静力学解题方法研究及专题训练[上学期]
文档属性
| 名称 | 静力学解题方法研究及专题训练[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 237.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2006-11-11 08:00:00 | ||
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文档简介
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静力学解题方法研究及专题训练
重庆市铝城中 学牟长元
1、 正交分解法
正交分解法解答物理问题的优势在于：① 解题过程的程序化，易于学生理解和接受；
②学生一旦掌握这种方法，就可以按部就班的从“定物体，分析力→建坐标，分解力→找规律，列方程→求结果，反思题”这样一个模式化的解题过程进行下去，总可以将题目解答出来。③这种方法适用于物体受力个数较多且有些力不在互相垂直的两个方向上，而其它方法对力的个数较多的情况应用起来反而更复杂。有时对力的分布又有比较特殊的要求。而正交分解法几乎没有什么限制；不论力的个数，也不论力的分布是否具有对称性或临界特点，也不论被研究的是一个物体还是物体系；④正交分解法的解题形式规范，整齐划一，通常都在x轴和y轴两个方向上列出方程，必要时加一个辅助方程，可以求解两到三个未知量；⑤学生一旦掌握了正交分解法，就可以在大脑中形成一种固有的解题模式，所以，在面临具体问题时，很快自动生成解题思路。⑥正交分解法是一种常规方法，人们在解题时，一般情况下常规方法最容易进入解题者的短时记忆，不论是平时考试还是高考，常规方法往往是最直接是最效的方法。因此，对正交分解法题题应该让学生达到程序化、自动化、标准化的熟练境界。
例1、如图所示，用一个斜向上的拉力F作用在箱子上，使箱子在水平地面上匀速运动。已知箱子质量为m ,F与水平方向的夹角为θ，箱子与地面的动摩擦因数为μ。求拉力F的大小。
解：箱子受四个力：mg、FN、f、F作用，如图所示。建立直角坐标系如图，将拉力F分解为：Fx = Fcosθ , Fy= F sinθ.
根据共点平衡条件得：
x轴上： Fcosθ = f …… ①
y轴上： Fsinθ+ FN = mg …… ②
摩擦定律：f = μFN …… ③
将③代入①，再将②中的FN的表达式代入后得：F =。
如果用下斜向下的推力F，则要物体匀速运动，F的大小为何值？
此时只需将方程②改为：FN = mg + F sinθ… ④ 。
由①③④三式可得： F = 。 由本式讨论，可知：当F与水平方向的夹角θ为某一角度时，不论多大的推力F，都不能推动箱子。F无论多大，即F达无限大，则上式的分母应为零。由此可以令 cosθ －μsinθ = 0 , ∴cot θ = μ.
例2、如图所示，一个质量为m的木块在推力F作用下可沿竖直墙壁匀速运动，木块与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ，F与竖直方向的夹角为θ。求推力F的大小。
解：本题的关键条件是：“沿竖直墙壁匀速运动”，但并未确定向上或向下匀速运动，所以，要分“向上匀速运动”和“向下匀速运动”两种情况处理。即分类讨论。
⑴ 物体匀速向上运动。滑动摩擦力沿墙壁向上，受力情况如图所示。
建立直角坐标系，沿x轴和y轴分解力F。根据共点力平衡条件得：
x轴上：F sinθ= FN ……①
y轴上：Fcosθ= f + mg ……②
公式： f = μFN ……③
将①、③代入②后得：F = 。
⑵ 物体沿墙壁匀速下滑时，只须将滑动摩擦力方向变为向上，则上面的方程②改写为：F cosθ+ f = mg ……④
由方程①③④可解得：F= 。
思考：要使物体贴着墙壁静止，上图中的推力F应取何值。
例3、如图所示，质量为m的物体在不受其它外力时恰能沿斜面匀速下滑，那么要将该物体匀速推上该斜面，需要加多大的水平外力F？已知斜面倾角为θ。
解：物体匀速下滑时，受三个力：mg 、FN、f . 滑斜面方向有
mg sinθ = μmg co sθ , ∴ μ = tgθ.
对物体施以水平推力F时，向上匀速运动。受力情况如图所示。建立直角坐系，将重力mg和推力F分解在两个坐标轴上，由共点平衡条件得：
x轴上：Fcosθ= mgsinθ+f ……① 将②③代入①得 F =mg.
y轴上: FN = F sinθ+ mg co sθ ……② 又将μ=tgθ替换后得：
摩擦定律：f = μ FN ……③ F = mg.
点评：解题时注意题目叙述的层次及描述的物理过程，进行分层次表达（用图形或方程），将题目所给条件的文字表达方式翻译或转化成物理图形或数学物理方程，才能对问题有较清晰的理解和把握，才能进行运算。否则永远处于模糊状态。
例4、如图所示的三个共点F1、F2、F3，大小分别为F1= 30N；F2=40N；F3=20N，彼此间的夹角为120°, 求三个力的合力。
解：让直角坐标系的x轴与F2共线。分解F1与F3，则合力F在
x轴上的分力
Fx = F2－F1sin30°－F3sin30° = 40－30×0.5 －20×0.5 = 15N
在y轴上分力
Fy= F1 cos30°－ F3cos30°= 5N. 则合力的大小为
F = 10N； 方向由 tg φ = , φ= 30°(与F2的夹角)。
本题的对力的分解是为了求力的合成，也是为了将矢量运算转化为代数运算，从而便于精确求解物理问题。对于受多个力的条件下也是为了方便计算，不然就要一个一个地作平行四边形，这样既费事而且误差还很大。
例5、如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
解：本题的关键是理解“两绳都伸直”的含义：FAB ≥ 0 ……① FAC ≥ 0 ……②
建立如图所示的坐标系，将力F与FAB分解，由共点力平衡条件得：
x轴上：Fcos60°= FABcos60°+ FAC ……③
y轴上：Fsin60° + FABsin60° = mg ……④
将F看作已知，由④式解得FAB = 2mg /－F≥0
∴ F 2mg。再由③得 F －FAB = 2FAC ,由④式得： F + FAB = 2mg /。两式相加得：
FAC = F－mg /≥0 ,∴ F≥mg/。F的取值范围是：mg/ ≤ F ≤ 2mg/ 。
点评：本题的技巧是先将F看成已知，通过共点力平衡条件列出水平与竖直两个方向的平衡方程，解出FAB与FAC，再结合“两绳都拉直”的数学含义，最终得到F的取值范围。物理问题要求的物理量或某个量的取值范围通常隐藏在物体在某一状态下应遵守的物理规律中，这些规律往往要通过某个具体的方程来表达。所以，我们在解物理题时，要注意在审题环节中审出关键词语及其具体含义，并用适当的数学式子表达出来；关键词语有时是作为隐含条件的表达形式存在于题目中，关键词容易看出，但它的具体含义却要在做练习题中不断积累。
应用正交分解法解平衡问题的主要步骤是：① 定物体，分析力；②建坐标，分解力；③找规律，列方程；④解方程，得结论。⑤反思关键，形成经验。
2、 整体法与隔离法
在解物理问题过程应用的整体法，是将几个具有相互作用或影响的物体看成一个整体或系统，
进行分析或思考要解决的问题。在平衡问题中，通常所求的目标是某几个外力时，优先应用整体法。
这时几个物体通常都处于平衡状态。隔离法是将具有相互作用或影响的物体隔离出来，单独对其中某一个物体进行分析。如果要求物体之间的相互作用力，则必须采取隔离法。整体法与隔离法常常结伴同行，共同处于同一问题，两者是相互依存的关系。
整体法与隔离法的含义和作用并不是这样简单，在今后的学习中还要经常应用到这两种解题方法。把全过程看作一个整体进行分析，是在第二章处理匀变速直线运动时要用到的另一种类型的整体法。
例1、如图所示，两块相同的竖直木板A、B之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动。设所有接触面的摩擦因数均为μ，则第三块对第二块砖的摩擦力的大小为多大。
解：以四块砖为整体，所受外力情况：重力4mg、A板对砖块1的静摩擦力和木板B对砖块4的静摩擦力，由对称特点，两个静摩擦力相等，均为f, 所以整体共受三个外力，如图所示。由平衡条件得：
2f = 4mg, ∴ f = 2mg.
以1、2两块砖为整体，其受外力如图所示。因f =2mg，已跟两块砖所受重力2mg平衡，所以，第三块砖对第二块砖的摩擦力 f32 = 0.
同类拓展：将四块砖增加为五块砖，求第三块对第二块的摩擦力。这时，对五块砖构成的整体有： 2f = 5mg, ∴ f = 2 .5mg 。仍取1、2两块
砖为整体，要满足平衡条件，f32 = 0.5mg, 方向竖直向上。如图所示。
类推：如果A、B两板之间夹偶数块同样的砖，则正中接触面无摩擦力；如果是奇数块，则每一个接触面都要受到静摩擦力。方法是要求哪个接触面的静摩擦力，只要想象中把这个接触面分开，对其中一部分作受力分析，就可以求出所要求的摩擦力。这类题目总是先大整体，再小整体（即部分隔离）。
例2、如图所示，A、B为相同的两个木块，叠放在水平地面C上，A、B用水平绳通过一个滑轮连接在一起，在滑轮上用一个水平力F，恰好使A、B两个木块一起沿水平地面向右匀速运动。不计轻绳和滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦，关于A、B间的摩擦力f1和B、C间的摩擦力f2的大小，下列判断正确的是：
A、 f1= F/2, f2 = F/2 ; B、f1= F/2 , f2 = F; C、f1 =0 , f2 = F; D、条件不足，无法判断。
解：以A、B和滑轮为整体，在水平方向平衡，则f2与F构一对平衡力，所以f2应水平向左，大小f2 = F. 只在B、C两个选项中去确定。对滑轮有2 T = F, ∴ T = F/2 。隔离A出来，A木块在水平方向受二个力而匀速运动，如图所示，所以f1 = T = F/2 .正确选项为B。
例3、有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间用一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN 和细绳上的拉力T的变化情况是：
A、 FN不变，T变大； B、FN不变，T变小； C、FN变小，T变小；D、FN变大，T变小。
解：以P、Q两环为整体，因为OB杆光滑，在竖直方向上，整体受两个外力：重力2mg和水平杆AO对P环的支持力FN，所以FN =2mg为不变量。只能在A、B两个答案中去选，P环左移后，细绳与竖直方向的夹角θ变小，Q环受到的重力mg为不变量，所以将Q环隔离出来，在竖直方向应用平衡条件有：T cosθ= mg . cosθ↑,∴ T↓.
正确答案为B
例4、如图所示，人的质量为60kg, 人所站立的木板质量为40kg ,人用100N的水平拉力拉绳时，人与木板保持相对静止，而人和木板恰能作匀速直线运动。求：人受到的摩擦力和木板地面的动摩擦因数（g =10N/kg）.
解：设木板和人的质量分别为m1, m2，地面对木板的滑动摩擦力为f1,木板对人的静摩擦力为f2 ,地面对木板的支持力为FN ，细线对人和木板的拉力为T。以人和木板为整体，（如虚线框所示）。整体受到的外力有：重力（m1+m2）g、地面支持力FN，地对摩擦力f1, 细线拉力两个T。整体在五个外力作用下做匀速运动。
竖直方向：FN = （m1+m2）g
水平方向：2T = f1
摩擦定律： f1 = μFN
由以上三式得：2T= μ（m1+m2）g , 2×100 = μ(60+40)×10, ∴ μ= 0.2.
反思：本题如果将动摩擦因数μ作为已知，由整体的平衡状态可以求人拉绳子的拉力大小。同时根据平衡条件也可以求出人受到的静摩擦力的大小和方向如图所示。 F2 = T =100N.
滑动摩擦力即可以由公式f =μFN求，也可以由物体的平衡状态根据平衡条件求。而静摩擦力不能用公式f=μFN。
静摩擦力的存在与否以及大小的计算通常有六种思路：
1 根据静摩擦力存在的三个条件：弹力不为零；接触面粗糙、具有相对运动趋势。
2 应用假设法：假设接触面光滑时，物体的相对滑动方向即有摩擦时的相对运动趋势的方向。
静摩擦力的方向跟相对运动趋势方向相反。
3 根据共点力平衡条件。
4 根据运动状态的变化（加速或减速）：牛顿第二定律的应用。
5 根据相互作用规律（牛顿第三定律）
6 应用力矩平衡条件（或杠杆平衡原理）
上面六种思路中，应用较多的是③④⑤三种思路。应用物理规律分析力的存在与否以及大小
的计算，是今后的主要方向。对于弹力和摩擦力这两种被动力，通常要根据物体的运动状态及其变化来确定它是否存在，然后才能运用相关规律进行计算。
例5、两个半径均为r、质量均为m的光滑圆球，置于半径为R（rA、 FD = FA; B. FB = 2mg ;
C . FD可以大于、等于或小于mg ; D. FC可以大于、等于或小于mg .
解：将两球作为整体，如虚线框所示。整体处于静止状态，在水平方向满足二力平衡条件 ，有FA = FD ,所以选项A正确。
在竖直方向也满足平衡条件，则FB=2mg.,
所以B选项正确。
将O球隔离出来，它受三个力作用而平衡，如图所示。FD与mg的大小关系取决于联线
OOˊ与水平方向的夹角α。当α=45°时， FD= mg,当α> 45°时， FD < mg ；当α<45°时，FD > mg。而FC是力三角形的斜边，所以FC总大于mg.
选项C对，而D错。
本题的正确答案为：A、B、C。
如果将r和R作为已知条件，则可以求出FA、FD，FC的大小。
例6、如图所示，将长方形匀质薄板分割成面积相等的两块A、B，并如图平放在不光滑的水平面上。现对A施加一个水平推力F，F与A的左侧边垂直，则A、B恰好做匀速直线运动（暂态过程不计），并且A、B间无相对运动，角θ为已知。求A、B之间的弹力大小。
解：因A、B质量相同，材料相同，则与水平面间的动摩擦因数相同，水平面对A、B的滑动摩擦力分别为fA
fB。取A、B系统为研究对象，因系统匀速直线运动，在水平方向有
F = fA + fB , fA = fB ,∴ fB = F/2 .
隔离B出来，B在水平面内受三个外力：水平支持面施加的动摩擦力fB、A对B的弹力FN、A对B的静摩擦力fAB, 如图所示。fAB⊥FN 根据共点平衡条件，FN与fAB的合力与fB等值反向，由力三角形得：FN = fB sinθ= F sinθ/2.
