直挡板．现有一小物体Ａ（可视为质点）质量ｍ＝1ｋｇ，以速度ｖ０＝6ｍ／ｓ从Ｂ的左端水平滑上Ｂ，已知Ａ和Ｂ间的动摩擦因数μ＝0．2，Ｂ与竖直挡板的碰撞时间极短，且碰撞时无机械能损失．图1-79　?（1）若Ｂ的右端距挡板ｓ＝4ｍ，要使Ａ最终不脱离Ｂ，则木板Ｂ的长度至少多长
　?（2）若Ｂ的右端距挡板ｓ＝0．5ｍ，要使Ａ最终不脱离Ｂ，则木板Ｂ的长度至少多长
　?17．如图1-80所示，长木板Ａ右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1．5Ｍ，静止在光滑的水平地面上．小木块Ｂ质量为Ｍ，从Ａ的左端开始以初速度ｖ０在Ａ上滑动，滑到右端与挡板发生碰撞，已知碰撞过程时间极短，碰后木块Ｂ恰好滑到Ａ的左端就停止滑动．已知Ｂ与Ａ间的动摩擦因数为μ，Ｂ在Ａ板上单程滑行长度为ｌ．求：图1-80　?（1）若μｌ＝3ｖ０２／160ｇ，在Ｂ与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板Ａ做正功还是负功 做多少功
　?（2）讨论Ａ和Ｂ在整个运动过程中，是否有可能在某一段时间里运动方向是向左的．如果不可能，说明理由；如果可能，求出发生这种情况的条件．
　?18．在某市区内，一辆小汽车在平直的公路上以速度ｖＡ向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从班马线上横过马路．汽车司机发现前方有危险（游客正在Ｄ处）经0．7ｓ作出反应，紧急刹车，但仍将正步行至Ｂ处的游客撞伤，该汽车最终在Ｃ处停下．为了清晰了解事故现场．现以图1-81示之：为了判断汽车司机是否超速行驶，警方派一警车以法定最高速度ｖｍ＝14．0ｍ／ｓ行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点Ａ紧急刹车，经31．5ｍ后停下来．在事故现场测得＝17．5ｍ、＝14．0ｍ、＝2．6ｍ．问图1-81　?①该肇事汽车的初速度ｖＡ是多大
　?②游客横过马路的速度大小 （ｇ取10ｍ／ｓ２）
　?19．如图1-82所示，质量ｍＡ＝10ｋｇ的物块Ａ与质量ｍＢ＝2ｋｇ的物块Ｂ放在倾角θ＝30°的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块Ｂ连接，另一端与固定挡板连接，弹簧的劲度系数ｋ＝400Ｎ／ｍ．现给物块Ａ施加一个平行于斜面向上的力Ｆ，使物块Ａ沿斜面向上做匀加速运动，已知力Ｆ在前0．2ｓ内为变力，0．2ｓ后为恒力，求（ｇ取10ｍ／ｓ２）图1-82　?（1）力Ｆ的最大值与最小值；
　?（2）力Ｆ由最小值达到最大值的过程中，物块Ａ所增加的重力势能．
　?20．如图1-83所示，滑块Ａ、Ｂ的质量分别为ｍ１与ｍ２，ｍ１＜ｍ２，由轻质弹簧相连接，置于水平的气垫导轨上．用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧．两滑块一起以恒定的速度ｖ０向右滑动．突然，轻绳断开．当弹簧伸长至本身的自然长度时，滑块Ａ的速度正好为零．问在以后的运动过程中，滑块Ｂ是否会有速度等于零的时刻 试通过定量分析，证明你的结论．图1-83　?21．如图1-84所示，表面粗糙的圆盘以恒定角速度ω匀速转动，质量为ｍ的物体与转轴间系有一轻质弹簧，已知弹簧的原长大于圆盘半径．弹簧的劲度系数为ｋ，物体在距转轴Ｒ处恰好能随圆盘一起转动而无相对滑动，现将物体沿半径方向移动一小段距离，若移动后，物体仍能与圆盘一起转动，且保持相对静止，则需要的条件是什么 图1-84　?22．设人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动，根据万有引力定律、牛顿运动定律及周期的概念，论述人造地球卫星随着轨道半径的增加，它的线速度变小，周期变大．机械能
（一）专项训练
【例题精选】
一、关于功和功率：
例1 如图所示，斜面高H，倾角为
，计算滑块由上端滑到底端的过程中外力对物体所做的总功。
解法一：物体受力分析如图
解法二：物体受力分析如图所示，其中N不做功。
小结：解法一较复杂，因为求合力是矢量运算。
例2 如图所示，将质量m的小球从A点松手释放。已知绳长，求小球由的过程中，外力对小球所做的总功。
解：小球受力分析如图所示，其中绳的拉力不做功，只有重力做功，总功为：
小结：解：此题用求合力的方法是不行的。因为细绳的拉力T是变力合力也是变力。因此，无法计算合力的功。
例3 如下图甲所示，质量为m的物块与倾角为的斜面体相对静止，当斜面体沿水平面向左匀速运动位移时，求物块所受重力、支持力、摩擦力做的功和合力做的功。
分析与解答：
物块受重力，如上图乙所示，物块随斜面体匀速运动，所受合力为零，所以，。
物块位移为
支持力的夹角为，
支持力做功。
静摩擦力的夹角为做的功.
合力是各个力做功的代数和
小结：（1）根据功的定义计算功时一定要明确力的大小、位移的大小和力与位移间的夹角。本题重力与位移夹角
支持力做正功，摩擦力与位移夹角为摩擦力做负功。一个力是否做功，做正功还是做负功要具体分析。
（2）合力的功一般用各个力做功的代数和来求，因为功是标量，求代数和较简单。如果先求合力再求功，则本题合力为零，合力功也为零。
例4 如右图所示，用恒力F拉绳，使物体沿水平地面从图中已知，（绳不可伸长；不计绳滑轮质量和滑轮摩擦）求F对物体做的功。
分析与解答：
力F对物体做的功就是作用于物体的绳拉力T做的功，的方向在变化，不能用恒力做功公式计算T做的功，我们注意到T做的功与力F作用于绳的C（力的作用点）做的功相等，如果C点的位移为
如右图所示，物体由
，物体在（因绳不可伸长），则由图知
故
小结：本题提供一种把变力做功转换为恒力做功的方法。
例5 汽车的质量为m，发动机的额定功率为P，汽车由静止开始沿平直公路匀加速启动，加速度为a，假定汽车在运动中所受阻力为f（恒定不变），求汽车能保持作匀加速运动的时间。
分析与解答：
汽车运动过程中受牵引力F和阻力f共同作用，由牛顿定律知
汽车做匀加速运动，经过时间这时发动机的功率发动机的实际功率随时间的增加而增大，当时，经过的时间为，这就是汽车能保持以加速度作匀加速度运动的最长时间，故
二、动能定理
例1 如图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为段是水平的，都相切的一段小圆弧，其长度可以略去不计，一质量为点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在的位置如图所示，现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由停下，设滑块与轨道间动摩擦因数为，则推力对滑块做的功等于
A． B． C． D．
分析与解答：滑块从滑块初末态动能均为零，故
滑块从，物块初末态动能为零，即：
联立（1）（2）解得：
答案：B。
小结：本题用动能定理求功很简便，如用牛顿定律和功的定义求功则很繁琐，请读者试解一下并分析比较。
例2 质量为的物体以速度竖直向上抛出，落回原处时速度大小为，求：（1）物体运动中所受平均空气阻力；（2）物体以初速度竖直向上抛出时的最大高度。
分析与解答：
（1）设物体到达的最大高度为，则根据动能定理得
上升阶段 （1）
下降阶段 （2）
（1）÷（2）得
故
（2）设上升的最大高度为，则由动能定理得
例3 质量为分别受到不变的阻力作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为，则
A． B．
C． D．
分析与解答：
动量大小与动能的关系是，由的初动量所以A正确。
小结：通过本题再一次比较功和冲量、动能和动量、动能定理和动量定理的特点。
例4 用汽车从井下提重物，重物质量为定滑轮高为H，如图所示，已知汽车由此时轻绳与竖直方向夹角为。这一过程中轻绳的拉力做功多大？
分析与解答：
绳对重物的拉力为变力，应用动能定理列方程。以重物为研究对象：
（1）
由图所示，重物的末速度vm与汽车在B点的速度vB的沿绳方向的分速度相同，则
联立（1）（2）（3）解得：
例5 如图所示，质量为m的小球被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做圆周运动，拉力为值时，小球仍做匀速圆周运动，转动半径为，求此过程中拉力F所做的功。
分析与解答：
细绳的拉力是变力，提供小球做匀速圆周运动的向心力，应用动能定理列方程：
由（1）（2）（3）式得
小结：此题是变力做功问题。用动能定理解决变力做功的方法：一般不直接求功，而是分析动能变化再由动能定理求功。
例6 如图所示，在一个固定盒子里有一个质量为的滑块，它与盒子底面摩擦系数为，开始滑块在盒子中央以足够大的初速度向右运动，与盒子两壁碰撞若干次后速度减为零，若盒子长为，滑块与盒壁碰撞没有能量损失，求整个过程中物体与两壁碰撞的次数。
分析与解答：
以滑块为研究对象，滑块在整个运动过程中克服摩擦阻力做功消耗了滑块的初始动能，依动能定理列方程，设碰撞次：
（1）
得：
小结：此题要注意（1）摩擦力做功的大小是摩擦力乘以物体通过的路程而不是位移。
三、机械能守恒定律
例1 如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能不守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．动量不守恒，机械能守恒
分析与解答：子弹射入木块的极短时间内，木块位移极小，系统水平方向不受外力，竖直方向上外力的和为零，这个过程中系统的动量守恒，但子弹穿入木块过程中有摩擦阻力做功，机械能不守恒。子弹和木块以共同的速度压缩弹簧至最短的过程中，弹簧受竖直挡板的作用力，系统动量不守恒，但这过程中只有弹力做功，系统机械能守恒，所以整个过程，动量不守恒，机械能也不守恒。
答案：B。
例2 如图所示，一根长为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，当小球处于最低平衡位置时，受到极短时间的水平冲量I，要小球能在竖直平面内作圆周运动并通过最高点P，I至少应多大？
分析与解答：
小球在水平冲量I作用下获得水平速度。小球在细线拉力T和重力作用下，点作竖直面内的圆周运动，T不作功，只有重力作功，小球机械能守恒。
小球沿圆周运动到最高点，在P点小球受向下的拉力和重力作用，根据牛顿定律得：
有最小值，设为则：
（1）
由机械能守恒得
（2）
由（1）（2）得
故水平冲量 。
小结：小球通过最高点是解本题的关键，这条件是由牛顿定律分析得到的。
例3 如图所示，
的静止的车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧的左端连接在一起，求在此后的运动过程中：（1）弹簧的最大弹性势能；（2）车的最大速度。
分析与解答：
（1）把
A车撞上B车压缩弹簧，弹簧对A、B两车的弹力使A车减速B车加速，只要A车速度大于B车速度弹簧就继续压缩，当A、B两车速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大，此后B车速度大于A车，弹簧逐渐恢复，当弹簧恢复到原长时B车速度增加到最大值。紧接着弹簧要伸长，弹力使A车加速B车减速，当两车速度相等时弹簧伸长量最大，弹性势能最大。以上过程只有弹力做功，系统动能与弹性势能相互转化，机械能守恒。
所以两车速度相等时弹簧压缩量最大或伸长量最大，弹性势能最大。
设A、B两车速度为V，弹性势能为。
根据动量守恒：
——①
根据机械能守恒：
——②
联立①、②式解得：
（2）由以上分析知弹簧恢复原长时B车速度最大。设这时B车的速度为，A车的速度为，根据动量守恒：
——③
根据机械能守恒：
——④
联立③、④式解得
小结：（1）本题关键是分析得到弹性势能最大的条件和B车速度最大的条件。读本题应学会分析两车相互作用过程中力、加速度、速度、动能、弹性形变、弹性势能等的变化情况，这能培养和提高分析物理过程的能力。
（2）解方程求出，请同学们从物理过程的分析来理解为什么出现负值。
例4：如右图所示，光滑半圆上有两个小球，质量分别为m和M，由细绳挂着，今由静止开始释放，求小球m至C点时的速度。
分析与解答：
以两球和地球组成的系统为研究对象。在运动过程中，系统的机械能守恒。
选初态位置为参考平面：
小结：做机械能守恒定律的应用题必须学会画示意图——画出各物体初态位置和末态位置，选好参考平面。找准初态系统总的机械能和末态系统总的机械能。根据系统的机械能守恒列方程：
也可以应用动能定理列方程：
四、运用能量的观点解决物理问题
例1：如图所示，有一个物体A叠放在物体B上，两物体间的摩擦系数为，其质量分别为m，M，水平地面光滑。今施加一水平恒力F作用在B物体上，使它们一起向前运动S米的位移。求在运动过程中，B对A的摩擦力对A物体所做的功和A对B的摩擦力对B物体所做的功，A与B组成的系统摩擦力做功的代数和是多少？A和B接触面上产生的热为多少？
解：依牛顿第二定律，列方程：
一起向前加速，即保持相对静止。
B对A的摩擦力fAB对A做功为：
静摩擦力做正功
A对B的摩擦力与B对A的摩擦力大小相等，方向相反
则A 对B的摩擦力对B做功为：
静摩擦力做负功。
又A和B组成的系统，摩擦力做功的代数和为W。
所以，A和B的接触面间没有相对位移：，故静摩擦没有产生热，即：
小结：静摩擦力可对物体做功（可做正功，也可以做负功）但一对静摩擦力做功的代数和一定为零。系统机械能没有减少，所以系统没有产生热。
【专项训练】
一、单项选择题：
1、物体M放在光滑水平地面上，其上固定有一个光滑的定滑轮，一根轻绳一端固定在墙上，水平地跨过定滑轮后与水平方向成角，用恒力F拉动物体M，使物体M以加速度a向右运动如右图所示，在物体M起动后t秒内拉力对物体M所做的功为（ ）
A． B．
C． D．
2、如右图所示，物体A和B与地面摩擦系数相同，A和B质量也相同，在力F作用下，一起沿水平地面向右运动s米，以下说法正确的是（ ）
A．摩擦力对A、B所做的功相同；
B．F对A所做的功与A对B所做的功相同；
C．A受合外力对A所做的功与B所受合外力对B所做的功相同；
D．以上说法都不对。
3、如右图所示，图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计。一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点。A点和D点的位置如图所示。现用一沿道轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回到A点时停下，设滑块与轨道间的摩擦系数为，则推力对滑块做的功等于（ ）
A． B．
C． D．2
4、如右图所示小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
A．垂直于接触面，做功为零；
B．垂直于接触面，做功不为零；
C．不垂直于接触面，做功为零；
D．不垂直于接触面，做功不为零；
5、如右图所示。质量为M的木块静止在光滑的水平面上，质量为m的子弹以水平速度v在下面两种情况下击中木块，并最终停在木块中，第一次木块被事先固定住，子弹在木块中钻入深度为。第二次木块不固定，子弹在木块中钻入深度为，经历时间为。两次打击木块过程中，子弹受的平均阻力相同。比较，有（ ）
A． B．
C． D．
6、两个物体的质量为，当它们以相同的初动能在滑动摩擦系数相同的水平面上运动时，它们的滑行距离之比∶和滑行时间之比∶分别为（ ）
A．1∶4，2∶1； B．4∶1，1∶2；
C．1∶4，1∶2； D．2∶1，4∶1。
7、如右图所示，质量为m的物体被用细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，当拉力为F时转动半径为R。当外力增大到8F时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为R/2。在此过程中外力对物体所做的功为（ ）
A． B． C． D．
8、如右图所示，是一个半球形的碗，直径AD为水平，C是最低点，B是AC弧的中点。一个小物体的质量是m，它与碗的摩擦系数是，物体由A从静止下滑到B点时的速度为v，则这个物体在B点时受到的摩擦力大小是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：
9、质量相同的两个摆球A和B，其摆线长度不同，，当它们都从同一水平位置，而且摆线都处于水平不松驰状态由静止释放，如右图所示，并以此位置为零势面，到达最低点时，以下说法正确的应是（ ）
A．它们的机械能
B．它们的动能
C．它们的加速度
D．它们对摆线拉力
10、关于滑动摩擦力的以下几种说法，你认为哪种是正确的：①摩擦力总是与物体的运动方向相反；②摩擦力总是使物体的机械能减小；③摩擦力总是阻碍物体之间的相对运动；④一个物体所受的滑动摩擦力有可能与物体运动方向相同，也可能相反。⑤滑动摩擦肯定能生热，使物体内能增加。（ ）
A．②、③和⑤是正确的 B．③、④和⑤是正确的
C．只有②和⑤是正确的 D．①和②是不正确的
11、在光滑的水平地面上静置一个质量为M倾角为的斜劈，在斜劈上有一个质量为m的光滑物块，现用水平推力推动斜劈水平向右运动，并使物块与斜劈始终保持相对静止，如右图所示，下列叙述中正确的是（ ）
A．在斜劈起动t秒内，推力F对斜劈做的功是
B．在斜劈起动t秒内，斜劈对物块的弹力所做的功是
C．在斜劈起动t秒内，斜劈对物块的弹力与物块所受重力的合力所做功的平均功率
是
D．在斜劈起动t秒末，合力对斜劈的即时功率为。
12、倔强系数为k的轻质弹簧，下端拴挂一个质量为m的小球，静止时，球距地面h（h远小于弹簧总长）。用手拉球，使球着地，球静止时放手，则（ ）
A．球上升所达到的最大高度为h。
B．球上升到最大高度的过程中，弹性势能始终减少。
C．球的速度最大时，球距地面高为h。
D．球的最大加速度为kh / m。
三、填空题：
13、如右图所示，均匀长直木板长为L=40厘米，放在水平桌面上，它的一端与桌边相齐，木板质量2千克，与桌面间滑动摩擦系数为0.2，今用水平推力F将其推下桌子，则水平推力至少做功 焦。
14、如右图所示，一物体放在一倾角为的斜面上，向下轻轻一推，它刚好能匀速下滑。若给此物体一个沿斜面向上的初速度，则它能上滑的最大路程是 。
15、一辆汽车发动机输出额定功率为40千瓦，在水平长直公路上行驶时，所受运动阻力为2×牛，车的质量为千克，当它匀速行驶速度为10米/秒时，发动机功率为 千瓦，某时刻司机加大油门，使发动机达到额定功率，此时汽车牵引力达到 牛，汽车即地加速度大小为 米/秒2。
16、细线一端固定于O点，另一端系一个质量为m的小球，使球在竖直平面上做圆周运动，周期一定，每当小球在最高点时线的张力为，在最低点时绳的张力为，则－= 。
17、一个质量为m的物体从斜面的顶端沿粗糙的斜面做匀加速运动，初动能为零，经过t秒后滑到斜面底端，此时动能为，此斜面长为 ，经过斜面中点时的速率为 ，动能等于 。
四、计算题：
18、如右图所示，光滑的水平面上有一个静止的小车，小车上有一条轨道，轨道由一段四分之一圆弧和一段水平部分组成。圆弧半径是R，小物块A由圆弧轨道的最高点从静止开始下滑，轨道的圆弧部分是光滑的，水平部分与物体间滑动摩擦系数是。求物块在轨道的水平部分最多能滑行多远？
19、如右图所示，质量M=0.8千克的小车静止在光滑的水平面上，左端A紧靠竖直墙。在车上左端水平固定着一只弹簧，弹簧右端放一个质量m=0.2千克的滑块，车的上表面AC部分为光滑水平面，CB部分为粗糙水平面，CB长l=1 米，与滑块的摩擦系数=。
水平向左推动滑块，把弹簧压缩，然后再把滑块从静止释放，在压缩弹簧过程中推力做功2.5焦。滑块释放后将在车上往复运动，最终停在车上某处。设滑块与车的右端B碰撞时机械能无损失。取10米/秒2。求：
（1）滑块释放后，第一次离开弹簧时的速度。
（2）滑块停在车上的位置离B端多远。
【答案】
一、单项选择：
1、C 2、C 3、C 4、B
5、C 6、C 7、C 8、D
二、多项选择：
9、A．C．D 10、B．D 11、A．B．C．D 12、C．D
三、填空题：
13、0.8 14、 15、20Kw；4×103；2
16、6mg 17、
四、计算题：
18、
19、（1）5m/s；（2）距B端0.5米处。
（二）综合训练
例题精选：
例 1 如图1 所示，一个小孩站在船头，在两种情况下，用同样大小的力拉绳，经过相同的时间t（船未相撞），小孩所做的功W甲、W乙及在时间t内小孩拉绳的功率P甲P乙的关系为：
A ． W甲>W乙，P甲=P乙
B ． W甲=W乙, P甲=P乙
C ． W甲D ． W甲>W乙,P甲>P乙
[分析和解] (此处安排动画)
如图所示（指后面动画图），当小孩拉绳时，甲种情况下，小船将运动，而墙是不动的，而乙种情况下，两船将相向运动。
动画图：甲图中小船向右运动，乙图中两船相向运动。
这里可能做功的力有下列几个力,甲中:小孩对绳(或者说对墙)的拉力,绳对小孩的拉力, 水对船的阻力。乙中：小孩对另一个船的拉力，另一船通过绳对小孩的拉力，水对两船的阻力。如果明确问哪个力所做的功，显然是很容易解答的，但此题问的是小孩所做的功，那么这个功指的是哪个力做的功呢？有些人可能会错误地认为小孩所做功指的是小孩对绳的拉力所做的功，其实小孩所做功包括小孩对绳拉力所做功和绳对小孩拉力所做功。那么绳对小孩拉力所做功为什么要算做小孩所做功呢？这跟汽车前进时，牵引力做功的情况相似，牵引力实际上是地面对趋动轮的摩擦力，而地面对汽车的趋动力所做的功，也可理解成是汽车发动机做的功。
设小孩拉绳的力为F1，绳拉小孩的力为F2
则图甲中： =0 =F2·S1 S： 为在t时间内小船的位移
乙中 ： =F1· 式中为另一船在t时间内的位移
=F2·S2 式中S2为小孩所在船在t时间内的位移。
在两种情况下，用同样的力拉船，而且两次水的阻力也相同，所以以小孩所站的船与小孩整体为分析对像，两种情况下的所受合外力是相等的，所以加速度必定相等的，两种情况下，所经的时间又相等，初速度又都为零，所以两种情况下船的位移相同，即S1=S2，所以在两种情况下=而在第二种情况下，人对另外的一条小船多做了一部分功。因此W甲[说明] : 可见明确的所提到的功(本题中小孩做的功)是指哪个力所做的功是十分必要的,如果不做这个明确工作,或这个工作做错了都会导致错误的结果, 而一但这个工作完成, 而求解功的工作到显得十分简单。设本题中拉力大小等于F，小孩所站的船两次的位移都是S1，另一船的位移是S2，则可解出W甲=FS1，而W乙=W1+W2 =F（S1+S2）
动画说明：
（1）最好能画出小孩到绳的动做，如果能画出动作甲中动作要慢些，乙中动做快些（如果能变速两情况小孩动做都是逐渐变快）。
（2）甲、乙两图中，左边船前进的速度总是一致的（为了能对比这一点要把甲、乙图分上下画在同一画面上）而右船速度大小，可以稍大些或小些，也可与左船速度大小相等，两船相向而行。
（3）如果能变速，小船速度都是逐渐变快。
（4）两船最后不能相撞，因此动画可使其从开始运动到未撞之前，使画面消失然后再重新出现开始运动到未撞之前，这样反复出现，直到读者读完上面两行文字翻页为止，或15秒后自动翻面。
（5）翻页时把动画图定格，推到屏幕右上角，再显示其它内容，此图一直显示到本题结束。
（6）动画内容与上面两行文字同时显示。
我们还知道做功是能量转化的量度，做功必然伴随着能量的转化，由于经常是好多力同时做功，所以能量的转化往往是多种多样的。例如一个物体沿光滑斜面下滑，只有重力做功，能量的转化是重力势能转化为动能，当这个物体在不光滑的斜面上匀速下滑时，由于有重力和摩擦力两个力做功，能量转化就变成机械能（具体讲，就是机械能中的重力势能）转化成内能了，当这个物体在不消滑斜面上非匀速下滑时，仍是重力摩擦力两个力做功，能量转化也仍是机械能转化成内能，但是这种能量转化的分析就要复杂得多了。
尽管有多个力做功时，能量的转化表现出多样性、复杂性，但是在复杂、多样的能量转化过程中，有些力做功跟有些能量的增减有稳定的关系的，这几种稳定的关系是：
（1）合外力做功（我们经常叙述为外力做功的代数和），等于物体的动能的变化量，当合外力做正功时，合外力所做功等于物体动能的增加量，当合外力做负功时，合外力所做功等于物体动能的减少量，如果物体的动能减少，我们把它理解为物体的动能增加了一个负值，上述几句话，可用一句话概括：在一个过程中，合外力所做等于功物体动能的增量。
（2）重力具有重力势能，弹性力具有弹性势能，分子力具有分子势能，静电力具有电势能，像这样具有势能的力叫做保守力，保守力做功跟这个保守力所对应的势能的变化之间也有稳定的关系。
我们以重力做功跟重力势能的变化之间的关系为例来分析保守力做功跟保守力所对应的势能的变化之间的关系。
重力做功时，物体的重力势能要发生变化，当重力做正功时，物体的重力势能就会减少，减少的重力势能等于重力对物体所做的功，当重力做负功时，物体的重力势能增加，增加的重力势能等于重力对物体所做负功的绝对值。如果物体的重力势能增加时，我们把它理解为物体的重力势能减少一个负值，上述的几句话可用一句话概括：在一个过程中，重力对物体所做功等于物体重力势能的减少量。即：WG=
弹力做功跟弹性势能的变化之间，分子力做功跟分子势能的变化之间，静电力做功跟电势能的变化之间，都有与重力做功跟重力势能的变化之间相同的一种稳定关系。
虽然保守力做功跟与这个保守力相对应的势能的变化的关系是可以定量计算的，但是我们对弹性势能和分子势能并没有进行定量的讨论。因此对弹力做功跟弹性势能的变化之间的关系，以及对分子力做功以及跟分子势能之间的关系，只能做定性的讨论。对电势能我们已经进行了定量的讨论，所以我们可以把重力做功跟重力势能的变化之间的关系，毫无保留地套用在静电力做功跟电势能的变化的关系上。
在电学中我们常用公式W电=qU来求某解静电力做的功，这个公式实际上就是应用静电力做功跟电势能的变化之间的关系得到的：1－2=
有了功是能量转化的量度的认识，特别是有了上述几种做功跟能量转化之间的稳定关系的建立，我们就又多了一种求解功的办法，就是用能量的变化来求解功。
例 2 如图2所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间用一根长为l的轻杆连接（杆的质量可不计）。两小球可绕穿过轻杆中心o的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，当杆转至竖直位置的过程中，杆对a球和b球分别做功多少？
分析和解
动画内容：
两球组成的系统，在运动过程中除去有动能和重力势能的变化外，没有其它形式能的增加或减少，也就是说以系统为讨论对像时，只有动能和势能的转化，所以机械能守恒。
（1）
设杆在水平位置时，
则杆在竖直位置时，a的重力势能
b的重力势能为
显然杆在水平位置时两球的动能零，即：
而杆在坚直位置时a球动能
b球动能，把这些等式代入（1）式得
（2）
由于杆的限制a、b两球的速度大小必定处处相等
（3）
由（2）、（3）两式得
以a球为分析对像：在a球由初始位摆到最高位的过程中只受两个力作用：重力mag和杆对a球的弹力F，在这个过程中应用动能定理得：
（4）
而重力做功等于重力势能的减少,即( 5)
以b球为分析对象, 在b球由初始位置摆到最低位置的过程中,用同样的分析方法可得
说明
(1) 此题用没有其它形式能的增加和减少,来说明机械能守恒的此法用起来很方便, 但不易掌握,有时内能增加了,我们可能发现不了,例如一条线下吊一小球, 把小球用手举高后放手, 小球将自由落下,最后把线拉直后停止运动, 在拉直线的瞬间,线要有内能的增加,而这个能量的变化就不易被发现,因此判断是否机械能守恒最好还是用有无其它力(除去重力弹力)做功来判断,此题也可以用其它力不做功来判断机械能守恒, 但稍麻烦些, 有兴趣的同学可以试试.
(2) 此题有两处用能量变化来确定某力所做功,一处是(4)式用动能的变化来确定合外力所做功,另一处是(5)式用重力势能的变化确定重力所做功.
