2007年高三物理第一轮复习讲学稿《机械能》[上学期]
文档属性
| 名称 | 2007年高三物理第一轮复习讲学稿《机械能》[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 345.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2006-10-19 17:34:00 | ||
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文档简介
2006/2007学年度南京市六合实验中学高三物理第一轮复习讲学稿——第六章 机械能
第一单元 功·功率
●知识梳理
一、功
1.物体 ，并且在 发生 ，就叫做力对物体做了功.
和 是做功的两个不可缺少的因素.
2.计算功的一般公式：W＝ 。
其中F在位移s上应是恒力，α是F与位移s的夹角或 的夹角.
若α＝ ，则F不做功；若 ，则F做正功；若 ，则力F做负功或说物体 .
3.功是标量
功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，前者取正，后者取负.
当物体同时受到几个力作用时，计算合外力的功有两种方法：
一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W＝F合scosα计算功.注意α应是合外力与位移s间的夹角.
二是先分别求各个外力的功：
W1＝F1scosα1，W2＝F2scosα2，……再把各个外力的功代数相加.
二、功率
1.功率是表示物体 的物理量.功跟 的比叫做功率.
2.公式：①P＝ .这是物体在t时间内的 功率.
②P＝Fvcosα.若v是瞬时速度，P则是瞬时功率；若v是平均速度，P则是平均功率.α是F与v方向间的夹角.
3.发动机铭牌上的额定功率，指的是该机正常工作时的最大输出功率.并不是任何时候发动机的功率都等于额定功率.实际输出功率可在零和额定值之间取值.
发动机的功率即是牵引力的功率，P＝Fv.在功率一定的条件下，发动机产生的力F跟运动速度成反比.
●疑难突破
1.功的正、负的含义.
功是标量，所以功的正、负不表示方向.功的正、负也不表示功的大小，比较功的大小时，要看功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少.功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功，还是物体克服这个力做了功.从动能定理的角度理解，力对物体做正功，物体的动能增加，力对物体做负功，物体的动能减少，即功的正、负与物体动能的增、减相对应.
特别提示
物理中的正负号有非常丰富的含义，例如，有的正负号表示两种相反的性质；有的正负号表示两种相反的方向；有的正负号表示两种相反的效果；有的正负号表示大小，等等.同学们要理解正负号的含义，并能正确使用正负号.
2.功和冲量的比较.
（1）功和冲量都是表示力的累积效果的过程量，但功是表示力的效果在一段位移上的累积效应，而冲量则是表示力的效果在一段时间内的累积效应.
（2）功是标量，其正、负号表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功.冲量是矢量，其正、负号表示方向.
（3）做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定.冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定.力作用在物体上一段时间，力的冲量一定不为零，但力对物体做的功可能为零.
（4）一对作用力、反作用力的冲量一定大小相等，方向相反；但一对作用力、反作用力做的功却没有确定的关系.相互作用的两个物体可能都静止，也可能同方向运动，还可能反方向运动，甚至是一个运动另一个静止.正是由于相互作用的两物体的位移关系不确定，使得一对作用力、反作用力做的功没有确定关系.可能都不做功，可能一个力做正功另一个力做负功，也可能两个力都做正功或都做负功，还可能一个力做功而另一个力不做功.
3.有些情况直接由力和位移来判断力是否做功会有困难，此时也可以从能量转化的角度来进行判断.
图6－1－1
若有能量的转化，则必定有力做功.此法常用于两个相联系的物体.如图6－1－1，斜面体a放在光滑水平面上，斜面光滑，使物体b自斜面的顶端由静止滑下.若直接由功的定义式判定a、b间弹力做功的情况就比较麻烦.从能量转化的角度看，当b沿斜面由静止滑下时，a即由静止开始向右运动，即a的动能增加了，因而b对a的弹力做了正功.由于a和b组成的系统机械能守恒，a的机械能增加，b的机械能一定减少，因而a对b的支持力对b一定做了负功.
4.变力功的计算.
一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与始末位置有关，这类力对物体做正功，物体势能减少；物体克服这类力做功，物体的势能增加.因此，可以根据势能的变化求对应变力做的功.
另一类如滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积.另外，有些变力的功还可以用动能定理或能的转化守恒定律来求.
●典例剖析
【例1】 人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的物体，如图6－1－2所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s=2 m而到达B点时绳与水平方向成30°角.求人对绳的拉力做了多少功
图6－1－2
剖析：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s又是人沿水平方向走的距离，所以无法利用W＝Fscosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力.这种转换研究对象的办法也是求变力功的一个有效途径.
设滑轮距地面的高度为h，则：
h（cot30°－cot60°）=sAB ①
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh=－ ②
人对绳子做的功为W＝Fs＝GΔh ③
代入数据可得：W≈732 J.
深化拓展
（1）重物匀速上升的过程中，人对地面的压力如何变 摩擦力大小如何变
（2）重物匀速上升时，人的运动是匀速吗 若人由A以速度v匀速运动到B，人对绳做的功还是732 J吗
答案：（1）压力逐渐增大，摩擦力逐渐增大 （2）重物匀速上升时，人的速度为v′=，随着α减小，人的速度逐渐减小．若人从A到B匀速运动，则物体加速上升，人对绳做的功大于732 J.
说明：可以利用等效法改变研究对象求变力的功.
【例2】 如图6－1－3所示，一台沿水平方向放置的皮带传输机，皮带在电动机的带动下以v=2.4 m/s的恒定速率运动.今在皮带左端轻轻地放上质量为m=2.5 kg的工件，经时间t=1.2 s将工件传送到右端，传送距离为s =2.4 m.求工件与传送带之间的动摩擦因数和电动机因传送工件所做的功.
图6－1－3
剖析：根据题意可知，皮带以恒定速率运动，工件在摩擦力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，当两者达到共同速度时，摩擦力立即消失，两者相对静止，其v－t图象如图6－1－4所示：
图6－1－4
四边形ODCB的面积表示工件的总位移，
即s=vt+v（1.2－t）代入数值得：t=0.4 s
v=at
代入数值得：a=6 m/s2
由f=μmg=ma得：μ== =0.6
对传送带而言，在0~t时间内受到摩擦力作用，其位移大小等于四边形OtBA的面积s=vt，电动机对工件做的功为：
W= f·s=μmg·vt=0.6×2.5×10×2.4×0.4 J=14.4 J.