本题的解题思路仍然是整体法与隔离法结合示相互作用力。隔离物体是选择B，如果选择A，同样可以解出来，只是A在水平面共受四个力。从受力分析角度看，隔离受力个数少的物体会使解题过程简捷一些。
练习题
1、如图所示，质量为m的物体在沿斜向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面体（ ）
A、 无摩擦力； B、有水平向左的摩擦力；
C、 支持力为（M+m）g; D、支持力小于（M+m）g
2、如图所示，物体a, b, c，叠放在水平桌面上，水平力Fb=5N, Fc =10N ,分别作用在物体b、c上，a, b和c保持静止。用f1、f2 、f3分别表示a与b ,b与c，c与桌面间的静摩擦力的大小。则
A、f1=5N, f2 =0 ,f3 =5N ; B、 f1=5N, f2=5N, f3 =0 ;
C、f1=0, f2 =5N , f3 =5N; D、f1=0, f2 =10N , f3 =5N
3、如图所示，吊篮重200N,人重500N，绳子质量及绳子与滑轮间的摩擦不计，求：当此人用100N的力拉绳子时，篮底板对人的支持力、地面对吊篮的支持力分别是多大？要使吊篮离地上升，此人的拉力至少多大？
4、如图所示，用细线通过滑轮连接三个物体，已知C物体的重力为G，当三个物体处于静止状态时，桌面对A的静摩擦力等于多大？
5、在粗糙水平面上有一个三角形木块abc, 在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1和m2的木块，m1> m2, 如图所示，已知三角形木块和两个放在上面的木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块：
A、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右； B、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左； C、有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m1、m2、θ1、θ2的数值并未给出； D、没有摩擦力的作用。
6、如图所示，球的质量为m, 斜面体的质量为M，倾角为θ=53°，球光滑，它与墙角、斜面间没有摩擦力作用，斜面体静止在粗糙的水平面上，这时地面对斜面体的支持力为多大，静摩擦力为多大？如果要使系统保持静止，地面与斜面体间的摩擦因数应满足什么条件？
7、质量分别为m1、m2的两个木块静止放在质量为M的斜面上，如图所示，M对地面的压力大小是___________, 若两木块分别沿斜面匀速下滑，在下滑过程中M对地面的压力大小是____________. 情境图见第5题图。
8、如图所示，B与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A的动摩擦因数为μ2。已知 μ2>μ1=
tanθ,A、B质量分别为m1和m2, 则在两木块一起匀速下滑的过程中，A、B间摩擦力的大小为：
A、 0； B、μ2m2gcosθ; C、μ1m2gcosθ; D、m1g cosθ。
9、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图甲所示。今对球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏向30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是图乙中的哪一个？
10、如右上图所示，一只球挂在三角形木块的右侧面，球与木块均能保持静止，则：
A、 地面对木块的静摩擦力向右； B、地面对木块的静摩擦力向左；
C、地面对木块无摩擦力； D、若地面光滑，挂上球后木块一定滑动。
11、如图所示，两个完全相同的光滑球的质量均为m, 放在竖直挡板和倾角为α的固定斜面间。若缓慢转动挡板至与斜面垂直，此过程中：
A、A、B两球间的弹力逐渐增大； B、B球对挡板的压力逐渐减小；
C、B球对斜面的压力逐渐增大； D、A球对斜面的压力逐渐增大。
12、如图所示，重为G1的三角形滑块置于水平面上，滑块与地面间的动摩擦
因数为μ，如果在竖直墙壁和滑块间放一光滑球，求使滑块保持静止时小球的最大重力G。
13、如图所示，四个木块在水平力F1和F2作用下静止于水平桌面上，且F1=3N，
F2=2N，则：
A、B对A的摩擦力大小为3N，方向与F2相同； B、B对C的摩擦力大小为3N，方向与F1相同； C、D对C的摩擦力大小为1N，方向与F2相同； D、桌面对D的摩擦力大小为1N,方向与F2相同。
14、如图所示，半径为R的光滑球重为G，光滑木块高为h ,求：至少需用多大的水平力F才能使球离开地面，此条件下竖直墙壁对球的弹力为多大。
15、如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平推斜面体使斜面体缓缓地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F是多大？
16、如图所示，光滑圆球A的半径为10cm,悬线长L=40cm ,物体B厚20cm ,重12N，物体B与墙壁之间的动摩擦因数μ=0.2，物体B在未脱离球A前沿墙壁匀速下滑。求：⑴此时A对物体的压力？⑵球A所受重力大小？
3、 对称方法及应用
“对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在物理学中的对称比数学具有更广泛的含义，如物质分布的对称——均匀球体，均匀带电球壳的电荷，弹力的伸长与压缩及产生的弹力，具有一定特点的往复运动等，这些只是对称的表达形式，而对称的深层本质却是不变性。所谓对称性或对称原理，就是事物经过某些变换后仍保持的不变性或某些不变性。或者说，在对称的条件下，一定的规律可以等效地迁移（不论在同一问题的不同过程中，还是在两个截然不同性质的问题中），从而避免繁琐的数学推证，一下抓住问题的物理本质，迅速而简捷地解决问题。在静力学部分，我们主要涉及到结构结称。
从科学思维方法的角度看，对称原理最突出的作用，是启迪和培养直觉思维能力。在分析和解答物理问题时，如果善于从对称性的角度度剖析问题的物理实质，抓住问题的“突破口”，问题就迎刃而解了。
例1、 如图所示的光滑球所受重力为G，放在一个“V”型槽之间处于静止状态，θ为已知。求V型槽受到压力大小。
解：因为V型槽的两个平面以竖直线对称，将光滑球受到的重力G沿垂直于V型槽的两个平面方向分解为G1与G2，如图所示。则G1与G2以竖直线为对称轴，所以G1= G2，以G1和G2为邻边的平行四边形是棱形，G1、G2与竖直线的夹角均为θ，所以：
G = 2G1 cos(90°－θ) =2G1 sinθ, 即时 G1 = G2 = G /sinθ.球对V型槽两个平面的压力F1、F2大小分别与G1、G2大小相等，F1 = F2 = G/2sinθ 。
点评：本题图中的G1、G2与竖直线的夹角α与θ互余。本题中的光滑球实际上是在三个共点力：G、F1、F2作用下处于静止状态，所以也可以应用三力平衡条件求解。支持力F1、F2具有对称性。
例2、如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角α。
解：动滑轮两边细绳的拉力F1、F2大小相等，动滑轮在三个力作用下平衡（两边绳子的拉力F1、F2和重物向下的拉力F3）。F竖直向下，F1、F2以竖直线为对称轴。由后力与分力的关系，得
2 F1cos(α/2) = F3= G F1 = GA =100N, F1 = F2= 100N,∴ cos(α/2) = /2. α=120°.
例3、如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍。图(b)所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和AK和BK的拉力F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过AK和BK的角平分线。延长AK交墙壁于C点，
因KB =KC，所以由已知条件
AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度α=30°，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力R与重力等值反向，所以：
2 F cos30° = R =G, ∴F = mg/2cos30° = mg/3 .
点评：①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。②设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d = AO , sinα = d /L ，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度α为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。③对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sinα = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。
例4、1999年10月，中国第一座跨度超千米的特大悬索桥——江阴长江大桥正式通车，大桥主跨1385m，桥长3071m, 桥下通航高度为50m， 两桥塔身高196m，横跨长江南北两岸的两根主缆，绕过桥塔顶鞍座由南北锚锭固定，整个桥面和主缆的质量为4.8万吨，就悬在这两根主缆上，如图所示，则每根主缆上的张力约相当于多少质量的物体产生的重力？
解：两根主缆均吊在桥跨度的中部，各自到桥塔的长度相同，所以具有对称性。对整个桥的重力由四根钢缆承受，每根钢缆跟竖直方向的夹角均为α，由桥的高度和桥塔到桥中央的距离关系可得
tan α = 692.5/ 146 = 4.74
设每根钢缆绳上承受的张力大小为F，由
4 Fcosα= 4.8， F= 1.2 /cosα=1.2 secα= 1.2= =5.82万吨≈6万吨。
例5.（对称原理与隔离法）如图所示,重为G的均匀链条.两端用等长的细线连接,挂在等高的地方,绳与水平方向成θ角.试求:⑴绳子的张力. ⑵链条最低点的张力.
解：⑴因为链条的质量均匀分布，具有对称性，重力作用线必过链条最低点，链条两端绳子挂在等高的地方，与水平方向的夹角均为θ，所以两绳子的拉力具有对称性。在竖直方向应用平衡条件，有2 F sinθ = mg, ∴F= mg/2sinθ.
⑵ 将链条的左半部分隔离出来，其受力情况如图所示，张力T为右半部分对左半部分的拉力。在水平方向应用平衡条件有： Fcosθ = T ,∴ T = mg ctg θ/2。
点评：本题的解答过程也用到了整体法与隔离法。这说明：我们在解答一道物理题时，不仅要综合运用物理知识，而且有时要综合运用各种物理思维方法。切不要一道题目只想到一种解题方法，或只想用一种思维方法就能解答出来。本题第二问的关键是将两部分隔离出来，将内部的张力转化为外力（拉力）。所谓张力即物体内部各部分之间的拉力。
例6.（对称原理与整体法、隔离法）如图所示.在光滑的水平杆上,穿着两个重均为2N的球A, B, 在两球之间夹着一弹簧,弹簧的劲度系数为10N/m,用两条等长的线将球C与A,B相连,此时弹簧被压缩短10cm,两条线的夹角为60°.求: ⑴杆对A球的支持力多大？⑵ C球的重力多大
解：水平横杆光滑，弹簧被压缩后，根据对称性，它对A、B两球的弹力F大小相等，方向相反；其次，两细线AC与BC等长，所以，两细线的拉力大小相等，具有对称性，则杆对A、B球的支持力FNA与FNB具有对称性，大小相等。对A、B、C三个球整体在竖直方向应用平衡条件： 2FNA= 2GA+ GC
弹簧产生的弹力大小F = k x=10×0.1N = 1N
隔离A球，其受力情况如图所示。A球在水平方向有
T cos60° = F= 1N, ∴T = 2N 。在竖直方向有：FNA = Tsin60°+GA,
= 2×/2 + 2 = 3.73N.。
∴GC = 2FNA－2GA = 3.46N 。
练习题：
1、如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到Bˊ点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为：
A、 T1变大，T2减小； B、T1减小，T2变大；
C、T1、T2均变大； D、 T1、T2均不变。
2、如题1图所示，5m长的细绳，两端分别固定在竖直于地面并相距4m的
两杆的顶端A和B，绳上有一个光滑的轻质小挂钩O，O的下面挂一个重量为G的小物体。平衡时下列判断正确的是：
A、细绳的AO段、BO段跟水平线的夹角肯定相等； B、细绳的AO段、BO段中的张力大小相等； C、两杆顶端所受到绳子的拉力均为5G/6； D、只有两杆等高时选择A项才正确。
3、如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（α=120°）
A、 mg ; B. 0.5mg; C. 1.5mg; D. 3mg. 。
4、如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。A、
B两物体的质量分别为m1和m2 ,处于静止状态，则以下说法不正确的是：
A、m2一定等于m1; B、m2一定大于m1g/ 2 ; C、θ1角与θ2角一定相等； D、当B的质量m2稍许增加时，绳子间的张角θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态。
4、（对称与等效）如图所示，两个半球壳拼成的球形容器，内部已抽成真空。球形容器的半径为R，大气压为P0，为了使两个半球沿图中箭头方向相互分离，应施加的力至少多大？
5、质量为10kg的均匀圆柱体放在倾角为60°的V型槽上，圆柱体与槽间的动摩擦因数为.0.25 .沿着圆柱体的轴向施加一个推力F，使圆柱体沿槽做匀速直线运动。求F的大小。
6、如图所示，两个完全相同的球，重力大小为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力F。当绳拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
7、 两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N两点，M、N两点间的距离为 s ,如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长不得短于多少？
8、如图所示，AO、BO、CO是完全相同的三条轻绳，将一根均匀的钢梁吊起，当钢梁足够重时，结果AO绳先断，求BO与CO间夹角应满足的条件？
9、两个相同的光滑球，半径为3cm，重均为8N，静止在半径为8cm的光滑半球形碗底。求两球之间的相互作用的弹力大小及碗对两球的弹力大小。并分析：当碗的半径增大时，上述两力的大小如何变化？
10、如图所示，两根相同的橡皮绳OA和OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一个重50N的物体后，结点O刚好位于圆心. A和B分别沿圆周向两边移至Aˊ和Bˊ,使∠AOAˊ=∠BOBˊ=60°.欲使结点仍在圆心处，则此时在结点处应挂多重的物体？
最后再讲一个对称原理应用的实例：如图所示是建筑工地上常用的人字梁，它是等腰三角对称结构，不计染自重时，在顶点挂上重为G的物体后，利用对称性很容易算出各构件所受的作用力和对墙的压力。
解：把对顶点A的拉力F =G沿AB、AC两侧分解。由于对称，两分力大小相等（F1 =F2），又tgα = h /L,因此, F1= F2 = ；再把F1沿水平方向和竖直方向分解：
F1x=F1cosα = G /2tgα= LG/2h ; F1y = F1sinα = G/2
由于对称性，F2x = F1x ; F2y = F1y. ∴横梁受到的推力大小为LG/2h ,墙受到的压力均为G/2
4、 等效方法
等效方法是最重要的科学思维方法之一。等效方法的依据，就在于不同的物理现象、物理过程
和物理规律，不仅具有其特殊性，而且在某些方面还具有同一性；等效方法的实质，是相互替代的效果相同；等效方法的结果，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深的层次。
在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、平均速度、重心、热功当量、交流电的平均值和有效值、几何光学中的三条特殊光线、虚像、虚物等，都是根据等效概念引入的。在分析和解答物理问题时，一般需要将普通语言转化物理语言，精炼为数学语言，实际上也是一个等效过程。
等效变换的思维方法，在中学物理中极为常用，它的含义非常广泛。只要研究对象（物理量、物理过程或系统）在某一方面的作用效果与另一个对象所起的作用效果相同，就可以在相互间进行变换。
等效方法的应用在中学物理解题范有组合等效、叠加等效、整体等效、运动等效。在力与物理体的平衡这一部分解题中主要应用到前三种等效变换。
例1、并联弹簧的等效劲度系数。先讨论每根弹簧相同的情况如图所示。设有三根弹簧并联，每根弹簧的劲度系数为K0。当每根弹簧两端受拉力F0后，每根弹簧中的弹力大小f0 = F0，每根弹簧的伸长量为
x0 = f0 /k0
整个并联弹簧组两端受力F = 3F0。与它等效的一根弹簧两端也受力Fˊ =3F0后，平衡时，这根弹簧中的弹力fˊ =3f0 .要求其伸长量也为 x0, 则其劲度系数为
K = fˊ / x0 = 3f0 /x0 =3k0
当有n根相同的弹簧并联时，可知并联弹簧组的等效劲度系数为 K = n k0
如果n根长度相同、劲度系数依次为k1、k2、k3、… kn 的不同弹簧并联组合起来，等效伸长量跟每一根弹簧的伸长量相同，则等效弹簧的弹力
f = f1 +f 2 + f3 +… fn = k1 x0 + k2x0 +k3x0 + … knx0 = (k1+k2+k3+…kn) x0
设等效劲度系数为k , 则 f = k x0 ∴ k = k1+k2 +k3 +… kn
上面的两个结论说明：并联弹簧组的等效劲度系数等于各个弹簧的劲度系数之和。
例2串联弹簧的等效劲度系数
⑴将三根相同的弹簧串联起来，每根的劲度系数均为k0,当两端受拉力F平衡后，每根弹簧内产生的弹力大小f0 = F , 每根的伸长量为： x0 = f 0/k0 ，三根串联弹簧总的伸长量x = 3x0
当另一根跟它等效的弹簧（可以是想象中的弹簧）受力F而平衡后，其弹力f =F ,要求其伸长量也为x,则其劲度系数应为：
K = f ,即等于原来一根弹簧劲度系数的1/3.由此可推之，当有n根相同的弹簧串联时，其等效劲度系数为 k = k0 /n
⑵如果n根劲度系数分别为k1, k2, k3 的不同弹簧串联组合起来，当两端受力F达平衡后，每根弹簧中的弹力f = F, 每根的伸长量分别为
x1 = f/k1 , x2 = f /k2 , x3 = f/ k3 , … xn = f/kn
总的伸长量： x = x1 + x2+ x3+ … +xn = f ()
等效劲度系数： k = f /x
∴=.