动画内容(此部分内容的位置前面已经标出)
动画说明: (1)摆动过程中杆总是直的
(2)a球经C点摆到B点，然后沿原路摆回, b球经D点到A点,然后沿原路返回, 可以这样往复数次(每次大约两秒)
(3)摆动时,开始速度为0, a球同A到C逐渐加速到C点时速度最快,再由C到B过程中速度逐渐减小． 到达B点时速度减到零, 返回时相同
(4) 摆动到读者翻页为止,或10秒后自动翻页
(5) 翻页后显示动画2
(6) 翻页后推至右上角，（仍摆动）并和其它文本同时可向上滚动
动画2 杆由水平位置转到竖直位置的过程中
动画说明 :(1) 基本上同动画1 ,只不过是只完成的运动,即a球由A点运动到C点, b球由B点运动，运动到D点,画面消失,然后再重复出现前面的运动, 一直重复到翻页.( 每次重复前要有一小段画面消失的时间)
(2) 翻页可以由读者做,也可以过5钟自动翻页。
(3) 翻页后，动画可继续运动，推到屏幕右上角，再显示其它内容，此动画图一直显示到本题结束。
求解某力做功的方法，可以归纳为下列三类：
第一类，可以用公式，求解力F所做功
第二类，用公式也可以求解某力做的功
第三类，用能量的转化来求解某力所做的功
第二类方法，比较简单， 这里就不多说了，第三类方法已在上面的例2中用过了，关于第一类方法，再补充说几句。
在公式中的力F和位移S都是矢量，但是在这个公式中，它们都是以标量代入的，把F、S代入公式时，只考虑它们的大小，不考虑它们的方向，而F 1 和S的方向在把代入公式时给于考虑。
当F ， S方向相同时，当W= F ·S，当F1S方向相反时，W= —F·S，好像F和S 是以矢量代入公式的，其实不然，这里的正负号，并不是表示F，S两矢量的方向，而是由的数值来决定的。
另外，用此公式来求解功，应该说是有严格限制的， 就是要求力F必须是恒力，而且物体也必须做直线运动，只有满足了这两条限制，才能用此公式求解功。
但是在有些题中，我们却发现了例外。例如在水平桌面用力F=2牛拉着一个物体沿一个半径r=0.3米的圆周匀速转了一圈（力F方向总与运动方向相同）问拉力做了多少功，摩擦力做了多少功？我们经常用的解法是
而且老师也认为正确，如果你以为转了一圈回到原位，位移为零，所以各力不做功， 和均等于零，老师倒要认为你错了。
此题显然不满足上面提到的两条限制，我们却用此公式求解功了，而且在解题过程中所乘的S也不是位移，而是路程，这不是把公式也否定了吗？其实不然，我们仍然要强调，用此公式解题必须满足限制，而且还要肯定公式中的S指的是位移的大小，而不是路程，那么例题中的情况又怎样解释呢？
在物体转一圈这个过程中确实不能应用公式来求解E和f所做的功，原因是这个过程不满足用此公式所必须的两条限制， 但是我们可以把这个全过程分成许多小段，而在这些小段上可以认为物体是做下线运动，而且还可以认为在这些小段上，力F是恒力（如图3所示）这样在这些小段上就可以认为满足公式所要求的限制了，因此可以用公式求出各小段F所做的功为， 而在整个过程中，F所做功，，上面说过公式中的F只代入F 的大小，而不是矢量F ，，同理可以证明，可见解此题的方法，并不是公式，而是这个公式再加上对功求和而来，因为有求和这个过程，所以题中的，已不是公式，这一点有必要弄清楚 ，并且切记。
例 3： 图4所示,一个质量为m,带电量为的小物体,可在水平轨道x上运动,o端有一与轨道垂直的固定挡板.轨道处在方向沿ox轴正方向的勾强电场中,电场强度为E, 小物体以初速度v0,从x0点沿ox轴轨道运动,运动中受到大小不变的摩擦力f作用,(且)小物体与挡板碰撞时不损失机械能,且小物体所带电量不变,求它在停止前所通过的路程．
分析和解
动画内容
1. 开始时,小物体从点x0以初速度v0, 向右运动,向右运动时,小物体受到四个力的作用, 除去重力和支持力平衡外,还受到向左的电场力qE和摩擦力f的作用,因此物体做向右的匀减速运动,到达A1点时速度为零, 由于电场力的作用,小物体到达A1点后,要向左运动,在向左运动的过程中小物体仍受到四个力的作用, 其中重力和支持力不变仍是一对平衡力, 电场力qE仍向左,但摩擦力f变为向右,所以物体受到一个向左的合外力的作用,向左做初速度为零的匀加速直线运动,直到以一定速度 v1, 跟挡板碰撞, 碰撞后,小物体的速度大小不变, 仍是v1(碰撞挡板时, 不损失机械能), 此后小物体在四个力作用下,(此时合外力与开始运动时相同, 向左)做初速度为v1的向右的匀减速度运动,运动到A2点时,速度再次变为零 ,到达A2点后小物体又向左做初速度为零的匀加速直线运动……, 此后物体将多次重复以上运动过程, 由于摩擦力对物体总是做负功,物体的动能有一个逐渐减小的总趋势, 所以物体在多次通过某一位置时速度将不断减小, 直到最后停止运动。由于小物体在x轴上除于原点O外的各点的合外力不可能为零 ，所以小物体最后不可能停在x轴上的任意位置上，只有停在原点O上时，才有可能使小物体所受合外力为零而静止在那里。
在小物体以v0开始向右运动开始，到最后停在O点这个过程中，以小物体为对象，应用动能定理得其中， 电场力做功WE等于电势能的变化，即：WE=qu, 又因为电场是匀强电场， （是正功）；而摩擦力做功为
动画 ：
设小物体开始时从x0点以速度v0，向右运动，则在电场力qE和摩擦力f作用下，做如图的往复运动最后停止在O点。
动画说明：
（1）物体由x0点以初速度v0向右运动，运动速度逐渐减小，到A1点速度减到零，同时在该点的下边显示出子母“A1”，并一直显示下去。
（2）紧跟着物体由A1点向左运动，运动的初速度为零，速度逐渐增大，到O点时，速度增大到v1。
（3）紧跟着物体由O点向右运动，初速度为V1运动速度逐渐减小，到A2点速度减到零 ，物体到达A2点的同时，在该点的下边显示字母“A2”，并一直显示下去。
（4）紧跟着物体由A2点右左运动，运动的初速度为零 ，速度逐渐增大，到O点时速度增大到v2。
（5）以后物体在OA3，A3O，OA4……之间做类似上述运动，最后停在O点，（显示字母只显示到A3，A=4即可， A5以后就不必显示了）。
（6）凡是向运动速度都是逐渐减小的，而且速度对时间的变化率（a右）都是相同的，凡是向左运动速度都是逐渐增大的，而且速度的变化率（a左）也都是相同的，向右运动速度变化率比向左运动速度变化率要大些
=
（7）如果物体由A1O的过程用1秒，则OA2用0.75秒，A1OA2共用1．75秒。
则A2OA3共用时1.75秒×
A3OA4共用时……
而全过程一共用时13秒稍多一些
（8）设……则……
若设则……
（9）物体每次到达O点时的速度……之间有如下关系，……若设则……
（10）x0的位置比较宽松， 如果要定个位置的话，可设，的大小视x0的位置而定，若，则。
（11）此图可显示到读者自己翻页，或过28秒后自动翻页，28秒内上述过程可显示两次，并有一点富裕时间，10.61可在两次过程之间有一个无图像的时间间隔，使在28秒内恰能显示两个完整过程。
（12）翻页后可把动画（仍在动）推到右上角，到本题结束。
综合练习：
（1）如图5所示，质量为m的物体静止在倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，现在使斜面体向右水平匀速移动距离l，物体m与斜面体保持相对静止，则摩擦力对物体做功为：
A． O; B．
C． D．
（2）上题中，斜面对物体的弹力做的功为：
A．O; B．
C． D．
（3）第（1）题中斜面对物体做的功为 。
（4）一架自动扶梯以恒定的速度v1运送乘客上同一层楼，某乘客第一次站在扶梯上不动，第二次以相对于扶梯的速度v2匀速往上走，两次扶梯对乘客作用力所做功分别是W1和W2
，作用力的功率分别为P1和P2，则
A．
B．
C． D．
（5）起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图6所示，则钢索拉重物的功率随时间变化的图象可能是图7中的哪一个
图 7
（6）一个质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升了1米，这时物体的速度是2m/s,则下列说法中正确的是：（g=10m/s2)
A．手对物体做功10J B．合外力对物体做功12J
C．手对物体做功2J D．手克服重力做功10J
（7）如图8所示，木块A放在木板B上左端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W， 生热为Q， 第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次F做功为W2生热为Q2，则应有
A． B．
C． D．
（8）如图9所示，质量为m的物体静放在水平平台上， 系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮牵在人的手里，已知物体m 跟平台之间的动摩擦因数为，定滑轮到人手的竖直距离为, 地面的人牵着绳子以速度v ,向右匀速行走，则在人从平台边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45处的过程中，人对物体m所做的功为多大？
（9）一辆汽车质量为m ,从静止开始起动， 沿水平面前进了5米以后，就达到最大行驶速度vm,, 设汽车的功率保持不变，所受阻力是车重的K倍，，求
①汽车的牵引功率；② 汽车从静止到开始匀速运行所需的时间
（10）如图10所示，在水平光滑平面上，停着一辆平板小车，小车的质量为M=10kg在小车的A处有一个质量为的小物块，以初速度为v0=6m/s在平板车上向右滑行，与固定在平板车上的弹簧作用后又弹回，最后刚好回到A点与车保持相对静止，物块与平板车间动摩擦因数为求：
①弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能
②物块相对于车所通过的总路程
答案：
（1）D （2）D （3）零 （4）C （5）D
（6）D （7）A （8）
（9）①② （10）米
指示：
（6）应用动能定理
（8）请分析小木块的末速度和它的位移
（9）请注意汽车的运动不是匀变速运动
（10）①把全过程分割成两个过程分别进行分析
②注意到动量守恒
解答：
（1）物体m 相对于斜面静止 物体m与斜面间如果有摩擦力也应是静摩擦力，而静摩擦力是被动力，它的大小要视具体情况而定物体随斜面做匀速运动 物体受力平衡，其受力情况如图11所示，
（2）物体m受到的弹力（由第（1）题的分析可得此结论）
弹力N所做功为
D选项正确
（3）所谓斜面对物体所做功，指的是斜面对物体的合外力所做功或者说是斜面对物体的所有作用力所做功的代数和，由（1）（2）两题的解可知斜面对物体所做功，所以此空填“零”
（4）乘客两次上楼都是匀速运动，所以两次上楼以乘客为分析对像都是受到的平衡力，所以乘客受到电动扶作用力两次者是支持力N=mg，又两次上楼乘客的位移也都相同，所以两次上楼扶梯对乘客的作用力N对乘客所做的功也是相等的，即，但乘客第二次运动的速度()比第一次运动的速度v1快，所以第二次扶梯对乘客的作用力所做功的功率比第一次所做功的功率要大，C选项正确
（5）由速度图像可得重物在Ot1，时间间隔内是做向上的匀加速直线运动，在t1t2时间间隔内是做向上的匀速直线运动，在时间间隔内是做向上的匀减速直线运动，在Ot1间隔内合外力向上，在t1t2间隔内合外力为零 ，在间隔内合外力向下，而物体在上升的全过程中只受到重力如钢索的拉力T，所以，三个时间间隔内分别有和，所谓钢索拉物体的功率，就是拉力T的功率，在Ot1时间间隔内速度由0增大到v0，∴ 功率应由O增大到，而在t1t2时间间隔内速度等于不变，功率应为，在时间间隔内速度由减小到O，功应应由减小到零 ，可见只有C和D可能正确，又由于只有D选项正确。
（6）可以在提升中对物体应用动能定理
合外力做功
可见A、B、C选项都不正确，而无论是谁克服某力做功，就等于这个某力所做功的绝对值。
（7）第一次：
第二次：而摩擦力分别对木块和木板做功
而产生的热量Q2是两个摩擦力所做功的代数和的绝对值（后面证明此结论）
我们发现两次产生的热量都等于摩擦力乘以两物体间的相对路程，这个结论带有普遍性，可以把它当公式用：
公式，不是相对位移
证明： 摩擦力所做功的代数和的绝对值等于系统产生热量
在图13中，有外力F对系统做功所以系统的能量增加了，而系统所增加的能量有三个，小木块的动能，木板的动能和系统的内能的增量Q，
（1）
又对小木块应用动能定理得（2）
再对木板应用动能定理得（3）
由（2）（3）得
把（1）代入 得
（8）人对m所做功,就是拉力T对物体所做功,对物体m用动能定理得, 。
我们知道摩擦力和f所做功而物体前进的位移等于直角三角形斜边长L和直角边长l 之差(图14)
即 S=L—l
而物体的末速度v等于人的速度v0沿绳方向的分速度v1=,
（9）我们知道汽车的功率指的是牵引力的功率
P=Fvm仍成立，但是当汽车达到最大速度vm时， 再从静止开始到汽车达到最大速度结束的过程中，对汽车应用动能定理得：
（10）物块从A点出发（图15中1）到压缩弹簧（图15中2），再到最后又滑回A点（图15中3），这整个过程中，如果以物体和小车这个系统为讨论对象，动量是守恒的。即 ：把已知代入后得，
在1-2过程中分别对木志和小车用动能定理：
即 ： （1）
（2）
（1）+（2）得， （3）
这里，为木块对小车的相对位移，而为弹簧在这个过程中对系统做的功。
注意：这里的为负功，为这两个功的代数和。
把上述两式代入（3）式得
同理在2-3过程中可得：
而物体相对于小车的路程第一章 力、物体的平衡
一． 力
【例题精选】：
1、如图所示：将重力为G的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图，当把绳的长度
增长，则绳对球的拉力T和墙对球弹力N是增大还是减小。
解：这是根据球的平衡条件=0用已知力G求未知力T、N。
（1）明确对象，作受力分析，如图（a），球受G、N、T，设绳与墙夹角。
（2）选用方法：
A．合成法：因为=0。所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反。如图 （b），N、G合力T，T=T平行四边形法则，则在
B．分解法：因为=0。所以其中任一个力在其它两个力方向的分力均与该力大小相等、方向相反而平衡。如图（ c），在T、N方向上分解G有T=T，N=N。仍可看。
C．用正交分解法：建立直角坐标系。如图（d），因为球受=0，必同时满足
，
。对三种解法要深刻理解，针对具体问题灵活运用，讨论结果：
2、如图所示，斜面体P放在水平面上，物体Q放在斜面上，Q受到一个力F的作用，P与Q都保持静止，这时Q受的摩擦力大小当f1，P受到水平面的摩擦力大小为f2。当力F变大但P、Q仍处于静止状态，试分析f1，f2是变大还是变小。
解：明确研究对象，作受力分析，根据平衡状态=0的条件，找到各力之间的关系。当力F变大，仍处于平衡状态，要满足=0的条件。根据各力关系分析其它力应如何变化。
（1）先分析f2的变化：由于P、Q相对静止，所以将P、Q整体为研究对象比较方便直观。
P、Q受重力(mP+mQ)g，地面弹力N，地面摩擦力f2及力F，如图所示，设F与竖直方向夹角为，根据静止=0的条件，用正交分解法，建立直角坐标系，有：
当F增大，地面对P的弹力N增大，地面对P的摩擦力增大。
（2）分析f1的变化：以Q为研究对象，作受力分析，受重力及摩擦力，如图所示，其中方向是沿斜面向上（虚线表示）呢？还是沿斜面向下（实线表示）呢？这要比较沿斜面分力的大小而定。
按正交分解法沿斜面向上定为x轴，垂直斜面向上为y轴，分别设轴夹角为有沿斜面向上运动趋势，则静摩擦力沿斜面向下（实线表示）根据静止，=0，有：
，弹力N也增大。
如果有沿斜面向下运动的趋势。则静摩擦力沿斜面向上（虚线表示）根据=0，有：
方向改变成沿斜面向下，同前种情况）弹力增大而增大。
举此题为例的目的第一在于会使用正交分解法，建立直角坐标系，根据物体状态列出两轴方程。如物体平衡时，则=0，有；如物体有加速度，则0有。这种先明确研究对象，作受力分析，建立直角坐标系，再根据物体的状态与力的关系列成动力学方程的方法是解决力学问题的基本方法。
举此题为例的第二目的在于认识斜面对静止在斜面上的物体的静摩擦力的大小、方向要根据具体情况进行分析讨论。
3、如图所示，重为G的小球用细绳吊着，搁在一个光滑的大球面上，绳的另一端通过定滑轮A由人用力拉住，设A点在大球球心O的正上方，当人以力F缓慢地拉绳时，小球从图示位置到达大球最高点前的过程中，拉力F和大球对小球的支持力N的变化是：
A．F变大，N变小；
B．F变小，N变小；
C．F变大，N不变；
D．F变小，N不变。
解：把小球作研究对象，作受力分析。如图示受重力G，竖直向下；受大球面弹力N，沿半径向外；受细绳拉力F，沿绳指向A方向。
小球是缓慢运动，认为是速度为零的平衡状态，其合力为零。将其质点化为O，应用合成法，N与F的合力G与G平衡=0，应用平行四边形法则作图以图解法判定可知：GON与AOO相似（GO与AO均在竖直方向上，OON在同一直线上，GN与AO平行），对应边成比例，有：
小球上行过程中，大球半径不变。AO不变，所以N不变。
此题正确答案D。可见图解法是解力学习题的简便方法。
【专项训练】：
一、选择题：
1、下列各组共点的三个力，可能平衡的有：
A．3牛，4牛，8牛 B．3牛，5牛，1牛
C．4牛，7牛，8牛 D．7牛，9牛，16牛
2、右图所示，质量可略的细杆，两端悬挂重物G1，G2恰好平衡，若用力F缓慢拉起G2至图示虚线位置时，则杠杆：
A．向A端下降
B．向B端下降
C．仍保持平衡
D．无法判断
3、图示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA受力的关系是：
A．a>b>c B．a>c=b C．a=b>c D．a=b=c
4、质量为0.8Kg的物块静止在倾角为30的斜面上，如图所示。若用平行于斜面底端沿水平方向的力F推物块，F=3牛顿，而物块仍处于静止状态，则物块所受摩擦力的大小为：
A．5牛 B．4牛
C．3牛 D．牛
5、如图所示系统处于静止状态，M受绳拉力为T，水平地面对M的摩擦力为f，M对地面压力为N，滑轮摩擦及绳的重力不计。当把M从（1）位置移到（2）位置时，系统仍处于静止状态。判断下列选项中正确的是：
A．N，f，T均增大
B．N，f增大，T不变
C．N，f，T均减小
D．N增大，f减小，T不变
二、填空题：
1、如图，人重600牛，木块A重400牛，人与A、A与地面间的摩擦系数均为0.2，现人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速直线运动，滑轮摩擦不计，则人对绳的拉力为 牛，人脚给A的是 摩擦力（静、滑动），方向 ， 大小 。
2、如图：A物块重10牛，与竖直墙壁间的摩擦系数为0.5， 用一个与水平方向成45角的力F作用在A上，要使A静 止在墙上不滑动，则F的取值范围为 。
三、分析下列各物体受力情况，并画出受力图示
1、
A、B叠放静止在斜面上
A受力
B受力
2、
均匀棒Aa、Bb、Cc，分别用细绳悬吊O点，只有OB绳在竖直方向，棒的另一端均放在水平地上，试画出它们的受力图示。
3、光滑的半球形容器，放一均匀直棒AB，如图，画出AB棒受力图示。
四、计算题：
重量为G1的均匀球夹在光滑竖直平面和45倾角的光滑斜块之间，如图所示，斜块重G2，斜块侧面与水平桌面间的摩擦系数为0，求：G1的最小值为多大时，才能使斜块滑动。
【答案】：
一、选择题：
1、CD 2、C 3、C 4、A 5、B
二、填空题：
1、100；静；向右；100牛
2、9.46牛~28.37牛
三、画受力图示：
1、
2、
球面对B端弹力N过球心O，球 边缘对A、B弹力N 垂直AB向上。
四、计算题：
解：
提示：以，据=0求的弹力N。
据=0，用正交分解法建立直角坐标系.
列方程
图中
fm是桌面对斜块最大静摩擦
即时，斜块受桌面最大静摩擦力，处于刚好动时刻，仍满足合力为零的条件。
二．力 综合练习
【例题精选】：
例1：如图10所示，位于斜面上的物块M在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力：
A．方向可能沿斜面向上 B．方向可能沿斜面向下
C．大小可能等于零 D．大小可能等于F
解析：物块受力如图11所示，斜面作用于物块的静摩擦力大小可以从零至最大静摩擦，具体方向要看M与斜面相对运动趋势，即F与mg sin大小的比较来决定。
若，则静摩擦力为零。若，M有上滑趋势，静摩擦力方向沿斜面向下，若，M有下滑趋势，静摩擦力方向沿斜面向上。若时静摩擦力方向沿斜面向上，大小等于F。所以选项ABCD均正确。
例2：如图12所示，和两木块叠在一起以v的初速度被斜向上抛出去，不考虑空气阻力，抛出后受力情况是：
A．只受重力作用
B．受重力和的压力作用
C．受重力、的压力和摩擦力作用
D．所受合力方向与初速度方向一致
解析：分析的受力可以从形变和运动状态变化两条思路去解决，从题意看形变的信息没有给，因此只能从运动状态这一思路去考虑。抛体运动在阻力不计情况下其加速度为g。对来讲重力g可以认为是恒力，而支持力或摩擦力这些被动力是否出现则要由运动状态去探讨，显然作加速度为g匀变速运动的物体只受重力g作用。正确选项为A。
例3：如图13所示，A、B两弹簧劲度系数均为k牛/米，两球重均为G牛，弹簧质量不计，两弹簧伸长长度之和为：
A．米 B．米
C．米 D．米


解析：A、B球受力如图14所示设A、B两弹簧伸长分别为和。根据胡克定律和物体平衡条件
，
。正确选项是C。
注意：选择研究对象和分析受力是本题解题的关键。
例4：图15是主动轮P通过皮带带动从动轮Q的示意图。A与B、C与D分别是皮带与轮缘相互接触的点，则下面判断正确的是：
A．如果皮带不打滑，A与B、C与D处于相对静止状态
B．B点相对于A点运动趋势的方向与B点的运动方向相反
C．D点相对于C点运动趋势的方向与C点运动方向相反
D．主动轮受到的摩擦力是阻力，从动轮受到的摩擦力是动力
解析：主动轮P通过皮带靠摩擦传动带动从动轮Q转动，皮带对P的摩擦力是阻力，对Q的摩擦力是动力，所以选项D正确。同理A也正确。
设皮带光滑P轮顺时针转动则B点转动方向顺时针、相对于静止的A点运动方向也是顺时针，所以B选项错误。
设Q轮光滑，由P通过静摩擦使皮带在Q轮上顺时针转动，D点相对于顺时针转动的C点，运动方向是逆时针、所以选项C正确。
全题正确选项是A、C、D。
【综合练习】：
1、关于重心，下列说法正确的是：
A．重心就是物体内最重的一点
B．重心是物体各部分所受重力的合力的作用点
C．任何形状规则的物体，它的重心必在其几何中心
D．重心是物体所受重力的作用点，所以重心总是在物体上，不可能在物体外
2、关于弹力，下述说法正确的是
A．通常所说的压力、支持力和绳的拉力都是弹力
B．轻绳、轻杆上产生的弹力方向总是在绳、杆的直线上
C．两物体相互接触一定有弹力存在
D．压力和支持力的方向总是垂直于接触面的
3、一根轻弹簧，当它在100牛的拉力作用下，总长度为 0.55米；当它在300牛的压力作用下总长度为0.35米。则弹簧不受外力作用时自然长度为多少？
4、如图16所示，A叠放在B上，B放在斜面上，AB处于静止状态。下列叙述正确的是
A．B相对A与相对斜面的运动趋势相同
B．B相对A的运动趋势方向沿斜面向上，相对斜面沿
斜面向下
C．A相对B的静摩擦力沿斜面向上
D．斜面相对B的运动趋势方向沿斜面向上
5、如图17所示，用水平力F将物体压在竖直墙壁上，保持静止状态，物体所受摩擦力的大小
A．随F的增大而增大
B．随F的减小而减小
C．等于物体重力的大小
D．可能大于物体重力的大小
6、如图18所示四种情况中物体A都受有静摩擦力的作用，v和a表示共同前进的速度和加速度方向，其中物体A所受静摩擦力的方向与它的对地速度方向相反的是哪一种？


7、如图19所示，木块受到和摩擦力等三个水平力作用，静止在水平面上；若撤去，木块所受的合力
A．大小为8N，水平向右
B．大小为4N，水平向左
C．大小为2N，水平向右
D．等于零
8、如图20所示，甲、乙、丙三个质量相同，与地面动摩因数相同，受到三个大小相同的作用力F，它们受到摩擦力大小的关系是
A．三者相同 B．乙最大
C．丙最大 D．已知条件不够，无法判断谁最大
9、如图21所示，小物体m放在质量为M的物体上，M系在固定在O点的水平轻弹簧的一端且置于光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，将M向右拉离平衡位置x，然后无初速释放，在以后的运动中，M和m保持相对静止，那么m在运动中受到的最小和最大摩擦力各是多少？
【答案】：
1、正确选项B。注意选项C中没明确质量分布均匀这一重要的制约条件。
2、正确选项A和D。对于选项B中，轻杆上产生弹力方向可以不沿杆直线方向，因为杆可以产生弯曲形变。对于选项C，相互接触物体可以不产生形变，所以相互接触物体不一定有弹力存在。例如图22所示，竖直悬挂的小球与斜面接触而保持静止小球只受重力和绳张力而平衡，不受斜面支持力，从另外一个角度分析，若物体受斜面支持力，就一定要有向左的加速度而不能保持静止。
3、设弹簧原长为，根据胡克定律，，即，解之得米。注意两次形变方向不同。列方程时要注意。答案0.50米。
4、判断相对运动趋势可以设接触面光滑从而转化成相对运动问题。
A相对B和斜面有下滑趋势，B相对斜面有下滑趋势，B相对A有上滑趋势；A受B的静摩擦沿斜面向上，A对B的静摩力沿沿斜面向下。正确选项BD。
5、由题意可知静摩擦力大小等于物体重力，增加F的大小只能增大墙与物的最大静摩擦力而不会影响物体平衡时静摩擦力等于重力这一结果。所以正确选项是C。也可以进一步设想只要摩擦力不等于重力，竖直方向就不会是平衡态而与题意不符。
6、正确选项是D。在A中静摩擦力向右，充当动力且，f与v同向；B中摩擦力沿斜面向上f与v同方向；C中静摩擦力指向圆心充当向心力，f与v垂直；D中上面物体加速向右，它给A的静摩擦力向左，f与v方向相反。
7、由题意可知平面可以对物体提供0—6N的静摩擦力，当撤去之后，平面给物体向左2N的静摩擦力就可以使物体平衡，所以物体受合力为零，正确选项是D。
8、由于题目没有给出物体的质量，动摩因数大小，F的大小，因此就无法判断物体的运动状态，也就不能判断是静摩擦力还是滑动摩擦力，所以正确选项是D。读者还可以进一步探讨：假设是静止或水平运动条件下三者摩擦力的关系。
9、m与M一起做简谐振动，在平衡位置加速为零。而只有M对m水平方向的静摩擦力才能使m产生水平方向加速度，维持共同的简谐振动。所以m运动中在平衡位置受到摩擦力最小等于零。M与m系统有最大加速度a时是位移为x时。，此时对m其最大静摩擦力所以m最小静摩擦力为零，最大静摩擦力为。
注：（1）上述9个练习题1、2、3较易；4、5、6中等；7、8、9较难。
（2）以一些练习题为素材稍加改动就可以变成一系列难度不同的题，希望读者能学会这种举一反三，以典型带一般的学习方法。
例如练习题第4题已知A、B质量就可以求A和B受到静摩力的大小。
第5题可以改成如图23所示在两竖直板挤压下，重力均为G的矩形A、B物体保持静止，试问A、B之间接触面能否光滑？两竖直面对A和B作用力各多大？
第6题已知两物体质量和加速度可以求静摩擦力大小。
第7题若撤去问物体可能的运动状态。
第8题改成三个物体静止或分别作直线运动，试比较其摩擦力大小。
第9题可以求对m作简谐振动的与k的关系。还可以求有最大势能，动能的位置，如果再己知最大弹性势能是，还可以进一步求M与m的最大速度值。
盼望读者能在高三复习力学知识的开始就重视物理学习方法的总结和探讨，做到事半功倍，讲求效率、提高能力。
三．物体的平衡综合练习
例题精选
例1、如图2所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳
（98年全国高考试题）
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
解析：O点受力如图3在共点力平衡的问题中根本思路是转化成二力平衡。本题可以以重物重力为参照，绳AO、BO合力必与C的重力大小相等方向相反，设AO绳与竖直方向夹角为θ，， ，，显然TA>G，TB本题也不用进行过细的计算，从共点力合成的图示中可看出TA对应的是斜边，而TC和TB对应的是直角边。TA最大，所以所挂物体质量加时OA绳先断。正确选项是A。
例2：如图3所示，两个半球壳拼成的球形容器内部已抽成真空，球形容器的半径为R，大气压强为P，为了使两个球壳沿图中箭头方向互分离，应施加的力F至少为（95年上海高考试题）
A． B． C． D．
解析：以半球为研究对象，大气对半球的压力是指向球心的。把球壳分成无穷多块小平面，每块小平面面积为S，作用在S上的大气压力F1=PS，可以在半球面上对应地找到另一块小面积，大气压力为F2=PS，且两者竖直分量大小相等，互相抵消，水平分量向右，合力大小为F12=2PS。所有小面积上受大气压力合力方向向左，而2S即半图上无限多小平面在水平方向的投影，等于圆面积，所以大气压合力，根据共点力平衡条件，施加力F至少为，正确选项是C。
例3、如图4所示，两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板的M、N两点，M、N两点间的距离为S，已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于多少
（93年全国高考试题）
解析：如图5所示，设此时两绳拉力达到最大值T，绳与竖直方向角，由共点力平衡知识可知，。
答案是：
例4：如图6所示三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球重心Oa，位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方，三球均处于平衡状态，支点P对a球的弹力有Na，对b球的和c球的弹力分别为则
（95年上海高考题）
A．Na=Nb=Nc B．Nb>Na>Nc
C．NbNb=Nc
解析：球受力如图7所示球受三个力，重力及P、Q的支持力，三力平衡必共点，由题意可知三力必相交于球心。在题设条件下N的大小与球重心位置无关，所以正确选项是A。
例5：如图8所示，两物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连。A静止于水平面上，不计摩擦，A对绳的作用力大小与地面对A的作用力大小分别为
（95年全国高考题）
A．mg·(n－m)g B．mg·Mg
C．(M－m)g·Mg D．(M+m)g·(M－m)g
解析：初中知识告诉我们定滑轮在摩擦不计情况下只改变力的方向而不改变力的大小。物体A、B受力如图9所示根据共点力平衡条件T=mg，N+T=mg，A对绳作用力大小等于绳对A的拉力T，即T=mg N=(M－m)g，正确选项是A
例6：如图10所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物块B上的沿水平方向的力，物体A和B以相同的速度作匀速直线运动，由此可知A、B间的动摩因数和B、C间的动摩因数有可能是
（94年全国高考题）
A． B．
C． D．
解析：先对AB整体进行分析，在竖直方向是平衡态，地面对B的支持力等于A、B的重力之和，水平方向AB也是平衡状态，由于有水平方向右的推力F，必有大小与F相等的方向向左的平衡力作用在B与地接触面上，而这个力只能是滑动摩擦力，所以不能等于零。对A进行分析，除了竖直方向受重力和B的支持力平衡之外，水平方向不能出现B给A摩擦力，因为A是匀速运动的平衡态，因此A与B接触面可以光滑也可以不光滑。正确选项是BD。
从上面六个例题可以总结出处理力的平衡问题的几个基本步骤：①确定研究对象，到底用隔离法还是用整体法，要由题意决定，恰当选择研究对象对解题有举足轻重的作用。②对研究对象进行受力分析。正确而无遗漏地分析出物体的受力是解题的关键。③根据运动规律列方程。④解方程，对解的可能性进行讨论，舍掉不合理的解。
综合练习
1、如图11所示，在楔形木块的斜面与竖直墙间静止着一个光滑球。这时楔形木块对水平地面在压力N，摩擦力为f。若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的外力F，木块仍处于静止，则N、f变化情况是
A．N、f都增大 B．N增大，f不变
C．N不变，f增大 D．N增大，f变化情况不能确定
2、如图12所示，物体静止在斜面上，重力G沿垂直于斜面方向和平行于斜面方向分力分别为F1和F2。如果使斜面倾角缓慢增大，物体仍处于静止状态，在这个过程中
A．F2逐渐减小，F1逐渐增大
B．作用在物体上的静摩擦力始终与F2相平衡
C．物体对斜面的压力减小，所以静摩擦力也减小
D．斜面对物体的支持力与F1是一对作用力和反作用力
3、如图13所示，重物质量为m，AB、BC两根轻绳与竖直方向都成60°角，现将BC绳缩短并向左移动，但保持B点位置不变，在移动到BC绳处于竖直方向的过程中
A．开始时BC绳拉力大小为mg
B．绳BC 的拉力可能大于mg
C．绳BC 的拉力可能小于mg 图13
D．绳BC 的拉力先减小后增大，但不会超过mg
4、如图14所示，AOB为水平架空的光滑杆，其夹角AOB=