深化拓展
（1）滑动摩擦力是否一定做负功 静摩擦力是否一定不做功
（2）作用力和反作用力大小相等、方向相反，它们做的功是否也大小相等，一正一负 试举例说明有哪些可能情况．
答案：（1）滑动摩擦力一定与相对运动方向相反，但不一定与运动方向相反，所以，滑动摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．产生静摩擦力的两物体保持相对静止，但不一定都处于静止状态，所以，静摩擦力可能对物体做功.
（2）作用力、反作用力由于分别作用于两个不同物体，它们的位移没有确定关系，所以，它们所做的功也就没有确定关系.
【例3】 某同学在跳绳比赛中，1 min跳了120次，若每次起跳中有4/5时间腾空，该同学体重为50 kg，则他在跳绳中克服重力做功的平均功率是________W.若他在跳绳的1 min内，心脏跳动了60次，每次心跳输送1×10－4 m3的血液，其血压（可看作心脏血液压强的平均值）为2×104 Pa，则心脏工作的平均功率是________W.
剖析：跳一次时间是t0＝ s＝ s
人跳离地面做竖直上抛，人上抛到最高点的时间t＝×× s＝ s
此过程中克服重力做功W＝mg（gt2）＝100 J
跳绳时克服重力做功的平均功率 =＝200 W
把每一次输送的血液简化成一个柱体模型，设柱体的截面积为S，输送位移为该柱体的边长L，输送的血液体积为ΔV，则＝W/Δt
设血压为p，则压力对血液做的功为W=F·L=pS·L=p·ΔV
则心脏工作的平均功率是
=p·ΔV/Δt＝ W＝2 W.
深化拓展
质量m=5.0 kg的物体，以10 m/s的速度水平抛出．求抛出后第1 s内重力做功的平均功率和抛出后第1 s末重力的瞬时功率.
解答：根据功率的概念，重力的功率等于重力与重力方向上速度的乘积，水平方向分速度的大小与功率无关．P=Fv中的速度v是物体竖直方向的平均速度时，所对应的P则是平均功率；当v是瞬时速度时，所对应的P则是瞬时功率．物体平抛后在竖直方向上做的是自由落体运动，所以第1 s内竖直方向的平均速度为：
=vt= gt=×10×1 m/s=5 m/s
所以第1 s内物体所受重力的平均功率为：
=mg=5.0×10×5 W=250 W
物体第1 s末竖直方向的瞬时速度为：
v=gt=10×1 m/s=10 m/s
所以第1 s末重力的瞬时功率为：
P=mgv=5.0×10×10 W=500 W.
说明：在计算平均功率时首选公式应是P=，其实P=和P=Fv都可以计算平均功率，也都可以计算瞬时功率.匀速行驶的汽车，用P=算出的牵引力的功率，既是t时间的平均功率，也是任一时刻的瞬时功率.在计算瞬时功率时的首选公式应是P=Fv，从本题求解也可看出，对于恒力做功的功率，P=Fv在计算平均功率和瞬时功率时也是等效的.
【例4】 汽车发动机的额定牵引功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍.试问：
（1）汽车保持以额定功率从静止启动后能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
剖析：（1）汽车受力如图6－1－5所示，汽车一开始就保持额定功率，那么它运动中的各个量（牵引力、加速度、速度）是怎样变化的呢？下面是这个动态过程的简单方框图.
图6－1－5
所以汽车达到最大速度时，a=0，此时，vm=P/μmg=6.0×104/（0.1×5×103×10） m/s=12 m/s.
（2）汽车以恒定加速度启动后的各个量（牵引功率、牵引力、加速度、速度）的变化如下（方框图所示）：
所以v在达到最大值之前已经历了两个过程：匀加速、变加速.
匀加速运动的加速度a=（F－μmg）/m
所以F=m（a+μg）=5×103×（0.5+0.1×10）N=7.5×103 N
设保持匀加速的时间为t，匀加速能达到的最大速度为v1，则：v1=at
汽车速度达到v1时：P=F·v1
t=P/Fa=6.0×104/（7.5×103×0.5） s=16 s.
说明：通过过程分析，弄清两种加速过程各物理量的变化特点，抓住物体从一种运动状态到另一种运动状态转折点的条件是解答本题的关键.
拓展题例
【例5】 飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中（如下图），飞行员受重力的瞬时功率的变化情况是
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析：根据P＝Gvcosθ（θ是杆与水平方向夹角），θ＝0时v＝0，P＝0；θ＝90°，cosθ＝0，P＝0，其他情况P＞0. 答案：C
【例6】 一质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，m与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为
A.μmgLcosθ B.mgLcos2θ C.mgLcosθsinθ D.μmgLcosθsinθ
解析：如下图所示，由平衡条件得物体所受静摩擦力F＝mgsinθ
摩擦力对物体做的功W＝Fscosθ＝mgsinθLcosθ＝mgLsinθcosθ.
答案：C
第二单元 动能定理·机械能守恒定律
●知识梳理
一、动能
1.物体由于 而具有的能量叫做动能.Ek＝ 。
2.动能是一个描述物体运动的 量.是 量.
二、动能定理
1.外力对物体 等于物体 .这个结论叫动能定理.
表达式： 或 。.
2.动能定理可以应用于单个物体，也可以应用于几个物体组成的系统.外力对物体做的总功即合外力对物体所做的功，亦即各个外力对物体所做功的代数和.这里，我们所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他的力.物体动能的变化指的是物体的末动能和初动能之差.
3.应用动能定理解题的基本步骤：
（1）选取研究对象，明确它的运动过程.
（2）分析研究对象的受力情况（对几个物体组成的系统应用动能定理时，还要分析内力做功情况），和各个力做功情况：受哪些力 每个力是否做功 做正功还是做负功 做多少功 然后求各个外力做功的代数和.
（3）明确物体在过程的始末状态的动能E和E.
（4）列出动能定理的方程W合＝E－E，及其他必要的解题方程，进行求解.
4.恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的，用动能定理求解一般比用牛顿定律和运动学公式简便.用动能定理还能解决一些用牛顿定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动问题等.