点评：并联与串联弹簧的等效劲度系数与各个弹簧的劲度系数之间的关系与电阻的串联和并联的等效电阻的表达式具有相似性。对于串联弹簧的劲度系数，我们可以逆向思考：如果将一根弹簧截断成相同长度的三段后，每一段的劲度系数应为原来的3倍；由此可知：弹簧的劲度系数在材料和截面积不变的条件下，劲度系数跟它的自然长度成反比。
练习：弹簧原长为20cm，下端挂一个重量为4N的物体时，弹簧长度为24cm 。若把弹簧剪去一半，挂一个重为3N的物体时，则弹簧的长度为多少？
例3、如图所示，一个等腰三角劈重为G，在劈背的正中向下施加一个大小为39G的作用力F，求劈对接触面的压力大小。
解：作用力F沿劈背正中向下方向，与重力作用线重合，所以将力F与重力G合成一个等效力Fˊ =F +G =40G。用平行四边形定则将力Fˊ分解成如图所示的两个分力F1、F2，劈对接触面的作用力与F1、F2大小相等，结合对称特点，有：2F1 cos60° = Fˊ =40G,
∴ F1 =F2 = Fˊ= 40G
例4、一物体受到n个外力而处于平衡状态，其中一个力F1 =4.0N, 方向向右。如果所有其他（n—1）个外力都保持不变，只将F1的方向转过90°,大小变为3N，则物体所受的合力大小是：
A、3.0N ; B. 4.0N; C. 5.0N; D. 7.0N .
解：因为其他（n—1）个外力保持不变，所以他们的合力也保持不变，用一个等效力R替代他们，则n个外力平衡转化为R与F1两个共点力的平衡，如图所示。
由题意，F1变为F1ˊ后，物体受两个力：R与F1ˊ，由勾股定理得 合力F = 5.0N
答案： C。
例5、如图所示，重力G =50N的物体静止在斜面上，斜面倾角θ= 37°。求斜面对物体的作用力。
解：物体中斜面上处于静止状态，共受三个力：G、支持力FN、静摩擦力f ，斜面对物体的作用力即FN与f的合力，用F替代FN与f的合力，则物体受三力平衡转化为二力平衡，即F与G平衡，所以F =G= 50N，方向竖直向上。
例6、汽缸内的可燃性气体点燃后膨胀对活塞的推力F =1100N，连杆AB与竖直方向间夹角θ=30°。如图所示，这时活塞对连杆AB的推力FN2有多大？对汽缸壁的压力FN1有多大？
解：活塞在水平方向平衡，所以F沿水平方向的分力F1跟汽缸壁对活塞的弹力大小相等。根气压合力与分力的等效替代关系，将力F沿水平方向和AB方向分解如图所示，
FN2 =F2 = F /cos30° = 2200N/3
FN1 = F1 = Ftg30° = 1100N/3 .
例7、如图所示，两个光滑球A和B，用一块竖直挡板和斜面将两球稳住不动。两球质量均为m, 斜面倾角α= 45°。求竖直挡板对B球的弹力大小。
解：将A、B整体用一个质量为2m的球替代（整体等效），斜面对两球各有一个支持力，也用一个支持力FN替代，并设竖直挡板对B球的弹力大小为F，则整体受三个力（2mg 、F、FN）而静止。用力R等效替代F和2mg，则R与FN必然等值反向，由此作出力的合成图。从图即可知F = 2 mg.。同理可求FN= 2mg .
例8、如图所示，光滑圆环固定在竖直平面内，环上穿过带孔小球A、B，两球用轻绳系着。平衡时细绳与水平方向的夹角θ=30° ，此时B球恰好与环心O在同一水平面上，求A球与B球的质量之比mA∶mB =
解：A、B两球穿在圆环上，圆环对两球的弹力FNA、FNB的作用线通过圆环的环心。细绳对两球的拉力T到环心O的距离相等。把三角形AOB等效为一杠杆，等效支点在环心O，设环的半径为R，由杠杆平衡原理得：mAg Rcos60°= mBg R。 ∴ mA∶mB = 2∶1。
本题的另一种解法：以拉力T为联系的物理量，隔离A、B两球，分别应用平衡条件
对A球：从图中可知，T与mAg对称，所以T = mAg ;
对B球：在竖直方向：T sinθ = mBg, 所以T = 2mBg . 结果与前法相同。
例9、如图所示，小车质量为m ,停在水平地面上，现通过一定滑轮拉动小车，小车与地面的动摩擦因数为μ，求最佳牵引角和最小牵引力。
解：小车受四个力：mg、FN 、f 、F. 要使牵引力F最小，首先要使小车匀速运动，其次才是寻求最佳牵引角度与最小牵引力。 用R替代支持力FN与摩擦力f的合力，则小车由受四个力做匀速运动转化为受三个力做匀速运动。即通过等效转换，将四力平衡问题转化为三力平衡问题。
R跟竖直方向的夹角设为φ，称为摩擦角。 由摩擦定律： μ= f /FN = tgφ ∴ φ为定值，即R的方向始终不变。由三力平衡条件得：
， sin(90°+φ－θ) = sin[90°－(θ－φ)]= sin(θ－φ)
sin(180°－φ) =sinφ
∴F = . 此式表明：当sin(θ－φ) =1 时F最小，即θ= φ为最佳牵引角。
最小牵引力Fmin= mg sinφ（sinφ可转化为用μ表示，以后学了相关知识即会变换）
练习题：
1、如图所示，物块A在斜面上恰能自由匀速下滑。斜面倾角为θ。现在对物块施一竖直向下的力F，F的作用线过物块的重心。则物块的运动状态是：
A、 仍然做匀速运动； B、加速下滑； C、减速下滑； D、变为静止。
2、在同一平面上的三个共点力作用于一物体上，物体处于平衡，已知F1和F2互相垂直，F2和F3之间的夹角为120°，则三个力的大小之比为F1∶F2∶F3 = _________.
3、如图所示，质量分别为m和M的两物块，用劲度系数为k的轻质弹簧连接在起，放在水平地面上处于静止状态。当用一个竖直向下的力缓慢下压到一定程度后撒去这一外力。问：外力F至少要多大，当物块m上升到最高点时，M恰能离开地面？
4、一个质点受到如图所示的五个共点力F1、F2、F3、F4、F5的作用，则质点所受合力的大小为：
A、 2F4 ； B、2F5 ； C、F4+F5 ； D、F5
5、如图所示，用轻绳AC和BC悬挂一重物，绳与 水平天花板夹角分别为60°和30°，若物体重100N，求：绳AC和BC所受拉力的大小。
6、六个共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相互间的夹角均为60°，如图所示，则它们的合力的大小是______;方向是_________.
7、如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，活塞将一部分气体封闭在圆筒中。活塞的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，活塞的质量为M，不计活塞与容器内壁之间的摩擦。若大气压强为p0，则被封闭在容器中的气体的压强p等于：
A、p0+ Mgcosθ/S ; B. (p0/cosθ)+ (Mg/S cosθ); C.p0+Mgcos2θ/S ; D、p0+ Mg/S .
8、如图所示，用细线及轻质弹簧吊起10kg的物体，达到平衡，设弹簧原长为1.5cm，劲度系数为7840N/m。较长的那根细线长度为4cm，则这根细线承受的拉力为多大？
9、（对称与等效）如图所示，质量为m的小球与三根相同的螺旋形轻弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120°.已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧对小球的作用力的大小可能为：
A、F； B、F+mg , C、 F—mg ; D、 mg—F 。
10、（整体等效）S1、S2表示劲度系数分别为k2、k2的两根轻弹簧，k1 >k2；a
和b表示质量分别为ma 和mb的两个物块，ma> mb。将弹簧和物块按图所示的方式悬挂起来，要求两根弹簧的总长度最短，则应使：
A、 S1在上，a在上； B、S1在上，b在上；
C、S2在上，a在上； D、S2在上， b在上。
如果将整个装置倒过来放在水平地面上，使两弹簧总长度最短，
又当选哪一个答案？
11、有五个力F1、F2、F3、F4、F5作用于一点O，这五个力的矢量末端分别位于圆内接六边形的顶点A、B、C、D、E，如图所示。若力F1= 10N，求这五个共点力的合力。
12、 图所示，物块质量为M，与甲、乙两弹簧相连接，乙弹簧下端与地面连接。甲、乙两弹簧质量不计，其劲度系数分别为k1和k2，起初甲处于自然伸长状态，现用手将甲弹簧的上端缓慢上提，使乙弹簧产生的弹力大小变为原来的2/3，求甲上端上移动的距离。
13、如图所示，在倾角为30°的斜面上放着一个滑块，滑块所受重力为G。现用一个与AB边平行的水平推力F =G/2推滑块，恰能使滑块在斜面上做匀速直线运动。试：⑴滑块与斜面间的动摩擦因数；⑵滑块运动的方向与F的夹角。
五、临界状态与临界方法
在物理中存在大量的临界问题。所谓临界问题，一般是指在物质的运动从一种形式转变为另一种形式，或者从一种物理现象转变为另一种物理现象、或者从一种物理过程转变为另一种物理过程的过程中，存在着一种突变状态——这是从量变到质量规律在物理中的生动表现。
物体处于这种突变状态——临界状态时，既具有转变前的基本特点，又具有转变后的基本特点。这种转变的条件——有时是一个或几个物理量达到特殊值——临界值。有时临界值则是以极值的形式表现出来，如最大值、最小值和零值。
分析和解决临界问题，有两种基本方法：一是演绎法——从一般到特殊的推理方法；二是临界法——从特殊到一般的推理方法。因为临界状态总比一般状态简单，所以解临界问题，临界法比演绎法简单，一般，只要认真分析物理过程，抓住临界状态，确定其临界条件，建立临界方程，就能突破难点。化难为易。化繁为简。
例、如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为1000N, 轻杆AC能承受的最大压力为2000N, 问：A点最多能悬挂多重的物体？
解：以结点A为研究对象，作出其受力图如图所示。A点受三个力作用而平衡，且FN和T的合力大小为G。若T取临界值时，G的最大值为GT；若FN取临界值时，G的最大值为GN，那么A点能悬挂的重物的最大值是GT和GN中的较小值。
在如图所示的力三角形中，由三力平衡条件得：
，
当FNmax = 2000N时， GN = FNmaxsin75°/sin60°= 2230N
当Fmax =1000N时，GT = Fmaxsin75°/sin45° =1366N.
当F最大时，重物的最大重力只能是1366N, 若挂上重2230N的重物时，AB绳早被拉断。
点评：①本题是一道利用临界条件作为突破口来求解其他物理量的问题。本题存在两个临界条件，选择哪一个进行计算才能得到正确答案，没有统一要求。只要计算出一个结果后就可判断只能让绳或杆满足临界条件。
②本题也可以由 FN /sin60° = F /sin45° ，任取一个恰好达到临界值，求出另一个力的大小，然后跟其临界值比较，并作出判断后再求对应的重力
③如果是两根绳子悬挂物体，而且承受的最大拉力相同，则只要作出力三角形，由各力对应的边长即可判断哪根绳子先达到临界值。
④这类问题的重点在于先判断哪一个力选达到临界值。
例2、如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC（LAB=2LAC）的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体A上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。（g=10N/kg）
解：由共点力作用下的平衡条件可知：当AC恰被绷直但未拉紧时，F有最小值；当AB恰好被绷直而未被绷紧时，F有最大值。
⑴当AC绳的拉力恰为零时，物体受力如图所示，这时TAB与F具有对称性，
∴2 F sin60° = mg Fmin= 20/3 (N)
⑵当AB绳的拉力恰为零时， 物体受力如图所示，在竖直方向应用平衡条件得：
F sin60°= mg , ∴ Fmax = 40/3(N).
例3、如图所示，重80N的物体A放置在倾角为30°的粗糙斜面上。有一根劲度系数为103N/m、原长为10cm的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm。现用一弹簧测力计沿斜面向上拉物体，若物体A与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧长度仍为8cm时，弹簧测力计的读数可能为：
A、0N； B、20N； C、40N； D、60N。
解：弹簧被缩产生的弹力大小为F = kx = 20N,方向沿斜面向上， 物体A的重力沿斜面向下的分力大小为F1 =mgsin30° =40N ，此时A受到斜面施加的静摩擦力大小为f1 = 20N ,方向沿斜面向上。
当弹簧测力计的读数恰为零时，因弹簧的弹力F + f1 =mgsin30°,刚好平衡。当测力计读数逐渐增大时，弹簧长度保持不变，它产生的弹力保持不变，则静摩擦力由向上逐渐减小；当测力计读数增大到20N后，静摩擦力的方向变为沿斜面向下。当A刚要向上滑动时，静摩擦力恰好达到最大值25N，则测力计读数为T + F= fmax+mgsin30°, ∴ T =45N.。 0≤T≤ 45N ，即A、 B、C正确。
例4、如图所示，物块A重G =100N，放在水平地面上，在O处系有两根细绳，其上端固定在墙上B、C两处，当保持BO与CO与竖直方向夹角为60°和30°时，求BO、CO两根绳上受到的最大拉力。
解：在两个角度不变的条件下，地面对A的支持恰好为零时，两绳的拉力最大。此时A受三个力而平衡，如图所示。
根据三力平衡条件，两个拉力的合力必然与重力等值反向，由直角三角形知识可知：FBO = Gcos60° = 50N, FCO =Gsin60°= 50N .