60°，在杆上套两个质量均为m小球，二小球由可伸缩的弹性绳连接，在绳的中点C，施以沿∠AOB角平分线方向向右的水平拉力F，两小球平衡时绳对小球弹力大小为T，则T与F大小的关系是
A．T=F B．T>F
C．T5、如图15所示，在水平面上叠放着木块P和Q。水平推力F推Q和P共同做匀速运动，下面说法正确的是
A．P受3个力，Q受4个力
B．P受2个力，Q受5个力
C．P受4个力，Q受6个力
D．以上答案都不对
6、如图16所示，物体M放在粗糙的斜面上保持静止。现在用一个水平力F推M，当外力由零逐渐增大而物体仍静的情况下
A．物体M受的静摩擦力逐渐减小到零
B．物体M 受的静摩擦力方向可能改变
C．物体M 受到的合处力增大
D．物体M受到的斜面支持力不变
7、如图17所示，半圆形支架DAB，两绳OA和OB接于圆心O，下悬重为G的物体，使OA固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移动竖直位置C的过程中，OA绳和OB绳对节点O的拉力大小如何变化？
8、如图18所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一个劲度系数为K，自然度为L，（L<2R）的轻弹簧，其一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点。求小球处于静止时，弹簧与竖直方向的夹角。
9、如图19所示，O为轴AO=OD=2米，AB=1米，杆AD重力不计。F1=1牛，F2=2.5米；=60°，B=30°则对O点F1的力矩M1= 牛米，力F2的力矩M 2=
牛米。
答案
1、未加F时球和木楔受力如图20所示，N1向上分力等于mg，N等于mg与N1向下分力之和，f等于N1水平分力。当加F之后N1增大，使得N和f都增大，正确选项是A。
2、物体受力如图21所示，由题意可知，即，，当角增大时增大，减小，静摩擦力特点是可以由零变化到最大静摩擦，f始终与相等，因此前三个选项中只有B正确。斜面对物体支持力N的反作用力是物体对斜面的压力，具作用点在斜面上，力的性质是弹力，而F1是重力一个分力，作用点在物体重心，性质属于重力，因而D选项错误。正确选项是B。
3、当两力合力大小方向不变，一个分力方向下变时，讨论另一个分力变化情况用图22所示的三角形法解决比较简捷。TA与TC合力等于物体重力且方向相反，即竖直向上。TA方向不变，沿BA方向。在BA上取一点E，连接ED，即为TC大小和方向，BE即为TA大小和方向。由题意可知ED与AB夹角等于60°时开始作图，此时TC=mg。TC大小由mg减小至BC即ED垂直于AB时TC有最小值，然后TC再增大直到mg。在这个变化过程中TA始终减小，TC先减小后增大。正确选确选项是A、C、D。
在讨论力的变化，尤其有极值问题时用三角形比较简捷，此类问题用三角函数去解也可以，读者可以自己试一试。
4、球和C点受力如图23所示，球平衡时N=T，C点受三个力互成120°角而平衡F=T 。正确选项是A。
分析此题找到小球平衡时T与N大小相等方向相反，由于N垂直于AO，T也必然与AO垂直，从而得出∠C=120°这一个关键条件，是最重要的一步。
5、物体P和Q受力如图24所示，由于P处于平衡态，徐了竖直方向mg和ND以外水平方向不会受到Q给的摩擦力。Q也处平衡态，竖直方向受三个力，水平方向地面要对Q施以静摩擦力与外力F平衡，所以Q共受与个力。正确选项B。
这是一道分析受力的典型题，其方法和思路一定要熟练掌握。
6、物体不受F作用时受力如图25所示，此时。当用水平力F推M时，随着F的增大F沿斜面向上分力增大，使得静摩擦力f要减小，当当时f方向改为沿斜面向下而且随着F增大而增大，即随着F由零逐渐增大，f方向由沿斜面向上逐渐变为沿斜面向下，大小先减速小到零，再增大。F沿斜面垂直方向的分力也随F增大而增大使得斜面对物体支持力N也随之要增大，由于物体静止，其所受合力绐终为零。正确选项B。
7、由于绳AO和BO的弹力TA和TB合力始终与重力G平衡，而且AO方向不变，所以此题用三角形法图解比较方便。如图26所示，再O作竖直向上大小为G的力，连AO方向射线，且G点作平行于AB直线交AO于E，EG大小即为TB，由题意可知GE垂直AO时TB有最小值GE与GO重合时TA=G。所以TB先减小后增大，TA一直减小。
答案TA一直减小，TB先减小增大，最终等于G。
8、小球平衡时受力如图27所示，由N、T、G组成的三角形与△AOB相似即。根据正弦定理
。解之得
。
22如图28所示，画出F1和F2的力臂OE、OF，由几何知识可知OE=AO·sin，。
根据力矩定义牛米；牛米。
答案：牛米 ， 1.25牛米
注：在解决物体平衡的问题中除了注意课本或参照资料指出的一般方法之外，尤其要把重点放在每个特殊问题所设置的隐含条件上，寻找出这些隐含条件才是解决具体问题的突破口，有些读者听懂了课而不会解决问题，往往是没处理好这个一般与特殊的关系，一个人的能力往往表现在用一般规律解决特殊问题的过程中。
例如第4题的小球平衡时一定是N与T大小相等方向相反；第8小题球平衡时∠OAB=∠ABO等等。
请读者学会举一反三，再练习这样一个题。如力29所示，两固定光滑硬杆OA与OB夹角为，在两杆上各套轻环C、D，C、D用细线相连，现用一恒力F沿OB方向拉环C，当两环平衡时，绳子的拉力是多少？
提示对D进行分析，其平衡时T与N1大小相等方向相反CD⊥AO这时解决本题的关键隐含条件。如图30所示。
答案：
动量
（一）专项训练
【错误分析例题】：
1、不注意规律的适用条件。
例1：如图，质量为的质点，以速率在水平面内做匀速圆周运动，当质点由A移动到B做圆弧运动的过程中，求作用在质点上合外力的冲量。
错解：既然是求合外力的冲量，就必须知道合外力及作用的时间。分析认为这里的合外力就是质点运动所需的向心力：；而所用的时间恰是四分之一周期：，由此得出错误结论：
分析：发生这种错误的原因在于不注意的适用条件是“恒力”作用。在这个问题中既然作用力是向心力，且向心力的方向是不断改变的，它是变力就不能用来求得冲量I。这里只能用动量定理来求这个变力的冲量。
如图所示，质点在A点时初动量的方向沿y轴正方向，在B点时末动量的方向沿x轴负方向，且大小均为。由矢量合成分解的三角形法则可知在这圆周运动中，动量的变化量等于，且方向沿与轴成的方向。显然合外力的冲量也是如此。
物理学中，任何一个规律的存在都是有条件的，它的正确性是相对的。不注意适用条件，不注意对问题的准确分析，而是记公式、套公式，这是在学习中要不断克服的。
例2：质量为m的球以速度v运动，碰墙后以的速度被反弹回来，球与墙作用的时间为。求：在球与墙的碰撞过程中（1）小球动量的增量；（2）球对墙的平均作用力。
错解：有的同学认为
那么
又
所以
他的结论是小球动量减少了。墙给球的作用力的大小是，与运动方向相反。
分析：这个同学出现的错误是只注意到动量和冲量的大小，没有注意到它们的方向。这一章中所学的两个概念和两个规律都具有突出的矢量特征，认识这一点是十分重要的。因为忽略了方向特征，动量和冲量的概念便失去意义，两个规律也就失去了存在的基础。
正确解法：首先要设定某个方向为正方向。
设小球与墙碰撞前的速度方向为正，那么碰后小球的速度为。
则
由动量定理
得
结论：小球动量的增量为，方向与小球原来的运动方向相反。小球在与墙相碰的这段时间内墙给球的平均作用力为，方向与小球原运动方向相反。
这道题如果我们选定碰后小球运动的方向为正，并不影响最终的结果。
2、碰撞过程中可能有能量损失。
“碰撞”属于两个（或两个以上）物体在很短时间内的一种相互作用。对每一个物体在极短时间内运动状态发生了变化，它所受到的另一个物体施以的作用力（物体系的内力）是相当大的（这由动量定理可以证明），以至于物体系统所受的外力作用效果可以忽略。所以在一般情况下不必对系统进行细致的分析就可以认为系统动量是守恒的。其实像爆炸这类短时间的作用也可以认为动量是守恒的。
从能量的角度来看，碰撞有三种情况。其一是碰撞过程中没有机械能损失，这是一种理想化的碰撞，也称作弹性碰撞；另一种是碰撞过程中机械能损失最大，也称作完全非弹性碰撞。它的明显特征是碰后系统内各物体具有相同的速度。第三种是一般的碰撞，碰撞过程中既有机械能损失，又损失的不是最大。
对于两个物体的正碰问题，碰撞前后是这样的：
弹性碰撞应同时满足：
经解可得唯一的一组解：
完全非弹性碰撞应满足：
可得唯一的解：
对一般的碰撞只能满足：
最终两个物体的运动情况是由构成物体的自身特征决定，物体材质变化时可能有无数种解。
有的同学在解题时，不注意题目给出的物理情景，也不清楚不同类型碰撞所遵循的不同规律，误认为凡是碰撞都属于弹性的（都是没有机械能损失的）。从而得出错误的结果。
例3：如图所示，长l为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量为0.2kg的球。将球提起使细绳处于水平位置时无速释放。当球摆至最低点时，恰与放在光滑水平桌面边缘的质量为1kg的铁块正碰，碰后小球以2m/s的速度弹回。若光滑桌面距地面高度h为1.25m，铁块落地点距桌边的水平距离多大？（）
错解：有的同学不顾题目中给出的小球被弹回的物理事实，自认为小球与铁块的碰撞中无机械能损失，应用已经熟知的弹性碰撞的结果，直接求得铁块碰后的速度，错误认为：
这样使得最终结果出现偏大的错误。
分析：这道题反映的客观事实是有三个连续的物理过程：首先是小球下摆，因为只有重力做功，所以机械能守恒；接着是小球与铁块相碰，由于作用时间短暂，故满足动量守恒的条件；最后因为铁块具有了一定的水平初速度，且又只受重力作用，它将作平抛运动。各物理过程的衔接点都是速度。抓住速度问题就可以解决。
正确解法：
根据机械能守恒定律，先求小球与铁块相碰前的速度。
再运用动量守恒定律，求出球与铁块相碰后铁块的速度。
因为小球是被弹回的，故取，代入上式可求得。
由平抛射程公式可求得铁块的水平射程：
其实通过这道题提供的数据还能计算出碰撞过程中机械能的损失量。
碰前系统的机械能为：
碰后系统的总机械能为：
碰撞过程中系统机械能的增量为：
确实有机械能损失，损失掉的机械能一般主要转化为物体的内能。
再对此题进行探讨。为什么小球跟铁块相碰后会以的速度弹回呢？这主要是因为小球和铁块的材料特征决定。假如两者是完全的非弹性体，它们碰后会粘在一起以共同速度运动。计算可知：
这样铁块的水平射程在机械能损失最大时，也最小：
在无机械能损失时，它的水平射程也最大：
除这两种极端的情况下，一般铁块的水平射程应介于这两者之间：0.33m≤s≤ 0.67m。本题就是如此。除非有别的能量给予补充（如爆炸、燃烧等），否则铁块不会落在该区间以外。
3、“动量守恒定律”、“动量定理”不仅适用于短时间的作用，也适用于长时间的作用。
关于碰撞的这种短时间相互作用的问题，在中学阶段除用动量定理和动量守恒定律处理外，并没有其它更有效的方法。这类问题作多了，有的同学误认为只有短时间的作用问题才能用这两条规律。其实对长时间的作用仍适用。
例4：一辆质量为2吨的汽车在水平公路上行驶时，它受到的阻力为自重的0.02倍。开足马力由静止出发它在10秒内可加速到。求该汽车在这段加速过程中的牵引力。
分析：这个问题用牛顿第二定律来处理是同学们非常熟悉的，这个问题也可以用动量定理来解决。即汽车在水平方向所受的总冲量等于汽车动量的变化。
解：设汽车运动方向为正，则由动量定理可知：
其实这道题也可以用动能定理来处理。同学不妨一试。
例5：如图所示，一质量为M，长为l的长方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一质量为的小木块A，。现以地面为参照系，给A、B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板，以地面为参照系。
（1）若已知A和B的初速度大小，求它们最后的速度的大小和方向；
（2）若初速度大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的最大距离。
分析：小木块在长木板上滑动，两者之间存在着相互作用的摩擦力，但以木块和木板构成的系统而言，因为所受的合外力为零，所以满足动量守恒。尽管木块在长木坂上可能是长时间滑行，动量守恒定律仍适用。至于第二问则要用到机械能的有关问题。
解：（1）A没有滑离B板，则表示最终A、B具有相同的速度，设该速度为，由动量守恒：
速度大小为
且方向向右。
（2）A在B板左端初速度向左，A到B板右端时速度向右，可见A的运动必经历了向左作匀减速运动至速度为零，再向右作匀加速运动至速度为V这样两个过程。如图，设减速运动的路程，加速向右运动的路程，L为全过程中B板运动的路程。取f为A、B间的摩擦力，由动能定理可得：
对B
对A
由几何关系可知：
将以上四式联立可得：
4、选择研究对象不当，往往解法繁杂甚至无解。
动量守恒定律一般以处理物体组（系统）问题最善长，但对于有三个或三个以上物体间相互作用问题时，怎样确定研究对象就显得十分重要了。有时在一个题目中要选不同的物体组作为研究对象方可求解。
例6：甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车的质量共为M=30kg，乙和它的冰车总质量也是30kg，游戏时，甲推着一个质量为的箱子，和他一起以大小为的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力。求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
分析：如图，在甲推出箱子的过程中，甲和箱子组成的系统动量守恒。乙接到箱子并和乙一起运动的过程中，乙和箱子组成的系统动量也是守恒的。在全过程中甲推箱子和乙接箱子中三个物体组成的系统动量也是守恒的。那么应该以哪个物体组为研究对象呢？若仅以甲、乙和箱子为研究对象显然无法求得甲推箱子的最小速度。为此只能分别选甲、箱子为研究对象、箱子、乙为研究对象求解。
解：设箱子被甲推出后的速度为，甲的速度为，根据动量守恒，则：
（1）
设乙抓住箱子后其速度为，根据动量守恒，则：
（2）
为了不使甲、乙相撞、应满足：
（3）
将（1）、（2）、（3）式联立得：
推箱子的最小速度代入数值后得。
这道题若以甲、乙和箱子为研究对象，可以先求出三个物体具有相同运动速度时的速度，这个速度即是题解中的和，再选甲和箱子（或箱子和乙）为研究对象，问题就可以解决。这说明必须选两组研究对象，这个问题才能有解。
5、不注意正方向的设定，往往得出错误结果。
动量定理（）说的是物体动量的变化量（）跟总冲量（）的矢量相等关系；动量守恒定律（），说的是存在内部相互作用的物体系统在作用前后或作用过程中各物体动量的矢量和保持不变的关系。也就是说以上两式均是矢量关系。因为在中学物理中仅要求处理同一直线上的作用和运动问题。因此在处理这类问题时可以（也应该）设定某方向为正方向，用正、负号来表示各矢量的方向，这样就可将以上的矢量式变成标量式（或称代数式）。这也是跟有关能量和功的处理方法不同之处。一旦方向搞错，问题不得其解，甚至得出错误结论。读者看一下例6的解。题中虽然没有说明，其实是以甲原来的运动方向取为正，这样才能建立起（1）、（2）式的具体表达开拓形式，否则定会得出谬误的结果。
（二）动量、同一直线上矢量运算综合练习
例题精选：
例1、如图1所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静自由滑下，到达斜面底端，在这个过程中，两个物体具有的相同的物理量可能是：
A．重力的冲量 B．支持力的冲量
C．合力的冲量 D．到达底端时的动量
E．到达底端时动量的水平分量 F．到达底端时动量的竖直分量
G．以上各量都不同
【分析和解】
我们知道如果一个力的方向不变，则在一个过程中这个力的冲量方向跟这个力的方向相同，由受力分析可知支持力N垂直于斜面，而合外力的方向平行于斜面。物体两次下滑时，斜面的倾角不同，所以两次下滑时，支持力N的方向以及合外力的方向就不同。因此两次下滑时支持力的冲量的方向以及合外力的方向也就不同。而冲量是矢量，要想叫两个矢量相等（或者说相同）这两个矢量必须大小相等并且方向相同，因此两次下滑过程中支持力的冲量以及合外力的冲量是不相等的，所以B和C是错误的。
由动量定理得，合外力的冲量等于动量的变化。请注意，这里的等式表示的是两个矢量相等。即“合外力的冲量”与“物体的动量的变化”不但数值相等，并且方向相同。又物体的初动量为零，所以物体的动量的变化就等于物体的末动量（也是矢量相等），因此合外力的冲量等于物体的末动量（即到达底端时的动量），因为两次下滑时合外力的冲量不相等，所以两次下滑时物体的末动量就不相等。所以D选项也是错的。
设物体的质量为m，则物体两次下滑过程中重力的冲量分别为，方向都是竖直向下，如果能够证明t1 = t2倒可以得出物体两次下滑过程中重力的冲量相等的结论。可惜的是我们却可以证明。
因为下滑过程中机械能守恒，所以两次滑到底端时速度的大小相等，所以两次下滑过程中的平均速度相等（指的是大小相等），但由于而斜面高度相同，所以第一次下滑的路程长，所以，所以两次下滑过程中也不相等，所以A选项也是错误的。
上面已经说过物体两次滑到底端时速度的大小相等，因此物体滑到底端时尽管动量不相等，而动量的大小却相等（请注意：动量大小相等跟动量相等的含意是不同的）。因此两次滑到底端时物体动量的水平分量分别为，由于m、v相同，而角不同，所以两次下滑到底端时动量的水平分量还是不相等，所以E选项是错误的。同理可以证明F选项也是错误的。
既然AF各选项都是错误的，就只有G选项正确了。
例2、质量为1Kg的小球从高20m处自由落到软垫上，反弹后最大高度为5.0m，小球与软垫接触的时间为1.0s，在接触时间内受到软垫弹力的冲量大小是：
A．0 B．10N·s C．20N·s D．40N·s
解：在接解过程中应用动量定理
设向上为正，得
又因为下落时是自由落体运动 ∴ ∴
而上升过程为竖直上抛运动 ∴ ∴
∴
∴D正确
说明：
（1）公式是矢量式，公式左边的“”表示的是矢量IN 跟矢量IG的矢量和（即所谓叠加），而公式右边的 表示的是两个矢量的矢量差，所以“＋”和“－”只是表示矢量的相加或相减，并不是表示矢量的正负。
（2）矢量的正负（或者说矢量的方向）在表示矢量的字母里，例如我们规定向上为正后，v2已经是负数，千万不要因为是负数，就在前面加一个“－”把它写成“－”，因此规定向上为正后虽然，都是负矢量，但它们前面却没有负号。
（3）但是在同一直线上矢量运算中，有两种矢量字母里不包含方向，而它的方向用在字母前加正负号来表示，一种是力，另一种是重力加速度g，例如我们规定了向上为正后，重力这个负矢量就用“－mg”来表示，这里重力的方向由“－”来表示，而“mg”只表示重力的大小。
例3、质量为m的小球A，沿光滑水平面以w1的速度与质量为2m的静止小球B发生正碰撞，碰撞后A球的动能变为原来的，那么小球B的速度可能为：
A． B． C． D．
解：碰撞过程中A、B两小球系统的总动量守恒。
∴
我们已经知道，且 ∴
∴
∴A、B选项正确。
说明：
在公式中都是矢量，它们的方向都在字母里。可是一但用已知代入公式时，这里的就只单纯地代表一个数据了，而且这个数据一般代表一个正的数据，当
跟方向相同时，，当跟方向相反时，。可见显然都是字母，但它们的意义不同，代表的是三个矢量，而已知数据却往往只代表一个已知速度的大小，即它已经是标量了，那么最后结果难道表示矢量等于标量了吗？不是的，因为在前面有一个“＋”，而“＋”一般可以不写。
在应用动量定理和动量守恒定律解题时，经常遇到一些非常大的力的作用。这些力的大小往往是其它力的几十倍，上百倍，甚至更大。在这种情况下我们常常把其它力忽略。而忽略其它力后会给我们带来种种方便，有时会使本来不满足动量守恒的系统转化为满足动量守恒。有时会使运算变得简单很多。
例4、如图2所示，质量为m的重锤从高h处自由下落，打在质量为M的木桩上，重锤与木桩一起下沉距离S。
求：木桩在下沉过程中遇到的平均阻力。
分析与解
此处显示动画1—动画7
由以上分析我们可以得到下列方程
解这三个方程得
说明：
1、严格来讲，只有在系统不受外力或所受外力的合力为零时，系统的总动量才守恒，但是如果系统内物体间的作用力（内力）非常大，系统所受到的外力跟内力相比较如果可忽略的话，我们也可以认为系统的动量守恒，本例题中，当m和M发生碰撞时，要受到重力和阻力的作用，而且阻力还是一个相当大的力，但是这些外力跟碰撞时的内力相比较仍是可以忽略的。类似这种情况的还有用锤子钉钉子。
2、当m和M一起下沉时，合外力应为重力跟阻力的合力。但在这个过程中，我们应用动能定理时没有考虑重力，这是因为当m和M下沉的过程中阻力非常大，重力跟它相比较完全可以忽略，有了这个忽略，可以使运算显得简单多了。
3、摩擦力（阻力）在有些过程中可以忽略（碰撞时），有些过程（下沉时）不能忽略，并且它还大到可以忽略其它力，摩擦力的地位发生了巨大的变化。这种变化完全由外界条件（）决定。而这种外界条件的改变往往是不易掌握的。要做到能较好地把握这种地位的改变，可通过做些习题来丰富自己对一些过程有较为准确的认识。这道例题就使我们对打桩，钉钉子之类过程有了较为准确的认识。
【动画及说明】
动画1
整个过程如右图所示，我们可以把全过程分为三个过程，第一过程为m自由下落过程，第二过程为碰撞过程，第三过程为m、M一起下沉过程。
动画1、说明：
（1）动画过程分为三个分过程
（2）第一过程m下落，M不动，m开始时速度为零，下落过程中速度逐渐增大（匀加速运动），如果画面中下落高度h=10厘米，运动时间设计为1秒钟，则到接触大M时，m的速度应为20厘米 / 秒。
（3）第二过程即动画2的第二过程，但在此过程中时间极短，大约为秒，因此几乎看不到位移。但m速度由20厘米 / 秒变为8厘米 / 秒。
（4）第三过程即为动画3中所增加的过程，在此动画中第三过程用时秒，下沉距离为厘米。
（5）此动画要反复出现直到翻页。
（6）此动画可设置学生翻页，如果学生不翻过可自动翻页。
（7）翻页后进入动画2。
动画2
为了使大家能看得清楚些，我们把第二过程和第三过程的画面放大，用慢镜头表现一下。
动画2说明：
（1）动画2中的动画部分，与动画1相同。
（2）后把虚线内部分推近放大，但在放大过程中，竖直方向放大快些，水平方向（宽度）放大慢些，（放大所用时间由制做人员自由掌握）
（3）放大后进入动画3。
动画3
当m自由下落到接触到M时，就跟M发生碰撞，碰撞过程的时间极短，这里把时间放大了，让大家看到细节。
（1）此动画可分为两个过程，这两个过程用动画图3所示的三个状态分割，这三个状态应在同一竖直方向上，为了能让制做动画的同志看清楚，我把三个状态错开画出。
（2）第一过程，由状态1到状态2，m以匀速下落，下落高度视画面大小而定，我假定为4厘米，用时，m下落速度为2.86厘米 / 秒。
（3）第二过程由状态2到状态3，重锤下落2厘米，速度由2.86厘米 / 秒逐渐减小到1.14厘米 / 秒（匀减速），用时1秒。木桩下落0.57厘米，速度由0逐渐增大到1.14厘米 / 秒（匀加速），当然用时也是1秒。
（4）由于在第二过程中重锤下落多，木桩下落少，所以木桩要产生变形，向两边胖出来，这个胖出来的过程应是逐步的，最后不宜胖出太多，有点意思即可。
（5）为了能够表现出重锤和木桩的运动，可在这两个物体上画些木纹之类的东西，使其有立体感。
（6）此动画可反复出现直到翻页。
（7）可设同学翻页，如果学生不翻过可自动翻页。
（8）翻页后进入动画4。
动画4：
碰撞过程结束后，m与M一起下沉，下沉过程的时间也很短，这里也把这个过程的时间放大了。
动画4说明
（1）与动画3说明中第（1）条同。
（2）第一过程，由状态1到状态2，重锤下降1.4毫米，木桩下降0.4毫米，用时。这一过程就是动画（3）的第二过程。只不过把下降距离和时间都做相应的减少。速度也有相应变化（重锤由5厘米 / 秒2厘米 / 秒，木桩由02厘米 / 秒）。
（3）第二过程由状态2状态3，重锤和木桩一起下沉，下沉时间为2秒，下沉距离为2厘米，下沉过程由初速度为2厘米 / 秒，逐渐减小速度，（匀减速运动），最后速度为零。
（4）(5)、(6)、(7)与动画了的第(4)、(5)、(6)、(7)相同，只是把动画3的说明(4)中的“第二过程”改为“第一过程”
（8）翻页后进入动画5。
动画5
在第一过程中即m自由下落过程中，重锤m机械能守恒。所以有
图如动画1
（1）本动画图的动画部分与动画1相同。
（2）可设学生翻页，如果学生不翻 自动翻页。
（3）翻页后进入动画6。
动画6
而在第二过程即碰撞过程中，由于内力跟外力相比较非常大，外力可忽略，所以重锤m和木桩M这个系统动量守恒，所以有
图如动画3
动画6说明
（1）本动画图的动画部分与动画3相同。
（2）可设学生翻页，如果学生翻自动翻页。
（3）翻页后进入动画7。
动画7
在第二过程，即碰撞后重锤m和木桩m共同下沉的过程，由于在这个过程中阻力f远大于重力G，所以重力可忽略，由动能定理得
图如动画4
（1）本动画图的动画部分与动画4相同。
（2）可设学生翻页，如果学生不翻20自动翻页。
（3）翻页后进入文本“分析和解”内容。
说明：
（4）我们在演示碰撞过程时，时间用了1秒，重锤和木桩都下降了一个不小的距离，其实际情况碰撞过程的时间极短，而位移也极小，我们设想了一个具体打桩情况，把数据拿出来供参考，重锤自由落体过程，h=5米，t=1秒，碰撞过程：。
我们在做碰撞演示时，把时间拉长了，把物体的位移也增大了，目的是为了能叫大家看到细节，千万不要因此产生“碰撞时，两物体都要产生不是十分小的位移”的错误结论。
这部分内容接在前面说明（3）后边。
我们知道动量守恒定律，是对系统而言的，对一个物体讨论动量守恒是没有意义的。当一个问题中有多个物体时，可做为研究对像的系统是多样的，例如有甲、乙、丙三个物体，我们可以甲、乙组成系统，也可以乙、丙组成系统还可以甲、丙组成系统，还可以甲、乙、丙组成系统。而在这些系统中，不见得随便拿出个系统来就动量守恒，有可能第一种系统动量守恒，而第二种系统动量就不守恒。有可能第三种系统动量不守恒。而第四种系统动量却守恒。因此在应用动量守恒定律解题时要注意系统的选取。要选取那些满足动量守恒条件的系统，因此在应用动量守恒定律之前，必须对系统进行分析，看其是否满足动量守恒的条件（即不受外力、或外力的合力为零）。
严格来讲如果一个系统的总动量守恒，它必须满足不受外力或所受外力的合力为零。要说这个条件可是够苛刻的，它要求不受外力，即使外力不做功，有这个外力也不行。在例1中支持力N没有做功，但它却对物体动量的变化起到了作用。可见如果有外力，这个力即使不做功也会引起系统动量的变化。
尽管系统动量守恒有十分苛刻的条件，但是有时我们却可以在动量不守恒的情况下应用动量守恒定律。
当系统的外力的合力不为零时，显然系统的动量不守恒，但是在外力的合力的垂直方向上物体所受外力为零，所以系统的总动量在垂直合外力方向上的分量是守恒的。这就是所谓在某个方向上的动量守恒。在后面的例5中，当小球摆起的过程中，在竖直方向上的动量是不守恒的（以向上为正时系统总动量有个先增后减的过程），但我们可以在水平方向上列出动量守恒的方程。
当系统内力特别大，大到外力可以忽略时，我们也可以认为系统动量守恒。像前面例4中，重锤与木桩碰撞的过程中，外力的合力不为零（而且很大），但它们之间的内力（碰撞力）非常大，外力跟内力相比较可以忽略，所以我们也认为这个过程中重锤与木桩这个系统总动量守恒。像这种情况还有两球碰撞、手榴弹爆炸等。
例5、如图3所示，小车A、B质量均为M，在B上挂着质量为的小球C，C相对于B静止。悬线长l=0.40米，B车（和C）以速度 v=3.6米 / 秒在光滑的水平面上向A滑行，相碰后两车连在一起运动，设碰撞时间很短，则当C球摆到最高点时，两车的速度大小为多少，悬线与竖直方向的夹角是多少。
分析和解
此处安排动画1—5
由以上分析我们可以得到下列方程。
解这三个方程得：
又由几何知识得（如图4）
说明
（1）应用动量守恒定律时，要考虑研究对象的选取，在本例题中，两次应用动量守恒定律，而选取的对像却不同，在碰撞过程中是以A、B两车为对像应用动量守恒定律，而在小球上摆的过程中，又以两个小车和小球C三个物体为对像应用动量守恒，当然，在碰撞过程中如果以三个物体为对像，动量也是守恒的，但小球C的介入只是添乱，对解题毫无帮助。然而在小球上摆的过程中，必须以三个物体为对像时，系统的总动量才守恒。
（2）在此题中，应用机械能守恒定律时，也有个研究对像的选取问题，当小球上摆时，如果以两个小车为研究对像，或者从小球为研究对像机械能都是不守恒的C（因为绳的拉力对小车做正功，对小球做负功）。但是如果以这三个物体整体为研究对像时，绳的拉力所做总功就等于零了，（或者说绳没有对系统做功，而且一直没做功），这样机械能就守恒了。
【动画及动画说明】
动画1
两车及小球的运动过程如图所示，我们可以把整个过程分为两个过程，过程Ⅰ，为碰撞过程，过程Ⅱ为小球摆起过程。
动画说明：
（1）动画分为三个过程。
（2）第一过程A不动，B和C以速度向左匀速运动，两车间距离为4厘米，运动时间为2秒。（状态1—状态2）
（3）第二过程为碰撞过程，这个过程时间极短，可设在秒数量级上，三个物体没有位移，但在些过程中，A由不动变为速度1厘米 / 秒，B由速度2厘米 / 秒变为1厘米 / 秒，C的速度不变，两车外形稍有形变（一定要画得非常小，甚至可看不出来）（状态2—状态3。）
（4）第三过程，小球上摆过程，此过程不要大于1秒钟，在此过程中车的运动速度由1厘米 / 秒变为1.1厘米 / 秒，前进距离1厘米多一点，小球向上摆动，开始时小球C相对于小车以1厘米 / 秒的速度向前摆。摆动过程中小球相对于小车的速度逐渐减小，最后相对于小车静止，此时绳摆起50角左右。
（5）此动画的慢镜头在动画3中，动画3的说明可做此动画参考。
（6）此动画各图应在一条水平线上，而且状态1、状态2、状态3的A车基本就是在同一位置上，为了使制做人员读明白，把各图上、下错开画了。
（7）此动理反复出现到翻页。
（8）可设置学生翻页，如果学生不翻页过自动翻页。
（9）翻页后进入动画2。
动画2
在碰撞过程中，如果以两个小车为系统，由于它们所受外力（重力、支持力、小球的拉力）都在竖直方向上，所以在水平方向上系统的动量守恒，所以
动画图如动画1中的状态1—状态3
说明：
（1）状态1—状态2过程，A不动，B和C以1厘米 / 秒的速度向左匀速运动，两车距离为2厘米，运动时间为2秒。
（2）状态2—状态3过程，用时0.4秒，A由速度为零逐渐增大到0.5厘米 / 秒，B的速度由1厘米 / 秒逐渐减小到0.5厘米 / 秒，C的速度保持1厘米 / 秒不变。
A的位移为1毫米，B的位移为3毫米，C的位移为4毫米。
（3）由于A位移小，B位移大，所以两车接触部分要稍有形变（胖出来了）该形变要理得越小越好。
（4）此动画可反复出现到翻页。
（5）可设置同学翻页，如果同学不翻页过15自动翻页。
（6）翻页后进入动画3。
动画3
在小球上摆的过程中，如果以两个小车以及小球这个整体为系统显然这个系统的总动量在水平方向上的分量是守恒的。∴，同时在这个过程中，还是以这三个物体组成的系统为对像机械能也守恒。
∴
动画部分同动画1
（1）此图基本上同动画1，只是各部分过程的时间间隔，物体的速度大小及位移大小有所不同。
（2）第一过程（状态1状态2），A不动，B和C的速度2厘米 / 秒，位移为4厘米。
（3）第二过程（状态2状态3），A速度由0逐渐变到1厘米 / 秒，位移为0.1毫米，B：速度由2厘米 / 秒逐渐变到1厘米 / 秒，位移为0.3毫米，C：速度仍然保持向左2厘米 / 秒不变，位移0.4毫米。
（4）第三过程（状态3状态4），A和B：速度由1厘米 / 秒逐渐变到1.1厘米 / 秒，位移为2.1厘米，在此同时，小球逐渐摆起，使绳对竖直方向有一个夹角左右。小球在上摆的过程中，相对于小车的速度越来越小。最后为零。
（5）以动画反复出现，到翻页。
（6）可设置学生翻页，如果学生不翻页过30自动翻页，翻页后回到文本，“分析和解”。
综合练习：
（1）两个物体的质量分别为，它们分别在恒力F1和F2作用下由静止运动，经过相同的位移，动量的增加量相同，则这两个恒力的比值F1∶F2= 。
（2）94年7月中旬发生的彗木相撞中，假设其中有一块碎片质量为，对于木星的速度为，碰撞后发生了巨大爆炸，并与木星融为一体，在碎片与木星相撞的过程中，它对木星的冲量是 N·S，损失的机械能 J。（木星的质量远大于彗星的质量）。
（3）物体A和B用轻绳相连接挂在轻弹簧下面静止不动，如图4所示。A的质量为m，B的质量为M，当连接A，B的绳突然断裂后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时B物体的下落速度大小为u。在这段时间内，弹簧的弹力对A的冲量为
A．mv； B．mv－Mu； C．mv + Mu； D．mv + mu
（4）A、B两球在光滑的水平面上沿同一直线，同一方向运动，A球的动量为5Kg·m / s，B球的动量为7Kg·m / s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后，A、B两球的动量可能是
A．6Kg·m / s，6Kg·m / s； B．3Kg·m / s，9Kg·m / s；
C．－2Kg·m / s，14Kg·m / s； D．－5Kg·m / s，15Kg·m / s.