三、势能
1.由物体间的 和物体间的 决定的能量叫做势能.如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等.
2.重力势能
（1）物体 而具有重力势能.一个质量为m的物体，被举高到高度为h处，具有的重力势能为：Ep＝ 。
（2）重力势能是相对的，重力势能表达式中的h是物体的 到参考平面（零重力势能面）的高度.若物体在参考平面以上，则重力势能为 ；若物体在参考平面以下，则重力势能为 .通常选择地面作为零重力势能面.
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量.重力势能的变化量与零重力势能面的选取无关.
（3）重力势能的变化与重力做功的关系：
重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少.重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少.即WG＝ .
3.弹性势能：物体因 而具有的势能叫做弹性势能.
四、机械能守恒定律
1. 统称为机械能：E＝ .
2.在只有 做功的情形下，物体 相互转化，但 保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律.
3.判断机械能守恒的方法一般有两种：
（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体的机械能守恒.
（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能产生），则系统的机械能守恒.
4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤：
（1）根据题意，选取研究对象（物体或系统）.
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件.
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机械能（包括动能和重力势能）.
（4）根据机械能守恒定律列方程，进行求解.
●疑难突破
1.动能和动量的区别和联系
（1）联系：动能和动量都是描述物体运动状态的物理量，都由物体的质量和瞬时速度决定，物体的动能和动量的关系为p=或Ek=.
（2）区别：①动能是标量，动量是矢量.所以动能变化只是大小变化，而动量变化却有三种情况：大小变化、方向变化、大小和方向均变化.一个物体动能变化时动量一定变化，而动量变化时动能不一定变化；②跟速度的关系不同：Ek=mv2，p=mv；③变化的量度不同，动能变化的量度是合外力的功，动量变化的量度是合外力的冲量.
2.用动能定理求变力做的功：在某些问题中由于力F大小的变化或方向变化，所以不能直接由W＝Fscosα求出变力F做功的值，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F所做的功.
3.在用动能定理解题时，如果物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的分过程（如加速、减速的过程），此时，可以分段考虑，也可对全程考虑.如能对整个过程列式则可能使问题简化.在把各个力的功代入公式：W1＋W2＋…＋Wn＝mv末2－mv初2时，要把它们的数值连同符号代入，解题时要分清各过程中各个力做功的情况.
4.机械能守恒定律的推论
根据机械能守恒定律，当重力以外的力不做功，物体（或系统）的机械能守恒.显然，当重力以外的力做功不为零时，物体（或系统）的机械能要发生改变.重力以外的力做正功，物体（或系统）的机械能增加，重力以外的力做负功，物体（或系统）的机械能减少，且重力以外的力做多少功，物体（或系统）的机械能就改变多少.即重力以外的力做功的过程，就是机械能和其他形式的能相互转化的过程，在这一过程中，重力以外的力做的功是机械能改变的量度，即WG外=E2－E1.
5.功能关系的总结
做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度.在本章中，功和能的关系有以下几种具体体现：
（1）动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功是物体动能变化的量度，即W总=E－E.
（2）重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即WG=E－E.
（3）重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能转化的过程，重力以外的力做的功量度了机械能的变化，即WG外=E2－E1.
（4）作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在数值上等于系统内能的增量.即“摩擦生热”：Q＝F滑·s相对，所以，F滑·s相对量度了机械能转化为内能的多少.
可见，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生.
●典例剖析
【例1】 质量m=5.0 kg的物体静止于水平面内，现给物体施加一水平恒力F＝20 N，使物体由静止开始运动10 m后撤去F，物体在水平面上继续滑行了15 m后停止.求物体运动过程中所受的摩擦阻力.
解析：对物体运动全过程运用动能定理得：Fs1－F0（s1＋s2）＝0，求得F0＝8 N.
答案：8 N
【例2】 在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v—t图象如图所示.设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则
①F∶Ff=1∶3 ②F∶Ff=4∶1 ③W1∶W2＝1∶1 ④W1∶W2＝1∶3
以上结论正确的是
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析：设汽车匀加速运动的位移为s1，总位移为s，对全过程由动能定理得：W1－W2＝0，或Fs1－Ff s＝0，所以=，=，
由于s＝ t，s1＝t′，所以==，即=.
答案：B
【例3】 如下图所示ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一段圆弧，其长度可以略去不计.一质量为m的小滑块在A点从静止滑下，最后停在D点.现用一沿着轨道方向的拉力拉滑块，使它缓缓地由D点回到A点，则拉力对滑块做的功等于多少（设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ）
A.mgh B.2mgh
C.μmg（s＋） D.μmgs＋μmghcotθ
解析：滑块由始状态A从静止滑到末状态D的过程中，重力做正功WG＝mgh；摩擦阻力做功为－Wf；支持力不做功由动能定理：mgh－Wf＝0
得Wf＝mgh
由D返回到A，拉力做功为WF；摩擦阻力做功仍为－Wf；重力做功为WG＝－mgh
由动能定理：WF－Wf－mgh＝0得WF＝Wf＋mgh＝2mgh
本题正确选项是B.
【例4】 如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速运动.在这一过程中，摩擦力对物体做的功为
A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D.μmgR/2
解析：当物块随转台匀速运动时，μmg＝m知，mv2＝μmgR.由动能定理知：摩擦力Ff的功Wf＝mv2－0＝μmgR.
答案：D
【例5】 质量为500 t的机车以恒定的功率由静止出发，经5 min行驶2.25 km，速度达到最大值54 km/h.设阻力恒定且取g=10 m/s2，问：（1）机车的功率P是多大？（2）机车的速度为36 km/h时机车的加速度a是多大？
剖析：因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动.虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做的功，由动能定理结合P=Ff·vm，可求出机车的功率.利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根据F=，求出36 km/h 时的牵引力，再根据牛顿第二定律求出机车的加速度a.
（1）以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据W=ΔEk，有
P·t－Ff·s=mvm2 ①
当机车达到最大速度时，F=Ff，所以
P=F·vm=Ff·vm ②
联立①②两式有P==3.75×105 W.