例5、如图所示，物体A重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，有一个跟水平方向成45°角的力F作用在物体上，要使物体静止在墙上，则F的取值范围是多少？
解：当F较小时，设物体恰好不下滑，则静摩擦力恰好达最大值fmax ,且fmax的方向竖直向上，此时A受力情况如图所示。由共点力平衡条件得：
x轴上：Fcos45° = FN ……①
y轴上：Fsin45° + fmax = G……②
公式： fmax = μFN ……③
解以上三式得：F=G/（sin45°+μcos45°）= 10/(1+μ) = 9.4N 。
当F较大时，设物体恰好不上滑，则fmax竖直向下，则竖直方向的方程改为
F sin45° = fmax + G ……④ 。由①③④得F = (sin45°—μcos45°) = 20=28.3N。
要物体保持静止状态，F的取值范围是： 9.4N ≤F≤28.3N.
例6、如图所示，一个质量为M =50kg 的均匀圆柱体，靠在台阶旁边。台阶高度（h）为圆柱体半径r的一半。为了在圆柱体最上方A点施一最小的力，使其刚好能绕粗糙接触点P向上滚动，求：⑴ 所加的力的大小；⑵ 台阶对圆柱体的作用力的大小。
解：当圆柱体刚向上滚动时，地面支持力恰好为零，圆柱体受四个力：重力Mg、台阶的支持力FN、摩擦力f 、在A受到的拉力F。重力作用线一定过A点，所以将FN与f用合力R替代，则圆柱体变为受三个力，考虚圆柱体缓慢转动，作为平衡态处理，三力平衡时，三力必然共点共面，所以R一定沿PA方向。
因为Mg为恒力，R方向始终不变，通过作图法得知，当F⊥R时，F最小。Mg、R、Fmin构成直角三角形，如前图中的矢量三角形所示。
设PO与水平方向的夹角为θ，则sinθ = ( r—h)/r = 1/2 , ∴θ =30°, 由此得到∠PAO=30°
Fmin= Mgsin30° = 2.5×102N; R = Mg cos30° = 4.3×102N.
反思：①本题应用了两种思维方法：临界法——抓住刚向滚动的临界状态，地面支持力为零，将五力问题转化为四力平衡问题；等效方法——以合力R替代FN和f，又将四力平衡问题转化为最简单的三个共点的平衡问题。②在分析拉力F的最小值时，应用了三力作用下动态平衡的图解法，避免了用力矩平衡条件分析。③本题的解法很多，这里只提供了一种解题思路，其它的如正弦定理，力矩平衡条件等思路都较简单。
拓展：试计算台阶对圆柱体的弹力FN和摩擦力f 的大小；如果作用点不限制，那么，在圆柱体什么位置施一个最小的力，也可以使它滚上台阶？
练习题
1、如图所示，质量为1kg的物体，放在倾角为30°的斜面上，物体与斜面间的最大静摩擦力为2N,要使物体在斜面上处于静止状态，沿斜面向上的对物体的推力F的取值范围是多少？ （g=10N/kg）
2、如图所示，重225N的物体G由OA和OB两根绳子拉着，绳OB始终保持水平方向。已知两根绳子能承受的最大拉力均为150N.为了保持绳子不被拉断，绳子OA与竖直方向的夹角α的最大值应为多少？
3、如图所示，斜面固定，物体A重10N，物体B重10N，A与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2, 绳重、绳与定滑轮间的摩擦均不计。要使A保持静止状态，水平拉力F应取何值？（可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。
4、如图所示，M = 4kg，斜面倾角θ=30° ，木块M和斜面间的动摩擦因数为μ= 7/20，问物体m的质量为何值时，能使M保持静止。
5、如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、100N和200N，为保证绳子不断，OC绳所悬挂的重物不得超过多重？
6、一根长70cm的细绳，它能承受的最大张力为50N, 两端固定在天花板上相距50cm的A、B两点。在绳上距A点40cm的C点悬挂一重物，不断增加重物的重力，求：当绳子被拉断时，重物的重力多大？并说明哪一段绳先断？
7、如图所示，在竖直墙壁的顶端有一直径可以忽略的定滑轮，球重为G，半径为R，用一根细绳拉着球，使它沿光滑的竖直墙壁缓慢向上运动，若绳所能承受的最大拉力为T，试求当球心离顶端A多远时球将从绳上掉落？
8、轻杆AB长L（m），A端通过转动轴固定在墙上，B端用轻绳与墙上的C点相，如图所示。∠CBA=30°。轻绳能承受的最大拉力为200N，若要在AB的中点挂物体，则该物体重量最多是多少？
9、如图所示，一个质量为m, 半径为R的球，用长为R的轻绳悬挂在L形的直角支架上，支架重力不计。其中AB段长2R，BC段长2R，为使支架不会在水平桌面上绕B点翻倒，应在A端至少加多大的力？
10、建筑工地上的黄沙，堆成圆锥形而且不管堆多少或如何堆，其形状和其锥顶的角度总是不变的，这是什么缘故？你能用比较简单的方法测出黄沙之间的摩擦因数吗？
六、图解法
这里所介绍的图解法是利用矢量合成与分解的平行四边形定则或三角形定则，通过作图的方式找到解决问题的突破口或关键结论，从而比较简捷地完成解题过程。在作图过时要充分利用恒矢量和方向不变的矢量。
例1、如图所示，用细线悬挂均匀小球靠在竖直墙上，如把线的长度缩短，则球对线的拉力T，对墙的压力FN的变化情况正确的是：
A、T、FN都不变； B、T减小，FN增大； C、T增大，FN减小；
D、T、FN都增大。
解：当线的长度缩短时，线跟墙壁间的夹角θ增大，小球始终静止，其重力为不变量，将重力沿线方向和垂直于墙方向分解，如图所示，初态：T1 = AD, FN1 = DC , 末态：T2 = AB， FN2= BC。从矢量分解图可知：T、FN都增大。
例2、如图所示，在竖直墙壁的顶端有一直径可以忽略的定滑轮，用细绳将质量m =2kg的光滑球沿墙壁匀速拉起来。起始时绳与墙壁间的夹角α=30°，终了时绳与墙壁间的夹角β= 60°。则在这过程中，拉力F的最大值和最小值分别是多少？球对墙壁的压力的大小在这个过程中是如何变化的？(g=10N/kg)
解：球匀速上升，受三个共点力而平衡，其中重力为恒力，墙壁对球的弹力FN的方向不变。线的拉力T与墙壁的弹力的合力与重力等值反向，所以，作出初态（α=30°）与末态（β=60°）的矢量合成图，显然这一过程中的拉力最大值为
T2= 2mg = 40N ; 最小值T1 = mg/ cos30° = 40/(N)
例3、如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？
解：重力为不变矢量，球对斜面的压力方向也不变，将重力沿垂直于斜面方向和垂直于挡板方向分解为F1和F2，它们分别跟球对斜面的压力FN1和对挡板的压力
FN2大小相等。挡板转动，分力F2的方向也跟着转动，但始终与挡板垂直。从矢量分解的动态图可知，当F2 ⊥F1时F2最小。此时F2与斜面平行，即挡板跟斜面垂直，∴β=90°。F1 、F2与mg构成直角三角形，由图可得挡板所受的最小压力FN2min= F2min = mgsinα
点评：本题是一道典型的三力平衡动态问题，只有用图解法才比较简单。从图中可以看出：挡板受到的压力先减小后增大，而斜面受到的压力一直增大。相反的过程，即β减小，则1一直减小。而F2仍然是先减小后增大。需用注意的是，对于F2是否总是先减小后增大，还要看初始状态F2处在什么范围，不能把这个结论无条件推广。因为不论是物理规律或是某些重要结论，都是在一定条件下成立，即物理知识都是条件化的知识。
例4、建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶安装一个定滑轮（图中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处。为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还用另一根绳子CD拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离，如图所示。若不计两根绳子的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB与CD上的拉力T1、T2的大小变化情况是：
A、T1增大， T2增大； B、T1增大，T2减小；
C、T1增大，T2不变； D、T1减小，T2减小。
解：在保持材料与墙面间的距离不变的条件下，材料上升，拉绳AB与CD之间的夹角变小，材料的重力为不变量，将重力沿两拉绳方向分解，如图所示，由状态1变到状态2，两分力变大，即两绳的拉力T1、T2均变大。正确选项为A。
例5、在两个共点的合成实验中，如图所示，用A、
B两弹簧秤拉橡皮条的结点D，使其位于E处，α+β=90°，然后保持A的读数不变，当角α由图示位置逐渐减小时，欲使结点仍在E处，可采用的方法是：
A、 增大B的读数，减小β角； B、减小B的读数，减小β角；
C、减小B的读数，增大β角； D、增大B的读数，增大β角。
解：结点仍在E处，即两弹簧秤的拉力的合力不变，以F为不变矢量，
作出初态的矢量图合成图；然后根据A的读数不变，α减小的条件，以E为圆心，EA =F1为半径画圆弧，再作平行四边形，对角线仍为原来的长度和方向。从图可知：B弹簧秤的读数变小，角度β也减小。
正确选项为B。
拓展：如果开始状态两弹簧的夹角大于90°，则结果又当如何
解析：如图所示。①设初始状态为EA方向，左边弹簧秤读数不变，减小夹角α当矢量F1转到EB方向时，F2减小，β角增大；转到EC方向时，F2减小，但β不变；转到ED方向时，F2减小，β也减小。
结论：F2总是减小，但β角有两种可能，一种是增大，一种减小。
例、如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时：
A、 绳OA的拉力逐渐增大； B、绳OA的拉力逐渐减小；
C、绳OA的拉力先增大后减小； D、绳OA的拉力先减小后增大。
解：见右下图，前面几例是将某一个恒力进行分解，本题的作法是
根据三个共点力平衡条件的推论：任意两个力的合力跟第三个力等值反向。将恒力反向延长，以R= mg作为F1、F2的合力，并以此为固定的对角线作图。从作图可得：绳OA的拉力先增大后减小，另一根方向不变的拉绳的拉力一直减小。
所以，选择D。
练习题
1、用一根据轻绳把质量为0.5kg的小球悬挂在O点，用力F拉小球使悬线偏离竖直方向30°角，小球处于平衡状态，力F与竖直方向的夹角为θ，如图所示，若使力F取最小值，则θ=_______；此时绳的拉力为___________.
2、如图所示，使弹簧秤Ⅱ从图示位置开始沿顺时针方向开始缓慢转动，在此过程中，保持结点O的位置不变，保持弹簧秤Ⅰ的拉伸方向不变。那么，在全过程中关于弹簧秤Ⅰ、Ⅱ的示数F1、F2的变化是：
3、在力的合成实验中，用两弹簧秤拉橡皮筋的结点至O点，如图所示。今保持F1的读数不变，而逐渐减小α，仍要使橡皮筋的结点拉至O点，则可使用的方法有：
A、 使F2的读数变大，β变小， B、使F2的读数变小，β变大；C、使F2的读数变小，β变小； D、使F2的的读数变大，β变大。
4、半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，系于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直处C，如图所示。分析OA绳和BO绳所受拉力的变化情况？
5、如图所示，物体静止在光滑的水平面M上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OOˊ方向作加速运动，力与直线OOˊ的夹角为θ，且力F在平面M内。那么，必须再同时加一个力Fˊ，则这个力的最小值为多少？
6、将一个大小20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°，试讨论：⑴ 另一个分力的大小不会小于多少，⑵ 若另一个分力的大小是。
20/（N），则已知方向的分力的大小是多少？
7、甲、乙两个分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，如图所示，已知甲的拉力大小为800N，方向与航向夹角为30°。要保持小船能在河流正中间沿直线行驶，乙怎样用力最小？其最小的力为多大？此时小船受到两人拉力的合力为多大？
8、如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力有向线段恰好分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1=10N，则这五个力的合力大小为_______N.
七、三力平衡的解法
物体受三个力而平衡的问题，解法较多，通常情况可以转化为直角三角形、棱形、或相似三角形。有的四力平衡也可以转化为三力平衡进行处理，如支持力与滑动摩擦力合成为一个力的情况。
例1、轻绳OA与轻杆OB的A、B端固定在墙上，O点下悬挂一个质量为10kg的物体。∠ABO=90°，∠AOB =30°，当物体静止时，求：⑴OA绳对O点的拉力？⑵OB杆对O点的作用力？（g=10N/kg）.
解法一：正交分解法。见图，由共点力平衡条件，在x轴上：T cos30°=FN
y轴上：Tsin30°=mg .解两式得：T =2mg = 200N，FN = mgctg 30° = 100/3(N)
解法二：利用“任意两个力的合力跟第三力等值反向”作图求解，如图所示。
作图：反思延长重力作用线，取R = mg，以R为对角线，T和FN为邻边完成平行四边形。平行四边形由两个直角三角形组成，从图可知：
T = R/sin30°= 2R =2mg, FN =R ctg30°=Rmgctg30°。
解法三：由正弦定理的变形得：
，sin150°=sin(180°—30°) = sin30°, sin120° = sin(180°—60°) = sin60° = cos30°, ∴ T = 2 mg, FN = mgctg30°.
解法四：利用杠杆平衡原理（力矩平衡条件）
如图所示，作BD⊥AO ，BD为细线拉力T的力臂，拉力的力臂为BO =L，轻杆，不计重力，杠杆BO平衡。以B点为支点，所以有：F L = TL1= Tlsin30°， F =mg， ∴ T =2mg。
把整个三角形AOB作为一个杠杆，以A点为支点，则有FN AB = FL ， FN Ltg30° = mg L , ∴ FN= mgctg30°.
注意：①轻杆BO两端受力，称为二力杆，所以，对杆的作用力一定沿杆的方向，墙对杆的作用力FN 跟杆对O点的作用力大小相等，所以没有用不同字母区别。
② 直杆如果有自重（例如均匀杆，隐含受重力）则不成为二力杆，其受力不沿杆的方向。本题如果杆不是轻杆，则方法四可能不成立。
解法五：应用力的分解——研究对象为竖直绳对O点的拉力F，将F沿AO方向和OB方向分解为F1和F2。 F1 = T = mgsin30° =2mg,
F2= FN = mgctg30°.