（5）在质量为M的小车中挂一个单摆，摆球的质量为m，小车（包括单摆）以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块碰撞，碰撞的时间较短，在此碰撞过程中，下列可能发生的情况是
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别为v1、v2、v3，满足
B．摆球速度不变，小车和木块的速度变为v1、v2，满足；
C．摆球速度不变，小车和木块的速度都为u，满足
D．小车和摆球的速度都变成v1，木块的速度变为v2，满足。
（6）如图5所示，A、B两物体彼此接触静放在光滑的桌面上，物体A的上表面是半径为R的光滑半圆形轨道，物体C由静止开始从P点下滑，设三个物体质量均为m，C刚滑到最低点时的速率为v。
A．A和B不会出现分离现象；
B．当C第一次滑到最低点时，A和B开始分离；
C．当C滑到A左侧最高点时，A的速度为，方向向左；
D．最后A将在桌面左边滑出。
【答案】
（1）m2∶m1 （2）6.0×1016；1.8×1021
（3）D （4）B，C
（5）B，C （6）B，C，D
【提示】
（1）
（3）A所受合外力为弹簧的弹力和重力的合力
（4） ①碰撞时系统总动能不能增加
②
【练习题解答】
（1）我们知道一个物体的动能，动量P = mv，由这两个定义式很容易推导出（这两个关系式课本里没有，但高考经常考这两个关系式，希望大家把它当公式记住）。
由动能定理得
∴
由已知得P1 = P2，∴
（2）彗星对木星的冲量I的大小等于木星对彗星的冲量I的大小。而由动量定理（对慧星）得
∴
损失的机械能为
（3）对物体A用动量定理得设向上为正，则，又绳
断后B做自由落体运动，∴，∴，由题意得t1 = t2，∴，所以D选项正确。
（4）两个物体发生碰撞时，必定满足两个条件，（1）动量守恒（2）系统的总机械能只能减少或不变。D选项中A球的动能不变，而B球的动能增加，所以系统的总动能增加了，因此是不可能发生的，另外，A球在后追上B球发生碰撞，因此A球受一个向后的冲量，B球受一个向前的冲量，所以如果以向前的方向为正方向，则，而A选项不满足这个条件，所以也是不可能发生的，再看B和C，显然这两个选项都满足动量守恒。又因为A追上B发生的碰撞∴，∴，∴碰撞前系统的功能为，碰撞后系统的总动能为，因为碰撞过程中动能只能减少或不变，所以碰撞前的总动能减小碰撞后的总动能之差应大于等于零。
即应有
整理后得：
把B选项数据代入上面的差值得
∵，∴
虽然说只是大于一个负值，但适当选联值（当时），就可以使这个差值大于零。因此B是可能发生的，再把C选项数据代入上面差值得
，那么这个差值能不能大于零呢？我们先假设这个差大于等于零，则有，∴，所以只要能满足，就能使碰撞过程中动能减少或不变。而要使A追上B只要求，显然是能够满足的条件，∴C选项也正确。
（5）在两车发生碰撞时，小车m和小车M都受到冲量的作用，要发生动量的变化，而摆球m。没有发生冲量的作用，所以摆球m，没有动量的变化，所以A，D选项是错误的，（它们认为摆球C的动量发生了变化）。而在M和m发生碰撞时以两个小车为系统应满足动量守恒，B和C选项都满足这个条件，所以B和C都是正确的。
（6）小球C从P点下滑到最低点的过程中，以三个物体为系统，总动量的水平分量后守恒（注意竖直方面上动量并不守恒），所以有
∴
C球滑到最低点后B将以速度向右做匀速运动，而C球在A上继续向左滑动对A产生一个向左下方的作用力，这个力的水平分力将使A向右做减速运动，所以A、B此后将分离，所以B选项正确。
C在A上继续向左滑动时，以A、C为系统，总动量的水平分量应守恒，（注意：竖直方向上动量不守恒）。所以有，设向左为正，则有，∴，正数说明向左。∴C正确。
当C球由P滑到最低点的过程中，A给B一个向右的冲量，因此B就给A、C这个系统一个向左的冲量，因此C滑到最低点后，A、C这个系统应有一个向左的动量，因为C在A上往复滑动时，动量是守恒的，因此这个系统此后总有这个向左的动量，经过一段时间的积累，这个系统必定有一个向左的位移，积累到一定时间A将在桌子左边滑出，所以D选项正确。
（三）动量综合练习
【例题精选】
例1、质量为m的物体, 在倾角为的光滑斜面上由静止开始下滑, 经过时间t, 物体速度为v, 如图1所示, 求物体的重力, 斜面对物体支持力及物体所受合力对该物体的冲量？
解析: 根据冲量的定义: 有力的作用, 有作用时间, 就有冲量。物体受力如图2所示, 重力的冲量, 方向竖直向下; 斜面对物体支持力的冲量, 方向垂直于斜面向上; 合外力的冲量, 方向平行于斜面向下。合外力的冲量等于物体动量增量, 如果已知物体t秒末速度为v, 。总之注意冲量的矢量性和与功的区别。
例2、具有相等动量的物体, 质量分别为m1和m2, 且m1 > m2比较它们的动能, 则
A．m2动能较大 B．m1动能较大
C．动能相等 D．无法判断
解析: 动量与动能之间的关系可以有两种表达方式, 即。要熟记这两种表达方式, 在实用中非常方便。第一个式子多用于已知质量关系比较二者动量与动能, 第二个式子多用于已知速度关系比较二者动量与动能。
本题已知了质量关系, 直接用可知在P相等情况下, m大小, 正确选项是A。
例3、对于任何一个固是质量的物体, 下面几种陈述正确的是
A．物体的动量发生变化, 其动能必定变化
B．物体的动量发生变化, 其动能不一定发生变化
C．物体的动能发生变化, 其动量必发生变化
D．物体的动能发生变化, 其动量不一定发生变化
解析: 动量是矢量, 在质量一定的情况下, 速度的大小或方向发生变化其动量都要发生变化; 动能是标量, 质量一定情况下动能发生变化, 一定是速度大小发生了变化, 此时其动量一定发生了变化。所以正确选项是B、C、D。
例4、质量为0.4千克小球沿光滑水平面以5米 / 秒的速度冲向墙壁, 又以4米 / 秒的速度反向弹回。如果假设原来速度5米 / 秒为正方向, 则撞墙过程中小球动量变化是 。
解析: 本题是考查动量变化与动量关系的一道素材题, 在实际解题中要经常用到。物体动量的变化是一个矢量式, 动量变化的方向与末状态动量与初状态动量的矢量差方向一致, 其大小等于末与初状态矢量差的大小。在同一直线的运算中, 可以把矢量运算转化为代数运算, 但要注意正负。正确转化为标量式的运算, 由题意可知mv1 = 0.4×5 = 2.0千克米 / 秒, mv2 = 0.4×(－4) = －1.6千克米 / 秒, = －3.6千克米 / 秒。它的物理意义是, 在物体撞墙过程中, 物体受到墙的作用力冲量方向与初速度方向相反。答案－3.6米 / 秒。
例5、如图3所示, 光滑的半径为R的固定半圆轨道, 质量为m的小球由静止开始, 第一次从A滑到C, 第二次从B滑到C, 则在这两个过程中
A．小球所受支持力冲量相同
B．小球所受合力冲量相同
C．小球所受合力做功相同
D．小球所受支持力冲量为零
解析: I = F·t是矢量, 由A到C与B到C两个过程支持力都是变力, 它们的冲量不能直接用冲量定义式计算, 但由两个过程的对称性来判断它们受支持力方向是不同的, 因而A选项错误。根据动能定理小球受合外力冲量等于其动量变化, 两个过程初动量均为零, 末动量相反, 故B选项也不对, D选项也被否定。全过程只有重力做功, 由重力功的特点可以判断选项C正确。正确选项C。
例6、质量为m的质点, 用长为L的细绳系着在水平面内作半径为L的匀速圆周运动, 它的角速度为, 周期为T, 则在时间内
A．质点受到拉力冲量为零
B．小球受到拉力冲量大小为
C．绳子对小球拉力做功为零
D．绳子对小球拉力做功为
解析: 拉力充当向心力: 有作用时间, 拉力冲量必不等于零, 选项A错误。因为拉力是变力, 其在内的冲量可以用动量定理解决。在水平方向质点只受拉力, 其内冲量等于质点在半周内的动量变化, 选项B正确。拉力始终与速度方向垂直, 拉力不做功, 所以C正确、D错误。正确选项B、C
例7、两辆汽车在同一直路面行驶, 它们质量之比m1∶m2 = 1∶2, 速度之比v1∶v2 = 2∶1, 当汽车急刹车后, 甲、乙两车滑行最大距离分别为S1和S2, 滑行时间分别为t1和t2, 则S1∶S2 = , t1∶t2 = 。
解析: 这是一道考查动能定理和动量定理的典型试题, 它可以稍加改动完成一系列的习题。
由动能定理, 得, S1∶S2 = ∶ = 4∶1。由动量定理, t1∶t2 = v1∶v2 = 2∶1。答案4∶1, 2∶1。从这个问题可以总结出, 在相同动摩因数情况下两车的滑行距离和滑行时间之比与车的质量无关。
这道习题可以改成下面一系列题。
①两车初动能相同, 已知质量比, 求在相同水平路面刹车时滑行距离比和时间比？
②两车初动量相同, 已知质量比, 求在相同水平路面刹车时滑行距离比和时间比？
③两车速度相同, 已知质量比, 求在相同水平路面刹车时滑行距离比和时间比？
④已知路面对车阻力相同, 同样可以求上面三问中的问题。
总之要学会这种抓住实质, 举一反三的做题方法。
例8、如图4所示, 一辆小车静止在光滑的水平面上, 小车立柱上固定有一条长L, 拴有小球的细绳, 小球从水平面处静止释放。小球在摆动时不计一切阻力。下面说法中正确的是
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能不守恒
C．小球和小车的总机械能守恒
D．小球和小车总动量守恒, 向下
解析: 由于地面光滑, 小球在向下摆动过程中线张力要对小球做功。使小球动能减小, 张力要对小车做功使小车左移动能增加, 小球摆至最低点时, 小球和小车分别向右, 向左速度达到最大, 小球继续右摆至最高点速度减为零, 此时小车也移到左边最大位移, 速度为零。以后小球和小车要以其共同重心为平衡位置往复振动。在振动过程中对于小球和小车组成的系统只有重力做功, 所以小球和小车系统机械能守恒。小球和小车之间机械能有交换, 小球本身除重力做功外、线张力也做功, 小球机械能不守恒。小球和小车相互作用系统水平方向外力为零, 所以水平方向动量守恒, 竖直方向动量不守恒。正确选项B、C。
例9、如图5所示, 质量为m的木板, 以速度v在光滑水平面上向左运动, 一质量为m的小木块以同样大小的速度v从板的左端向右端运动, 若它们之间的动摩因数为, 求木块能在木板上滑行多远？
解析: 由于水平面光滑, 所以木块与木板组成的系统在水平方向动量守恒, 由题意可知系统初始动量为零, 每个瞬时系统总动量都等于零, 即木块静止时, 木板同时静止。解决这个问题用一个重要推论最简捷, 即相互作用系统一对滑动摩擦力做功代数和等于系统内能增量, 或者说滑动摩擦力乘以相对位移等于系统内能增量。在本题中由上面分析可知, 系统全部动能最后都转变为了热, 。
答案: 可以滑行, 。
例10、如图6所示, 子弹质量为m, 以速度射入质量为M的木块, 子弹在木块中所受滑动摩擦力为f, 若木块放在光滑水平面上, 子弹穿不出木块, 问木块至少应多厚？
解析: 以子弹和木块系统为研究对象, 由于水平面光滑所以水平方向动量守恒, 设子弹刚刚穿出木块时二者有共同速度v。此时木块对地位移为, 子弹对地位移为S, 显然……①, L为木块厚度。
系统水平方向动量守恒……②
对子弹应用动能定量……③
对木块应用动能定理……④
由③④式可得。可理解为摩擦力乘以相对位移等于系统动能的减少。如果不列③④式可以直接写出这个表达式。
解上述各式得。答案: 木块厚度至少为。
例11、如图7所示, 将两块完全相同的磁铁, 同性磁极相对固定在质量相等的甲、乙小车上, 水平面光滑, 开始时甲车速度大小为3m / s, 乙车速度大小为2m / s, 两车速度方向相反并在一条直线上, 当乙车速度为零时, 甲车速度为 , 方向 ; 两车距离最短时, 乙车速度为 , 方向 。(磁铁磁性极强, 故两车不会相碰)。
解析: 由于水平面光滑, 使得水平方向甲和乙两车系统动量守恒, 设甲车速度为正方向, 那么系统总动量为3m－2m = m。当乙车速度为零时, , 方向与甲车原来速度方向相同。
两车距离最近时是两车速度相等时, 设此时两车速度都是v, 3m－2m = 2m·v, v = 0.5m / s。
答案: 1m / s与甲车原来速度方向相同
0.5m / s与甲车原来速度方向相同
例12、质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线, 同一方向运动。A球的动量是7kgm / s, B球动量是5kgm / s, 当A球追上B球时发生碰撞, 则碰后A、B球的动量可能值是
A．6kgm / s PB = 6kgm / s
B．PA = 3kgm / s PB = 9kgm / s
C．PA = －2kgm / s PB = 14kgm / s
D．PA = －4kgm / s PB = 17kgm / s
解析: 这种A、B相追的碰撞过程要遵循三个原则: ①每个瞬时系统动量都守恒。②碰撞过程总动能不能增加。③数据要合理, 例如本题碰后A的速度必须不大于B的速度才算碰撞结束(二者反向也可以)。
题目给出的四组数据ABC三组都满足动量守恒的条件, 只有D选项不符合动量守恒。
从作用前后动能不增加的条件来分析
(应用了P2 = 这一关系)代入数据发现B、C选项碰后动能均大于碰前动能, 不合实际。A选项实际是碰后二者速度相等, A不会与B再碰了, 符合实际。
正确选项是A。
【综合练习】
1、如图8所示, 某人身系弹性绳自高空P点自由下落, 图中a点是弹性绳原长的位置, c点是人所到达的最低点, b点是人静止时悬吊的平衡位置, 不计空气阻力, 下列说法中正确的是
A．从P至b过程中重力的冲量值大于弹性绳弹力的冲量值
B．从P至b过程中重力的冲量值与弹性绳弹力的冲量值相等
C．从P至c过程中重力的冲量值大于弹性绳弹力的冲量值
D．从P至c过程中重力的冲量值等于弹性绳弹力的冲量值
2、光滑水平面上叠放两木块A与B, B置A上, 如果慢慢推动木块A, 则B会跟着A一起运动, 如果猛去一下木块A, 则B不会跟A一起运动, 这说明
A．慢推A时, A给B的冲量小
B．慢推A时, A给B的冲量大
C．猛击A时, A给B的冲量小
D．猛击A时, A给B的冲量大
3、一个质量为m的物体做竖直上抛运动, 测得物体从开始抛出到落回抛出点所经历时间为t, 若该物体升高的高度为H, 所受空气阻力大小恒为f, 则下列结论中正确的是
A．在时间t内, 该物体所受重力冲量等于零
B．在时间t内, 上升过程空气对物体的冲量值小于下落过程空气阻力对物体的冲量值
C．在时间t内, 该物体动量增量的数值大于初动量值
D．在时间t内, 该物体动量增量的数值小于末动量值
4、如图9所示, A、B两物体质量之比∶ = 3∶2, 它们原来静止在平板车C上, A、B间有一根被压缩了的弹簧, A、B与平板车上表面动摩因数相同, 地面光滑, 当弹簧突然释放后, 则有
A．A、B系统动量守恒
B．A、B、C系统动量守恒
C．小车向左运动
D．小车向右运动
5、如图10所示, 将物体P从置于光滑水平面上的斜面体Q的顶端以一定的初速度沿斜面往下滑。在下滑过程中, P的速度越来越小, 最后相对斜面静止, 那么由P和Q组成的系统, 有
A．动量守恒
B．水平方向动量守恒
C．最后P和Q以一定的速度共同向左运动
D．最后P和Q以一定的速度共同向右运动
6、在光滑的水平面上沿同一直线运动的两物体, 动量相同。下列说法正确的是
A．因为它们的动量相同, 所以不可能发生碰撞
B．因为它们的动量相同, 所以相撞后它们都静止
C．若发生碰撞, 碰后它们的动量不可能相同
D．若发生碰撞, 碰撞使它们的动量改变量的大小必相同
7、在光滑的水平冰面上, 甲、乙二人各乘一小车, 两人质量相等, 甲手中另持一小球。开始时甲、乙均静止, 甲向正东方将球沿冰面推给乙, 乙接住后又向西方回推给甲。如此推接数次后, 甲又将球推出, 球在冰面上向东运动, 但以无法追上乙, 此时甲的速度、乙的速度、球的速度v三者大小关系为
A． B．
C． D．
8、如图11所示, 三辆相同的平板小车a、b、c成一直线排列, 静止在光滑水平地面上, c车上一个小孩跳到b车上, 接着又立即从b车跳到a车上, 小孩跳离c车和b车时圣地水平速度相同, 他跳到a车上没有走动便相对a车保持静止, 此后
A．a、c两车运动速率相等
B．a、b两车的运动速率相等
C．三辆车的速率关系为
D．a、c两辆车的运动方向一定相反
9、如图12所示, 质量为m的小车的水平底板两端各装一根完全一样的弹簧, 小车底板上有一质量为的滑块, 滑块与小车、小车与地面的摩擦都不计。当小车静止时, 滑块以速度v从中间向右运动在滑块来回与左右弹簧碰撞过程中
A．当滑块速度向右, 大小为时, 一定是右边的弹簧压缩量最大
B．右边弹簧的最大压缩量大于左边弹簧的最大压缩量
C．左边弹簧的最大压缩量大于右边弹簧的最大压缩量
D．两边弹簧的最大压缩量相等
10、如图B所示, 甲车质量2kg, 静止在光滑水平面上, 上表面光滑, 右端放一个质量为1kg的小物体。乙车质量为4kg, 以5m / s的速度向左运动, 与甲车碰撞后甲车获得8m / s的速度, 物体滑到乙车上。若乙车足够长, 上表面的动摩因数为0.2, 则物体在乙车表面滑行多长时间相对乙车静止？
【答案】
1、人在下落中受重力和绳的弹力, 绳的弹力为变力, P到b过程, , P到c过程, 外力冲量合为零。
正确选项是A、D。
2、慢推A时, A与B作用时间长, A对B冲量大, 猛击时, A与B作用时间短, A对B冲量小。正确选项B、C
3、有力和作用时间就有冲量, 所以A选项错误。有阻力上抛上升段时间小于下降段时间, 所以B选项正确。由于末速度与初速度方向相反动量增量值应为初末动量值之和, 所以选项C正确。正确选项B、C。
4、A、B与小车系统水平动量守恒, A与B由于质量不同, 受小车的摩擦力方向相反, 大小不同, A对C向左摩擦力大于B对C向右的摩擦力, 故C有向左加速度而向左运动。正确选项是B、C
5、系统水平方向动量守恒, 根据动量守恒定律, 系统水平方向动量向左。注意P做减速运动, 受合力水平分量向左。正确选项B、C
6、因动量相同, 两物体必同向运动, 且后面物体质量较小时, 速度才可能大于前面物体速度, 根据动量守恒定律, 碰后总动量不会是零, 且前物体与后物体动量改变量必相同。正确选项是C、D。
7、球无法追上2的条件是, 根据动量守恒定律, , 故, 正确选项为D。
8、设人质量为m, 人运动方向为正方向, 人由cb: mv + = 0, 人由cb再跳出b , 人由b到a mv = (ma + m), 由以上可知, 为负, 为正且, 正确选项C、D
9、小车与左、右弹簧碰撞压缩最大时物和车都相对静止, 根据动量守恒定律可知最大速度都为v / 4正确选项D。
10、乙与甲碰撞时, 甲、乙系统动量守恒, , 小物体m在乙上滑动, m与乙初量守恒, 滑至有共同速度v。
对m, ,
代入数据得t = 0.4s
答案0.4秒。力学综合练习题
一、选择题
1．已知下面的哪组数据，可以计算出地球的质量（万有引力常数已知）。
A．月球绕地球运行的周期及月球到地球中心的距离
B．地球“同步卫星”离地面的高度
C．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳中心的距离
D．人造地球卫星在地面附近的运行速度和运行周期
2．人造地球卫星绕地球做圆周运动，假如卫星的线速度减小到原来的，卫星仍做圆周运动，则
A．卫星的向心加速度减小到原来的
B．卫星的角速度减小到原来的
C．卫星的周期增大到原来的8倍
D．卫星的周期增大到原来的2倍
3．在竖直平面内有一个半径为R的光滑圆环轨道，一个质量为m的小球穿在圆环上做圆周运动，如图8—1所示，到达最高点C时的速率。则下列论述正确的是
A．此小球的最大速率是
B．小球到达C点时对轨道的压力是
C．小球在任一直径两端点的动能之和相等
D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于
4．起重机通过钢丝绳吊着质量是 m 的重物升高h 的过程中，下列说法正确的是
A．起重机对重物所做的功等于重物机械能的增量
B．合力对重物所做的功等于重物机械能的增量
C．合力对重物所做的功等于重物动能的增量
D．重物克服重力所做的功等于重物的重力势能的增量


5．物体 A 受到一个力F的作用，由静止开始运动。力F随时间变化的图象如图8—2所示。则
A．物体A将向一个方向运动
B．0－3s内力F的冲量等于零，功也等于零
C．3s末物体回到原出发点
D．2－4s内力F的冲量不等于零，功却等于零
6．如图8－3所示，物体与一根水平轻弹簧的一端相连，放在水平面上，弹簧的另一端固定在 P点，已知物体的质量为m = 2.0kg，它与水平面间的动摩擦因数是0.4，弹簧的劲度系数k = 200N / m。用力F拉物体，使它从弹簧处于自然状态的O点向左移动10cm，这时弹簧具有弹性势能是1J，物体处于静止。（g取10m / s2）撤去外力后
A．物体向右滑动的距离可以达到12.5cm
B．物体向右滑动的距离一定小于12.5cm
C．物体回到O点时，物体的动能最大
D．物体到达最右位置时，物体的动能为零，弹性势能也为零
7．在距地面高h处有A、B两个物体，A物体以初速度水平抛出；B物体同时也以初速率沿一个倾角为45°的光滑斜面滑下，不计空气的阻力，若A、B两个物体同时到达地面，则
A． B．
C． D．
8．某物体沿直线运动的速度——时间如图象如图7—6所示，从图象可以看出物体的运动是
A．往复运动 B．加速度大不始终不变
C．3s时速为零 D．6s时位移为零
9．一根轻弹簧下吊一个小球，弹簧上端固定，水平细线拉住小球，便弹簧偏离开竖直方向a角，如图7—7所示。当突然烧断水平细绳瞬间，小球的加速度的大小是
A．0 B．g C．gtga D．g / cos a
10．如图7—8所示，一块带有斜面和平台的木块，质量为M，斜面与水平方向倾角为a，木块置于水平面上，与水平面间的摩擦系数是。将一个质量为m的光滑球放在平台上，并与斜面相靠，当球与木块一起在图示平面内沿水平方向相对于地面运动（速度不为零）时，在木块上施加的水平力F的大小和方向可能是
A．F的方向向右，大小可为
B．F的方向向右，大小可为
C．F的方向向右，大小可为
D．F的大小可为0
二、填空题
11．甲、乙两车依靠惯性在光滑的水面上沿着平行的方向相同运动，其速率都是6m/s。当两车相错时，各给对方15g的货物。此后乙车仍按原方向前进，速率减为4m / s。如甲原来的质量为280kg，求乙车原来的质量和甲车后来的速度分别是 。
12．如图8－6所示，质量为M、长为L的平板小车静止在光滑的水平面上，小车最右端有一个竖直挡板。质量为m的小物体以水平向右的初速度 v从小车平板的最左端沿车运动，到达右端与挡板相碰撞，碰撞过程中没有机械损失，最后小物体恰好停在小车平板的正中位置。则小物体与小车平板间动摩擦因数为 。
13．质量为m的汽车，在一段坡路上行驶，下坡时，如果关闭发动机，则恰好做匀速运动；若以额定功率P行驶，速度由增加到3，则需要的时间为t = 。


14．两木块质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块1压下一段距离后释放，它就上下做简谐振动，如图8－7所示。在振动过程中，木块2刚好不离开地面。则木块1的最大在加速度的大小是 。木块2对地面的最大压力的大小是 。
15．汽车在水平公路上行驶，车受到路面的阻力为车重的0.01倍，当车速为时，车的加速度a = 0.4m / s2。保持此时的功率不变，汽车继续行驶，则汽车以后的运动为 运动，汽车能达到的最大速度为 m / s (g = 10m / s2)
16．质量为m 的物体，放在水平地面上，在一个水平恒力作用下，由静止开始运动，运动中受到摩擦力，物体运动了t秒后，撤去F，又经过一段时间，物体停止运动，在物体运动过程中，力F做功为 物体动能的最大值为 ，摩擦力对物体的冲量大小为 。
三、计算题
17．如图7—12所示，水平桌面上放有A、B两个物体，A、B之间用一根硬杆C相连，已知物体A、B的质量分别是硬杆C的质量是m3=0.2kg，A和B跟桌面间的动摩擦因数分别是，使它们以一定的初速度开始沿桌面向右运动，在运动过程中杆C对A、B两个物体的竖直向下的压力大小相等。那么杆C水平方向受到A、B两个物体的作用力是拉力还是压力？力的大小各是多少？（g取10m/s2）
18．如图8－9所示，传送带上表面水平运动，可以把质量m = 20kg的行李包沿水平方向送上平板小车的左端。小车的质量M=50kg，原来静止停在光滑的水平面上，行李包与小车平板间的滑动摩擦系数是0.4，小车长1.5m。如果传送带将行李包以的速度送上小车，问在这种情况下，行李包在小车上相对于平板车滑行的时间是多少？
19．一个质量为m = 4.0kg的长方体金属块，被截成如图7—14所示的质量相同的A、B两块，放在水平面上，斜面体与水平面的夹角为a (sin a = 0.6 )，A、B接触面间的摩擦可以忽略不计，一个水平力F = 38N作用在金属块B上，使A和B一起在水平上沿力F 的方向由静止开始运动，通过位移S = 0.60m，速度达到v = 3.0m /s （g取10m/s2）求：
（1）金属块跟水平面之间的动摩擦因数。
（2）金属块B对A做功的大小。
（3）金属块 B克服水平面的摩擦力做功的大小。
20．质量为m 的木块放在质量为M 的长木板的中央，木块与长木板间的滑动摩擦因数为，木块和长木板一起放在光滑水平面上，并以速度V向右运动。为了使长木板能停在水平面上，可以在木块上作用一个作用时间极短的水平冲量。试讨论要使长木板和木块都停下来，作用在木块上的水平冲量的大小和方向如何？长木板的长度要满足什么条件时，才可能实现。
【答案】
一、选择题：
1．AD 2．C 3．ACD 4．ACD 5．BCD
6．B 7．A 8．ACD 9．C 10．AC
二、填空题
11．90kg, 5.36 m / s 12． 13．
14．； 15．变加速；20m / s
16．
三、计算题：
17．
18．t = 0.5s；
19．（1）0.2 J； （2）9 J； （3）4.8 J
20． 向左，第三章 牛顿运动定律
（一）．牛顿运动定律专项训练
【例题精选】
例1 如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F。在此力作用下，物体以后运动情况，下列说法正确的是
A．物体不可能沿曲线Ba运动；
B．物体不可能沿直线Bb运动；
C．物体不可能沿曲线Bc运动；
D．物体不可能沿原曲线由B返回A。
解析：因为在曲线运动中，某点的速度方向是轨迹上该点的切线方向，如图所示，在恒力作用下AB为抛物线，由其形状可以画出vA方向和F方向。同样，在B点可以做出vB和－F方向。由于vB和－F不在一条直线上，所以以后运动轨迹不可能是直线。又根据运动合成的知识，物体应该沿BC轨道运动。即物体不会沿Ba运动，也不会沿原曲线返回。
因此，本题应选A、B、D。
掌握好运动和力的关系以及物体的运动轨迹形状由什么决定是解好本题关键。
答案：A、B、D。