（2）由Ff=可求出机车受到的阻力Ff==2.5×104 N
当机车速度v=36 km/h时机车的牵引力F== N=3.75×104 N
根据F合=ma可得机车v=36 km/h时的加速度
a==m/s2=2.5×10－2 m/s2.
深化拓展
一辆汽车在恒定功率牵引下，在平直公路上由静止出发，在4 min的时间内行驶1 800 m，在4 min正末汽车的速度为
A.等于7.5 m/s B.一定小于15 m/s C.可能等于15 m/s D.可能大于15 m/s
答案：B
说明：机车以恒定功率启动，直到最大速度，属于变力做功的问题.由于阻力恒定，所以机车在任一时刻运动的加速度a=－，由于速度增大导致加速度减小，汽车做加速度逐渐减小而速度逐渐变大的变加速运动.此类问题应用牛顿第二定律求解，在中学物理范围内是无法求解的.但应用动能定理求解变力做功，进而求解相关物理量是一种简捷优化的解题思路与方法.
【例6】 （2004年上海，21）滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图6－2－1所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变，求：
图6－2－1
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.
剖析：（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为θ，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功W=μmgcosθ·s+μmg（L－scosθ）=μmgL
由动能定理mg（H－h）－μmgL=mv2离开B点时的速度v=.
（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上=gt12 s1=vt1＜ h
可解得s1=此时必须满足H－μL＜2h
当H－μL＞2h时，滑雪者直接落到地面上h=gt22 s2=vt2 可解得s2=2.
说明：用动能定理求解的优点是：解题时只关心过程中合外力的功及初、末状态物体的动能，不必研究运动过程的细节.
【例7】 一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由落下到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球落在弹簧上静止于某一点A处.则
A.h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.小球第一次到达A点时的速度与h无关
D.h愈小，小球第一次到达A点时的速度愈大
解析：小球静止在A点时，小球受重力和弹簧对它的支持力，且mg＝kx，故B对.
答案：B
【例8】 （2004年江苏，15）如图6－2－3所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小.
图6－2－3
（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M.设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.
（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态
剖析：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大.设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得
Mgh=2mg［］解得h=R.（另解h=0舍去）
（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为：a.两小环同时位于大圆环的底端；b.两小环同时位于大圆环的顶端；c.两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端； d.除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称.设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图6－2－4所示）.
图6－2－4
对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg
对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力FN.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反
Tsinα=Tsinα′得α=α′，而α+α=90°，所以α=45°.
说明：利用机械能守恒定律解题时，经常会遇到相关联的多个物体的情况，这时对研究对象的选取一定要慎重.
深化拓展
如图6－2－5所示，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B.A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高度为h=0.2 m.开始让连A的细线与水平杆夹角θ=53°，由静止释放，在以后的过程中A所能获得的最大速度为________.（cos53°=0.6，sin53°=0.8）
图6－2－5
解析：A速度最大，B速度恰好为0，由机械能守恒：mg（h/sinθ－h）＝mvm2，得vm＝1 m/s.
【例9】 如下图所示，轻杆两端各系一质量为m的小球A、B，轻杆可绕过O的光滑水平轴在竖直面内转动.A球到O的距离为L1，B球到O的距离为L2，且L1＞L2，轻杆水平时无初速释放小球.不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度大小.
答案：设杆竖直时A、B两球速度分别为vA和vB，A、B系统机械能守恒：0＝mgL2＋mvB2－mgL1＋mvA2，又vA＝ωL1，vB＝ωL2，得ω＝.
【例10】 如图6－2－2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质滑轮，开始时底端相齐.当略有拉动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间速度多大
图6－2－2
剖析：铁链在运动过程中只有重力做功，机械能守恒.若设铁链单位长度的质量为ρ，且选滑轮最高点所在水平面为参考平面，则初态机械能
E1＝－2·ρ g·=－ρgL2末态机械能为E2＝－ρLｇ·+ ρLv2
由机械能守恒定律得：E1＝E2即－ρgL2=－ρgL2+ρLv2所以v＝.
深化拓展
一条长为l、质量为m的匀质轻绳平放在水平地面上，在缓慢提起全绳的过程中，设提起前半段绳人做的功为W1，在把后半段绳提起的过程中人做的功为W2.则W1∶W2等于
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
答案：C
说明：（1）对绳索、链条之类的物体，由于常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的.能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键.一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能.至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末态重力势能便于表示为宜.
（2）此题也可运用等效方法求解：铁链要脱离滑轮时重力势能的减少等效于将图6－2－2中的一半铁链移至另一半铁链的下端时重力势能的减少.然后由ΔEp＝ΔEk列方程解.用ΔEp＝ΔEk列方程的优点是：不需选取参考平面且便于分析计算，在今后解题中可以大胆使用.
拓展题例
【例11】 随着人类能量消耗的迅速增加，如何有效地提高能量利用率是人类所面临的一项重要任务.下图是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度.请你从提高能量利用效率的角度，分析这种设计的优点.
答案：列车进站时，利用上坡使部分动能转化为重力势能，减少因为刹车而损耗的机械能；列车出站时利用下坡把储存的重力势能又转化为动能，起到节能作用.
【例12】 质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h，不计空气阻力.则说法正确的是
①物体的重力势能减少2 mgh ②物体的机械能保持不变 ③物体的动能增加2 mgh ④物体的机械能增加mgh
A.①② B.③④ C.①③ D.只有④
解析：物体所受合外力为2mg，则由动能定理知ΔEk=2mgh，③对.除重力外，物体还受到F=mg的外力，它做的功为mgh，故物体的机械能增加了mgh，④对，故选B.
答案：B
【例13】 如图所示，AB与CD为两个对称的斜面，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径为2.0 m.一个物体在离弧底E高度为h=3.0 m处，以初速度4.0 m/s 沿斜面运动，若物体与斜面的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g取10 m/s2）
解析：物体在斜面上运动时，由于克服摩擦力做功，使它的机械能不断减少，直到物体不能滑上斜面为止，最终状态为物体沿圆弧在B、C间往复运动.设它在斜面上通过的总路程为s，由动能定理得mg（h－R）－μmgscos60°=0－mv02解得s=280 m.
答案：280 m
【例14】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？
解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当Mv
m
M
第六章 第15页
第一单元 功·功率
●知识梳理
一、功
1.物体 ，并且在 发生 ，就叫做力对物体做了功.