例2、如图所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，已知AB绳长L，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d ，∠ABO > 90°。则绳中张力大小为________,大球对小球的支持力大小为______（小球直径忽略不计）
解法六：应用相似三角形知识求解。小球受力三个：mg, T, FN，如图所示。
反向延长AB，作重力mg与支持力FN的合力F。根据平衡条件，有F = T 。
从阴影所示的力三角形与空间三角形ABC相似，所以：
，∴T = F = ， FN =
反思：①在三力平衡问题中，如果题中的已知条件有几个边长的数据或字母，可能要利用相似三角形的性质列式求解。如果已知的是角度，一般不会利用相似三角形的性质求解，多数可化为直角三角形或棱形的对角线公式求解。②如果减小绳长L，拉力T也随之减小，在小球缓慢移动到大球顶点C之前，大球对小球的支持力FN的大小保持不变。③如果用一颗光滑钉子挂住绳子，绳子两端分另系一小球m1, m2，两球仍放在大球面上，整个系统处于静止状态，利用上面的结论，可以很快求出两球的质量比跟绳子长度L成反比。读者可以自行证明。
解法七：图解法（参见前面第六部分的例题）
解法八：利用余弦定理求解（不常用）一质点受三个共点力F1、F2、F3处于静止状态。已知F1 = 30N， F2 = 40N，F1与F2的夹角为120°，求F3的大小及方向。
解：本题相当于已知三角形的两边和夹角求对边的长度及方向。作出三个力分布的矢量图，再将F1和F3平移或滑动，使F1、F2、F3构成封闭三角形。从图中可得： F32 = F12 +F22 —2F1F2cos60° ,
∴ F3 = 10N = 36.1N. 由F2反方向与F3的夹角为φ，则有F12 = F22+F32—2F2F3cosφ,
cosφ = 25/36 =0.6940, φ = 45.7°. 所以，F3跟F2的夹角为134.3°。
2004．10．7．完稿
重庆市铝城中学 牟长元 （ muchangyuanls@ ( mailto:muchangyuanls@ ) ）
这份资料是作者在04年的力作之一，以静力学问题为载体，全面研究高中物理中的常用解题方法：正交分解法、整体与隔离法、临界状态与临界方法、等效方法、对称方法、动态问题的图解法；另附有三力平衡的八种解法。高水平的画板制图，清晰规范，在随意移动和复制方面，比之Word下制作的图片更胜一筹。（文档长度：五号字、A4纸24页）
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静力学解题方法研究及专题训练
重庆市铝城中 学牟长元
1、 正交分解法
正交分解法解答物理问题的优势在于：① 解题过程的程序化，易于学生理解和接受；
②学生一旦掌握这种方法，就可以按部就班的从“定物体，分析力→建坐标，分解力→找规律，列方程→求结果，反思题”这样一个模式化的解题过程进行下去，总可以将题目解答出来。③这种方法适用于物体受力个数较多且有些力不在互相垂直的两个方向上，而其它方法对力的个数较多的情况应用起来反而更复杂。有时对力的分布又有比较特殊的要求。而正交分解法几乎没有什么限制；不论力的个数，也不论力的分布是否具有对称性或临界特点，也不论被研究的是一个物体还是物体系；④正交分解法的解题形式规范，整齐划一，通常都在x轴和y轴两个方向上列出方程，必要时加一个辅助方程，可以求解两到三个未知量；⑤学生一旦掌握了正交分解法，就可以在大脑中形成一种固有的解题模式，所以，在面临具体问题时，很快自动生成解题思路。⑥正交分解法是一种常规方法，人们在解题时，一般情况下常规方法最容易进入解题者的短时记忆，不论是平时考试还是高考，常规方法往往是最直接是最效的方法。因此，对正交分解法题题应该让学生达到程序化、自动化、标准化的熟练境界。
例1、如图所示，用一个斜向上的拉力F作用在箱子上，使箱子在水平地面上匀速运动。已知箱子质量为m ,F与水平方向的夹角为θ，箱子与地面的动摩擦因数为μ。求拉力F的大小。
解：箱子受四个力：mg、FN、f、F作用，如图所示。建立直角坐标系如图，将拉力F分解为：Fx = Fcosθ , Fy= F sinθ.
根据共点平衡条件得：
x轴上： Fcosθ = f …… ①
y轴上： Fsinθ+ FN = mg …… ②
摩擦定律：f = μFN …… ③
将③代入①，再将②中的FN的表达式代入后得：F =。
如果用下斜向下的推力F，则要物体匀速运动，F的大小为何值？
此时只需将方程②改为：FN = mg + F sinθ… ④ 。
由①③④三式可得： F = 。 由本式讨论，可知：当F与水平方向的夹角θ为某一角度时，不论多大的推力F，都不能推动箱子。F无论多大，即F达无限大，则上式的分母应为零。由此可以令 cosθ －μsinθ = 0 , ∴cot θ = μ.
例2、如图所示，一个质量为m的木块在推力F作用下可沿竖直墙壁匀速运动，木块与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ，F与竖直方向的夹角为θ。求推力F的大小。
解：本题的关键条件是：“沿竖直墙壁匀速运动”，但并未确定向上或向下匀速运动，所以，要分“向上匀速运动”和“向下匀速运动”两种情况处理。即分类讨论。
⑴ 物体匀速向上运动。滑动摩擦力沿墙壁向上，受力情况如图所示。
建立直角坐标系，沿x轴和y轴分解力F。根据共点力平衡条件得：
x轴上：F sinθ= FN ……①
y轴上：Fcosθ= f + mg ……②
公式： f = μFN ……③
将①、③代入②后得：F = 。
⑵ 物体沿墙壁匀速下滑时，只须将滑动摩擦力方向变为向上，则上面的方程②改写为：F cosθ+ f = mg ……④
由方程①③④可解得：F= 。
思考：要使物体贴着墙壁静止，上图中的推力F应取何值。
例3、如图所示，质量为m的物体在不受其它外力时恰能沿斜面匀速下滑，那么要将该物体匀速推上该斜面，需要加多大的水平外力F？已知斜面倾角为θ。
解：物体匀速下滑时，受三个力：mg 、FN、f . 滑斜面方向有
mg sinθ = μmg co sθ , ∴ μ = tgθ.
对物体施以水平推力F时，向上匀速运动。受力情况如图所示。建立直角坐系，将重力mg和推力F分解在两个坐标轴上，由共点平衡条件得：
x轴上：Fcosθ= mgsinθ+f ……① 将②③代入①得 F =mg.
y轴上: FN = F sinθ+ mg co sθ ……② 又将μ=tgθ替换后得：
摩擦定律：f = μ FN ……③ F = mg.
点评：解题时注意题目叙述的层次及描述的物理过程，进行分层次表达（用图形或方程），将题目所给条件的文字表达方式翻译或转化成物理图形或数学物理方程，才能对问题有较清晰的理解和把握，才能进行运算。否则永远处于模糊状态。
例4、如图所示的三个共点F1、F2、F3，大小分别为F1= 30N；F2=40N；F3=20N，彼此间的夹角为120°, 求三个力的合力。
解：让直角坐标系的x轴与F2共线。分解F1与F3，则合力F在
x轴上的分力
Fx = F2－F1sin30°－F3sin30° = 40－30×0.5 －20×0.5 = 15N
在y轴上分力
Fy= F1 cos30°－ F3cos30°= 5N. 则合力的大小为
F = 10N； 方向由 tg φ = , φ= 30°(与F2的夹角)。
本题的对力的分解是为了求力的合成，也是为了将矢量运算转化为代数运算，从而便于精确求解物理问题。对于受多个力的条件下也是为了方便计算，不然就要一个一个地作平行四边形，这样既费事而且误差还很大。
例5、如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
解：本题的关键是理解“两绳都伸直”的含义：FAB ≥ 0 ……① FAC ≥ 0 ……②
建立如图所示的坐标系，将力F与FAB分解，由共点力平衡条件得：
x轴上：Fcos60°= FABcos60°+ FAC ……③
y轴上：Fsin60° + FABsin60° = mg ……④
将F看作已知，由④式解得FAB = 2mg /－F≥0
∴ F 2mg。再由③得 F －FAB = 2FAC ,由④式得： F + FAB = 2mg /。两式相加得：
FAC = F－mg /≥0 ,∴ F≥mg/。F的取值范围是：mg/ ≤ F ≤ 2mg/ 。
点评：本题的技巧是先将F看成已知，通过共点力平衡条件列出水平与竖直两个方向的平衡方程，解出FAB与FAC，再结合“两绳都拉直”的数学含义，最终得到F的取值范围。物理问题要求的物理量或某个量的取值范围通常隐藏在物体在某一状态下应遵守的物理规律中，这些规律往往要通过某个具体的方程来表达。所以，我们在解物理题时，要注意在审题环节中审出关键词语及其具体含义，并用适当的数学式子表达出来；关键词语有时是作为隐含条件的表达形式存在于题目中，关键词容易看出，但它的具体含义却要在做练习题中不断积累。
应用正交分解法解平衡问题的主要步骤是：① 定物体，分析力；②建坐标，分解力；③找规律，列方程；④解方程，得结论。⑤反思关键，形成经验。
2、 整体法与隔离法
在解物理问题过程应用的整体法，是将几个具有相互作用或影响的物体看成一个整体或系统，
进行分析或思考要解决的问题。在平衡问题中，通常所求的目标是某几个外力时，优先应用整体法。
这时几个物体通常都处于平衡状态。隔离法是将具有相互作用或影响的物体隔离出来，单独对其中某一个物体进行分析。如果要求物体之间的相互作用力，则必须采取隔离法。整体法与隔离法常常结伴同行，共同处于同一问题，两者是相互依存的关系。
整体法与隔离法的含义和作用并不是这样简单，在今后的学习中还要经常应用到这两种解题方法。把全过程看作一个整体进行分析，是在第二章处理匀变速直线运动时要用到的另一种类型的整体法。
例1、如图所示，两块相同的竖直木板A、B之间有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动。设所有接触面的摩擦因数均为μ，则第三块对第二块砖的摩擦力的大小为多大。
解：以四块砖为整体，所受外力情况：重力4mg、A板对砖块1的静摩擦力和木板B对砖块4的静摩擦力，由对称特点，两个静摩擦力相等，均为f, 所以整体共受三个外力，如图所示。由平衡条件得：
2f = 4mg, ∴ f = 2mg.
以1、2两块砖为整体，其受外力如图所示。因f =2mg，已跟两块砖所受重力2mg平衡，所以，第三块砖对第二块砖的摩擦力 f32 = 0.
同类拓展：将四块砖增加为五块砖，求第三块对第二块的摩擦力。这时，对五块砖构成的整体有： 2f = 5mg, ∴ f = 2 .5mg 。仍取1、2两块
砖为整体，要满足平衡条件，f32 = 0.5mg, 方向竖直向上。如图所示。
类推：如果A、B两板之间夹偶数块同样的砖，则正中接触面无摩擦力；如果是奇数块，则每一个接触面都要受到静摩擦力。方法是要求哪个接触面的静摩擦力，只要想象中把这个接触面分开，对其中一部分作受力分析，就可以求出所要求的摩擦力。这类题目总是先大整体，再小整体（即部分隔离）。
例2、如图所示，A、B为相同的两个木块，叠放在水平地面C上，A、B用水平绳通过一个滑轮连接在一起，在滑轮上用一个水平力F，恰好使A、B两个木块一起沿水平地面向右匀速运动。不计轻绳和滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦，关于A、B间的摩擦力f1和B、C间的摩擦力f2的大小，下列判断正确的是：
A、 f1= F/2, f2 = F/2 ; B、f1= F/2 , f2 = F; C、f1 =0 , f2 = F; D、条件不足，无法判断。
解：以A、B和滑轮为整体，在水平方向平衡，则f2与F构一对平衡力，所以f2应水平向左，大小f2 = F. 只在B、C两个选项中去确定。对滑轮有2 T = F, ∴ T = F/2 。隔离A出来，A木块在水平方向受二个力而匀速运动，如图所示，所以f1 = T = F/2 .正确选项为B。
例3、有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间用一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN 和细绳上的拉力T的变化情况是：
A、 FN不变，T变大； B、FN不变，T变小； C、FN变小，T变小；D、FN变大，T变小。
解：以P、Q两环为整体，因为OB杆光滑，在竖直方向上，整体受两个外力：重力2mg和水平杆AO对P环的支持力FN，所以FN =2mg为不变量。只能在A、B两个答案中去选，P环左移后，细绳与竖直方向的夹角θ变小，Q环受到的重力mg为不变量，所以将Q环隔离出来，在竖直方向应用平衡条件有：T cosθ= mg . cosθ↑,∴ T↓.
正确答案为B
例4、如图所示，人的质量为60kg, 人所站立的木板质量为40kg ,人用100N的水平拉力拉绳时，人与木板保持相对静止，而人和木板恰能作匀速直线运动。求：人受到的摩擦力和木板地面的动摩擦因数（g =10N/kg）.
解：设木板和人的质量分别为m1, m2，地面对木板的滑动摩擦力为f1,木板对人的静摩擦力为f2 ,地面对木板的支持力为FN ，细线对人和木板的拉力为T。以人和木板为整体，（如虚线框所示）。整体受到的外力有：重力（m1+m2）g、地面支持力FN，地对摩擦力f1, 细线拉力两个T。整体在五个外力作用下做匀速运动。
竖直方向：FN = （m1+m2）g
水平方向：2T = f1
摩擦定律： f1 = μFN
由以上三式得：2T= μ（m1+m2）g , 2×100 = μ(60+40)×10, ∴ μ= 0.2.
反思：本题如果将动摩擦因数μ作为已知，由整体的平衡状态可以求人拉绳子的拉力大小。同时根据平衡条件也可以求出人受到的静摩擦力的大小和方向如图所示。 F2 = T =100N.
滑动摩擦力即可以由公式f =μFN求，也可以由物体的平衡状态根据平衡条件求。而静摩擦力不能用公式f=μFN。
静摩擦力的存在与否以及大小的计算通常有六种思路：
1 根据静摩擦力存在的三个条件：弹力不为零；接触面粗糙、具有相对运动趋势。
2 应用假设法：假设接触面光滑时，物体的相对滑动方向即有摩擦时的相对运动趋势的方向。
静摩擦力的方向跟相对运动趋势方向相反。
3 根据共点力平衡条件。
4 根据运动状态的变化（加速或减速）：牛顿第二定律的应用。
5 根据相互作用规律（牛顿第三定律）
6 应用力矩平衡条件（或杠杆平衡原理）
上面六种思路中，应用较多的是③④⑤三种思路。应用物理规律分析力的存在与否以及大小
的计算，是今后的主要方向。对于弹力和摩擦力这两种被动力，通常要根据物体的运动状态及其变化来确定它是否存在，然后才能运用相关规律进行计算。
例5、两个半径均为r、质量均为m的光滑圆球，置于半径为R（r
C . FD可以大于、等于或小于mg ; D. FC可以大于、等于或小于mg .