例2 处于光滑水平面上的质量为2千克的物体，开始静止，先给它一个向东的6牛顿的力F1，作用2秒后，撤去F1，同时给它一个向南的8牛顿的力，又作用2秒后撤去，求此物体在这4秒内的位移是多少？
解析：质量是m的物体受到向东的F1作用时，立即产生向东的加速度a1，根据牛顿第二定律，得：，立即消失。但应注意的是，力撤去了，物体速度并不会消失。物体仍要向东运动，所以，这4秒内物体向东的位移为：
在注意力与加速度瞬时性的同时，还应注意它们的矢量性，当撤去F1的同时就给一个向南F2的力的作用。此时物体的加速度也应立即变成向南的加速度a2，根据牛顿第二定律
得：
所以，物体同时以向南加速度，做向南初速度为零的匀加速运动，2秒末位移为：
因为位移为矢量，所以这4秒内物体的位移为：
例3 质量相等的五个木块，并排放在光滑水平地面上，当用水平力F推第1个木块时，如图，求：第2块推第3块、第3块推第4块的力分别是多大？
解析：本题连结体由5个木块组成，按题目的要求，恰当选择隔离体是解好题目关键。
如右图所示，将1、2作为一个隔离体，3作为一个隔离体，4、5作为一个隔离体，分别作出受力分析图。
设每个木块质量为m，根据牛顿第二定律列方程组
联立解得：
此题如果能够灵活运用整体法和隔离法，则可以不必列方程组。
先由整体法求出共同加速度：
将4、5作为一个隔离体：
将3、4、5作为一个隔离体得：
例4 一质量为M，倾角为的楔形木块，静置在水平桌面上，与桌面间的滑动摩擦系数为。一质量为m的物块，置于楔形木块的斜面上，物块与斜面的接触是光滑的。为了保持物块相对斜面静止，可用一水平力F推楔形木块，如右图所示。求水平力F的大小等于多少？
解析：此题如果完全用隔离法进行分析，那么在分析M受力时就会出现m对M压力N，这个力是斜向下的，还要对其进行分解，这样很繁琐，不如用整体法和隔离法结合较为简捷。
先对m和M整体研究：在竖直方向是平衡状态，受重力受地面支持力。水平方向向左匀加速运动，受向左推力F和向右滑动摩擦力f，根据牛顿第二定律，有……。
再对 一起向左加速而相对静止，则如图所示，由数学知识可知，再回到整体：由于代入，得
小结：从以上二例可以看出，隔离法和整体法是解动力学习题的基本方法。但用这一基本技巧解题时，应注意：
1、当用隔离法时，必须按题目的需要进行恰当的选择隔离体，否则将增加运算过程的繁琐程度。
2、只要有可能，要尽量运用整体法。因为整体法的好处是，各隔离体之间的许多未知力，都作为内力而不出现在牛顿第二定律方程式中，对整体列一个方程即可。
3、用整体法解题时，必须满足一个条件，即连结体各部分加速度的值是相同的。如果不是这样，便只能用隔离法求解。
4、往往是一道题中要求几个量，所以更多的情况是整体法和隔离法同时并用，这比单纯用隔离法要简便。
例5 传送皮带与水平成角，如右图所示，质量为m的零件随皮带一起运动，求下列情况下零件所受的静摩擦力。
（1）匀速上升或下降；
（2）以加速度a加速上升或减速下降；
（3）以加速度a加速下降或减速上升。
解析：若按通常办法，分析零件与皮带的相对运动趋势，来确定静摩擦力，那是很困难的。正确的方法是结合零件的运动状态来求摩擦力大小和方向。
（1）匀速上升或下降，都属于平衡状态，为了和下滑力平衡，因此，静摩擦力方向必定沿斜面向上，且大小等于下滑力：
（2）加速上升或减速下降时，加速度a的方向都是沿斜面向上，因此，根据牛顿第二定律，静摩擦力方向必沿斜面向上，且大于下滑力：即
得
（3）加速下降或减速上升时，a 的方向都是沿斜面向下，又因为下滑力的方向也是沿斜面向下，根据牛顿第二定律分析，就有三种可能：
时，这是单靠下滑力产生的加速度，故。
时，有沿斜面向上的静摩擦力存在，
得
时，有沿斜面向下的静摩擦力存在，
得
例6 质量千克的物体A放在水平地面上，与地面的滑动摩擦系数质量
的竖直前表面上，A、B间滑动摩擦系数=0.5。
牛顿的水平推力推A的后表面时，求A对地面的压力。
解析：A对地面的压力，取决于A、B的运动状态。不难看出，推力F越大，A的加速度越大，对地面的压力也会越大，但对地面的压力决不会超过A和B的总重量。因此本题正确方法，仍为先做出正确的受力分析（如右图所示）结合运动状态，根据牛顿第二定律求解。
隔离A：
水平方向：
竖直方向：
隔离B：
水平方向：
代入数据：
联立解得：
小结：解动力学问题的核心是运用牛顿第二定律建立起方程，但这只有在作出正确的物体受力分析的的基础上才能做到，因此物体受力分析是解题的一个关键问题。
对于支持力、摩擦力等这些被动力的产生原因，其大小和方向，分析起来都比较复杂，具体处理时，必须结合物体运动状态和其他能确定的力来分析，才能达到既正确又迅速的目的。
例7 在倾角为的光滑斜面体上，放有质量为m的小球，小球用一根平行斜面的细线系在斜面上端。如右图所示。当斜面体向右作加速度为a的匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。
解析：如右图所示，小球受三个力：重力mg、弹力N、拉力T。因为小球具有水平向右的加速度a，所以取水平方向和竖直方向建立坐标，并将N和T做正交分解，根据牛顿第二定律列出分量方程：
两式联立，经数学处理，解得：
从上述计算结果可以看出：当加速度a越大时，线上拉力T越大，弹力N越小；当加速度
小结：当研究对象所受的各个外力不在一个方向上时，解题时通常采用正交分解法。
两个正交方向，即坐标轴的方向，原则上是可以任意选取的，但如果选取适当，就可以使需要分解的力达到最小个数，在列方程和计算时就显得简便。因此，在动力学的正交分解中，常取正交方向的一个方向（如x方向）与加速度a的方向一致，则正交方向中的另一个方向（如y方向）上就没有加速度，故所列分量方程：
由于加速度也是矢量，有些情况是在将外力作正交分解的同时，也需要将作正交分解，这时的分量方程为：
例8 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F，设A球从远离B球处以速度沿两球连心线向原来静止的B球运动，如右图所示，欲使两球不发生接触，必须满足的条件？
解析：A球开始做匀速直线运动，直到与B球接近至l时，开始受到与反向的恒力而做匀减速直线运动。B球则从A与其相近至l开始，受到与同方向的恒力，做初速度为零的匀加速直线运动。两球间距离逐渐变小。
两球不发生接触的临界条件是：两球速度相等时，两球间的距离最小，且此距离必须大于2r。即
——————
——————
其中为两球间距离从 l变到最小的过程中A、B两球通过的路程。
由牛顿第二定律可得，A球在减速运动，B球在加速运动的过程中，A、B两球的加速度大小为：
——————
——————
——————
——————
上述6式联立解得
小结：对于较为复杂的物理问题，应建立好物理情景，进而找到物理过程之间的联系或临界条件，问题才能迎刃而解。
例9 斜面长底端有一个质量为5千克的物体A，它和斜面间的摩擦系数牛顿的水平推力推在米后撤去力F，问由撤力时算起再经多少时间A回到底端？
解析：因为A在各段运动过程中，受力的情况是不一样的， 所以，解此题必须分段计算。
第一段，A和F作用下沿斜面匀加速上升，将A受的力（如右图所示），正交分解到平行于斜面和垂直于斜面两个方向上去。
根据牛顿第二定律列方程：
代入前式，可得A沿斜面向上的加速度：
因此，撤力时A的速度为：
第二段，撤力后，因为A已经有了一定的速度，所以A应做沿斜面匀减速上升，但因撤去F使A对斜面的压力发生了变化，所以摩擦力的值也应随之改变。对A进行受力分析，如右图所示，列方程组可求得加速度a。
A由撤力到升至最高点时间t2满足：
第三段，A从最高点匀加速沿斜面下滑，摩擦力的方向应变为沿斜面向上。A受力如右图所示，根据牛顿第二定律可求下滑加速度a：
A从最高点滑到底端的位移为
由公式可求这段位移所需时间
小结：有关牛顿运动定律应用的问题，常见以下两种类型：（1）已知物体受力情况，求物体的运动情况（如位移、时间、速度等）。（2）已知物体的运动情况，求物体受力情况。但不管哪种类型，一般都应先由已知条件求出加速度，然后再由此求解。
解题的一般步骤是：（1）理解题意，弄清物理图景和物理过程；（2）恰当选取研究对象；（3）分析它的受力情况，画出被研究对象的受力图。对于各阶段运动中受力不同的物体，必须分段分析计算；（4）按国际单位制统一各个物理量的单位；（5）根据牛顿运动定律和运动学规律建立方程求解。
【专项训练】
一、选择题：（各小题可有一个或几个正确答案）
1、一个物体在6个共点力的作用下保持平衡。现在撤去其中两个力。这两个力的大小分别是20牛顿和25牛顿，其余4个力保持不变，则该物体所受合力大小可能是：
A．20牛顿； B．零；
C．2牛顿； D．40牛顿。
2、木块A和B置于光滑的水平面上它们的质量分别为。如图所示当水平力F作用于左端A上，两物体一起加速运动时，AB间的作用力大小为N1。当同样大小的力F水平作用于右端B上，两物体一起加速运动时，AB间作用力大小为N2，则
A．两次物体运动的加速度大小相等；
B．
C． D．
3、如图所示，物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍许增大水平力F，物体仍能保持静止时，以下几种说法中正确的是
A．斜面对物体的静摩擦力及支持力一定增大；
B．斜面对物体的静摩擦力及支持力不一定增大；
C．斜面对物体的静摩擦力一定增大，支持力不一定增大；
D．斜面对物体的静摩擦力不一定增大，支持力一定增大。
4、光滑斜轨道PA、PB、PC的端点都在竖直平面内的同一圆周上，物体从P点由静止开始沿不同轨道下滑，如图，下列说法中正确的是
A．物体沿PA下滑时间最短；
B．物体沿PB下滑时间最短；
C．物体沿PC下滑时间最短；
D．物体沿不同轨道下滑所用时间相同。
5、水平面上有两个物体a和b，它们之间用轻绳连接，它们与水平面之间的滑动摩擦系数相同。在水平恒力F的作用下，a和b在水平面上作匀速直线运动，如图所示。如果在运动中绳突然断了，那么a、b的运动情况可能是
A．a作匀加速直线运动，b作匀减速直线运动；
B．a作匀加速直线运动，b处于静止；
C．a作匀速直线运动，b作匀减速直线运动；
D．a作匀速直线运动，b作匀速直线运动。
6、如图所示，两个物体中间用一个不计质量的轻杆相连。A、B两物体质量分别为，它们和斜面间的滑动摩擦系数分别为。当它们在斜面上加速下滑时，关于杆的受力情况，以下说法正确的是
A．若，则杆一定受到压力；
B．若，，则杆受到压力；
C．若，，则杆受到拉力；
D．只要，则杆的两端既不受拉力也没有压力。
7、如图，质量为M的斜面静止在水平地面上。几个质量都是m的不同物块，先后在斜面上以不同的加速度向下滑动。下列关于水平地面对斜面底部的支持力和静摩擦力的几种说法中正确的是
A．匀速下滑时，支持力静摩擦力为零；
B．匀加速下滑时，支持力静摩擦力的方向水平向左；
C．匀减速下滑时，支持力静摩擦力的方向水平向右；
D．无论怎样下滑，总是静摩擦力为零。
8、在粗糙的水平面上，物体在水平推力作用下，由静止开始作匀加速直线运动，作用一段时间后，将水平力逐渐减小为零，则在水平推力逐渐减小的过程中
A．速度逐渐减小，加速度大小逐渐减小；
B．速度逐渐增大，加速度大小逐渐减小；
C．速度先增大后减小，加速度的大小先增大后减小；
D．速度先增大后减小，加速度的大小先减小后增大。
9、升降机以4.9米/秒2的加速度加速上升，在升降机内分别用弹簧和天平称量一个质量为0.5千克的物体，则称得的读数应是（g取9.8）
A．弹簧秤的读数是4.9牛顿；
B．弹簧秤的读数是7.35牛顿；
C．天平的读数是0.5千克；
D．天平的读数是0.75千克。
10、如图所示，手提轻质橡皮筋的上端A，使皮筋下端挂着的小球竖直向上作加速运动。当作向上运动的手突然停止时，小球的运动情况是
A．向上作减速运动；
B．向上作匀速运动；
C．向上作加速运动，然后作减速运动；
D．向上作匀速运动，然后作减速运动。
11、物体沿直线运动，所受合外力为F。如果F方向不变，而大小逐渐减小到零，物体运动的速率可能
A．越来越小，达到零后又反向运动，速度又越来越大，最后趋于稳定；
B．越来越大，再越来越小，达到零后又反向运动，速度越来越大；
C．越来越小，最后趋于稳定；
D．越来越大，最后趋于稳定。
12、如图所示，物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的弹簧上。在A点物体开始与弹簧接触，到B点时物体速度为零，然后被弹回。下列说法中正确的是
A．物体从A下降到B的过程中，速率不断变小；
B．物体从B上升到A的过程中，速率不断变大；
C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小；
D．物体在B点时所受的合外力为零。
二、填空题：
13、自动电梯与地面的夹角为30，当电梯沿这个方向向上作匀加速直线运动时，放在电梯平台上的箱子对平台的压力是其重力的1.2倍。如图所示。则箱子与地板面的静摩擦力是其所受重力大小的 。
14、如图所示，质量为的物体2放在车厢地板上。用竖直细绳通过定滑轮与质量为的物体1连接。不计滑轮摩擦。当车厢水平向右加速运动时，物体2仍在车厢地板上相对静止。连接物体1的绳子与竖直方向夹角为。物体2与车厢地板的摩擦系数为。则物体2受绳的拉力为 ，物体2所受地板的摩擦力为 。
15、质量为60千克的人站在升降机内的平台上，升降机以2米/秒的速度匀速竖直下降，后来升降机中的人突然发现台秤的读数变为63.0牛顿，并持续2秒钟。g取10米/秒2，可知升降机在这两秒内下降了 米。
16、质量为100千克的物体在水平地面上作直线运动，它受到的阻力恒为1000牛顿，而受到的推力F总与阻力反向，其值由1800牛顿减到零。当F= 时，其加速度值最大，最大值为 。当F= 时，加速度值最小，最小值为
。
17、在倾角为的固定斜面上，叠放着质量分别为，如图所示。A、B之间摩擦系数为。A与斜面间摩擦系数为。若A、B之间没有相对滑动，而共同沿斜面下滑。则A、B之间摩擦力的值应是 。
18、如图所示，物体1、2之间用仅能承受1牛顿拉力的细线相连，放在光滑的水平地面上。其中物体1的质量=2千克，物体2的质量=3千克。今想用力F拉物体1或物体2，使两者在相同时间内获得较大速度，则所用力F的最大值为 ，应向 方向拉。
19、在验证牛顿第二定律的实验中，按实验要求装置好器材后，应按一定步骤进行，下述操作步骤安排不尽合理，请将合理顺序以字母代号填写在下面的横线上 。
（A）保持砂桶里的砂子质量不变，在小车里加砝码，测出加速度，重复几次；
（B）保持小车质量不变，改变砂桶里砂子质量，测出加速度，重复几次；
（C）用天平分别测出小车和小桶的质量；
（D）平衡摩擦力，使小车近似做匀速直线运动；
（E）挂上小桶，放进砂子，接通打点计时器的电源，放开小车，在纸带上打下一 系列的点；
（F）根据测量数据，分别画出的图线。
20、在验证牛顿第二定律的实验中，作出了如图所示的A、B两图象，图A中三线表示实验中 不同。图B中图线不过原点的原因是 。
（A） （B）
三、计算题：
21、小车在水平面上向左作直线运动，车厢内用OA、OB两细线系住小球。球的质量m=4千克。线OA与竖直方向成=37角。如图所示。g取10米/秒2，求：
（1）小车以5米/秒的速度作匀速直线运动，求OA、OB两绳的张力？
（2）当小车改作匀减速直线运动，并在12.5米距离内速度降为零的过程中，OA、OB两绳张力各多大？
（3）小车如何运动时，可使OB绳所受拉力开始为零？
22、有一质量M=4千克，长L=3米的木板。水平外力F=8牛顿向右拉木板如图所示。木板以的速度在地面上匀速运动。某一时刻将质量千克的铁块轻轻放在木板最右端。不计铁块与木板间摩擦。小铁块可视为质量。g取10米/秒2。求铁块经过多长时间将离开木板？
23、物体A、B质量分别为10千克和5千克。它们由轻绳连接静止在水平面上如图。当B受到水平拉力F以后，该系统开始作匀加速直线运动，加速度大小为4米/秒2。在第5秒末连接A、B的绳断开，又经过20秒，A物体停止了运动，已知B与水平面的摩擦系数为0.2。
求：（1）A物体与水平面的摩擦系数。
（2）绳即将断开时的张力。
（3）水平外力F。
（4）绳断开后B的加速度。
【答案】
一、
1、A D 2、A C D 3、D 4、D 5、A
6、A D 7、A B C 8、D 9、B C 10、C
11、A C D 12、C
二、
13、0.35 14、m1g/cos；m2gtg 15、3
16、0；10m/s2；1000N；0 17、
18、2.5N；右 19、D、C、E、A、B、F或D、C、E、B、A、F
20、小车和砝码的总质量；由于长木板的倾角过大。
三、
21、
22、
23、（1）0.1 （2）50N （3）80N （4）14米/秒2
（二）． 直线运动 牛顿定律综合练习
【例题精选】
例1、一物体作匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4，1秒钟后速度大小变为10。在这一秒钟内该物休的
A．位移大小可能小于4米
B．位移大小可能大于10米
C．加速度大小可能小于4
D．加速度的大小可能大于10
解析：解运动学问题的程序是：①根据题意确定研究对象；②明确物体做什么运动；画出草图；③分析运动特点，选用恰当公式；④建立坐标系或选正方向，列方程求解；⑤考查结果的合理性；讨论结果。
如果设某时刻速度4为正方向，一秒后速度可能是。这一秒平均速度。米
正确选项是A、D。
例2、某人在高层楼房阳台外侧以20的速度竖直上抛一个石块，石块运动到离抛出点15米处所经历的时间是
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．（2+）秒
解析：石块运动到离抛出点15米处，可能在抛点以上15米外的上升段和下降段两个解；也可能在抛出点以下15米处，得出第三个解。设20为正方向，由运动学公式列方程得
正确选项是A、C、D。
由上面两个例题可以看出运动学公式的矢量性十分重要，在选择坐标系或正方向之后（一般把定又作正方向）同向算正，反向算负，如果是未知量求出其结果为正则与相同，负则与反向，这样代入数据过程中把矢量式转化成了标量式。
例3、一个做匀加速直线运动的物体从2秒末到6秒末的位移为24米，从6秒末至10秒末的位移为40米，求运动物体的加速度和初速度？
解析：根据题意画草图1，由于题目给出了连续4秒的两个位移，所以使用匀变速直线运动任意相邻相等时间间隔位移之差是常量，即，处理本题比较简捷，即40－24=，，再根据匀变速直线运动一段时间的平均速度等于其中间时刻即时速度的推论即
。
答案：加速度为1，初速度为2
例4、自由落下的物体，当它落到全程一半和下落全程所用时间之比是
A．1∶2 B．2∶1 C．∶2 D．∶1
解析①直接用自由落体位移公式
∴。
②物速为零的匀变速直线运动相等位移所用时间比为……
正确选项是C。
例5、如图2所示，将物体向上抛出后，能正确表示其速率随时间变化关系的图线是
A． B． C． D．
解析；由题意可知，物体上抛其初速度不等于零，这样排除了A选项；抛至最高点速度减为零，排除了B选项；全过程加速度为，只研究其速率变化，图象应该是两段位于第一象限的直线，排除了选项C；正确选项是D。
例6、一个物体向上竖直抛出，如果在上升阶段和下降阶段所受的空气阻力数值相等，那么在图3中哪个图能正确描述速度随时间变化的关系
A． B． C． D．
图3
解析：由题意可知上升段和下降段速度方向相反，反以排除选项C、D。由于有阴力作用使得上升段加速度数值要大于下降段加速度数值，即上升段斜率大，因而排除选项A，正确选项是B。
例7、质量为M的木块位于粗糙水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块，其加速度为，当拉力方向不变，大小变为时，木块的加速度为，则
A． B．
C． D．
解析：物体受力如图4所示，由题意可知即，，∴
正确选项为C。
例8、如图5所示，水平地面上有两个完全相同的木块A、B，在水平推力F作用下运动，用代表A、B间相互作用力
A．若地面是完全光滑的，则
B．若地面是完全光滑的，则
C．若地面动摩因数为
D．若地面动摩因数为
解析：对A、B、整体受力分析如图6对B受力分析如图7，根据牛顿第二定律列水平方向方程，解之得，正确选项是B，D。
本题是用牛顿定律解题的典型事例，整体法和隔离法巧妙的选择，正确的分析受力是解题的关键。本题也揭示了加速度相同的相互作用物体间合力按质量分配这一规律。
综合练习：
1、如图8所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为的小球，当滑块至少以加速度 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以的加速度向左运动，线中拉力 。
2、质量千克的木楔ABC静止于粗糙水平地面上，如图9所示，动摩因数，在木楔的倾角为
30°的斜面上，有一质量千克的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑行路程米时，速度，在这过程中木楔没有动。求地面对木楔的摩力大小和方向？（）
3、如图所示，原来作匀速运动的升降机内，有一个被伸长弹簧拉往的，具有一定质量的物体A静止在地板上，现发现A突然被弹簧拉向右方，由此可以判断，此时升降机的运动可能是
A．加速上升 B．减速上升 C．加速下降 D．减速下降
4、如图11所示，在光滑水平面上有一个质量千克的小球，小球与水平轻弹簧和与水平方向成=30°角的轻绳的一端相连，此时球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。当剪断轻绳的瞬间，小球的加速度大小及方向如何？此时轻弹簧的弹力与水面对球弹力的比值为多少？（）
5、如图12所示，电梯与水平面夹角°，人站在电梯水平面上。当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？
6、如图13所示，一向右运动的车厢项上悬挂两个单摆M和N，它们只能在图示的平面内摆动。某一瞬间时出现图示情景，由此可知车厢的运动及两个单摆相对于车厢运动的可能情况是
A．车厢作匀速直线运动，M在摆动，N静止
B．车厢作匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动
C．车厢作匀速直线运动，M静止，N在摆动
D．车厢作匀速直线运动，M静止，N也静止
7、从某一高度相隔1秒先后释放两个相同的泸球甲和乙，不计空气阻力，它们在空中的任一时刻
A．甲乙两球距离始终保持不变，甲乙两球速度之差保持不变
B．甲乙两球距离越来越大，甲乙两速度之差也越来越大
C．甲乙两球距离越来越大，但甲乙两球速度之差保持不变
D．甲乙两球距离越来越小，甲乙两球的速度之差也越来越小
8、某物体被竖直上抛，空气阻力不计，当它经过抛出点之上0.4米处时速度为3，当它经过抛出点以下0.4米时，速度应是多少？
9、某物体运动的位移时间图象如图14所示，则物体
A．往复运动 B．作匀速直线运动
C．朝某一方向作直线运动 D．不能确定物体的运动情况
10、某物体运动的速度时间图象如图15所示。则物体的运动情况是
A．往复运动 B．作匀变速直线运动
C．朝某一方向作直线运动 D．不能确定
答案
1、对小球进行研究，当小球对滑块压力为零时，只受重力和绳拉力作用如图16二力合力为，根据牛顿第二定律。
当小球以加速向左运动时，小球将悬起，悬线与竖直方向夹角要增大，此时线张力和重力合力应为∴
答案。
此题告诉我们合力总与加速度相同，合力可以用已知力与角度来表示，也可以用其他力之间关系来表示，具体主法由题意决定。
2、由题意可知物块作匀加速度运动的加速度。由于可知物块受摩擦力作用，物块与木楔受力如图17。对物块沿斜面方向及和垂直斜面方向由牛顿定律。
对木楔受力沿水平和竖直方向，由牛顿定律，解得代和数据牛顿，方向水平向左。答案0.61牛顿，方向水平向左。
3、匀速运动的升降机内物体A所受弹簧弹力等于地板对A的静摩擦力，若发现A被拉向右方，说明摩擦力小于弹力，而动摩因数不变，说明地板与A间正压力变小，是失重状态的现象，故升降机应该是减速上升或加速下降。正确选项B、C。
4、小球受力如图18所示，在剪数轻绳瞬间弹簧形变不会消失即不变，小球在水平方向合力向左，大小为，小球在竖直方向为平衡态，支持力大小等于。
答案：加速度向左，大小为弹簧弹力与水平面对小球弹力比值为。
5、人受力如图19所示，把沿斜面向上的加速度分解为水平向右加速度和竖直向上加速度。。。答案：，注意此题由分解加速度的办法，要比分解合成力要简捷。
6、匀速直线运动与静止状态车中物体分析方法一样。M只能处于摆动的不平衡状态中，N可以是静止在平衡位置也可以是摆动中经过平衡位置。正确选项A、B。
7、甲乙两球距离显然随增大而增大。两球速度之差,两球速度之差保持不变，正确选项C。
8、本题可以转化成以3下抛至0.8米处的速度是多少。，。
答案：5
9、注意本题给出的是位移时间图象，对于这类问题可以先定性的描述物体运动情况，物体从坐标原点出发向正方向作匀速直线运动，达到最大位移处又匀速返回到原点，继续向相反方向匀速运动，达到反向最大位移又正向返回，正确选项是A。这种题目没有要求具体计算。因此通定性的动状态分析就可以得出正确判断。
10、与第9题不同的是本题给出的为速度时间图象，分析方法类似，首先也要根据图象对运动态做出定性的描述。物体以一定的初速度先作匀加速度直线运动，到达某一速度后开始作匀减速直线运动，速度减至初速大小时，又改作匀加速直线运动。要注意速度大小虽然在变化，但始终是正值。说明物体运动没有改变方向。改变的只是速度大小。正确选项C。
（三）．加速度，牛顿第二定律综合练习
例题精选：
例1、以5米/秒匀速上升的气球，当升到20米高时，从气球上落下一小球，小球的质量为500克，小球在运动过程中遇到的阻力是0.1牛，求经过多长时间达到地面。
分析和解：
小球在离开气球前，随气球一起向上做匀速直线运动。离开气球后，由于重力和阻力的作用，小球做匀减速直线运动上升，其初速度为5米/秒，其加速度由于重力和阻力二力之和而产生（如图1）
小球达到最高点后，将做初速度为零的匀加速运动下落，其加速度由于重力和阻力二力之差而产生（如图2）
根据牛顿第二定律，小球在上升过程中有：
mg + f=ma1,
再由运动公式得上升高度及上升时间：
（以上两式以向上为正，a向下，所以a=－10米/秒2，h为正，说明h1向上）
小球从最高点下落的过程中，由牛顿第二定律得
又由于下落高度h2=h1+H0=1.25米+20米=21.25米，再由运动学公式得
所以小球从离开气球到到达地面所用时间秒t=t1+t2=2.6秒。
说明：
本题属于应用牛顿运动定律解决实际问题的第二种类型，即已知物体的受力情况，运用牛顿运动定律确定物体的加速度，再根据物体运动的初如条件和运动学公式再求出，物体的位移，运动时间等物理量。注意：物体上升和下落的加速度是不一样的，所以要分段讨论，不能用竖直上抛运动的公式求解。
例2、一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图3所示。在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回，下列说法中正确的是：