和 是做功的两个不可缺少的因素.
2.计算功的一般公式：W＝ 。
其中F在位移s上应是恒力，α是F与位移s的夹角或 的夹角.
若α＝ ，则F不做功；若 ，则F做正功；若 ，则力F做负功或说物体 .
3.功是标量
功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，前者取正，后者取负.
当物体同时受到几个力作用时，计算合外力的功有两种方法：
一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W＝F合scosα计算功.注意α应是合外力与位移s间的夹角.
二是先分别求各个外力的功：
W1＝F1scosα1，W2＝F2scosα2，……再把各个外力的功代数相加.
二、功率
1.功率是表示物体 的物理量.功跟 的比叫做功率.
2.公式：①P＝ .这是物体在t时间内的 功率.
②P＝Fvcosα.若v是瞬时速度，P则是瞬时功率；若v是平均速度，P则是平均功率.α是F与v方向间的夹角.
3.发动机铭牌上的额定功率，指的是该机正常工作时的最大输出功率.并不是任何时候发动机的功率都等于额定功率.实际输出功率可在零和额定值之间取值.
发动机的功率即是牵引力的功率，P＝Fv.在功率一定的条件下，发动机产生的力F跟运动速度成反比.
●疑难突破
1.功的正、负的含义.
功是标量，所以功的正、负不表示方向.功的正、负也不表示功的大小，比较功的大小时，要看功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少.功的正、负表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功，还是物体克服这个力做了功.从动能定理的角度理解，力对物体做正功，物体的动能增加，力对物体做负功，物体的动能减少，即功的正、负与物体动能的增、减相对应.
特别提示
物理中的正负号有非常丰富的含义，例如，有的正负号表示两种相反的性质；有的正负号表示两种相反的方向；有的正负号表示两种相反的效果；有的正负号表示大小，等等.同学们要理解正负号的含义，并能正确使用正负号.
2.功和冲量的比较.
（1）功和冲量都是表示力的累积效果的过程量，但功是表示力的效果在一段位移上的累积效应，而冲量则是表示力的效果在一段时间内的累积效应.
（2）功是标量，其正、负号表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功.冲量是矢量，其正、负号表示方向.
（3）做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定.冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定.力作用在物体上一段时间，力的冲量一定不为零，但力对物体做的功可能为零.
（4）一对作用力、反作用力的冲量一定大小相等，方向相反；但一对作用力、反作用力做的功却没有确定的关系.相互作用的两个物体可能都静止，也可能同方向运动，还可能反方向运动，甚至是一个运动另一个静止.正是由于相互作用的两物体的位移关系不确定，使得一对作用力、反作用力做的功没有确定关系.可能都不做功，可能一个力做正功另一个力做负功，也可能两个力都做正功或都做负功，还可能一个力做功而另一个力不做功.
3.有些情况直接由力和位移来判断力是否做功会有困难，此时也可以从能量转化的角度来进行判断.
图6－1－1
若有能量的转化，则必定有力做功.此法常用于两个相联系的物体.如图6－1－1，斜面体a放在光滑水平面上，斜面光滑，使物体b自斜面的顶端由静止滑下.若直接由功的定义式判定a、b间弹力做功的情况就比较麻烦.从能量转化的角度看，当b沿斜面由静止滑下时，a即由静止开始向右运动，即a的动能增加了，因而b对a的弹力做了正功.由于a和b组成的系统机械能守恒，a的机械能增加，b的机械能一定减少，因而a对b的支持力对b一定做了负功.
4.变力功的计算.
一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与始末位置有关，这类力对物体做正功，物体势能减少；物体克服这类力做功，物体的势能增加.因此，可以根据势能的变化求对应变力做的功.
另一类如滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积.另外，有些变力的功还可以用动能定理或能的转化守恒定律来求.
●典例剖析
【例1】 人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的物体，如图6－1－2所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s=2 m而到达B点时绳与水平方向成30°角.求人对绳的拉力做了多少功
图6－1－2
剖析：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s又是人沿水平方向走的距离，所以无法利用W＝Fscosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力.这种转换研究对象的办法也是求变力功的一个有效途径.
设滑轮距地面的高度为h，则：
h（cot30°－cot60°）=sAB ①
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh=－ ②
人对绳子做的功为W＝Fs＝GΔh ③
代入数据可得：W≈732 J.
深化拓展
（1）重物匀速上升的过程中，人对地面的压力如何变 摩擦力大小如何变
（2）重物匀速上升时，人的运动是匀速吗 若人由A以速度v匀速运动到B，人对绳做的功还是732 J吗
答案：（1）压力逐渐增大，摩擦力逐渐增大 （2）重物匀速上升时，人的速度为v′=，随着α减小，人的速度逐渐减小．若人从A到B匀速运动，则物体加速上升，人对绳做的功大于732 J.
说明：可以利用等效法改变研究对象求变力的功.
【例2】 如图6－1－3所示，一台沿水平方向放置的皮带传输机，皮带在电动机的带动下以v=2.4 m/s的恒定速率运动.今在皮带左端轻轻地放上质量为m=2.5 kg的工件，经时间t=1.2 s将工件传送到右端，传送距离为s =2.4 m.求工件与传送带之间的动摩擦因数和电动机因传送工件所做的功.
图6－1－3
剖析：根据题意可知，皮带以恒定速率运动，工件在摩擦力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，当两者达到共同速度时，摩擦力立即消失，两者相对静止，其v－t图象如图6－1－4所示：
图6－1－4
四边形ODCB的面积表示工件的总位移，
即s=vt+v（1.2－t）代入数值得：t=0.4 s
v=at
代入数值得：a=6 m/s2
由f=μmg=ma得：μ== =0.6
对传送带而言，在0~t时间内受到摩擦力作用，其位移大小等于四边形OtBA的面积s=vt，电动机对工件做的功为：
W= f·s=μmg·vt=0.6×2.5×10×2.4×0.4 J=14.4 J.
深化拓展
（1）滑动摩擦力是否一定做负功 静摩擦力是否一定不做功
（2）作用力和反作用力大小相等、方向相反，它们做的功是否也大小相等，一正一负 试举例说明有哪些可能情况．
答案：（1）滑动摩擦力一定与相对运动方向相反，但不一定与运动方向相反，所以，滑动摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．产生静摩擦力的两物体保持相对静止，但不一定都处于静止状态，所以，静摩擦力可能对物体做功.