解：将两球作为整体，如虚线框所示。整体处于静止状态，在水平方向满足二力平衡条件 ，有FA = FD ,所以选项A正确。
在竖直方向也满足平衡条件，则FB=2mg.,
所以B选项正确。
将O球隔离出来，它受三个力作用而平衡，如图所示。FD与mg的大小关系取决于联线
OOˊ与水平方向的夹角α。当α=45°时， FD= mg,当α> 45°时， FD < mg ；当α<45°时，FD > mg。而FC是力三角形的斜边，所以FC总大于mg.
选项C对，而D错。
本题的正确答案为：A、B、C。
如果将r和R作为已知条件，则可以求出FA、FD，FC的大小。
例6、如图所示，将长方形匀质薄板分割成面积相等的两块A、B，并如图平放在不光滑的水平面上。现对A施加一个水平推力F，F与A的左侧边垂直，则A、B恰好做匀速直线运动（暂态过程不计），并且A、B间无相对运动，角θ为已知。求A、B之间的弹力大小。
解：因A、B质量相同，材料相同，则与水平面间的动摩擦因数相同，水平面对A、B的滑动摩擦力分别为fA
fB。取A、B系统为研究对象，因系统匀速直线运动，在水平方向有
F = fA + fB , fA = fB ,∴ fB = F/2 .
隔离B出来，B在水平面内受三个外力：水平支持面施加的动摩擦力fB、A对B的弹力FN、A对B的静摩擦力fAB, 如图所示。fAB⊥FN 根据共点平衡条件，FN与fAB的合力与fB等值反向，由力三角形得：FN = fB sinθ= F sinθ/2.
本题的解题思路仍然是整体法与隔离法结合示相互作用力。隔离物体是选择B，如果选择A，同样可以解出来，只是A在水平面共受四个力。从受力分析角度看，隔离受力个数少的物体会使解题过程简捷一些。
练习题
1、如图所示，质量为m的物体在沿斜向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面体（ ）
A、 无摩擦力； B、有水平向左的摩擦力；
C、 支持力为（M+m）g; D、支持力小于（M+m）g
2、如图所示，物体a, b, c，叠放在水平桌面上，水平力Fb=5N, Fc =10N ,分别作用在物体b、c上，a, b和c保持静止。用f1、f2 、f3分别表示a与b ,b与c，c与桌面间的静摩擦力的大小。则
A、f1=5N, f2 =0 ,f3 =5N ; B、 f1=5N, f2=5N, f3 =0 ;
C、f1=0, f2 =5N , f3 =5N; D、f1=0, f2 =10N , f3 =5N
3、如图所示，吊篮重200N,人重500N，绳子质量及绳子与滑轮间的摩擦不计，求：当此人用100N的力拉绳子时，篮底板对人的支持力、地面对吊篮的支持力分别是多大？要使吊篮离地上升，此人的拉力至少多大？
4、如图所示，用细线通过滑轮连接三个物体，已知C物体的重力为G，当三个物体处于静止状态时，桌面对A的静摩擦力等于多大？
5、在粗糙水平面上有一个三角形木块abc, 在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1和m2的木块，m1> m2, 如图所示，已知三角形木块和两个放在上面的木块都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块：
A、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右； B、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左； C、有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m1、m2、θ1、θ2的数值并未给出； D、没有摩擦力的作用。
6、如图所示，球的质量为m, 斜面体的质量为M，倾角为θ=53°，球光滑，它与墙角、斜面间没有摩擦力作用，斜面体静止在粗糙的水平面上，这时地面对斜面体的支持力为多大，静摩擦力为多大？如果要使系统保持静止，地面与斜面体间的摩擦因数应满足什么条件？
7、质量分别为m1、m2的两个木块静止放在质量为M的斜面上，如图所示，M对地面的压力大小是___________, 若两木块分别沿斜面匀速下滑，在下滑过程中M对地面的压力大小是____________. 情境图见第5题图。
8、如图所示，B与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A的动摩擦因数为μ2。已知 μ2>μ1=
tanθ,A、B质量分别为m1和m2, 则在两木块一起匀速下滑的过程中，A、B间摩擦力的大小为：
A、 0； B、μ2m2gcosθ; C、μ1m2gcosθ; D、m1g cosθ。
9、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图甲所示。今对球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏向30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是图乙中的哪一个？
10、如右上图所示，一只球挂在三角形木块的右侧面，球与木块均能保持静止，则：
A、 地面对木块的静摩擦力向右； B、地面对木块的静摩擦力向左；
C、地面对木块无摩擦力； D、若地面光滑，挂上球后木块一定滑动。
11、如图所示，两个完全相同的光滑球的质量均为m, 放在竖直挡板和倾角为α的固定斜面间。若缓慢转动挡板至与斜面垂直，此过程中：
A、A、B两球间的弹力逐渐增大； B、B球对挡板的压力逐渐减小；
C、B球对斜面的压力逐渐增大； D、A球对斜面的压力逐渐增大。
12、如图所示，重为G1的三角形滑块置于水平面上，滑块与地面间的动摩擦
因数为μ，如果在竖直墙壁和滑块间放一光滑球，求使滑块保持静止时小球的最大重力G。
13、如图所示，四个木块在水平力F1和F2作用下静止于水平桌面上，且F1=3N，
F2=2N，则：
A、B对A的摩擦力大小为3N，方向与F2相同； B、B对C的摩擦力大小为3N，方向与F1相同； C、D对C的摩擦力大小为1N，方向与F2相同； D、桌面对D的摩擦力大小为1N,方向与F2相同。
14、如图所示，半径为R的光滑球重为G，光滑木块高为h ,求：至少需用多大的水平力F才能使球离开地面，此条件下竖直墙壁对球的弹力为多大。
15、如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平推斜面体使斜面体缓缓地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F是多大？
16、如图所示，光滑圆球A的半径为10cm,悬线长L=40cm ,物体B厚20cm ,重12N，物体B与墙壁之间的动摩擦因数μ=0.2，物体B在未脱离球A前沿墙壁匀速下滑。求：⑴此时A对物体的压力？⑵球A所受重力大小？
3、 对称方法及应用
“对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在物理学中的对称比数学具有更广泛的含义，如物质分布的对称——均匀球体，均匀带电球壳的电荷，弹力的伸长与压缩及产生的弹力，具有一定特点的往复运动等，这些只是对称的表达形式，而对称的深层本质却是不变性。所谓对称性或对称原理，就是事物经过某些变换后仍保持的不变性或某些不变性。或者说，在对称的条件下，一定的规律可以等效地迁移（不论在同一问题的不同过程中，还是在两个截然不同性质的问题中），从而避免繁琐的数学推证，一下抓住问题的物理本质，迅速而简捷地解决问题。在静力学部分，我们主要涉及到结构结称。
从科学思维方法的角度看，对称原理最突出的作用，是启迪和培养直觉思维能力。在分析和解答物理问题时，如果善于从对称性的角度度剖析问题的物理实质，抓住问题的“突破口”，问题就迎刃而解了。
例1、 如图所示的光滑球所受重力为G，放在一个“V”型槽之间处于静止状态，θ为已知。求V型槽受到压力大小。
解：因为V型槽的两个平面以竖直线对称，将光滑球受到的重力G沿垂直于V型槽的两个平面方向分解为G1与G2，如图所示。则G1与G2以竖直线为对称轴，所以G1= G2，以G1和G2为邻边的平行四边形是棱形，G1、G2与竖直线的夹角均为θ，所以：
G = 2G1 cos(90°－θ) =2G1 sinθ, 即时 G1 = G2 = G /sinθ.球对V型槽两个平面的压力F1、F2大小分别与G1、G2大小相等，F1 = F2 = G/2sinθ 。
点评：本题图中的G1、G2与竖直线的夹角α与θ互余。本题中的光滑球实际上是在三个共点力：G、F1、F2作用下处于静止状态，所以也可以应用三力平衡条件求解。支持力F1、F2具有对称性。
例2、如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角α。
解：动滑轮两边细绳的拉力F1、F2大小相等，动滑轮在三个力作用下平衡（两边绳子的拉力F1、F2和重物向下的拉力F3）。F竖直向下，F1、F2以竖直线为对称轴。由后力与分力的关系，得
2 F1cos(α/2) = F3= G F1 = GA =100N, F1 = F2= 100N,∴ cos(α/2) = /2. α=120°.
例3、如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍。图(b)所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和AK和BK的拉力F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过AK和BK的角平分线。延长AK交墙壁于C点，
因KB =KC，所以由已知条件
AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度α=30°，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力R与重力等值反向，所以：
2 F cos30° = R =G, ∴F = mg/2cos30° = mg/3 .
点评：①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。②设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d = AO , sinα = d /L ，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度α为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。③对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sinα = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。
例4、1999年10月，中国第一座跨度超千米的特大悬索桥——江阴长江大桥正式通车，大桥主跨1385m，桥长3071m, 桥下通航高度为50m， 两桥塔身高196m，横跨长江南北两岸的两根主缆，绕过桥塔顶鞍座由南北锚锭固定，整个桥面和主缆的质量为4.8万吨，就悬在这两根主缆上，如图所示，则每根主缆上的张力约相当于多少质量的物体产生的重力？
解：两根主缆均吊在桥跨度的中部，各自到桥塔的长度相同，所以具有对称性。对整个桥的重力由四根钢缆承受，每根钢缆跟竖直方向的夹角均为α，由桥的高度和桥塔到桥中央的距离关系可得
tan α = 692.5/ 146 = 4.74
设每根钢缆绳上承受的张力大小为F，由
4 Fcosα= 4.8， F= 1.2 /cosα=1.2 secα= 1.2= =5.82万吨≈6万吨。
例5.（对称原理与隔离法）如图所示,重为G的均匀链条.两端用等长的细线连接,挂在等高的地方,绳与水平方向成θ角.试求:⑴绳子的张力. ⑵链条最低点的张力.
解：⑴因为链条的质量均匀分布，具有对称性，重力作用线必过链条最低点，链条两端绳子挂在等高的地方，与水平方向的夹角均为θ，所以两绳子的拉力具有对称性。在竖直方向应用平衡条件，有2 F sinθ = mg, ∴F= mg/2sinθ.