A：物体从A点下降到B点的过程中，动能不断变小；
B：物体从B点上升到A点的过程中，动能不断变大；
C：物体从A点下降到B点，以及从B点上升到A点的过程中动能都是先增大，后减小；
D：物体在B点时，所受合外力最大。
分析和解：
物体从高处下落到A点的过程中，做自由落体运动，到达A点时具有速度vA，物体在A点时弹簧没有形变，所以物体只受重力G的作用，具有向下的加速度g，物体做向下的加速运动。
物体继续向下运动时，弹簧就要发生形变，对物体有向上的弹力N，但是开始一段时间内弹簧的形变较小，弹力N也较小，这一段时间内由于弹力小于重力，所以物体仍受向下的合外力，因此物体仍具有向下的加速度a ,物体还是做向下的加速运动。物体在继续向下运动的过程中使弹簧的形变逐渐变大，弹力N使逐渐增大，因此物体所受向下的合外力逐渐减小，物体的加速度也逐渐减小，但是物体的运动速度是逐渐增大的。
物体继续向下运动，弹簧的弹力N继续增大，当物体运动到某一点C时（注意C点在B点以上），弹力N增大到与重力大小相等，这时物体的受合外力为零。物体的加速度也为零。但此时物体具有向下的最大速度。
由于惯性物体继续向下运动，弹簧的弹力N继续增大，此后弹簧的弹力N要大于物体所受到的重力G，物体所受合外力向上，因此物体具有向上的加速度，而物体的运动速度方向向下，因此物体做向下的减速运动。物体在继续向下运动的过程中，弹簧的弹力N还要逐渐变大，因此物体所受向上的合外力还要逐渐增大，物体的加速度也逐渐增大，因此，物体向下做减速度的变化是逐渐增大的。
由于在C点以后，物体一直在做减速运动，因此到某一点时必定能减速到速度为零，而这一点就是题中所提到的B点，到达B点后虽然速度为零，但加速度却有一个向上的较大数值，因此到达B点后，又开始做初速度为零的向上的加速运动。
物体从B点向上运动的过程中，使弹簧的形变减小，弹簧对物体的向上的弹力也逐渐减小。尽管弹力逐渐减小，但是在到达C点之前弹力总是大于重力的，因此物体所受合外力总是向上的，只不过合外力要逐渐减小，因此在物体到达C点之前一直具有向上的加速度，只不过加速度的大小在逐渐减小，所以物体向上运动的速度逐渐增大。
物体上升到C点时，弹簧的弹力再一次等于重力，物体所受合外力为零，物体的加速度也为零，但此时物体具有向上的最大速度。
到达C点时，由于惯性物体还要继续向上运动，弹簧的弹力继续减小，弹簧的弹力就小于重力了，物体将受到向下的合外力，因此物体具有向下的加速度，而物体运动的速度方向是向上的，所以物体做向上的减速运动，直至到达A点脱离弹簧。
由以上分析可知物体从A点下降到B点，以及从B点上升到A点的过程中，都是先加速后减速，所以在这两个过程中速度都是先增大后减小的，因此物体的动能在这两个过程中也是先增大后减小的。
所以A、B两选项是错误的，而C选项是正确的。
通过以上分析我们已经知道，在C到B的过程中，物体的加速度一直是增大的，因此可以得出结论在C到B的过程中，B点的加速度最大，那么再加上A到C的过程，还能说B点的速度最大吗？回答是肯定的。
我们知道一个物体如果只受弹簧弹力作用，它将做简谐振动，如果一个物体除去受到弹簧的弹力，还受到一个与弹力在同一直线上的恒力作用，它们做简谐振动。但是它的回复力变成弹力跟这个恒力的合力，而且平衡位置也变成合外力为零的点。本题中当物体A点经C点到达B点，然后再从B点经C点回到A点的过程，就满足上面第二种情况所提到的条件，因此应认为这个过程是简谐振动（不过这个振动还没有完成一个周期）。在这个简谐振动中回复力是弹簧力和重力的合力，平衡位置是C点，虽然B点是这个简谐振的最大位移处，而A点不是简谐振动的最大位移处，而简谐振动的回复力（即合外力），
f=－kx，所以物体在B点的回复力要大于A点的回复力，因此物体在由A运动到B再回到A这整个过程中，在B点所受合外力最大，所以D选项也是正确的。
例3、如图4所示两个无限大平行金属板竖直放置，相距0.08米，两板间加电压2400伏，在两板间电场中用丝线悬挂质量为0.005千克带电量为库仑的带电小球，平衡后，丝线与竖直有一个夹角如果把丝线剪断，小球将做何种运动？若小球与带负电的金属板相跟0.06米，经过多长时间小球与板相碰？
分析和解：
用丝线悬挂小球时，小球受到重力G，电场力F电 和丝线的拉力T三个力的作用，这三个力是平衡的，所以重力与电场力的合力必与T在同一直线上且与T方向相反，如图5所示。
把丝线剪断后，小球只受重力G和电场力F电的作用，这两个力的合力与竖直方向的夹角为，由于小球的初速度为零，在这两个力的作用下，将沿与竖直方向夹角为的方向做加速度运动，当小球运动到A点时，（A点离小球初始位置很近，为了能看得清楚些，图6中画得较远）。已经具有沿与竖直方向成角的速度。（如图6所示）。到达A点时，小球所受力仍为重力G以及电场力F电，所以所受合外力仍沿与竖直方向夹角为的方向。根据牛顿第二定律，小球在A点的加速度方向也沿着与竖直方向夹角为的方向。因为加速度方向跟速度方向相同，所以小球沿该方向做加速运动。再往后还可以在B点、C点……进行分析，会得到与A点相同的结论，因此小球会沿着与竖直方向夹角为的方向做初速度为零的匀加速直线运动。
我们可以把小球沿着与竖直方向夹角为的匀加速直线运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动。这两个分运动也都是初速度为零的匀加速运动，其水平分运动的加速度ax可以由牛顿第二定律得到。
水平方向的合外力即为电场力F电
由运动学公式得
说明：
（1）本题中小球的运动是匀加速直线运动，我们可以根据这个运动求解运动所用时间，但计算较为麻烦，而以这个运动的水平分运动来示解时间要简单得多。
（2）通过此题我们可以得出一个具有一般性的结论：当物体的初速度为零时，如果它受到的合外力为恒力，则它必定做沿这个恒力方向的初速度为零的匀加速直线运动。
例4、若带正电荷的小球只受到电场力的作用，则它在任意一段时间内：
A．一定沿电力线由烦电势处向低电势处运动；
B．一定沿电力线由低电势处向高电势处运动；
C．不一定沿电力线运动，但一定由高电势处向低电势处运动；
D．不一定沿电力线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动。
分析和解：
如果点电荷的初速度为零，反在电场力的作用下开始运动，电荷将做加速运动，电场力对是荷做正功，电荷的电势能不断减小，正电荷一定从高电势处向低电势处运动。此时如果点电荷所处的电场的电力线如果是直线，例如点电荷电场或匀强电场，点电荷将沿电力线运动，但是如果点电荷所处的电场的电力线如果是曲线，点电荷将不能沿电力线运动。我们用的反证法来证明这个结论：设点电荷在电力线为曲线的电场中沿电力线运动，则点电荷必定为变速运动，并且点电荷的加速度方向必定与电荷运动的速度方向有一个夹角。如果点电荷沿电力线运动，则它的速度方向应是电力线的切线方向，所以点电荷运动的加速度方向就跟电力线之间有一个夹角，根据牛顿第二定律点电荷所受合外力的方向跟电力线之间就有一个夹角。因为电荷（带正电的小球）只在电场力的作用下运动，电场力就是合外力，所以电场力的方向跟电力线之间就应当有一个夹角，但是我们知道电荷在电场中所受电场力的方向就是电力线的切线方向，这个结论跟上面假设情况的推导结论是矛盾的，从而证明了上述假设是错误的，也就是说点电荷在电力线是曲线的电场中，只在电场力作用下不可能沿电力线运动。
如果正电荷具有不为零的初速度，当初速度方向与电场方向之间夹角为锐角时（包括直角和零度角）只在电场力作用下，电荷的运动速度将增加，当初速度方向与电场方向夹角为钝角（包括180度角），只在电场力作用下电荷的运动速度将减小，电荷做加速度运动时电势能减小，正电荷必定从高电势处向低电势处运动。电荷做减速运动时，电势能增加，正电荷必定从低电势处向高电势处运动。
由以上分析可得，带正电的小球在电场中只受电场力的作用即不一定沿电力线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动，所以D选项正确。
说明：
牛顿第二定律只说明了合外力跟加速度之间在大小和方向上的一个等量关系。千万不要把这个关系扩大化，以为合外力跟速度应有相同的方向。通过本例题可以看出，尽管电场力（合外力）的大小和方向，完全地确定了电荷（带电小球）加速度的大小和方向，但电荷的速度方向却要由更多的因素来确定。
例5、同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，则同步卫星
A．可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值；
B．可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的；
C．只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值；
D．只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。
分析和解：
地球卫星的轨道可以是圆也可是椭圆，椭圆卫星的运动较为复杂，这里就不讨论了，我们只讨论圆轨道卫星。地球圆轨道卫星做匀速圆周运动，具有向心中速度，而这个加速度由向心力来维持。根据牛顿第二定律，向心加速度跟向心力应在同一方向上，而卫星做圆周运动的向心力是由卫星与地球的万有引力来提供的，所以卫星所受到的地球的万有引力应跟卫星做圆周运动的向心加速度的方向相同。圆运动是一个平面运动，向心力指向圆运动轨迹的圆心，这个圆心也应在圆周运动轨迹所决定 图7
的平面内，根据万有引力定律，万有引力的方向应在两物体质心的连线上，所以地球的质心就应在卫星做圆周运动轨迹的圆心上，所以地球圆轨道卫星的轨道只能有图7所示的三种方式，一种方式是卫星轨道平面跟地球自转轴垂直，卫星轨迹平面与地球赤道平面重合，这种卫星叫赤道卫星（如图7中A所示）。第二种方式是卫星轨道平面跟地球自转轴有一个夹角，地球质心在卫星轨道平面内（如图7中B所示）。第三种方式是卫星轨道平面跟地球自转轴重合这种卫星叫要地卫星（如图7中C所示）。除了这三种方式，地球圆轨道卫星不会再出现其它形式的轨道。
而在这三种方式轨道的卫星中，B轨道卫星和C轨道卫星相对于地面必定是运动的，不可能相对于地面是不动的，所以这两种方式轨道的卫星无论与地心的距离多大也不能形成同步卫星。而A轨道方式的卫星如果卫星运转周期与地球自转周期相同，它就可以相对于地面静止而形成同步卫星。
即使是赤道卫星，如果卫星运转周期和地球自转周期不同也不能相对于地面静止而形成同步卫星，因此我们还要设法使卫星运转周期与地球自转周期相等。由牛顿第二定律及万有引力定律得：，式中R为地球半径，T为卫星运转周期，r为卫星轨道半径。可见卫星轨道半径的立方跟卫星运转周期的平方成正比。由于同步卫星运转的周期是固定的。所以卫星运转轨道半径也就是固定的了。而卫星运转轨道的半径，就是卫星离地心的距离，所以同步地球卫星离地心的距离是一定的。
综上所述，D选项正确。
综合练习：
（1）如图8所示，位于水平地面上的质量为M的小木块，在大小为F，方向与水平方向成角的拉力作用下沿地面作加速运动，若木块与地面之间的滑动摩擦系数为，则木块的加速度为
A． B．
C． D．
（2）两重叠放在一起的滑块，置于固定的，倾角为的斜面上，如图9所示，滑块A、B的质量分别为M，m。A与斜面间的滑动摩擦系数为，B与A之间滑动摩擦系数为，两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力为：
A．等于零
B．方向沿斜面向上
C．大于等于
D．大于等于
（3）如图10所示，一根轻弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体A质量为m。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L，今向下拉盘使弹簧再伸长后停止，然后松手放开，设弹簧一直处在弹性限度的，则刚松手时盘对物体A的支持力等于：
A． B．
C．
D．
（4）两个球形行星A和B各有一个卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星的表面。若两行星的质量之比MA/MB=p，两行星的半径之比RA/RB=q，则两卫星的周期之比Ta/Tb为
A． B．
C． D．
（5）图11中A、B是一对平行金属板，在两板间加一周期为T的交变电压。A板的电势UA=0，B板电势UB随时间的变化规律为：在0到的时间内，UB=U0，（正的常数），在到T的时间内；在T到的时间内；在到2T的时间内；……现在有一电子从A板上的小孔S进入两板间的电场区域内。设电子的初速度和重力的影响均可忽略，两板间的距离足够大。则：
A．若电子是在t=0时刻进入电场的，它将一直向B板运动；
B．若电子是在t=时刻进入电场的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上；
C．若电子是在时刻进入电场的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上；
D．若电子是在t=时刻进入电场的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动。
（6）一个带负电的小球，受水平方向匀强电场的电场力作用和垂直作用，由静止开始运动，不计空气阻气，在图12中的坐标系中，x轴的正方向与电场方向一致，y轴向下，原点在小球起始位置，则图12中的四个图像，哪个能表示此小球的运动轨迹：
图 12
答案：
（1）D （2）B、C （3）C
（4）A （5）A、B （6）D
解答：
（1）物体受力情况如图13所示，在图中建立直角坐标系
则有
又根据滑动摩擦系数定义
解（1）（2）（3）得


（2）以A、B两个物体整体为分析对像，受力情况如图14所示，如图建立直角坐标系xoy，则有
解（1）（2）（3）得：
以物体B为分析对象，受力情况如图15所示，同理可得
=
fA为正值，说明所设方向为正确的，即沿斜面向上，所以B、C选项正确。
（3）刚松开手瞬间，整体所受合外力为K·L，则由牛顿第二定律得
又
刚松开手瞬间，再对物体，由牛顿第二定律得：
由上述三式可得，故A选项正确。
（4）卫星做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律得：
解得：
所以A选项正确。
（5）电子进入电场后，受到的电场力大小为，产生的加速度，其加速度大小不变，方向周期性变化，若取A板指向B板的方向为正方向，可做出电子加速度随时间变化的图象如图16甲所示。
现对各选项分析如下：
A：电子在t=0时刻进入电场，其图像如图16乙所示，在0到时间内，电 子向B板做匀加速运动，在到T时间内电子做加速度大小相等的匀减速运动，但仍向B板运动。若这段时间内电子未到达B板，在t=T时刻其速度为零。以后电了将重复上述过程，继续向B板运动，直到打到B板为止。因此电子可能出现瞬时速度为零的状态，但不可能出现电子向A板运动的情况，故A选项正确。
B：电子在时刻进入电场，其图像如图16丙所示，在到时间内，电子先加速后减速，但一直向B板运动，在t=时刻电子速度为零，接着在到T时间内，电子向A板做加速运动。在T到时间内电子继续向A板运动，但做的是匀减速运动。直至t=时刻，电子速度为零。在图像中，电子在到时间内向A板运动的位移大小等于t轴上方的三角形面积，在到时间内向B板运动的位移大小等于t轴下方的小三角形面积。可能看出，在到的整段时间内电子向A板的位移大于向B板的位移。电子的总位移是向B板的。旭果在这段时间内（一个周期时间）电子没有打在B板上，以后将重复上述过程，并且最终将打在B板上，只是在这个过程中可以出现电子向A板运动的情况，故B选项正确。
C：电子在t=时刻进入电场，在到时间内，先加速后减速向B板运动，在到时间内反向加速向A板运动，到时刻回到小孔S处，之后将从小孔S飞出电场。故选项C错误。
D：电子在时刻进入电场，一开始就受到指向B板的电场力，所以电子有指从A板指向B板的加速度，从小孔S离开电场而到达电场区域外，不能进入电场，故D选项错误。
（6）小球带有负电，置于向右的电场中，所以小球受到向左的电场力。同时小球受到向下的重力，所以小球所受合外图片是重力与电场力的合力，由于电场是匀强电场，所以小球在运动过程中电场力不变，当然小球所受重力也不会变，因此小球所受合外力为—恒力。其方向指向左下方，小球又从静止运动，所以小球必做直线运动，并且运动方向跟合外力方向相同，所以D选项正确。力学最新精选题答案
　一、选择题
1．ＢＣ　2．Ｂ　3．Ｃ　4．Ｂ　5．ＡＣ　6．Ｃ　7．ＡＣ　8．Ｂ　9．Ｄ　10．Ｄ　11．ＡＣ　12．Ｃ　13．Ｂ　14．Ｂ　15．ＣＤ　16．ＡＢ　17．ＡＢ　18．ＢＤ　19．Ｄ　20．Ｄ　21．ＢＤ　22．ＢＤ　23．ＢＤ　24．Ｂ　25．Ｃ　26．ＢＤ　27．ＡＣ　28．Ａ　29．ＡＤ　30．ＡＤ　31．ＡＢＣ　32．ＡＤ　33．Ｂ　34．ＢＤ　35．ＢＤ　36．ＡＤ　37．Ｃ　38．ＢＤ　39．ＢＤ　40．ＢＣ　41．ＡＣＤ　42．Ａ　43．ＣＤ　44．ＢＣ　45．ＡＤ　46．Ｃ　47．Ｄ　48．ＡＢ　49．ＢＣ　50．ＢＣＤ　51．Ｂ　52．Ｃ　53．Ａ　54．ＡＢＤ　55．Ｃ　56．ＢＤ　57．ＢＤ　58．ＡＣ　59．ＢＣＤ　60．ＢＣ　61．Ａ　62．ＢＣ　63．ＡＤ　64．ＢＣＤ　65．ＢＤ　66．ＢＣ
　
?二、填空题
1．20　2．5×10２　2．2．4×10４　10　3．2　200　4．π２Ｒ２ｎ２／Ｈ（ｎ＝0，1，2，3…）　5．500　6．105　42　7．ｇｔｇθ　水平向左　8．2或4　9．480　11250　10．　4ｍｇＲ／Ｔ　11．2　12．3ｗ2／4πＧ　1．3×1014　13．　14．ｍｇ（Ｈ１－Ｈ２）　15．Ｈ１－（ｍｇ／ｋ）　（Ｒ０2／Ｒ2）ｇ　16．20　240　360　17．2．59×1013　18．　19．870～880Ｎ
　三．计算题1．解：设经过时间ｔ，物体到达Ｐ点
　?（1）ｘＰ＝ｖ０ｔ，ｙＰ＝（1／2）（Ｆ／ｍ）ｔ2，ｘＰ／ｙＰ＝ｃｔｇ37°，
　?联解得
　 ｔ＝3ｓ，ｘ＝30ｍ，ｙ＝22．5ｍ，坐标（30ｍ，22．5ｍ）
　?（2）ｖｙ＝（Ｆ／ｍ）ｔ＝15ｍ／ｓ，
　 ∴ｖ＝ｍ／ｓ，
　 ｔｇα＝ｖｙ／ｖ０＝15／10＝3／2，
　 ∴　　α＝ａｒｃｔｇ（3／2），α为ｖ与水平方向的夹角．
　?2．解：在0～1ｓ内，由ｖ-ｔ图象，知
　 ａ１＝12ｍ／ｓ２，
由牛顿第二定律，得
　?Ｆ－μｍｇｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθ＝ｍａ１，　　①
在0～2ｓ内，由ｖ-ｔ图象，知ａ２＝－6ｍ／ｓ２，
因为此时物体具有斜向上的初速度，故由牛顿第二定律，得
　?－μｍｇｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθ＝ｍａ２，　　②
　?②式代入①式，得　Ｆ＝18Ｎ．
　?3．解：在传送带的运行速率较小、传送时间较长时，物体从Ａ到Ｂ需经历匀加速运动和匀速运动两个过程，设物体匀加速运动的时间为ｔ1，则
　?（ｖ／2）ｔ１＋ｖ（ｔ－ｔ１）＝Ｌ，
所以　ｔ１＝2（ｖｔ－Ｌ）／ｖ＝（2×（2×6－10）／2）ｓ＝2ｓ．
为使物体从Ａ至Ｂ所用时间最短，物体必须始终处于加速状态，由于物体与传送带之间的滑动摩擦力不变，所以其加速度也不变．而　ａ＝ｖ／ｔ＝1ｍ／ｓ２．设物体从Ａ至Ｂ所用最短的时间为ｔ2，则
　?（1／2）ａｔ2２＝Ｌ，
　?ｔ2＝＝2ｓ．
　?ｖｍｉｎ＝ａｔ2＝1×2ｍ／ｓ＝2ｍ／ｓ．
传送带速度再增大1倍，物体仍做加速度为1ｍ／ｓ２的匀加速运动，从Ａ至Ｂ的传送时间为2ｍ／ｓ．
　?4．解：启动前Ｎ１＝ｍｇ，
　?升到某高度时　Ｎ2＝（17／18）Ｎ１＝（17／18）ｍｇ，
　?对测试仪　Ｎ2－ｍｇ′＝ｍａ＝ｍ（ｇ／2），
　?∴　ｇ′＝（8／18）ｇ＝（4／9）ｇ，
　?ＧｍＭ／Ｒ2＝ｍｇ，ＧｍＭ／（Ｒ＋ｈ）2＝ｍｇ′，解得：ｈ＝（1／2）Ｒ．
　?5．解：由匀加速运动的公式　ｖ２＝ｖ０２＋2ａｓ
　?得物块沿斜面下滑的加速度为
　?ａ＝ｖ2／2ｓ＝1．42／（2×1．4）＝0．7ｍｓ－２，
由于ａ＜ｇｓｉｎθ＝5ｍｓ－２，
　?可知物块受到摩擦力的作用．图3　?分析物块受力，它受3个力，如图3．对于沿斜面的方向和垂直于斜面的方向，由牛顿定律有
　?ｍｇｓｉｎθ－ｆ１＝ｍａ，
　 ｍｇｃｏｓθ－Ｎ１＝0，
　?分析木楔受力，它受5个力作用，如图3所示．对于水平方向，由牛顿定律有
　?ｆ2＋ｆ１ｃｏｓθ－Ｎ１ｓｉｎθ＝0，
　?由此可解得地面的作用于木楔的摩擦力
　?ｆ2＝ｍｇｃｏｓθｓｉｎθ－（ｍｇｓｉｎθ－ｍａ）ｃｏｓθ＝ｍａｃｏｓθ＝1×0．7×（／2）＝0．61Ｎ．
　?此力的方向与图中所设的一致（由指向）．
　?6．解：（1）飞机原先是水平飞行的，由于垂直气流的作用，飞机在竖直方向上的运动可看成初速度为零的匀加速直线运动，根据　ｈ＝（1／2）ａｔ２，得ａ＝2ｈ／ｔ２，代入ｈ＝1700ｍ，ｔ＝10ｓ，得
　?ａ＝（2×1700／10２）（ｍ／ｓ２）＝34ｍ／ｓ２，方向竖直向下．
　?（2）飞机在向下做加速运动的过程中，若乘客已系好安全带，使机上乘客产生加速度的力是向下重力和安全带拉力的合力．设乘客质量为ｍ，安全带提供的竖直向下拉力为Ｆ，根据牛顿第二定律　Ｆ＋ｍｇ＝ｍａ，得安全带拉力?
　　Ｆ＝ｍ（ａ－ｇ）＝ｍ（34－10）Ｎ＝24ｍ（Ｎ），
∴　安全带提供的拉力相当于乘客体重的倍数
　 ｎ＝Ｆ／ｍｇ＝24ｍＮ／ｍ·10Ｎ＝2．4（倍）．
　?（3）若乘客未系安全带，飞机向下的加速度为34ｍ／ｓ２，人向下加速度为10ｍ／ｓ２，飞机向下的加速度大于人的加速度，所以人对飞机将向上运动，会使头部受到严重伤害．
　?7．解：设月球表面重力加速度为ｇ，根据平抛运动规律，有
　?ｈ＝（1／2）ｇｔ２，　　①
　?水平射程为　　　Ｌ＝ｖ０ｔ，　　②
　?联立①②得ｇ＝2ｈｖ０２／Ｌ２．　　③
　?根据牛顿第二定律，得　ｍｇ＝ｍ（2π／Ｔ）２Ｒ，　　④
　?联立③④得　Ｔ＝（πＬ／ｖ０ｈ）．　　⑤
　?8．解：前2秒内，有Ｆ－ｆ＝ｍａ１，ｆ＝μＮ，Ｎ＝ｍｇ，则
　?ａ１＝（Ｆ－μｍｇ）／ｍ＝4ｍ／ｓ２，ｖｔ＝ａ１ｔ＝8ｍ／ｓ，
　?撤去Ｆ以后　ａ２＝ｆ／ｍ＝2ｍ／ｓ，ｓ＝ｖ１２／2ａ２＝16ｍ．
　?9．解：（1）用力斜向下推时，箱子匀速运动，则有
　?Ｆｃｏｓθ＝ｆ，ｆ＝μＮ，Ｎ＝Ｇ＋Ｆｓｉｎθ，
　?联立以上三式代数据，得　Ｆ＝1．2×10２Ｎ．
　?（2）若水平用力推箱子时，据牛顿第二定律，得Ｆ合＝ｍａ，则有
　?Ｆ－μＮ＝ｍａ，Ｎ＝Ｇ，
　?联立解得　ａ＝2．0ｍ／ｓ２．
　?ｖ＝ａｔ＝2．0×3．0ｍ／ｓ＝6．0ｍ／ｓ，
　?ｓ＝（1／2）ａｔ２＝（1／2）×2．0×3．0２ｍ／ｓ＝9．0ｍ，
　?推力停止作用后　ａ′＝ｆ／ｍ＝4．0ｍ／ｓ２（方向向左），
　?ｓ′＝ｖ２／2ａ′＝4．5ｍ，
　?则　ｓ总＝ｓ＋ｓ′＝13．5ｍ．
　?10．解：根据题中说明，该运动员发球后，网球做平抛运动．以ｖ表示初速度，Ｈ表示网球开始运动时离地面的高度（即发球高度），ｓ１表示网球开始运动时与网的水平距离（即运动员离开网的距离），ｔ１表示网球通过网上的时刻，ｈ表示网球通过网上时离地面的高度，由平抛运动规律得到
　?ｓ１＝ｖｔ１，Ｈ－ｈ＝（1／2）ｇｔ１２，
消去ｔ１，得　　ｖ＝ｍ／ｓ，ｖ≈23ｍ／ｓ．
　?以ｔ２表示网球落地的时刻，ｓ２表示网球开始运动的地点与落地点的水平距离，ｓ表示网球落地点与网的水平距离，由平抛运动规律得到
　?Ｈ＝（1／2）ｇｔ２２，ｓ２＝ｖｔ２，
消去ｔ２，得ｓ２＝ｖ≈16ｍ，
　 网球落地点到网的距离　ｓ＝ｓ２－ｓ１≈4ｍ．
　?11．解：（1）设卫星质量为ｍ，它在地球附近做圆周运动，半径可取为地球半径Ｒ，运动速度为ｖ，有
　?ＧＭｍ／Ｒ２＝ｍｖ２／Ｒ　得ｖ＝．
　?（2）由（1）得：
　?Ｍ＝ｖ２Ｒ／Ｇ＝＝6．0×1024ｋｇ．
　?12．解：对物块：Ｆ１－μｍｇ＝ｍａ１，
　?6－0．5×1×10＝1·ａ１，ａ１＝1．0ｍ／ｓ2，
　?ｓ１＝（1／2）ａ１ｔ2＝（1／2）×1×0．42＝0．08ｍ，
　?ｖ１＝ａ１ｔ＝1×0．4＝0．4ｍ／ｓ，
　?对小车：Ｆ２－μｍｇ＝Ｍａ２，
　?9－0．5×1×10＝2ａ２，ａ２＝2．0ｍ／ｓ2，
　?ｓ２＝（1／2）ａ２ｔ2＝（1／2）×2×0．42＝0．16ｍ，
　?ｖ２＝ａ２ｔ＝2×0．4＝0．8ｍ／ｓ，
　?撤去两力后，动量守恒，有Ｍｖ２－ｍｖ１＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，
　?ｖ＝0．4ｍ／ｓ（向右），
∵　（（1／2）ｍｖ１2＋（1／2）Ｍｖ２2）－（1／2）（ｍ＋Ｍ）ｖ2＝μｍｇｓ３，
　?ｓ３＝0．096ｍ，
∴　ｌ＝ｓ１＋ｓ２＋ｓ３＝0．336ｍ．
　?13．解：设木块到Ｂ时速度为ｖ０，车与船的速度为ｖ１，对木块、车、船系统，有
　?ｍ１ｇｈ＝（ｍ１ｖ０2／2）＋（（ｍ２＋ｍ３）ｖ１2／2），
　?ｍ１ｖ０＝（ｍ２＋ｍ３）ｖ１，
解得　ｖ０＝5，ｖ１＝．
　?木块到Ｂ后，船以ｖ１继续向左匀速运动，木块和车最终以共同速度ｖ２向右运动，对木块和车系统，有
　?ｍ１ｖ０－ｍ２ｖ１＝（ｍ１＋ｍ２）ｖ２，
　?μｍ１ｇｓ＝（（ｍ１ｖ０2／2）＋（ｍ２ｖ１2／2））－（（ｍ１＋ｍ２）ｖ２2／2），
得　ｖ２＝ｖ１＝，ｓ＝2ｈ．
　?14．解：（1）小球的角速度与手转动的角速度必定相等均为ω．设小球做圆周运动的半径为ｒ，线速度为ｖ．由几何关系得　ｒ＝，ｖ＝ω·ｒ，解得　　
　　ｖ＝ω．
　?（2）设手对绳的拉力为Ｆ，手的线速度为ｖ，由功率公式得　Ｐ＝Ｆｖ＝Ｆ·ωＲ，
∴　Ｆ＝Ｐ／ωＲ．图4　?研究小球的受力情况如图4所示，因为小球做匀速圆周运动，所以切向合力为零，即
　?Ｆｓｉｎθ＝ｆ，
其中　ｓｉｎθ＝Ｒ／，
　?联立解得　ｆ＝Ｐ／ω．
　?15．解：（1）用ｖ１表示子弹射入木块Ｃ后两者的共同速度，由于子弹射入木块Ｃ时间极短，系统动量守恒，有
　?ｍｖ０＝（ｍ＋Ｍ）ｖ１，
　?∴　ｖ１＝ｍｖ０／（ｍ＋Ｍ）＝3ｍ／ｓ，
　?子弹和木块Ｃ在ＡＢ木板上滑动，由动能定理得：
　?（1／2）（ｍ＋Ｍ）ｖ２２－（1／2）（ｍ＋Ｍ）ｖ１２＝－μ（ｍ＋Ｍ）ｇＬ，
　?解得　ｖ２＝＝2ｍ／ｓ．
　?（2）用ｖ′表示子弹射入木块Ｃ后两者的共同速度，由动量守恒定律，得　ｍｖ０′＋Ｍｕ＝（ｍ＋Ｍ）ｖ１′，解得　ｖ１′＝4ｍ／ｓ．
　?木块Ｃ及子弹在ＡＢ木板表面上做匀减速运动　ａ＝μｇ．设木块Ｃ和子弹滑至ＡＢ板右端的时间为ｔ，则木块Ｃ和子弹的位移ｓ１＝ｖ１′ｔ－（1／2）ａｔ2，
　?由于ｍ车≥（ｍ＋Ｍ），故小车及木块ＡＢ仍做匀速直线运动，小车及木板ＡＢ的位移　ｓ＝ｕｔ，由图5可知：ｓ１＝ｓ＋Ｌ，
　?联立以上四式并代入数据得：
　?ｔ2－6ｔ＋1＝0，
　?解得：ｔ＝（3－2）ｓ，（ｔ＝（3＋2）ｓ不合题意舍去），　　?（11）?