（2）作用力、反作用力由于分别作用于两个不同物体，它们的位移没有确定关系，所以，它们所做的功也就没有确定关系.
【例3】 某同学在跳绳比赛中，1 min跳了120次，若每次起跳中有4/5时间腾空，该同学体重为50 kg，则他在跳绳中克服重力做功的平均功率是________W.若他在跳绳的1 min内，心脏跳动了60次，每次心跳输送1×10－4 m3的血液，其血压（可看作心脏血液压强的平均值）为2×104 Pa，则心脏工作的平均功率是________W.
剖析：跳一次时间是t0＝ s＝ s
人跳离地面做竖直上抛，人上抛到最高点的时间t＝×× s＝ s
此过程中克服重力做功W＝mg（gt2）＝100 J
跳绳时克服重力做功的平均功率 =＝200 W
把每一次输送的血液简化成一个柱体模型，设柱体的截面积为S，输送位移为该柱体的边长L，输送的血液体积为ΔV，则＝W/Δt
设血压为p，则压力对血液做的功为W=F·L=pS·L=p·ΔV
则心脏工作的平均功率是
=p·ΔV/Δt＝ W＝2 W.
深化拓展
质量m=5.0 kg的物体，以10 m/s的速度水平抛出．求抛出后第1 s内重力做功的平均功率和抛出后第1 s末重力的瞬时功率.
解答：根据功率的概念，重力的功率等于重力与重力方向上速度的乘积，水平方向分速度的大小与功率无关．P=Fv中的速度v是物体竖直方向的平均速度时，所对应的P则是平均功率；当v是瞬时速度时，所对应的P则是瞬时功率．物体平抛后在竖直方向上做的是自由落体运动，所以第1 s内竖直方向的平均速度为：
=vt= gt=×10×1 m/s=5 m/s
所以第1 s内物体所受重力的平均功率为：
=mg=5.0×10×5 W=250 W
物体第1 s末竖直方向的瞬时速度为：
v=gt=10×1 m/s=10 m/s
所以第1 s末重力的瞬时功率为：
P=mgv=5.0×10×10 W=500 W.
说明：在计算平均功率时首选公式应是P=，其实P=和P=Fv都可以计算平均功率，也都可以计算瞬时功率.匀速行驶的汽车，用P=算出的牵引力的功率，既是t时间的平均功率，也是任一时刻的瞬时功率.在计算瞬时功率时的首选公式应是P=Fv，从本题求解也可看出，对于恒力做功的功率，P=Fv在计算平均功率和瞬时功率时也是等效的.
【例4】 汽车发动机的额定牵引功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍.试问：
（1）汽车保持以额定功率从静止启动后能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
剖析：（1）汽车受力如图6－1－5所示，汽车一开始就保持额定功率，那么它运动中的各个量（牵引力、加速度、速度）是怎样变化的呢？下面是这个动态过程的简单方框图.
图6－1－5
所以汽车达到最大速度时，a=0，此时，vm=P/μmg=6.0×104/（0.1×5×103×10） m/s=12 m/s.
（2）汽车以恒定加速度启动后的各个量（牵引功率、牵引力、加速度、速度）的变化如下（方框图所示）：
所以v在达到最大值之前已经历了两个过程：匀加速、变加速.
匀加速运动的加速度a=（F－μmg）/m
所以F=m（a+μg）=5×103×（0.5+0.1×10）N=7.5×103 N
设保持匀加速的时间为t，匀加速能达到的最大速度为v1，则：v1=at
汽车速度达到v1时：P=F·v1
t=P/Fa=6.0×104/（7.5×103×0.5） s=16 s.
说明：通过过程分析，弄清两种加速过程各物理量的变化特点，抓住物体从一种运动状态到另一种运动状态转折点的条件是解答本题的关键.
拓展题例
【例5】 飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中（如下图），飞行员受重力的瞬时功率的变化情况是
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析：根据P＝Gvcosθ（θ是杆与水平方向夹角），θ＝0时v＝0，P＝0；θ＝90°，cosθ＝0，P＝0，其他情况P＞0. 答案：C
【例6】 一质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，m与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为
A.μmgLcosθ B.mgLcos2θ C.mgLcosθsinθ D.μmgLcosθsinθ
解析：如下图所示，由平衡条件得物体所受静摩擦力F＝mgsinθ
摩擦力对物体做的功W＝Fscosθ＝mgsinθLcosθ＝mgLsinθcosθ.
答案：C
第二单元 动能定理·机械能守恒定律
●知识梳理
一、动能
1.物体由于 而具有的能量叫做动能.Ek＝ 。
2.动能是一个描述物体运动的 量.是 量.
二、动能定理
1.外力对物体 等于物体 .这个结论叫动能定理.
表达式： 或 。.
2.动能定理可以应用于单个物体，也可以应用于几个物体组成的系统.外力对物体做的总功即合外力对物体所做的功，亦即各个外力对物体所做功的代数和.这里，我们所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他的力.物体动能的变化指的是物体的末动能和初动能之差.
3.应用动能定理解题的基本步骤：
（1）选取研究对象，明确它的运动过程.
（2）分析研究对象的受力情况（对几个物体组成的系统应用动能定理时，还要分析内力做功情况），和各个力做功情况：受哪些力 每个力是否做功 做正功还是做负功 做多少功 然后求各个外力做功的代数和.
（3）明确物体在过程的始末状态的动能E和E.
（4）列出动能定理的方程W合＝E－E，及其他必要的解题方程，进行求解.
4.恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的，用动能定理求解一般比用牛顿定律和运动学公式简便.用动能定理还能解决一些用牛顿定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动问题等.
三、势能
1.由物体间的 和物体间的 决定的能量叫做势能.如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等.
2.重力势能
（1）物体 而具有重力势能.一个质量为m的物体，被举高到高度为h处，具有的重力势能为：Ep＝ 。
（2）重力势能是相对的，重力势能表达式中的h是物体的 到参考平面（零重力势能面）的高度.若物体在参考平面以上，则重力势能为 ；若物体在参考平面以下，则重力势能为 .通常选择地面作为零重力势能面.