⑵ 将链条的左半部分隔离出来，其受力情况如图所示，张力T为右半部分对左半部分的拉力。在水平方向应用平衡条件有： Fcosθ = T ,∴ T = mg ctg θ/2。
点评：本题的解答过程也用到了整体法与隔离法。这说明：我们在解答一道物理题时，不仅要综合运用物理知识，而且有时要综合运用各种物理思维方法。切不要一道题目只想到一种解题方法，或只想用一种思维方法就能解答出来。本题第二问的关键是将两部分隔离出来，将内部的张力转化为外力（拉力）。所谓张力即物体内部各部分之间的拉力。
例6.（对称原理与整体法、隔离法）如图所示.在光滑的水平杆上,穿着两个重均为2N的球A, B, 在两球之间夹着一弹簧,弹簧的劲度系数为10N/m,用两条等长的线将球C与A,B相连,此时弹簧被压缩短10cm,两条线的夹角为60°.求: ⑴杆对A球的支持力多大？⑵ C球的重力多大
解：水平横杆光滑，弹簧被压缩后，根据对称性，它对A、B两球的弹力F大小相等，方向相反；其次，两细线AC与BC等长，所以，两细线的拉力大小相等，具有对称性，则杆对A、B球的支持力FNA与FNB具有对称性，大小相等。对A、B、C三个球整体在竖直方向应用平衡条件： 2FNA= 2GA+ GC
弹簧产生的弹力大小F = k x=10×0.1N = 1N
隔离A球，其受力情况如图所示。A球在水平方向有
T cos60° = F= 1N, ∴T = 2N 。在竖直方向有：FNA = Tsin60°+GA,
= 2×/2 + 2 = 3.73N.。
∴GC = 2FNA－2GA = 3.46N 。
练习题：
1、如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到Bˊ点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为：
A、 T1变大，T2减小； B、T1减小，T2变大；
C、T1、T2均变大； D、 T1、T2均不变。
2、如题1图所示，5m长的细绳，两端分别固定在竖直于地面并相距4m的
两杆的顶端A和B，绳上有一个光滑的轻质小挂钩O，O的下面挂一个重量为G的小物体。平衡时下列判断正确的是：
A、细绳的AO段、BO段跟水平线的夹角肯定相等； B、细绳的AO段、BO段中的张力大小相等； C、两杆顶端所受到绳子的拉力均为5G/6； D、只有两杆等高时选择A项才正确。
3、如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（α=120°）
A、 mg ; B. 0.5mg; C. 1.5mg; D. 3mg. 。
4、如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。A、
B两物体的质量分别为m1和m2 ,处于静止状态，则以下说法不正确的是：
A、m2一定等于m1; B、m2一定大于m1g/ 2 ; C、θ1角与θ2角一定相等； D、当B的质量m2稍许增加时，绳子间的张角θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态。
4、（对称与等效）如图所示，两个半球壳拼成的球形容器，内部已抽成真空。球形容器的半径为R，大气压为P0，为了使两个半球沿图中箭头方向相互分离，应施加的力至少多大？
5、质量为10kg的均匀圆柱体放在倾角为60°的V型槽上，圆柱体与槽间的动摩擦因数为.0.25 .沿着圆柱体的轴向施加一个推力F，使圆柱体沿槽做匀速直线运动。求F的大小。
6、如图所示，两个完全相同的球，重力大小为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力F。当绳拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
7、 两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N两点，M、N两点间的距离为 s ,如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长不得短于多少？
8、如图所示，AO、BO、CO是完全相同的三条轻绳，将一根均匀的钢梁吊起，当钢梁足够重时，结果AO绳先断，求BO与CO间夹角应满足的条件？
9、两个相同的光滑球，半径为3cm，重均为8N，静止在半径为8cm的光滑半球形碗底。求两球之间的相互作用的弹力大小及碗对两球的弹力大小。并分析：当碗的半径增大时，上述两力的大小如何变化？
10、如图所示，两根相同的橡皮绳OA和OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一个重50N的物体后，结点O刚好位于圆心. A和B分别沿圆周向两边移至Aˊ和Bˊ,使∠AOAˊ=∠BOBˊ=60°.欲使结点仍在圆心处，则此时在结点处应挂多重的物体？
最后再讲一个对称原理应用的实例：如图所示是建筑工地上常用的人字梁，它是等腰三角对称结构，不计染自重时，在顶点挂上重为G的物体后，利用对称性很容易算出各构件所受的作用力和对墙的压力。
解：把对顶点A的拉力F =G沿AB、AC两侧分解。由于对称，两分力大小相等（F1 =F2），又tgα = h /L,因此, F1= F2 = ；再把F1沿水平方向和竖直方向分解：
F1x=F1cosα = G /2tgα= LG/2h ; F1y = F1sinα = G/2
由于对称性，F2x = F1x ; F2y = F1y. ∴横梁受到的推力大小为LG/2h ,墙受到的压力均为G/2
4、 等效方法
等效方法是最重要的科学思维方法之一。等效方法的依据，就在于不同的物理现象、物理过程
和物理规律，不仅具有其特殊性，而且在某些方面还具有同一性；等效方法的实质，是相互替代的效果相同；等效方法的结果，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变成简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深的层次。
在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、平均速度、重心、热功当量、交流电的平均值和有效值、几何光学中的三条特殊光线、虚像、虚物等，都是根据等效概念引入的。在分析和解答物理问题时，一般需要将普通语言转化物理语言，精炼为数学语言，实际上也是一个等效过程。
等效变换的思维方法，在中学物理中极为常用，它的含义非常广泛。只要研究对象（物理量、物理过程或系统）在某一方面的作用效果与另一个对象所起的作用效果相同，就可以在相互间进行变换。
等效方法的应用在中学物理解题范有组合等效、叠加等效、整体等效、运动等效。在力与物理体的平衡这一部分解题中主要应用到前三种等效变换。
例1、并联弹簧的等效劲度系数。先讨论每根弹簧相同的情况如图所示。设有三根弹簧并联，每根弹簧的劲度系数为K0。当每根弹簧两端受拉力F0后，每根弹簧中的弹力大小f0 = F0，每根弹簧的伸长量为
x0 = f0 /k0
整个并联弹簧组两端受力F = 3F0。与它等效的一根弹簧两端也受力Fˊ =3F0后，平衡时，这根弹簧中的弹力fˊ =3f0 .要求其伸长量也为 x0, 则其劲度系数为
K = fˊ / x0 = 3f0 /x0 =3k0
当有n根相同的弹簧并联时，可知并联弹簧组的等效劲度系数为 K = n k0
如果n根长度相同、劲度系数依次为k1、k2、k3、… kn 的不同弹簧并联组合起来，等效伸长量跟每一根弹簧的伸长量相同，则等效弹簧的弹力
f = f1 +f 2 + f3 +… fn = k1 x0 + k2x0 +k3x0 + … knx0 = (k1+k2+k3+…kn) x0
设等效劲度系数为k , 则 f = k x0 ∴ k = k1+k2 +k3 +… kn
上面的两个结论说明：并联弹簧组的等效劲度系数等于各个弹簧的劲度系数之和。
例2串联弹簧的等效劲度系数
⑴将三根相同的弹簧串联起来，每根的劲度系数均为k0,当两端受拉力F平衡后，每根弹簧内产生的弹力大小f0 = F , 每根的伸长量为： x0 = f 0/k0 ，三根串联弹簧总的伸长量x = 3x0
当另一根跟它等效的弹簧（可以是想象中的弹簧）受力F而平衡后，其弹力f =F ,要求其伸长量也为x,则其劲度系数应为：
K = f ,即等于原来一根弹簧劲度系数的1/3.由此可推之，当有n根相同的弹簧串联时，其等效劲度系数为 k = k0 /n
⑵如果n根劲度系数分别为k1, k2, k3 的不同弹簧串联组合起来，当两端受力F达平衡后，每根弹簧中的弹力f = F, 每根的伸长量分别为
x1 = f/k1 , x2 = f /k2 , x3 = f/ k3 , … xn = f/kn
总的伸长量： x = x1 + x2+ x3+ … +xn = f ()
等效劲度系数： k = f /x
∴=.
点评：并联与串联弹簧的等效劲度系数与各个弹簧的劲度系数之间的关系与电阻的串联和并联的等效电阻的表达式具有相似性。对于串联弹簧的劲度系数，我们可以逆向思考：如果将一根弹簧截断成相同长度的三段后，每一段的劲度系数应为原来的3倍；由此可知：弹簧的劲度系数在材料和截面积不变的条件下，劲度系数跟它的自然长度成反比。
练习：弹簧原长为20cm，下端挂一个重量为4N的物体时，弹簧长度为24cm 。若把弹簧剪去一半，挂一个重为3N的物体时，则弹簧的长度为多少？
例3、如图所示，一个等腰三角劈重为G，在劈背的正中向下施加一个大小为39G的作用力F，求劈对接触面的压力大小。
解：作用力F沿劈背正中向下方向，与重力作用线重合，所以将力F与重力G合成一个等效力Fˊ =F +G =40G。用平行四边形定则将力Fˊ分解成如图所示的两个分力F1、F2，劈对接触面的作用力与F1、F2大小相等，结合对称特点，有：2F1 cos60° = Fˊ =40G,
∴ F1 =F2 = Fˊ= 40G
例4、一物体受到n个外力而处于平衡状态，其中一个力F1 =4.0N, 方向向右。如果所有其他（n—1）个外力都保持不变，只将F1的方向转过90°,大小变为3N，则物体所受的合力大小是：
A、3.0N ; B. 4.0N; C. 5.0N; D. 7.0N .
解：因为其他（n—1）个外力保持不变，所以他们的合力也保持不变，用一个等效力R替代他们，则n个外力平衡转化为R与F1两个共点力的平衡，如图所示。
由题意，F1变为F1ˊ后，物体受两个力：R与F1ˊ，由勾股定理得 合力F = 5.0N
答案： C。
例5、如图所示，重力G =50N的物体静止在斜面上，斜面倾角θ= 37°。求斜面对物体的作用力。
解：物体中斜面上处于静止状态，共受三个力：G、支持力FN、静摩擦力f ，斜面对物体的作用力即FN与f的合力，用F替代FN与f的合力，则物体受三力平衡转化为二力平衡，即F与G平衡，所以F =G= 50N，方向竖直向上。
例6、汽缸内的可燃性气体点燃后膨胀对活塞的推力F =1100N，连杆AB与竖直方向间夹角θ=30°。如图所示，这时活塞对连杆AB的推力FN2有多大？对汽缸壁的压力FN1有多大？
解：活塞在水平方向平衡，所以F沿水平方向的分力F1跟汽缸壁对活塞的弹力大小相等。根气压合力与分力的等效替代关系，将力F沿水平方向和AB方向分解如图所示，
FN2 =F2 = F /cos30° = 2200N/3
FN1 = F1 = Ftg30° = 1100N/3 .
例7、如图所示，两个光滑球A和B，用一块竖直挡板和斜面将两球稳住不动。两球质量均为m, 斜面倾角α= 45°。求竖直挡板对B球的弹力大小。
解：将A、B整体用一个质量为2m的球替代（整体等效），斜面对两球各有一个支持力，也用一个支持力FN替代，并设竖直挡板对B球的弹力大小为F，则整体受三个力（2mg 、F、FN）而静止。用力R等效替代F和2mg，则R与FN必然等值反向，由此作出力的合成图。从图即可知F = 2 mg.。同理可求FN= 2mg .
例8、如图所示，光滑圆环固定在竖直平面内，环上穿过带孔小球A、B，两球用轻绳系着。平衡时细绳与水平方向的夹角θ=30° ，此时B球恰好与环心O在同一水平面上，求A球与B球的质量之比mA∶mB =
解：A、B两球穿在圆环上，圆环对两球的弹力FNA、FNB的作用线通过圆环的环心。细绳对两球的拉力T到环心O的距离相等。把三角形AOB等效为一杠杆，等效支点在环心O，设环的半径为R，由杠杆平衡原理得：mAg Rcos60°= mBg R。 ∴ mA∶mB = 2∶1。
本题的另一种解法：以拉力T为联系的物理量，隔离A、B两球，分别应用平衡条件
对A球：从图中可知，T与mAg对称，所以T = mAg ;
对B球：在竖直方向：T sinθ = mBg, 所以T = 2mBg . 结果与前法相同。
例9、如图所示，小车质量为m ,停在水平地面上，现通过一定滑轮拉动小车，小车与地面的动摩擦因数为μ，求最佳牵引角和最小牵引力。
解：小车受四个力：mg、FN 、f 、F. 要使牵引力F最小，首先要使小车匀速运动，其次才是寻求最佳牵引角度与最小牵引力。 用R替代支持力FN与摩擦力f的合力，则小车由受四个力做匀速运动转化为受三个力做匀速运动。即通过等效转换，将四力平衡问题转化为三力平衡问题。
R跟竖直方向的夹角设为φ，称为摩擦角。 由摩擦定律： μ= f /FN = tgφ ∴ φ为定值，即R的方向始终不变。由三力平衡条件得：
， sin(90°+φ－θ) = sin[90°－(θ－φ)]= sin(θ－φ)
sin(180°－φ) =sinφ
∴F = . 此式表明：当sin(θ－φ) =1 时F最小，即θ= φ为最佳牵引角。
最小牵引力Fmin= mg sinφ（sinφ可转化为用μ表示，以后学了相关知识即会变换）
练习题：
1、如图所示，物块A在斜面上恰能自由匀速下滑。斜面倾角为θ。现在对物块施一竖直向下的力F，F的作用线过物块的重心。则物块的运动状态是：
A、 仍然做匀速运动； B、加速下滑； C、减速下滑； D、变为静止。
2、在同一平面上的三个共点力作用于一物体上，物体处于平衡，已知F1和F2互相垂直，F2和F3之间的夹角为120°，则三个力的大小之比为F1∶F2∶F3 = _________.
3、如图所示，质量分别为m和M的两物块，用劲度系数为k的轻质弹簧连接在起，放在水平地面上处于静止状态。当用一个竖直向下的力缓慢下压到一定程度后撒去这一外力。问：外力F至少要多大，当物块m上升到最高点时，M恰能离开地面？
4、一个质点受到如图所示的五个共点力F1、F2、F3、F4、F5的作用，则质点所受合力的大小为：
A、 2F4 ； B、2F5 ； C、F4+F5 ； D、F5
5、如图所示，用轻绳AC和BC悬挂一重物，绳与 水平天花板夹角分别为60°和30°，若物体重100N，求：绳AC和BC所受拉力的大小。
6、六个共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相互间的夹角均为60°，如图所示，则它们的合力的大小是______;方向是_________.
7、如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，活塞将一部分气体封闭在圆筒中。活塞的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，活塞的质量为M，不计活塞与容器内壁之间的摩擦。若大气压强为p0，则被封闭在容器中的气体的压强p等于：
A、p0+ Mgcosθ/S ; B. (p0/cosθ)+ (Mg/S cosθ); C.p0+Mgcos2θ/S ; D、p0+ Mg/S .
8、如图所示，用细线及轻质弹簧吊起10kg的物体，达到平衡，设弹簧原长为1.5cm，劲度系数为7840N/m。较长的那根细线长度为4cm，则这根细线承受的拉力为多大？
9、（对称与等效）如图所示，质量为m的小球与三根相同的螺旋形轻弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120°.已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧对小球的作用力的大小可能为：
A、F； B、F+mg , C、 F—mg ; D、 mg—F 。
10、（整体等效）S1、S2表示劲度系数分别为k2、k2的两根轻弹簧，k1 >k2；a
和b表示质量分别为ma 和mb的两个物块，ma> mb。将弹簧和物块按图所示的方式悬挂起来，要求两根弹簧的总长度最短，则应使：
A、 S1在上，a在上； B、S1在上，b在上；
C、S2在上，a在上； D、S2在上， b在上。
如果将整个装置倒过来放在水平地面上，使两弹簧总长度最短，
又当选哪一个答案？
11、有五个力F1、F2、F3、F4、F5作用于一点O，这五个力的矢量末端分别位于圆内接六边形的顶点A、B、C、D、E，如图所示。若力F1= 10N，求这五个共点力的合力。
12、 图所示，物块质量为M，与甲、乙两弹簧相连接，乙弹簧下端与地面连接。甲、乙两弹簧质量不计，其劲度系数分别为k1和k2，起初甲处于自然伸长状态，现用手将甲弹簧的上端缓慢上提，使乙弹簧产生的弹力大小变为原来的2/3，求甲上端上移动的距离。
13、如图所示，在倾角为30°的斜面上放着一个滑块，滑块所受重力为G。现用一个与AB边平行的水平推力F =G/2推滑块，恰能使滑块在斜面上做匀速直线运动。试：⑴滑块与斜面间的动摩擦因数；⑵滑块运动的方向与F的夹角。
五、临界状态与临界方法
在物理中存在大量的临界问题。所谓临界问题，一般是指在物质的运动从一种形式转变为另一种形式，或者从一种物理现象转变为另一种物理现象、或者从一种物理过程转变为另一种物理过程的过程中，存在着一种突变状态——这是从量变到质量规律在物理中的生动表现。
物体处于这种突变状态——临界状态时，既具有转变前的基本特点，又具有转变后的基本特点。这种转变的条件——有时是一个或几个物理量达到特殊值——临界值。有时临界值则是以极值的形式表现出来，如最大值、最小值和零值。
分析和解决临界问题，有两种基本方法：一是演绎法——从一般到特殊的推理方法；二是临界法——从特殊到一般的推理方法。因为临界状态总比一般状态简单，所以解临界问题，临界法比演绎法简单，一般，只要认真分析物理过程，抓住临界状态，确定其临界条件，建立临界方程，就能突破难点。化难为易。化繁为简。
例、如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为1000N, 轻杆AC能承受的最大压力为2000N, 问：A点最多能悬挂多重的物体？
解：以结点A为研究对象，作出其受力图如图所示。A点受三个力作用而平衡，且FN和T的合力大小为G。若T取临界值时，G的最大值为GT；若FN取临界值时，G的最大值为GN，那么A点能悬挂的重物的最大值是GT和GN中的较小值。
在如图所示的力三角形中，由三力平衡条件得：
，
当FNmax = 2000N时， GN = FNmaxsin75°/sin60°= 2230N
当Fmax =1000N时，GT = Fmaxsin75°/sin45° =1366N.