　?∴　ｓ＝ｕｔ＝0．18ｍ．
　?16．解：（1）设Ａ滑上Ｂ后达到共同速度前并未碰到档板，则根据动量守恒定律得它们的共同速度为ｖ，有图5　 ｍｖ０＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，解得ｖ＝2ｍ／ｓ，在这一过程中，Ｂ的位移为ｓＢ＝ｖＢ2／2ａＢ且ａＢ＝μｍｇ／Ｍ，解得ｓＢ＝Ｍｖ2／2μｍｇ＝2×22／2×0．2×1×10＝2ｍ．
　?设这一过程中，Ａ、Ｂ的相对位移为ｓ１，根据系统的动能定理，得
　?μｍｇｓ１＝（1／2）ｍｖ０2－（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ2，解得ｓ１＝6ｍ．
　?当ｓ＝4ｍ时，Ａ、Ｂ达到共同速度ｖ＝2ｍ／ｓ后再匀速向前运动2ｍ碰到挡板，Ｂ碰到竖直挡板后，根据动量守恒定律得Ａ、Ｂ最后相对静止时的速度为ｖ′，则
　?Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，
解得　ｖ′＝（2／3）ｍ／ｓ．
　?在这一过程中，Ａ、Ｂ的相对位移为ｓ２，根据系统的动能定理，得
　?μｍｇｓ２＝（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，
　 解得　ｓ２＝2．67ｍ．
　?因此，Ａ、Ｂ最终不脱离的木板最小长度为ｓ１＋ｓ２＝8．67ｍ
　?（2）因Ｂ离竖直档板的距离ｓ＝0．5ｍ＜2ｍ，所以碰到档板时，Ａ、Ｂ未达到相对静止，此时Ｂ的速度ｖＢ为
　?ｖＢ2＝2ａＢｓ＝（2μｍｇ／Ｍ）ｓ，解得　ｖＢ＝1ｍ／ｓ，
　?设此时Ａ的速度为ｖＡ，根据动量守恒定律，得
　?ｍｖ０＝ＭｖＢ＋ｍｖＡ，解得ｖＡ＝4ｍ／ｓ，
　?设在这一过程中，Ａ、Ｂ发生的相对位移为ｓ１′，根据动能定理得：
　?μｍｇｓ１′＝（1／2）ｍｖ０2－（（1／2）ｍｖＡ2＋（1／2）ＭｖＢ2），
　?解得　ｓ１′＝4．5ｍ．
　?Ｂ碰撞挡板后，Ａ、Ｂ最终达到向右的相同速度ｖ，根据动能定理得ｍｖＡ－ＭｖＢ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，解得ｖ＝（2／3）ｍ／ｓ．
　?在这一过程中，Ａ、Ｂ发生的相对位移ｓ２′为
　 μｍｇｓ２′＝（1／2）ｍｖＡ2＋（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ2，解得　ｓ２′＝（25／6）ｍ．
　?Ｂ再次碰到挡板后，Ａ、Ｂ最终以相同的速度ｖ′向左共同运动，根据动量守恒定律，得
　?Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，解得　ｖ′＝（2／9）ｍ／ｓ．
　?在这一过程中，Ａ、Ｂ发生的相对位移ｓ３′为：
　?μｍｇｓ３′＝（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（1／2）（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，
　?解得　　　　ｓ３′＝（8／27）ｍ．
　?因此，为使Ａ不从Ｂ上脱落，Ｂ的最小长度为ｓ１′＋ｓ２′＋ｓ３′＝8．96ｍ．
　?17．解：（1）Ｂ与Ａ碰撞后，Ｂ相对于Ａ向左运动，Ａ所受摩擦力方向向左，Ａ的运动方向向右，故摩擦力作负功．设Ｂ与Ａ碰撞后的瞬间Ａ的速度为ｖ１，Ｂ的速度为ｖ２，Ａ、Ｂ相对静止后的共同速度为ｖ，整个过程中Ａ、Ｂ组成的系统动量守恒，有
　?Ｍｖ０＝（Ｍ＋1．5Ｍ）ｖ，ｖ＝2ｖ０／5．
　?碰撞后直至相对静止的过程中，系统动量守恒，机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功，即
　?Ｍｖ２＋1．5Ｍｖ１＝2．5Ｍｖ，　　①
　 （1／2）×1．5Ｍｖ１2＋（1／2）Ｍｖ２2－（1／2）×2．5Ｍｖ2＝Ｍμｇｌ，　　②
可解出ｖ１＝（1／2）ｖ０（另一解ｖ１＝（3／10）ｖ０因小于ｖ而舍去）
　?这段过程中，Ａ克服摩擦力做功
　?Ｗ＝（1／2）×1．5Ｍｖ１2－（1／2）×1．5Ｍｖ2＝（27／400）Ｍｖ０2（0．068Ｍｖ０2）．
　?（2）Ａ在运动过程中不可能向左运动，因为在Ｂ未与Ａ碰撞之前，Ａ受到的摩擦力方向向右，做加速运动，碰撞之后Ａ受到的摩擦力方向向左，做减速运动，直到最后，速度仍向右，因此不可能向左运动．
　?Ｂ在碰撞之后，有可能向左运动，即ｖ２＜0．
　?先计算当ｖ２＝0时满足的条件，由①式，得
　?ｖ１＝（2ｖ０／3）－（2ｖ２／3），当ｖ２＝0时，ｖ１＝2ｖ０／3，代入②式，得
　?（（1／2）×1．5Ｍ4ｖ０2／9）－（（1／2）×2．5Ｍ4ｖ０2／25）＝Ｍμｇｌ，
解得　μｇｌ＝2ｖ０2／15．
　?Ｂ在某段时间内向左运动的条件之一是μｌ＜2ｖ０2／15ｇ．
　?另一方面，整个过程中损失的机械能一定大于或等于系统克服摩擦力做的功，即
　?（1／2）Ｍｖ０2－（1／2）2．5Ｍ（2ｖ０／5）2≥2Ｍμｇｌ，
　?解出另一个条件是　μｌ≤3ｖ０2／20ｇ，
　?最后得出Ｂ在某段时间内向左运动的条件是
　?2ｖ０2／15ｇ＜μｌ≤3ｖ０2／20ｇ．
　?18．解：（1）以警车为研究对象，由动能定理．
　?－μｍｇ·ｓ＝（1／2）ｍｖ2－（1／2）ｍｖ０2，
　?将ｖ０＝14．0ｍ／ｓ，ｓ＝14．0ｍ，ｖ＝0代入，得
　 μｇ＝7．0ｍ／ｓ2，
　?因为警车行驶条件与肇事汽车相同，所以肇事汽车的初速度ｖＡ＝＝21ｍ／ｓ．
　?（2）肇事汽车在出事点Ｂ的速度
　?ｖＢ＝＝14ｍ／ｓ，
　?肇事汽车通过段的平均速度
　?＝（ｖＡ＋ｖＢ）／2＝（21＋14）／2＝17．5ｍ／ｓ．
　?肇事汽车通过ＡＢ段的时间
　?ｔ２＝ＡＢ／＝（31．5－14．0）／17．5＝1ｓ．
　 ∴　游客横过马路的速度
　?ｖ人＝／（ｔ１＋ｔ２）＝（2．6／（1＋0．7））ｍ／ｓ＝1．53ｍ／ｓ．
　?19．解：（1）开始Ａ、Ｂ处于静止状态时，有
　?ｋｘ０－（ｍＡ＋ｍＢ）ｇｓｉｎ30°＝0，　　①
　?设施加Ｆ时，前一段时间Ａ、Ｂ一起向上做匀加速运动，加速度为ａ，ｔ＝0．2ｓ，Ａ、Ｂ间相互作用力为零，对Ｂ有：
　?ｋｘ－ｍＢｇｓｉｎ30°＝ｍＢａ，　　②
　?ｘ－ｘ０＝（1／2）ａｔ2，　　③
　?解①、②、③得：
　?ａ＝5ｍｓ－2，ｘ０＝0．05ｍ，ｘ＝0．15ｍ，
　?初始时刻Ｆ最小
　?Ｆｍｉｎ＝（ｍＡ＋ｍＢ）ａ＝60Ｎ．
　?ｔ＝0．2ｓ时，Ｆ最大
　?Ｆｍａｘ－ｍＡｇｓｉｎ30°＝ｍＡａ，
　?Ｆｍａｘ＝ｍＡ（ｇｓｉｎ30°＋ａ）＝100Ｎ，
　?（2）ΔＥＰＡ＝ｍＡｇΔｈ＝ｍＡｇ（ｘ－ｘ０）ｓｉｎ30°＝5Ｊ．
　?20．解：当弹簧处于压缩状态时，系统的机械能等于两滑块的动能和弹簧的弹性势能之和．当弹簧伸长到其自然长度时，弹性势能为零，因这时滑块Ａ的速度为零，故系统的机械能等于滑块Ｂ的动能．设这时滑块Ｂ的速度为ｖ则有
　?Ｅ＝（1／2）ｍ２ｖ2，　　①
由动量守恒定律（ｍ１＋ｍ２）ｖ０＝ｍ２ｖ，　　②
解得　Ｅ＝（1／2）（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ２．　　③
　?假定在以后的运动中，滑块Ｂ可以出现速度为零的时刻，并设此时滑块Ａ的速度为ｖ１．这时，不论弹簧是处于伸长还是压缩状态，都具有弹性势能Ｅｐ．由机械能守恒定律得
?　（1／2）ｍ１ｖ１2＋Ｅｐ＝（1／2）（（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ２），　　④
根据动量守恒　（ｍ１＋ｍ２）ｖ０＝ｍ１ｖ１，　　⑤
求出ｖ１，代入④式得
　?（1／2）（（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ１）＋Ｅｐ＝（1／2）（（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ２），　　⑥
因为Ｅｐ≥0，故得
　?（1／2）（（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ１）≤（1／2）（（ｍ１＋ｍ２）2ｖ０2／ｍ２），　　⑦
即　ｍ１≥ｍ２，与已知条件ｍ１＜ｍ２不符．
　?可见滑块Ｂ的速度永不为零，即在以后的运动中，不可能出现滑动Ｂ的速度为零的情况．
　?21．解：设恰好物体相对圆盘静止时，弹簧压缩量为Δｌ，静摩擦力为最大静摩擦力ｆｍａｘ，这时物体处于临界状态，由向心力公式ｆｍａｘ－ｋΔｌ＝ｍＲｗ2，　　①
　?假若物体向圆心移动ｘ后，仍保持相对静止，
　?ｆ１－ｋ（Δｌ＋ｘ）＝ｍ（Ｒ－ｘ）ｗ2，　　②
　?由①、②两式可得　ｆｍａｘ－ｆ１＝ｍｘｗ2－ｋｘ，　　③
所以　ｍｘｗ2－ｋｘ≥0，得ｋ≤ｍｗ2，　　④
　?若物体向外移动ｘ后，仍保持相对静止，
　?ｆ２－ｋ（Δｌ－ｘ）≥ｍ（Ｒ＋ｘ）ｗ2，　　⑤
由①～⑥式得　ｆｍａｘ－ｆ２＝ｋｘ－ｍｘｗ2≥0，　　⑥
所以　ｋ≥ｍｗ2，　　⑦
即若物体向圆心移动，则ｋ≤ｍｗ2，
若物体向远离圆心方向移动，则ｋ≥ｍｗ2．
　?22．解：卫星环绕地球作匀速圆周运动，设卫星的质量为ｍ，轨道半径为ｒ，受到地球的万有引力为Ｆ，
　?Ｆ＝ＧＭｍ／ｒ2，　　①
　?式中Ｇ为万有引力恒量，Ｍ是地球质量．
　?设ｖ是卫星环绕地球做匀速圆周运动的线速度，Ｔ是运动周期，根据牛顿第二定律，得
　?Ｆ＝ｍｖ2／ｒ，　　②
　?由①、②推导出　ｖ＝．　　③
　?③式表明：ｒ越大，ｖ越小．
　?人造卫星的周期就是它环绕地球运行一周所需的时间Ｔ，
　?Ｔ＝2πｒ／ｖ，　　④
　?由③、④推出　Ｔ＝2π，　　⑤
　?⑤式说明：ｒ越大，Ｔ越大．　　第二章 直线运动专项训练
【例题精选】：
例1：图所示为在直线上运动的汽车图线，则下列答案正确的是（ ）
A．汽车在4小时内的位移为120千米。
B．汽车在第2小时至第5小时的平均速度为－40千米/小时。
C．汽车在第1小时末的的瞬时速度为60千米/小时。
D．汽车在第5小时末回到原出发点，其瞬时速度为－120千米/小时。
E．汽车在开始运动后10小时内的平均速率为48千米/小时，平均速率为零。
F．汽车在第4.5小时末的位置距出发点60千米。
解析：A．车由原点出发，4小时末到达120千米处，故位移为120千米，可见A是正确的。
B．车在2～5小时内的平均速度（km/h）（负号表示与出发时的速度反向），可见B是正确的。
C．车在0～2小时内是做匀速运动，故其在1小时末的速度等于在0～2小时内的平均速度（km/h），可见C是正确的。
D．车在4～5小时内也是做匀速运动，故在5小时末的速度（km/h），可见D正确。
E．车在10小时内所走路径为120＋120＋120＋120 = 480（km）位移为0，故平均速率为（km/h），平均速度为零，可见E是正确的。
F．理由同D，如右图
所以（km）。可见F是正确的。
答案：A、B、C、D、E、F均正确。
例2：图所示为一物体沿直线运动的图线，则
（1）0～20秒物体的位移为 ，所行的路程为 。
（2）0～20秒物体的平均速率为 ，平均速度为 。
（3）2秒末的加速度为 。
（4）2秒末的速度为 。
（5）在第 秒末，物体开始转向运动。
（6）绘出0～10秒末的图线及图线。
解析：（1）0～10秒末图线下的梯形面积为，10～20秒末图线与时间轴所围的三角形面积为，故0～20秒物体通过的路程为（m），所通过的位移为140-75=65m。
（2）0～20秒物体的平均速率为215/20=10.75（m/s），平均速度为65/20=3.25（m/s）
（3）0～4秒物体做匀加速直线运动，加速度大小等于速度图线的斜率，为（m/s2）
（4）由图可知，2秒末的物体的即时速度为10 m/s。
（5）10秒末物体速度减为零，开始转向。
（6）0～4秒末物体做匀加速运动，加速度大小等于速度图线的斜率为m/s2，这段时间内的位移大小等于速度图线下的三角形面积，故为40m。
4～8秒末，物体做匀速直线运动，加速度，位移大小等于速度图线下的正方形面积，故m。
8～10秒末，物体做匀减速直线运动，加速度大小等于速度图线的斜率，故m/s2，位移为m。
根据以上数据，可绘出图线及图线，如图所示。
例3：如图所示，图为自地面竖直向上发射的火箭的图线。
（1）若的面积等于的面积，这表示什么意义？
（2）火箭燃烧期内加速度大小为多少？
（3）火箭燃烧完毕瞬间的高度是多少？
（4）火箭燃烧完毕后加速度大小是多少？
（5）火箭上升的最大高度是多少？
解：（1）图线时间轴之间的面积表示位移的大小，的面积与面积相等表示上升与下降的距离相等，火箭总位置为零。
（2）K点所对应的时间为火箭燃烧完毕的瞬间，直线JK为燃烧期内的速度图线，其斜率表示燃烧期内加速度的大小，故（米/秒2）。
（3）（米）
（4）（米/秒2）
（5）L点所对应的时间表示火箭到达最高点的时刻，最大高度与的面积大小相等，故（米）
例4：火车匀加速直线前进，前端通过A点的时速度为，末端通过A点时速度为，则火车中点通过A点时速度为
A． B．
C． D．
解：设火车长为L，通过A点时的速度为，加速度为。由任一时刻火车上各点速度相等，根据匀加速运动规律可得：
①
②
由①②两式联立解得。
答案： 本题答案应是C。
例5：甲车以10米/秒，乙车以4米/秒的速率在同一直车道中同向前进，若甲车驾驶员在乙车后方距离d处发现乙车，立即踩刹车使其车获得－2米/秒2的加速度，为使两车不致相撞，d的值至少应为多少？
A．3米 B．9米 C．16米 D．20米
解析：甲刹车后做匀减速运动，设经时间t二车速度相等且未相撞，则以后永不会相撞。由匀减速运动规律可知：Vt=V0－a t
，
解得秒
在此时间内甲车前进的距离（米），乙车前进的距离为（米）
可见（米）即不会相撞。
答案：本题答案应是B。
例6：火车由静止开始以加速度起动，由甲站出发随后再以加速度运动而停止于乙站。设甲、乙两站间的距离为，则：
（1）由甲站到乙站共经历多少时间？
（2）全程的平均速率为多少？
（3）车速所能达到的最大速率是多少？
解：设运动最大速度为图形的斜率表示加速度。
即由
①
图的面积表示位移，即
②
由①、②得
（1）经历时间
（2）平均速率
（3）最大速率
例7：气球以1.25米/秒2的加速度竖直上升，离地30秒后，从气球上掉下一物体，不计空气阻力，问经几秒钟物体到达地面？
A．7秒 B．8秒 C．12秒 D．15秒
解析：先求30秒后气球的速度及高度：
（米/秒）
（米）
物体刚掉下时，具有竖直向上的初速度为37.5米/秒，由可得：
解上式得秒。
答案：本题答案应是D。
例8：下列所描述的运动的中，可能的有：
A．速度变化很大，加速度很小；
B．速度变化方向为正，加速度方向为负；
C．速度变化越来越快，加速度越来越小；
D．速度越来越大，加速度越来越小。
解析：，尽管很小，只要足够大，可以很大，则A正确。当与同方向时，质点做加速运动，尽管逐渐减小，但与还是同方向，所以还要增大，致使减小到零为止，则D项正确。加速度方向和速度变化方向一定相同，所以B项错了。
加速度是描述速度变化的快慢的物理量，速度变化的快，加速度一定大，所以C项错了。
答案：A、D
例9：甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为=20米/秒，乙车在甲车行驶至距离出发地200米处时开始以初速度为零、加速度为=2米/秒2追甲。求乙车追上甲车前两车间的最大距离。
解法一：两车相遇前距离最大时两车速度必然相等，则运动时间为：
（秒）
∴
解法二：两车间距离与时间有关，其关系式为
可见，有最大值：
（米）
解析：该题中两汽车运动，乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，不难想到，只要乙车速度小于甲车速度，两车间距离必随时间延长而增大。反之，如乙车速度在某时刻开始较甲车速度大，则两车间距离随时间延长而变小。显然当两车速度相同时距离最大。
可见，在追赶过程中，速度相等是一个转折点，要熟记这一条件。在诸多的物理问题中存在“隐蔽条件”成为一个很重要的问题，一般是根据物理过程确定。该题中“隐蔽条件”就是当两车速度相同时距离最大。解析后，问题就迎刃而解。
例10：甲、乙两车，从同一处，同时开始作同向直线运动。已知甲车以速度作匀速直线运动，乙车以初速度开始作匀加速运动，加速度为。试分析：
1、当乙车的速度多大时，乙车落后于甲车的距离为最大？根据什么进行判断？落后的最大距离是多大？
2、当乙车的速度多大时，乙车追上甲车？根据什么判断？需要多长时间？
解：当时，乙车落后于甲车的距离为最大。
乙车达到速度所需时间为
故此时两车相距为
两车同时，以同一处开始运动，经一段时间，再次相遇，它们的运动路程、运动时间都相同，那么，它们在这一段时间内的平均速度相同。甲车作匀速直线运动，其平均速度为，乙车作匀加速直线运动，其平均速度为：。
由此可知，必须有，即，此时乙车追上甲车。
乙车达到速度所需时间为
解析：根据运动相对性，当时，乙车相对甲车后退，故两车相距越来越大；当时，乙车相对甲车前进，故两车相距越来越小。
【专项训练】：
一、选择题：
1、下列关于平均速度和即时速度的说法中正确的是
A．做变速运动的物体在相同时间间隔里的平均速度是相同的
B．即时速度就是运动的物体在一般较短的时间内的平均速度
C．平均速度就是初末时刻即时速度的平均值
D．某物体在某段时间里的即时速度都为零，则该物体在这段时间内静止
2、下面关于加速度的描述中正确的有
A．加速度描述了物体速度变化的多少
B．加速度在数值上等于单位时间里速度的变化
C．当加速度与位移方向相反时，物体做减速运动
D．当加速度与速度方向相同且又减小时，物体做减速运动
3、关于速度与加速度，下列说法中正确的是
A．速度越大，加速度一定越大
B．速度为零，加速度也一定为零
C．加速度为零，速度也一定为零
D．以上说法都不对
4、作匀加速直线运动的物体，加速度是2米/秒2，它意味着
A．物体在任一秒末的速度是该秒初的两倍
B．物体在任一秒末的速度比该秒初的速度大2米/秒
C．物体在第一秒末的速度为2米/秒
D．物体任一秒初速度比前一秒的末速度大2米/秒
5、关于匀加速直线运动，下列说法中正确的是
A．速度与运动时间成正比
B．速度的增量与运动时间的平方成正比
C．位移与运动时间的平方成正比
D．在连续相同时间内的位移增量都相同
6、对做匀减速运动的物体（无往返），下列说法中正确的是
A．速度和位移都随时间减小
B．速度和位移都随时间增大
C．速度随时间增大，位移随时间减小
D．速度随时间减小，位移随时间增大
7、一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，下列说法中正确的是
A．第4秒内的平均速度大于4秒内的平均速度
B．第4秒内的平均速度大于第4秒末的即时速度
C．第4秒内的位移小于头4秒内的位移
D．第3秒末的速度等于第4秒初的速度
8、甲、乙两物体沿一直线同向运动，其速度图象如图
所示，在时刻，下列物理量中相等的是
A．运动时间
B．速度
C．位移
D．加速度
9、四个质点作直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，下列说法中正确的是
A．四个质点在2秒内速度变化快慢相同
B．在第2秒末，质点（2）离出发点最远
C．在第2秒内，质点（1）（3）做加速运动
D．在第2秒末，质点（2）（3）偏离出发点位移相同
10、如果运动的物体的平均速度等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值，则该运动一定不是
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动
C．匀减速直线运动 D．加速度减小的运动
11、有一个物体开始时静止在O点，先使它向东作匀加速直线运动，经过5秒钟，使它的加速度方向立即改为向西，加速度的大小不改变，再经过5秒钟，又使它加速度方向改为向东，但加速度大小不改变，如此重复共历时20秒，则这段时间内：
A．物体运动方向时而向东时而向西
B．物体最后静止在O点
C．物体运动时快时慢，一直向东运动
D．物体速度一直在增大
12、骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1、2、3、4秒内，通过的路程分别为1米、2米、3米、4米。有关其运动的描述正确的是
A．4秒内的平均速度是2.5米/秒
B．在第3、4秒内平均速度是3.5米/秒
C．第3秒末的即时速度一定是3米/秒
D．该运动一定是匀加速直线运动
13、一船在静水中的速度为6米/秒，要横渡流速为8米/秒的河，下面说法正确的是
A．船不能渡过此河
B．船能行驶到正对岸
C．若河宽60米，过河的最少时间为10秒
D．船在最短时间内过河，船对地的速度为6米/秒
14、顺水行舟从甲地到乙地的平均速率为，逆水行舟从乙地返回甲地的平均速率为， 那么从甲地到乙地又返回甲地的整个过程的平均速率为
A． B．
C． D．
15、甲、乙两球先后由静止出发，从很长的斜面顶端滚下来，加速度相同，乙迟运动一段时间，相对乙而言，甲作
A．向前的匀速直线运动 B．静止不动
C．向后的匀速直线运动 D．向前的匀加速直线运动
16、汽车以20米/秒的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5米/秒2，那么开始刹车后2秒与开始刹车后6秒汽车通过的位移之比为：
A．1∶1 B．3∶1 C．3∶4 D．4∶3
17、物体从斜面顶端由静止开始滑下，经秒到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
18、作匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为和，经历的时间为，则
A．前半程速度增加3.5
B．前时间内通过的位移为33/12
C．后时间内通过的位移为33/12
D．后半程速度增加3。
19、一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始作匀加速运动时
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶……
B．每节车厢经过观察者所经历时间之比是1∶∶∶……
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶……
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶……
20、甲、乙两物体在同一直线上，同时由一位置向同一方
向运动，其速度图象如图所示，下列说法正确的是
A．开始阶段乙跑在甲的前面，20秒后乙落在甲的后面
B．20秒末乙追上甲，且甲、乙速度相等
C．40秒末乙追上甲
D．在追上前的20秒末两物体相距最大
21、两辆完全相同的汽车，沿平直公路一前一后匀速行驶，速度均为，若前车突然刹车，它刚停住时，后车以前车刹车时相同的加速度开始刹车。已知前车的刹车距离为，若要保证这两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为
A． B．2 C．3 D．4
22、将一物体以某一初速度竖直上抛，如图所示的四幅图中，哪一幅能正确表示物体在整个运动过程中的速率与时间的关系（不计空气阻力）？
下图中哪个能正确表示上述竖直上抛运动过程的位移与时间的关系？
23、一个人在离地面10米高处，以40米/秒的初速度竖直上抛一个物体（10米/秒2），
下面正确的是
A．4秒末物体达到最高点，2秒末物体达到最大高度的一半
B．4秒末物体即时速度为零，2秒末物体的速度为初速度的一半
C．4秒末物体的加速度为零
D．5秒末物体的位移为5米
24、在加速上升的气球上落下一物体，该物体离开气球的瞬间的速度和加速度是
A．有向上的加速度和向下的速度
B．有向上的速度和向下的加速度
C．物体将作竖直下抛运动
D．物体将作自由落体运动
25、从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有另一物体B自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速度都为，则下列说法中正确的是
A．物体A上抛的初速度和物体B落地时速度的大小相等
B．物体A、B在空中运动的时间相等
C．物体A能上升的最大高度和B开始下落的高度相同
D．两物体在空中同时达到同一高度处一定是B物体开始下落时高度的中点
26、火车以的平均速度从A地到B地需要时间，现火车以的初速度匀速由A出发，中途急刹车，停止后又立即加速到所需时间为，设刹车与加速过程中加速度大小相同，若火车仍要在时间里到达B地，则火车匀速运动的速度为
A． B．
C． D．
27、A、B两质点沿同一条直线相向运动，A作初速度为零的匀加速直线运动，B作匀 减速运动，加速度大小均为，当A开始运动时AB间的距离为，要想两质点在距
B为处相遇，则当A开始运动时B的速度应是
A． B．
C． D．
二、计算题：
1、物体由静止开始做直线运动，先匀加速运动了4秒，又匀速运动了10秒，再匀减速运动6秒后停止，它共前进了1500米，求它在整个运动过程中的最大速度。
2、从地面竖直上抛一物体，通过楼上1.55米高窗口的时间是0.1秒，物体回落后从窗口 顶部到地面的时间是0 .4秒，求物体能达到的最大高度（10米/秒2）
3、一个物体从A点从静止开始作匀加速直线运动到B点，然后作匀减速直线运动到C 点静止，AB，BC，由A到C的总时间为，问：物体在AB、BC段的加速度大小各多少？
4、一矿井深45米，在井口每隔一定时间自由落下一个小球，当第7个小球从井口开始
下落时，第一个小球恰好落至井底，问：
（1）相邻两个小球下落的时间间隔是多少？
（2）这时第3个小球和第5个小球相距多远？
5、划速为的船在水速为的河中顺流行驶，某时刻船上一只气袋落水，若船又行驶
了秒后才发现且立即返回寻找（略去调转船头所用的时间），需再经多少时间才能
找到气袋？
6、如图所示，公路AB⊥BC，且已知AB=100米，车甲从A以8米/秒的速度沿AB行
驶，车乙同时从B以6米/秒的速度沿BC行驶，两车相距的最近距离是多少？
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、B 3、D 4、B 5、D
6、D 7、ACD 8、B 9、ACD 10、D
11、C 12、AB 13、C 14、D 15、A
16、C 17、A 18、C 19、AC 20、CD
21、B 22、B 23、B 24、B 25、AC
26、C 27、A
二、计算题
1、米/秒 2、20米
3、；
4、0.5秒；15米
5、；6.60米。
6、60米曲线运动万有引力定律
（一）圆周运动
【例题精选】：
例1：在图6（a）的装置中，质量为M的物体与质量为m的物体用细绳连接，物体M与转台一起以角速度做匀速圆周运动，试分析M的转动半径R。
解：物体构成连接体，隔离且做受力分析（如图6(b)所示），二者的受力情况中，绳子两端的拉力T大小相等，m处于平衡状态，有 ——————
M在水平面做匀速圆周运动，Mg与N相互平衡，而T为向心力即
——————
由式与式可得
若M的转动半径而与不变，则绳子的拉力所需的向心力，M将要远离圆心，若该桌面是粗糙时
此时物体M会受到指向圆心的摩擦力作用。设最大静摩擦力为可能的最大半径.如图7(a)，
则有
若M的转动半径绳子的拉力所需的向心力，物体M将要向圆心运动，此时摩擦力方向背离圆心，此时物体M会受到背离圆心的摩擦力作用。设的最小圆半径.如图7(b)，
则有
例2：如图8(a)，一根轻杆长L，两端各固定一个质量为m的小球A和B，在距A球处有一转轴O，当杆绕轴在竖直平面内匀速转动时，周期，分析杆转到图示的竖直位置时，两球对杆的作用力及轴对杆的作用力。
解：隔离A球与B球，且做受力分析如图8(b)，设杆对A球有向下拉力N1，杆对B球有向上拉力N2，这时因轴对杆可能也有力的作用，所以不能认为N1与N2的大小相等。两球的角速度相同，且球的圆周半径球的圆周运动半径，根据牛顿第二定律列出方程，对
N1得出负值说明N1的实际方向与所设方向相反即杆对球是向上的支持力，大小为球对杆则是向下压力，大小为
即杆对球有向上拉力，大小为而球对杆的作用力应向下，大小为。
因杆受到A球向下作用力与B球向下作用力，则轴对杆的作用力F应向上，且大小为
【专项训练】
一、选择正确答案：
1、关于运动性质的说法正确的是
A．变速运动一定是曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
2、正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个。不计阻力则
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
3、物体从某一高处平抛，其初速度为不计阻力，则物体在空中飞行时间为
A． B． C． D．
4、A、B、C三个物体放在旋转的水平圆台上，A的质量是2m，B、C质量各为m；C离轴心的距离是2r，A、B离轴心距离为r，当圆台匀速转动时，A、B、C都没发生滑动，则
A．A受的向心力最小 B．B受的向心力最小
C．C受的向心力最小 D．它们受的向心力一样大
5、如图所示，小球从水平位置静止释放，设小球通过最低点时的速度为v，角速度为，加速度为a，绳的拉力为T，那么随着绳子L的增长
A．v、a都增大 B．、a都减小
C．T不变，增大 D．v增大，减小
二、填空题：
6、如图所示，一皮带传动装置，皮带与轮不打滑，左边为主动轮，在传动中A、B、C点的线速度之比 ，角度之比 ，加速度之比 。
7、质量为M的人抓住长为l的轻绳，绳的另一端系着质量为m的小球，现让小球在竖直平面内做圆运动，当球通过最高点时速度为v，则此时人对地面的压力为 。
三、计算题：
8、车厢沿平直轨道匀速行驶，车厢内货架边缘有一小球，离车厢地板高度是h。车厢突然改以加速度a作匀加速运动，货架上的小球落下。求小球落在地板上，落点到货架边缘的水平距离。
9、如图所示，轻杆长1米，其两端各连接质量为1千克的小球，杆可绕距B端0.2米处的轴O在竖直面内转动，设A球转到最低点时速度为4米/秒，求此杆对轴O的作用力？
【答案】
一、
1、B 2、A D 3、B 4、B 5、D
二、
6、1∶1∶2，3∶2∶3，3∶2∶6
7、
三、
8、 9、35牛，方向向下
（二）曲线运动万有引力定律
【例题精选】：
例：某星球自转周期为T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W，在赤道上称得该物重W，求该星球的平均密度。
解析：题目中弹簧秤称得物重W与W，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，在星球的两极物体受星球的引力因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有
——————
（其中M为星球质量，m为物体质量，R为星球半径）又，代入式后整理得
——————
在星球赤道处，物体受引力物体随星球自转做圆运动，所以
——————
将式代入式，整理后得
【专项训练】
一、选择正确答案：
1、一个物体在两个互为锐角的恒力作用下，由静止开始运动，当经过一段时间后，突然去掉其中一个力，则物体将做
A．匀加速直线运动 B．匀变速运动
C．匀速圆周运动 D．变速曲线运动
2、如图所示，两个半径不同内壁光滑的半圆轨道，固定于地面，一小球先后从与球心在同一水平高度上的A、B两点，从静止开始自由滑下，通过最低点时，下述说法正确的是
A．小球对轨道底部的压力相同
B．小球对轨道底部的压力不同
C．速度大小不同，半径大的速度大
D．向心加速度的大小相同
3、火车沿水平铁轨作匀加速直线运动，已知加速度为a，某一时刻，乘客由窗外自由释放一个小球，不计空气阻力，小球经t秒落到地面，由此可知