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量.重力势能的变化量与零重力势能面的选取无关.
（3）重力势能的变化与重力做功的关系：
重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少.重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少.即WG＝ .
3.弹性势能：物体因 而具有的势能叫做弹性势能.
四、机械能守恒定律
1. 统称为机械能：E＝ .
2.在只有 做功的情形下，物体 相互转化，但 保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律.
3.判断机械能守恒的方法一般有两种：
（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体的机械能守恒.
（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能产生），则系统的机械能守恒.
4.应用机械能守恒定律解题的基本步骤：
（1）根据题意，选取研究对象（物体或系统）.
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件.
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的起始状态和末了状态的机械能（包括动能和重力势能）.
（4）根据机械能守恒定律列方程，进行求解.
●疑难突破
1.动能和动量的区别和联系
（1）联系：动能和动量都是描述物体运动状态的物理量，都由物体的质量和瞬时速度决定，物体的动能和动量的关系为p=或Ek=.
（2）区别：①动能是标量，动量是矢量.所以动能变化只是大小变化，而动量变化却有三种情况：大小变化、方向变化、大小和方向均变化.一个物体动能变化时动量一定变化，而动量变化时动能不一定变化；②跟速度的关系不同：Ek=mv2，p=mv；③变化的量度不同，动能变化的量度是合外力的功，动量变化的量度是合外力的冲量.
2.用动能定理求变力做的功：在某些问题中由于力F大小的变化或方向变化，所以不能直接由W＝Fscosα求出变力F做功的值，此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F所做的功.
3.在用动能定理解题时，如果物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的分过程（如加速、减速的过程），此时，可以分段考虑，也可对全程考虑.如能对整个过程列式则可能使问题简化.在把各个力的功代入公式：W1＋W2＋…＋Wn＝mv末2－mv初2时，要把它们的数值连同符号代入，解题时要分清各过程中各个力做功的情况.
4.机械能守恒定律的推论
根据机械能守恒定律，当重力以外的力不做功，物体（或系统）的机械能守恒.显然，当重力以外的力做功不为零时，物体（或系统）的机械能要发生改变.重力以外的力做正功，物体（或系统）的机械能增加，重力以外的力做负功，物体（或系统）的机械能减少，且重力以外的力做多少功，物体（或系统）的机械能就改变多少.即重力以外的力做功的过程，就是机械能和其他形式的能相互转化的过程，在这一过程中，重力以外的力做的功是机械能改变的量度，即WG外=E2－E1.
5.功能关系的总结
做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度.在本章中，功和能的关系有以下几种具体体现：
（1）动能定理反映了合外力做的功和动能改变的关系，即合外力做功的过程，是物体的动能和其他形式的能量相互转化的过程，合外力所做的功是物体动能变化的量度，即W总=E－E.
（2）重力做功的过程是重力势能和其他形式的能量相互转化的过程，重力做的功量度了重力势能的变化，即WG=E－E.
（3）重力以外的力做功的过程是机械能和其他形式的能转化的过程，重力以外的力做的功量度了机械能的变化，即WG外=E2－E1.
（4）作用于系统的滑动摩擦力和系统内物体间相对滑动的位移的乘积，在数值上等于系统内能的增量.即“摩擦生热”：Q＝F滑·s相对，所以，F滑·s相对量度了机械能转化为内能的多少.
可见，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零而没有内能产生.
●典例剖析
【例1】 质量m=5.0 kg的物体静止于水平面内，现给物体施加一水平恒力F＝20 N，使物体由静止开始运动10 m后撤去F，物体在水平面上继续滑行了15 m后停止.求物体运动过程中所受的摩擦阻力.
解析：对物体运动全过程运用动能定理得：Fs1－F0（s1＋s2）＝0，求得F0＝8 N.
答案：8 N
【例2】 在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v—t图象如图所示.设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则
①F∶Ff=1∶3 ②F∶Ff=4∶1 ③W1∶W2＝1∶1 ④W1∶W2＝1∶3
以上结论正确的是
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析：设汽车匀加速运动的位移为s1，总位移为s，对全过程由动能定理得：W1－W2＝0，或Fs1－Ff s＝0，所以=，=，
由于s＝ t，s1＝t′，所以==，即=.
答案：B
【例3】 如下图所示ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD都相切的一段圆弧，其长度可以略去不计.一质量为m的小滑块在A点从静止滑下，最后停在D点.现用一沿着轨道方向的拉力拉滑块，使它缓缓地由D点回到A点，则拉力对滑块做的功等于多少（设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ）
A.mgh B.2mgh
C.μmg（s＋） D.μmgs＋μmghcotθ
解析：滑块由始状态A从静止滑到末状态D的过程中，重力做正功WG＝mgh；摩擦阻力做功为－Wf；支持力不做功由动能定理：mgh－Wf＝0
得Wf＝mgh
由D返回到A，拉力做功为WF；摩擦阻力做功仍为－Wf；重力做功为WG＝－mgh
由动能定理：WF－Wf－mgh＝0得WF＝Wf＋mgh＝2mgh
本题正确选项是B.
【例4】 如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速运动.在这一过程中，摩擦力对物体做的功为
A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D.μmgR/2
解析：当物块随转台匀速运动时，μmg＝m知，mv2＝μmgR.由动能定理知：摩擦力Ff的功Wf＝mv2－0＝μmgR.
答案：D
【例5】 质量为500 t的机车以恒定的功率由静止出发，经5 min行驶2.25 km，速度达到最大值54 km/h.设阻力恒定且取g=10 m/s2，问：（1）机车的功率P是多大？（2）机车的速度为36 km/h时机车的加速度a是多大？
剖析：因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动.虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做的功，由动能定理结合P=Ff·vm，可求出机车的功率.利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根据F=，求出36 km/h 时的牵引力，再根据牛顿第二定律求出机车的加速度a.
（1）以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据W=ΔEk，有
P·t－Ff·s=mvm2 ①
当机车达到最大速度时，F=Ff，所以
P=F·vm=Ff·vm ②
联立①②两式有P==3.75×105 W.