A．t时间内火车走过的位移大小
B．t时刻火车与小球的水平距离
C．小球落地时速度大小
D．以上各量都不知道
4、从高H下以水平速度v1平抛一个小球1，同时从地面以速度v2竖直上抛出一个小球2，两球可在空中相遇则
A．从抛出到相遇所用时间为
B．从抛出到相遇所用时间为
C．抛出时两球间的水平距离为
D．相遇时小球2上升的高度为
5、用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离开地面的高度，R0表示地球半径，g0表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，则地球对同步卫星的万有引力大小
A．等于零 B．等于
C．等于 D．以上结果都不正确
6、已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T0，地球表面重力加速度为g0，人造地球通讯卫星高度为h，万有引力恒量为G，则在地球表面附近运行，高度不计的人造卫星的周期为
A．T0 B． C． D．
7、地球半径为处的重力加速度是
A． B．
C． D．
二、填空：
8、如图所示，OM=MN=R，两球质量都是m，a、b为水平轻绳。小球正随水平圆盘以角速度匀速转动，摩擦不计，则绳a的拉力为 ，绳b的拉力为 。
9、长L=0.5米质量不计的杆下端固定在O点，上端连着球A，球A质量为m=2千克，A绕O在竖直面作圆运动。A过最高点时速率若为1米/秒，此时球对杆的作用力大小为 牛，方向向 。若小球A过最高点速度为4米/秒时，球对杆的作用力大小为 牛，方向向 。
10、某星球的自转周期为T，在它的两极处用弹簧秤称某物重W，在赤道处称该物重W，则该星球的平均密度= 。
11、已知地球半径约为6.4×106米，又知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心距离约为 米（保留一位有效数字）。
12、地球半径R=6400千米，自转周期T=24小时，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度 ，纬度为60处的物体随地球自转的向心加速度是 。
13、已知一颗靠近地面运行的人造地球卫星每天约转17圈，今欲发射一颗地球同步卫星，其离地面的高度约为地球半径的 倍。
14、若在相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为Ta，卫星b绕行星B的周期为Tb，这两颗行星的密度之比 。
三、计算题：
15、月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，地球半径是月球半径的4倍，那么登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度是多少？已知人造地球卫星的第一宇宙速度为v1。
16、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球质量为m1，B球质量为m2，它们沿圆管顺时针运动，经过最低点时速度都是v0，设A球在最低点时，B球恰好在最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，求证m1、m2、R与v0应满足的关系式。
17、如图所示，质量为m的木块，用光滑细绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块的最大静摩擦力为其重力的倍（=0.2），当转盘以角速度=4弧度/秒匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动的轨道半径的范围是多少？
18、如图所示，长为l的轻杆，两端各连接一个质量都是m的小球（半径忽略），使它们以轻杆中点为轴在竖直平面做匀速圆周运动，周期为，求它们通过竖直位置时，上下两球分别对杆的作用力（说明是压力还是拉力）
【答案】：
一、
1、BD 2、ACD 3、B 4、BCD 5、BC
6、BCD 7、B
二、
8、3 9、16，向下 44，向上 10、
11、4×108 12、0．034米/秒 13、约5．6 14、
三、
15、
16、 17、
18、上端球对杆为压力，大小是，下端球对杆是向下拉力，大小是
（三）曲线运动万有引力定律综合
【例题精选】：
例1：如图1所示，以9.8米/秒的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
A．秒 B．秒
C．秒 D．2秒
解析：平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。飞行时间与初速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直分速度这一信息。把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度和竖直分速度（图2），，解之得秒。正确选项C。
例2：宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为，如图3所示。已知小球飞行时间为t，且两落地点在同一水平面上。求该星球表面的重力加速度的数值。
解析：本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。我们只要把已知的信息与飞行高度或水平射程建立联系，就又把这类习题改成了传统题，即把未知转化为已知。
设抛出点高度为h，初速度为v，星球表面重力加速度为g。
由题意可知：。
解之得：
答案：该星球表面重力加速度数值为。
如果本题再已知该星球半径为R，万有引力常数为G，还可以求该星球的质量M，读者可以试一试，答案为。
例3：如图4所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y方向，但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A、B两点，用刻度尺分别测量出它们到y轴的距离x1、x2以及AB的竖直距离h，则小球平抛运动的初速度 。
解析：画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图5所示。用平抛运动是水平匀速和自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。又转化成了平抛的基本题。
设从抛出点到A、B的竖直高度分别为HA和HB。
由题意可知：
再设平抛到A、B的时间为tA和tB，。
答案：
例4：如图6所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
解析：匀速圆周运动中各参量的关系，即，，，，。在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：皮带上各点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。由题意可知，再经过简单运算可得出正确选项是C、D。
例5：下列说法正确的是
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动
解析：匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用只是不断改变速度方向，所以正确选项是C、D。
例6：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，如图7所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？
解析：A、B小球受力如图8所示，在竖直方向上A与B处于平衡态。在水平方向上根据匀速圆周运动规律，
，。
，
TA∶TB = 3∶2
答案：TA∶TB = 3∶2
例7：一旦万有引力常量G值为已知，决定地球质量的数量级就成为可能。若已知万有引力常量牛顿米2/千克，重力加速度米/秒2，地球半径米，则可知地球质量的数量级是
A．1018千克 B．1020千克 C．1022千克 D．1024千克
解析：根据万有引力公式
可得出千克
正确选项是D。
注意在近似计算的估算中，这种方法读者要掌握。
例8：两颗人造卫星绕地球作匀速圆周运动，周期之比为TA∶TB = 1∶8，则轨道半径之比和运动速度之比分别为
A．RA∶RB = 4∶1 B．RA∶RB = 1∶4
C．VA∶VB = 1∶2 D．VA∶VB = 2∶1
解析：人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动，卫星与地球的万有引力充当向心力，。经整理可得，。即卫星的线速度、角速度，周期都和卫星本身质量无关；运转半径越大其线速度越小，角速度越小，周期越大。
正确选项是B、D。
例9：地球同步卫星质量为m，离地高度为h，若地球半径为R0，地球表面处重力加速度为g0，地球自转角速度为，则同步卫星所受的地球对它的万有引力的大小为
A．0 B．
C． D．以上结果都不正确
解析：根据万有引力定律，把式中M与已知量g0、建立联系，，选项B正确。
，选项C正确。
正确选项B、C。
例10：如图9所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是
A．v极小值为
B．v由零增大，向心力也逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
解析：由于杆既可以承受压力又可以承受拉力，因此小球受合力既可以大于小球重力又可以小于小球重力，也可以等于小球重力。当杆受力为零时，重力充当向心力， 。当时杆对小球施拉力；时杆对小球施压力，因此v极小值可以小于，只要大于0即可。故正确选项是B、C、D。
【综合练习】：
1、一个物体以v0水平抛出，落地时速度为v，那么运动时间为
A． B． C． D．
2、一个物体以初速度v0水平抛出，经t秒其竖直方向速度大小与v0相等，那么t为
A． B． C． D．
3、如图10所示，倾角为的斜面长为L，在顶端水平抛出一小球，小球刚好落在斜面的底端，那么，小球初速度v0的大小为
A． B．
C． D．
4、两质点在空间同一点处，同时水平抛出，速度分别是米/秒向左和米/秒向右。则两个质点速度相互垂直时，它们之间的距离为 ；当两质点位移相互垂直时，它们之间的距离为 。（g取10米/秒2）
5、手表的秒针长1厘米。表针的运动可视为匀速转动，取。则秒针的角速度 ，这是分针角速度的 倍。秒针针尖的线速度 。
6、甲乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60，乙转过45，则它们所受合外力之比为？
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
7、如图11所示，细绳一端系一个质量M=0.6千克的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体，M的中点与圆孔距离为0.2米，并已知M和水平面间的最大静摩擦力为2牛，现使此平面绕过小孔的中心轴线转动，问角速度数值在什么范围内m才会处于静止状态？
8、如图12所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内作圆周运动，那么当球至最高点， 时，小球对棒的作用力为零； 时，小球对棒的压力为； 时，小球对棒的拉力为。
9、如图13所示，用绝缘细线拴住一带正电小球，在方向竖直向上的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动，则正确的说法是
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．小球可能做匀速圆周运动
D．小球不可能做匀速圆周运动
10、两颗人造地球卫星分别绕地球作匀速圆周运动，卫星质量，轨道半径，则它们的角速度之比∶ ，周期之比T1∶T2 = ，线速度之比 。
11、地球的质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离和距月心的距离之比为？
12、一颗在地球赤道上空绕地球运转的同步卫星，距地面高度为h，已知地球半径为R，自转周期为T，地面重力加速度为g，则这颗卫星的运转速度的大小是
A． B．
C． D．
【答案】：
1、平抛物体的飞行时间可以从下落高度或竖直分速度求出。本题可以用竖直分速度去解。竖直分速度。
正确选项是C。
2、思路同第一题，设经1秒时竖直分速度为。
正确选项是A。
3、设斜面竖直高度为h，物体水平射程为S。由平抛知识可知，。把h、S用L、表示。，联立解之得。
正确选项是A。
4、由于在同一高度平抛，在相等时间内下落高度相等，因此两质点在相等时间内位置在同一水平面上。两质点速度相垂直时如图14所示。设竖直下落速度为，由题意可知
，
即 ，
解之得，米。
两质点位移相垂直时如图15所示，设此时下落高度为h，由题意可知
，
，
，
解之得秒，S2 = 4.8米。
答案：2.4米、4.8米。
5、秒针转一圈用时60秒，分针转一周用时60分，根据，所以秒针角速度弧度/秒。。又因为。所以秒针针尖线速度：
米/秒
答案：0.1弧度/秒，60倍，1.0×10－3米/秒。
6、根据，而，∶4∶3，
∴
正确选项是C。
7、M和m受力如图16所示，由于m处于静止状态。当具有最大值时M有离开圆心趋势，f指向圆心弧度/秒。当具有最小值时M有向圆心运动的趋势，故f与T方向相反，，弧度/秒。
答：的范围是2.9弧度/秒≤≤6.5弧度/秒。
8、在最高点如果小球对棒作用力为零。小球作圆周运动向心力由重力充当
。
在最高点小球对棒压力为时，小球向心力为
，。
在最高点小球对棒拉力为时，小球向心力为
，。
这类题要注意杆与轻绳的区别：杆能拉能压而绳只能拉不能压。
答案：。
9、小球在竖直面内受重力mg和竖直向上电场力Eq，题目已知中又没有确定这两个力的大小关系。如果Eq与mg恰好相等，那么小球作圆周运动的向心力只能由绳的拉力提供，而拉力又不做功，所以小球可以做匀速圆周运动。
正确选项是C。
10、本题要熟练掌握匀速圆周运动在人造地球卫星上应用时的主要公式及变形方法。
，得出
；
；
。
答案：8∶1，1∶8，2∶1。
11、设物体质量为m，距地心、月心距离分别为和时满足题意要求
∶9∶1
答案：9∶1
12、要熟练掌握用h、R、T、g表示v的几个公式
①
②
③
③式即选项A。①与②式联立，消去GM即得就是选项B。把A、B选项联立消去（R+h）得出这就是选项C。
解这样的选择题除了公式及变形必须熟练之外更重要的还要注意比较题意中的要求，灵活进行参量的替代，才能比较便捷地得出结论。
正确选项A、B、C。
（四） 圆周运动习题综合练习
例1 如图1所示，已知绳长l=0.2米，水平杆长L=0.1米，小球m的质量 m=0.3千克，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30°角。
（1）试求该装置转动的角速度；
（2）此时绳的张力是多大？
分析和解
当整个装置以角速度转动时，小球m将做圆周运动，圆周运动的圆心在竖直轴上，且和m在同一平面上。小球m只受到两个力的作用，重力G =mg，及绳子的拉力T。而这两个力的合力即为小球所受到的向心力Fn。用正交分解法，和公式Fn=man 可得
由几何知识可得，，把已知数据代入得
解之得 = 5.37 弧度/秒 T= 3.46 牛
又解：此题中，m只受两个力的作用，所以用平行四边形法则解也很方便。
由上面的分析已知，物体受竖直向下的的重力。大小为mg受绳的拉力T作用。只知道它的方向与竖直方向夹角为，又因为小球m在水平面内做匀速圆周运动，所以受到水平向左（指向圆心）的合外力，即上述重力和拉力的合力水平向左。由这四个已知（mg 的大小、方向、T的方向及的方向）可得图2的平行四边形。
解这个平行四边形可得
说明
（1）既然牛顿第二定律是解圆周运动的重要依据，那么对做圆周运动的物体进行受力分析就是必不可少的了。因此我们在解圆周运动问题时几乎无一例外地要首先画草图对物体进行受力分析。
（2）在圆周运动中，向心力的方向往往为已知，而这个已知在受力分析中充当重要角色。在解法1中因为知道合外力（向心力）的方向，在正交分解法中才能列出方程。在解法2 中，因为知道合外力（向心力）方向，才能得到图2的平行四边行。
例2 如图3，一个单摆的摆长为L，摆球质量为m，在单摆运动的竖直平面内的F点有一颗钉子，钉子到O点的距离为L。OF和竖直方向的夹角=60○。现将摆球拉起到A点，以一定初速度释放。使其作曲线ABCD到达E点。如果小球m恰好通过最高点E，则它在B点和D点所受绳的拉力是多大？小球刚到C点，和刚通过C点时，绳的拉力分别是多大？
分析和解
摆球由A运动到E的过程中，只受到重力G和绳的拉力T的作用。而在这过程中拉力T始终没做功，所以在这个过程中机械能守恒。
摆球到达E点时受到两个力的作用：重力G和拉力T。两个力的方向都竖直向下，所以合外力，这里的mg的大小是不变的，而T可以在0 －∞之间根据需要而变化。所以。若摆球“恰好通过最高点E”表示拉力T是它的最小值：零，所以。
由牛顿第二定律得，恰好通过E点时，在E点有：
设摆球在B点时重力势能为零。由几何知识得
由于由A运动到E的过程中机械能守恒，所以有：
即:
把代入可以得：
再分别在B、C、D各点应用牛顿第二定律得：
B：
C：刚到时：
刚通过时：
D：
说明
（1）在B点，摆球所受合外力指向摆球轨道圆心，合外力就是向心力。而在C点和D点，摆球所受合外力就不指向轨道圆心了，这两点摆球所受向心力只是摆球所受合外力正交分解后指向圆心的分力
（2）由于向心加速度有公式再由牛顿第二定律得 ，或中 部分可看做物体动能的2倍，所以在解圆周运动问题时，常用机械能守恒定律或动能定理解出物体在各点的动能。从而给解题以必要的帮助。
例3 关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是：
A：它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B：它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度；
C：它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D：它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
分析和解
如果卫星的运行轨道是一个圆，由牛顿第二定律Fn=man得，从而推导出（式中v为卫星运行速度，r为轨道半径，G和M分别为万有引力恒量及地球质量）
由上式可以看出，卫星的运行速度跟卫星的轨道半径的平方根成反比。可见卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小，那么我们就产生了一个疑问，既然卫星轨道半径越大，它的运行速度越小，那么是不是发射离地球越远的卫星需要的发射速度越小呢？如果这个假设成立，还要三个宇宙速度有什么做用呢？
其实所谓第一宇宙速度，第二宇宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速度，它们表明发射不同人造天体所需的最小发射速度，但是一般来讲发射速度并不等于人造天体的运行速度。
我们以同步卫星的发射为例来说明发射速度和运行速度的区别：当大于7.9 Km/s而小于11.2 Km/s的发射速度(10.4 Km/s)发射卫星时，卫星将不再做圆周运动，而是在一个椭圆轨道上运动（如图4），当卫星运动到椭圆轨道的近地点A时，它的运行速度等于发射速度，当它从A点沿椭圆轨道运动到远地点B时，由于要克服万有引力做功，所以在B点的运行速度(1.58Km/s)要远小于发射速度，而且还小于在同步卫星的圆形轨道上运行时所需要的速度(3.08Km/s)。至此只完成了发射同步卫星的第一步，当卫星在某一次运动到远地点B时，再一次点燃火箭，使卫星的速度增大到同步卫星运行所需要的速度，卫星将绕圆形轨道（图4中大圆）运动，这样就使卫星成为同步卫星了。
可见，如果发射卫星的轨道是椭圆，且它的近地点在地球表面附近，则它在近地点时的运行速度才等于该卫星的发射速度，而卫星在其它位置的速度都小于发射速度，而在远地点时的速度最小。如果所发射的卫星在其它位置的速度都小于发射速度，而在远地点时的速度最小。如果所发射的卫星的椭圆轨道的半长轴有所减小，则它的发射速度也随着减小，而且它在近地点和远地点的速率之差也随着减小。当它的半长轴减小到使卫星轨道变成圆时，卫星的发射速度减小到最小值，——即第一宇宙速度，而卫星的线速度也将变成匀速率，它的发射速度就等于运行速度了，所以近地卫星的运行速度等于发射速度，而此时的发射速度等于第一宇宙速度。
当我们要发射远地圆轨道卫星时（例如同步卫星），必须以大于第一宇宙速度的发射速度发射，使其先在一个椭圆轨道上运行；然后再经一次加速使其在圆形轨道上运行，但它在圆形轨道上运行的速度要小于发射速度，而且还要小于第一宇宙速度。
通过以上分析我们已知发射远地圆形轨道卫星，尽管它的运行速度较小，但却需要比近地圆形轨道卫星更大的发射速度，那么再问一句，为什么会形成这种局面呢？原来我们发射圆形轨道卫星时，不但要提供它在运行时所需要的动能，还要提供把它升到一定高度的万有引力势力能，而这两种能量都是发射时的动能转化而来的。如果发射两颗质量相等卫星，远地卫星的动能虽然小，但它的动能和万有引力势能之和却要比近地卫星大些。因此，发射时的动能就要大些，当然就要以较大的速度发射。
解 ：通过以上分析我们可知如果卫星运行轨道是圆，随着轨道半径的增加卫星的飞行速度要有所减小。因此近地卫星的飞行速度最大，而近地卫星的飞行速度等于第一宇宙速度，所以第一宇宙速度应是圆形轨道道卫星飞行的最大速度。而不是最小速度。但是如果考虑到椭圆轨道卫星的话，那么飞行速度就有可能有时大于第一宇宙速度，有时小于第一宇宙速度。因此无论是否考虑椭圆轨道卫星，A选项都是错的。
通过上面的分析很容易得出结论：B选项是正确的。
粗看C也是正确的，但实际C选项是错误的。因为近地圆轨道卫星指的是轨道半径等于（当然应略大于）地球半径的卫星，所以它的发射速度应当只有一个，就是第一宇宙速度，而不是有很多发射速度，只要大于或等于第一宇宙速度就行。
通过上面的分析已知卫星做椭圆轨道运动时，其近地点速度是必定大于第一宇宙速度的，因此D选项是错误的。
所以本题应选B。
例4 y轴右方有方向垂直于纸面的匀强磁场。一个质子以速度v水平向右通过x轴上的p点，最后从y轴的M点射出磁场。已知M点到原点O的距离为H，质子射出磁场时速度方向与y轴负方向夹角=30○，质子的电量为q，质量m，求：
（1）磁场磁感应强度的大小和方向；
（2）适当的时候，在y轴右方再加一个匀强电场，就可以使质子最终能沿y轴正方向作奖速直线运动。从质子经过P点开始计时，再经过多长时间加这个匀强电场？电场强度多大？方向如何？
分析和解
带电粒子在磁场中垂直于磁场方向运动时，在磁场力作用下，做匀速圆周运动，所以质子的运动轨迹就是一个圆，（或一段圆弧）而质子在P、M两点的速度方向应与这个圆相切，所以过P、M两点做这两点速度方向的垂线，这两条垂线的交点O必为运动轨迹圆的圆心。有了圆心和圆上两点P、M，根据平面几何知识就可以得到圆弧和圆的半径r（如图6）
过d点做y轴垂线OA则
我们知道，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，轨迹半径
再由左手定则可以判断B的方向应垂直于纸面向里。
下面讨论第二问
我们知道当质子运动到图中B点时，其速度方向沿y轴正方向。当从这一时刻开始加一电场，使电场力F电 和洛伦磁力f平衡，则可使质子从此后沿y轴正方向做匀速直线运动。
质子从P点运动B点转过了个圆周。所以若从P点开始计时,到达B点，经过的时间。我们知道带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,。
又 在B点时（包括这以后时间内）平衡，
因为质子为正电荷，所以F电方向与电场E方向相同 ，所以电场方向向右。
几点说明
（1）前面提到解圆周运动题要从牛顿第二定律入手，但本例题中，没有提到牛顿第二定律，这里好像有点矛盾，其实不然，我们在学习带电粒子在磁场中运动这部分内容时提出了轨道半径和周期公式，这两个公式很重要，当然应当记住，但是，它们是牛顿第二定律的的推导公式，而且推导过程极为简单，所以我们不但要记住这两个公式，还要记住它们的推导过程：因为，而带电粒子在磁场中做圆周运动时，向心力是由带电粒子所受的洛伦兹力提供的。即再把公式代入可得 ，，把半径公式代入即可得由上述推导过程，可见，我们在应用半径公式和周期公式解题时，已间接地应用了牛顿第二定律。
（2）既然带电粒子在磁场中是做圆周运动，那么找到圆心和半径就显得比较重要。这一点在本例题中表现突出。只有找到圆心，才能通过几何知识解出半径r，从而解出t来。
（３）在解t时，我们先用周期公式解出Ｔ，然后根据t 跟T的关系解出t，这种解题思路在解周期性运动（匀速圆周运动、单摆、交流电、电磁振荡）习题时经常采用。
【练习题】：
（1）如图７所示，三个物体Ａ、Ｂ、Ｃ放在旋转圆台上，磨擦因数均为，A的质量为2m，B和C的质量均为m ，A、B离轴为R，C离轴为2R，则当圆台旋转时 ，若A、B、C均没有滑动，则
A：C的向心加速度最大；
B：B物体的摩擦力最小；
C：若圆台转速逐渐增大时，C比B先滑动；
D：若圆台转速逐渐增大时，B比A先滑动；
（2）图8所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为 ，杆以O点为支点绕竖直轴旋转，质量为m的小球套在杆上可自由滑动，当杆旋转角度度W1时，小球可在A处的水平面内旋转，当杆旋转角速度为W2时，小球可在B处的水平面内旋转，设环对杆的压力分别为N1和N2，则
A： B：
C： D：
（3）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周其为T，若要使卫星的周期变为2T，可能的办法是：
A：r不变，使线速度变为 B：v不变，使轨道半径变为2r
C：轨道半径变为 D：无法实现
（4）如图9所示，A、B为两个水平放置的平行金属板。它们处在垂直纸面向里的匀强磁场中，金属棒ab以速度v1沿金属板边沿匀速平移，与此同时有一带电液滴以速度v2飞入匀强磁场，发现液滴恰能做圆周运动。则液滴做圆周运动的半径为
A． B．
C． D．
（5），一只碗水平放置，其放一小球，开始小球相对于碗静止于碗底，如图10所示，则下列哪些情况能使碗对小球的支持力大于小球的重力：
A：碗竖直向上加速运动；
B：碗竖直向下加速运动
C：碗由匀速向左运动突然变成减速运动的瞬间
D：碗由匀速向左运动突然变为静止的瞬间
（6）已知地球的半径约为米，又知月球绕地球运动可以近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为 米。（结果保留一位有效数字）
（7）如图11所示，一带电小球用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，摆角最大时为60，水平磁场垂直于小球摆动平面，磁感应强度为B，当小球从左边摆到最低点A时，悬线的张力恰为零，则小球自右方摆到最低点A时悬线的张力为 。（设摆线长为L，小球所带电量为q）
（8）在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电的细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点（如图12），把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速度释放，已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为。求小球经过最低点时细线对小球的拉力。
【练习题答案】：
（1） A B C (2) B （3）C
（4）A (5) A D
练习题提示：
（4）提示1：金属板A、B间有磁场同时有电场。
再提示：任何电荷受到重力，电场力和洛伦兹力的共同作用，若能做圆周运动则合外力只能是洛伦兹力 ,∴电场力跟重力必定平衡，且该运动为匀速圆周运动。
（6）提示：此题中要用到一些常数作为已知，而且有的常数不是物理常数，再提示：做为已知的常数为重力加速度和月亮公转周期T=27天。
（9）提示：在A、B两点间和A、C两点间分别用动能定理列方程。
练习题分析和解答：
（1）当A、B、C相对圆台不滑动时，它们做圆周运动的角速度是相同的，
所以，它们的向心加速度最大，。
∴D不正确
（2）当杆以任意角速度w 转动时，小球的受力情况如图13所示，由数学知识可得N跟F的夹角为，所以N=mg/sin，∵m不变，∴ N不变，∴ B正确。
（3）物体做圆周运动时有，若r 不变，v减小为原来的，周期T可变为原来的一半，看来好像A正确，但A是错误的，原因是卫星绕地球做圆周运动时，是靠万有引力来充当向心力的,所以,，式中G、M为常数，∴，当v减小到原来时，卫星轨道半径r要增大到原来的4倍，我们根本做不到使速度减小到原来的，而使r不变。同理，B也是错误的。由牛顿第二定律
C是正确的。
（4）当ab以v1运动时，A、B两板间有电压，，两板间形成电场。∴液滴在A、B间运动时受到电场力洛伦兹力和重力的作用。带电液滴在这三个力的作用下若做圆周运动，则必然是重力跟电场力平衡，所受合外力为洛伦兹力，圆周运动也为匀速圆周运动,则必重罚跟电场力平衡，所受合外力为洛伦力，圆周运动也为匀速圆周运动。则必须是重力跟电场力平衡，所受合外力为洛伦兹力，圆周运动也为匀速圆周运动。（关于这个结论的证明较麻烦，本答案后有证明，如果看不懂这个证明，可假定圆运动为匀速圆周运动就已为已知条件）
∴B正确
附：若带电体在匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动则电场力跟重力必定平衡。
证明 假定G跟F电不平衡且它们的合外力为F，（向下）再假定带电体能做圆周运动，圆半径为r，则它在A、B、C、D各点受力情况如图14，由于在运动过程中洛伦 兹力不做功，
∴根据动能定理应有：
又由牛顿第二定律得：
- 得
- 得
由得
/得
显然：如果F0 则，而上述推理又说明，必有F=0。
（5）A、B、C、D四个选项所设置的四种情况下，小球均处在碗底，所以都是只受到重力G及支持力N的作用（如图15）。当碗竖直向上加速运动时，小球也有向上加速度。所以，小球所受合外力向上，∴A正确。
同理，当碗向下加速运动时，小球所受合外力向下，所以N 当碗匀速向左运动时，小球和碗有相同的速度v0，当碗刚一做减速运动的瞬间，虽然碗有加速度，但在此瞬间速度仍为v0，而小球由于惯性速度也是v0，它们对此一瞬间没有相对运动，∴小球的速度v的大小和方向都没有变化。此瞬间N=G，C不正确。
当碗由匀速运动突然变为静止时，小球由于惯性还要继续向前运动，所以小球和碗之间要产生相对运动，又由于碗的限制，小球将做曲线运动，所以要有向上的向心加速度，所以合外力向上N > G，∴ D正确。
（6）由牛顿第二定律得
又在地球表面可近似看做
代入上式得
米
（7）在摆动过程中，小球受到重力mg ，洛伦兹力f和拉力T的作用，而f、T均未做功，∴在摆动过程中机械能守恒。∴两次摆到最低点时v相同，又左方摆到最低点时T=0， 必向上且，由右方摆到最低点时，f 向下，
∴有
由机械能守恒得（在A、B两点间）：
（8）设电场水平向右，小球带正电。在A、B两点间应用动能定理。
再在A、C间应用动能定理


在最低点C时，小球受力情况如图19，在竖直方向上应用牛顿第二定律得