（2）由Ff=可求出机车受到的阻力Ff==2.5×104 N
当机车速度v=36 km/h时机车的牵引力F== N=3.75×104 N
根据F合=ma可得机车v=36 km/h时的加速度
a==m/s2=2.5×10－2 m/s2.
深化拓展
一辆汽车在恒定功率牵引下，在平直公路上由静止出发，在4 min的时间内行驶1 800 m，在4 min正末汽车的速度为
A.等于7.5 m/s B.一定小于15 m/s C.可能等于15 m/s D.可能大于15 m/s
答案：B
说明：机车以恒定功率启动，直到最大速度，属于变力做功的问题.由于阻力恒定，所以机车在任一时刻运动的加速度a=－，由于速度增大导致加速度减小，汽车做加速度逐渐减小而速度逐渐变大的变加速运动.此类问题应用牛顿第二定律求解，在中学物理范围内是无法求解的.但应用动能定理求解变力做功，进而求解相关物理量是一种简捷优化的解题思路与方法.
【例6】 （2004年上海，21）滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图6－2－1所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变，求：
图6－2－1
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.
剖析：（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为θ，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功W=μmgcosθ·s+μmg（L－scosθ）=μmgL
由动能定理mg（H－h）－μmgL=mv2离开B点时的速度v=.
（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上=gt12 s1=vt1＜ h
可解得s1=此时必须满足H－μL＜2h
当H－μL＞2h时，滑雪者直接落到地面上h=gt22 s2=vt2 可解得s2=2.
说明：用动能定理求解的优点是：解题时只关心过程中合外力的功及初、末状态物体的动能，不必研究运动过程的细节.
【例7】 一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由落下到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球落在弹簧上静止于某一点A处.则
A.h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.小球第一次到达A点时的速度与h无关
D.h愈小，小球第一次到达A点时的速度愈大
解析：小球静止在A点时，小球受重力和弹簧对它的支持力，且mg＝kx，故B对.
答案：B
【例8】 （2004年江苏，15）如图6－2－3所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小.
图6－2－3
（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M.设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.
（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态
剖析：（1）重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大.设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得
Mgh=2mg［］解得h=R.（另解h=0舍去）
（2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为：a.两小环同时位于大圆环的底端；b.两小环同时位于大圆环的顶端；c.两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端； d.除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称.设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图6－2－4所示）.
图6－2－4
对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T=mg
对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力FN.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反
Tsinα=Tsinα′得α=α′，而α+α=90°，所以α=45°.
说明：利用机械能守恒定律解题时，经常会遇到相关联的多个物体的情况，这时对研究对象的选取一定要慎重.
深化拓展
如图6－2－5所示，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B.A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高度为h=0.2 m.开始让连A的细线与水平杆夹角θ=53°，由静止释放，在以后的过程中A所能获得的最大速度为________.（cos53°=0.6，sin53°=0.8）
图6－2－5
解析：A速度最大，B速度恰好为0，由机械能守恒：mg（h/sinθ－h）＝mvm2，得vm＝1 m/s.
【例9】 如下图所示，轻杆两端各系一质量为m的小球A、B，轻杆可绕过O的光滑水平轴在竖直面内转动.A球到O的距离为L1，B球到O的距离为L2，且L1＞L2，轻杆水平时无初速释放小球.不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度大小.
答案：设杆竖直时A、B两球速度分别为vA和vB，A、B系统机械能守恒：0＝mgL2＋mvB2－mgL1＋mvA2，又vA＝ωL1，vB＝ωL2，得ω＝.
【例10】 如图6－2－2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质滑轮，开始时底端相齐.当略有拉动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间速度多大
图6－2－2
剖析：铁链在运动过程中只有重力做功，机械能守恒.若设铁链单位长度的质量为ρ，且选滑轮最高点所在水平面为参考平面，则初态机械能
E1＝－2·ρ g·=－ρgL2末态机械能为E2＝－ρLｇ·+ ρLv2
由机械能守恒定律得：E1＝E2即－ρgL2=－ρgL2+ρLv2所以v＝.
深化拓展
一条长为l、质量为m的匀质轻绳平放在水平地面上，在缓慢提起全绳的过程中，设提起前半段绳人做的功为W1，在把后半段绳提起的过程中人做的功为W2.则W1∶W2等于
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
答案：C
说明：（1）对绳索、链条之类的物体，由于常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的.能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键.一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能.至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末态重力势能便于表示为宜.
（2）此题也可运用等效方法求解：铁链要脱离滑轮时重力势能的减少等效于将图6－2－2中的一半铁链移至另一半铁链的下端时重力势能的减少.然后由ΔEp＝ΔEk列方程解.用ΔEp＝ΔEk列方程的优点是：不需选取参考平面且便于分析计算，在今后解题中可以大胆使用.
拓展题例
【例11】 随着人类能量消耗的迅速增加，如何有效地提高能量利用率是人类所面临的一项重要任务.下图是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度.请你从提高能量利用效率的角度，分析这种设计的优点.
答案：列车进站时，利用上坡使部分动能转化为重力势能，减少因为刹车而损耗的机械能；列车出站时利用下坡把储存的重力势能又转化为动能，起到节能作用.
【例12】 质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h，不计空气阻力.则说法正确的是
①物体的重力势能减少2 mgh ②物体的机械能保持不变 ③物体的动能增加2 mgh ④物体的机械能增加mgh
A.①② B.③④ C.①③ D.只有④
解析：物体所受合外力为2mg，则由动能定理知ΔEk=2mgh，③对.除重力外，物体还受到F=mg的外力，它做的功为mgh，故物体的机械能增加了mgh，④对，故选B.
答案：B
【例13】 如图所示，AB与CD为两个对称的斜面，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径为2.0 m.一个物体在离弧底E高度为h=3.0 m处，以初速度4.0 m/s 沿斜面运动，若物体与斜面的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g取10 m/s2）
解析：物体在斜面上运动时，由于克服摩擦力做功，使它的机械能不断减少，直到物体不能滑上斜面为止，最终状态为物体沿圆弧在B、C间往复运动.设它在斜面上通过的总路程为s，由动能定理得mg（h－R）－μmgscos60°=0－mv02解得s=280 m.
答案：280 m
【例14】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？
解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M
m
M
第六章 第15页
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