当F最大时，重物的最大重力只能是1366N, 若挂上重2230N的重物时，AB绳早被拉断。
点评：①本题是一道利用临界条件作为突破口来求解其他物理量的问题。本题存在两个临界条件，选择哪一个进行计算才能得到正确答案，没有统一要求。只要计算出一个结果后就可判断只能让绳或杆满足临界条件。
②本题也可以由 FN /sin60° = F /sin45° ，任取一个恰好达到临界值，求出另一个力的大小，然后跟其临界值比较，并作出判断后再求对应的重力
③如果是两根绳子悬挂物体，而且承受的最大拉力相同，则只要作出力三角形，由各力对应的边长即可判断哪根绳子先达到临界值。
④这类问题的重点在于先判断哪一个力选达到临界值。
例2、如图所示，物体的质量为2kg,两根据轻绳AB和AC（LAB=2LAC）的一端连接于竖直墙壁上，另一端系于物体A上，且∠BAC = 60° ，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。（g=10N/kg）
解：由共点力作用下的平衡条件可知：当AC恰被绷直但未拉紧时，F有最小值；当AB恰好被绷直而未被绷紧时，F有最大值。
⑴当AC绳的拉力恰为零时，物体受力如图所示，这时TAB与F具有对称性，
∴2 F sin60° = mg Fmin= 20/3 (N)
⑵当AB绳的拉力恰为零时， 物体受力如图所示，在竖直方向应用平衡条件得：
F sin60°= mg , ∴ Fmax = 40/3(N).
例3、如图所示，重80N的物体A放置在倾角为30°的粗糙斜面上。有一根劲度系数为103N/m、原长为10cm的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm。现用一弹簧测力计沿斜面向上拉物体，若物体A与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧长度仍为8cm时，弹簧测力计的读数可能为：
A、0N； B、20N； C、40N； D、60N。
解：弹簧被缩产生的弹力大小为F = kx = 20N,方向沿斜面向上， 物体A的重力沿斜面向下的分力大小为F1 =mgsin30° =40N ，此时A受到斜面施加的静摩擦力大小为f1 = 20N ,方向沿斜面向上。
当弹簧测力计的读数恰为零时，因弹簧的弹力F + f1 =mgsin30°,刚好平衡。当测力计读数逐渐增大时，弹簧长度保持不变，它产生的弹力保持不变，则静摩擦力由向上逐渐减小；当测力计读数增大到20N后，静摩擦力的方向变为沿斜面向下。当A刚要向上滑动时，静摩擦力恰好达到最大值25N，则测力计读数为T + F= fmax+mgsin30°, ∴ T =45N.。 0≤T≤ 45N ，即A、 B、C正确。
例4、如图所示，物块A重G =100N，放在水平地面上，在O处系有两根细绳，其上端固定在墙上B、C两处，当保持BO与CO与竖直方向夹角为60°和30°时，求BO、CO两根绳上受到的最大拉力。
解：在两个角度不变的条件下，地面对A的支持恰好为零时，两绳的拉力最大。此时A受三个力而平衡，如图所示。
根据三力平衡条件，两个拉力的合力必然与重力等值反向，由直角三角形知识可知：FBO = Gcos60° = 50N, FCO =Gsin60°= 50N .
例5、如图所示，物体A重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，有一个跟水平方向成45°角的力F作用在物体上，要使物体静止在墙上，则F的取值范围是多少？
解：当F较小时，设物体恰好不下滑，则静摩擦力恰好达最大值fmax ,且fmax的方向竖直向上，此时A受力情况如图所示。由共点力平衡条件得：
x轴上：Fcos45° = FN ……①
y轴上：Fsin45° + fmax = G……②
公式： fmax = μFN ……③
解以上三式得：F=G/（sin45°+μcos45°）= 10/(1+μ) = 9.4N 。
当F较大时，设物体恰好不上滑，则fmax竖直向下，则竖直方向的方程改为
F sin45° = fmax + G ……④ 。由①③④得F = (sin45°—μcos45°) = 20=28.3N。
要物体保持静止状态，F的取值范围是： 9.4N ≤F≤28.3N.
例6、如图所示，一个质量为M =50kg 的均匀圆柱体，靠在台阶旁边。台阶高度（h）为圆柱体半径r的一半。为了在圆柱体最上方A点施一最小的力，使其刚好能绕粗糙接触点P向上滚动，求：⑴ 所加的力的大小；⑵ 台阶对圆柱体的作用力的大小。
解：当圆柱体刚向上滚动时，地面支持力恰好为零，圆柱体受四个力：重力Mg、台阶的支持力FN、摩擦力f 、在A受到的拉力F。重力作用线一定过A点，所以将FN与f用合力R替代，则圆柱体变为受三个力，考虚圆柱体缓慢转动，作为平衡态处理，三力平衡时，三力必然共点共面，所以R一定沿PA方向。
因为Mg为恒力，R方向始终不变，通过作图法得知，当F⊥R时，F最小。Mg、R、Fmin构成直角三角形，如前图中的矢量三角形所示。
设PO与水平方向的夹角为θ，则sinθ = ( r—h)/r = 1/2 , ∴θ =30°, 由此得到∠PAO=30°
Fmin= Mgsin30° = 2.5×102N; R = Mg cos30° = 4.3×102N.
反思：①本题应用了两种思维方法：临界法——抓住刚向滚动的临界状态，地面支持力为零，将五力问题转化为四力平衡问题；等效方法——以合力R替代FN和f，又将四力平衡问题转化为最简单的三个共点的平衡问题。②在分析拉力F的最小值时，应用了三力作用下动态平衡的图解法，避免了用力矩平衡条件分析。③本题的解法很多，这里只提供了一种解题思路，其它的如正弦定理，力矩平衡条件等思路都较简单。
拓展：试计算台阶对圆柱体的弹力FN和摩擦力f 的大小；如果作用点不限制，那么，在圆柱体什么位置施一个最小的力，也可以使它滚上台阶？
练习题
1、如图所示，质量为1kg的物体，放在倾角为30°的斜面上，物体与斜面间的最大静摩擦力为2N,要使物体在斜面上处于静止状态，沿斜面向上的对物体的推力F的取值范围是多少？ （g=10N/kg）
2、如图所示，重225N的物体G由OA和OB两根绳子拉着，绳OB始终保持水平方向。已知两根绳子能承受的最大拉力均为150N.为了保持绳子不被拉断，绳子OA与竖直方向的夹角α的最大值应为多少？
3、如图所示，斜面固定，物体A重10N，物体B重10N，A与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2, 绳重、绳与定滑轮间的摩擦均不计。要使A保持静止状态，水平拉力F应取何值？（可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。
4、如图所示，M = 4kg，斜面倾角θ=30° ，木块M和斜面间的动摩擦因数为μ= 7/20，问物体m的质量为何值时，能使M保持静止。
5、如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、100N和200N，为保证绳子不断，OC绳所悬挂的重物不得超过多重？
6、一根长70cm的细绳，它能承受的最大张力为50N, 两端固定在天花板上相距50cm的A、B两点。在绳上距A点40cm的C点悬挂一重物，不断增加重物的重力，求：当绳子被拉断时，重物的重力多大？并说明哪一段绳先断？
7、如图所示，在竖直墙壁的顶端有一直径可以忽略的定滑轮，球重为G，半径为R，用一根细绳拉着球，使它沿光滑的竖直墙壁缓慢向上运动，若绳所能承受的最大拉力为T，试求当球心离顶端A多远时球将从绳上掉落？
8、轻杆AB长L（m），A端通过转动轴固定在墙上，B端用轻绳与墙上的C点相，如图所示。∠CBA=30°。轻绳能承受的最大拉力为200N，若要在AB的中点挂物体，则该物体重量最多是多少？
9、如图所示，一个质量为m, 半径为R的球，用长为R的轻绳悬挂在L形的直角支架上，支架重力不计。其中AB段长2R，BC段长2R，为使支架不会在水平桌面上绕B点翻倒，应在A端至少加多大的力？
10、建筑工地上的黄沙，堆成圆锥形而且不管堆多少或如何堆，其形状和其锥顶的角度总是不变的，这是什么缘故？你能用比较简单的方法测出黄沙之间的摩擦因数吗？
六、图解法
这里所介绍的图解法是利用矢量合成与分解的平行四边形定则或三角形定则，通过作图的方式找到解决问题的突破口或关键结论，从而比较简捷地完成解题过程。在作图过时要充分利用恒矢量和方向不变的矢量。
例1、如图所示，用细线悬挂均匀小球靠在竖直墙上，如把线的长度缩短，则球对线的拉力T，对墙的压力FN的变化情况正确的是：
A、T、FN都不变； B、T减小，FN增大； C、T增大，FN减小；
D、T、FN都增大。
解：当线的长度缩短时，线跟墙壁间的夹角θ增大，小球始终静止，其重力为不变量，将重力沿线方向和垂直于墙方向分解，如图所示，初态：T1 = AD, FN1 = DC , 末态：T2 = AB， FN2= BC。从矢量分解图可知：T、FN都增大。
例2、如图所示，在竖直墙壁的顶端有一直径可以忽略的定滑轮，用细绳将质量m =2kg的光滑球沿墙壁匀速拉起来。起始时绳与墙壁间的夹角α=30°，终了时绳与墙壁间的夹角β= 60°。则在这过程中，拉力F的最大值和最小值分别是多少？球对墙壁的压力的大小在这个过程中是如何变化的？(g=10N/kg)
解：球匀速上升，受三个共点力而平衡，其中重力为恒力，墙壁对球的弹力FN的方向不变。线的拉力T与墙壁的弹力的合力与重力等值反向，所以，作出初态（α=30°）与末态（β=60°）的矢量合成图，显然这一过程中的拉力最大值为
T2= 2mg = 40N ; 最小值T1 = mg/ cos30° = 40/(N)
例3、如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？
解：重力为不变矢量，球对斜面的压力方向也不变，将重力沿垂直于斜面方向和垂直于挡板方向分解为F1和F2，它们分别跟球对斜面的压力FN1和对挡板的压力
FN2大小相等。挡板转动，分力F2的方向也跟着转动，但始终与挡板垂直。从矢量分解的动态图可知，当F2 ⊥F1时F2最小。此时F2与斜面平行，即挡板跟斜面垂直，∴β=90°。F1 、F2与mg构成直角三角形，由图可得挡板所受的最小压力FN2min= F2min = mgsinα
点评：本题是一道典型的三力平衡动态问题，只有用图解法才比较简单。从图中可以看出：挡板受到的压力先减小后增大，而斜面受到的压力一直增大。相反的过程，即β减小，则1一直减小。而F2仍然是先减小后增大。需用注意的是，对于F2是否总是先减小后增大，还要看初始状态F2处在什么范围，不能把这个结论无条件推广。因为不论是物理规律或是某些重要结论，都是在一定条件下成立，即物理知识都是条件化的知识。
例4、建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶安装一个定滑轮（图中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处。为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还用另一根绳子CD拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离，如图所示。若不计两根绳子的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB与CD上的拉力T1、T2的大小变化情况是：
A、T1增大， T2增大； B、T1增大，T2减小；
C、T1增大，T2不变； D、T1减小，T2减小。
解：在保持材料与墙面间的距离不变的条件下，材料上升，拉绳AB与CD之间的夹角变小，材料的重力为不变量，将重力沿两拉绳方向分解，如图所示，由状态1变到状态2，两分力变大，即两绳的拉力T1、T2均变大。正确选项为A。
例5、在两个共点的合成实验中，如图所示，用A、
B两弹簧秤拉橡皮条的结点D，使其位于E处，α+β=90°，然后保持A的读数不变，当角α由图示位置逐渐减小时，欲使结点仍在E处，可采用的方法是：
A、 增大B的读数，减小β角； B、减小B的读数，减小β角；
C、减小B的读数，增大β角； D、增大B的读数，增大β角。
解：结点仍在E处，即两弹簧秤的拉力的合力不变，以F为不变矢量，
作出初态的矢量图合成图；然后根据A的读数不变，α减小的条件，以E为圆心，EA =F1为半径画圆弧，再作平行四边形，对角线仍为原来的长度和方向。从图可知：B弹簧秤的读数变小，角度β也减小。
正确选项为B。
拓展：如果开始状态两弹簧的夹角大于90°，则结果又当如何
解析：如图所示。①设初始状态为EA方向，左边弹簧秤读数不变，减小夹角α当矢量F1转到EB方向时，F2减小，β角增大；转到EC方向时，F2减小，但β不变；转到ED方向时，F2减小，β也减小。
结论：F2总是减小，但β角有两种可能，一种是增大，一种减小。
例、如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时：
A、 绳OA的拉力逐渐增大； B、绳OA的拉力逐渐减小；
C、绳OA的拉力先增大后减小； D、绳OA的拉力先减小后增大。
解：见右下图，前面几例是将某一个恒力进行分解，本题的作法是
根据三个共点力平衡条件的推论：任意两个力的合力跟第三个力等值反向。将恒力反向延长，以R= mg作为F1、F2的合力，并以此为固定的对角线作图。从作图可得：绳OA的拉力先增大后减小，另一根方向不变的拉绳的拉力一直减小。
所以，选择D。
练习题
1、用一根据轻绳把质量为0.5kg的小球悬挂在O点，用力F拉小球使悬线偏离竖直方向30°角，小球处于平衡状态，力F与竖直方向的夹角为θ，如图所示，若使力F取最小值，则θ=_______；此时绳的拉力为___________.
2、如图所示，使弹簧秤Ⅱ从图示位置开始沿顺时针方向开始缓慢转动，在此过程中，保持结点O的位置不变，保持弹簧秤Ⅰ的拉伸方向不变。那么，在全过程中关于弹簧秤Ⅰ、Ⅱ的示数F1、F2的变化是：
3、在力的合成实验中，用两弹簧秤拉橡皮筋的结点至O点，如图所示。今保持F1的读数不变，而逐渐减小α，仍要使橡皮筋的结点拉至O点，则可使用的方法有：
A、 使F2的读数变大，β变小， B、使F2的读数变小，β变大；C、使F2的读数变小，β变小； D、使F2的的读数变大，β变大。
4、半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，系于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直处C，如图所示。分析OA绳和BO绳所受拉力的变化情况？
5、如图所示，物体静止在光滑的水平面M上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OOˊ方向作加速运动，力与直线OOˊ的夹角为θ，且力F在平面M内。那么，必须再同时加一个力Fˊ，则这个力的最小值为多少？
6、将一个大小20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°，试讨论：⑴ 另一个分力的大小不会小于多少，⑵ 若另一个分力的大小是。
20/（N），则已知方向的分力的大小是多少？
7、甲、乙两个分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，如图所示，已知甲的拉力大小为800N，方向与航向夹角为30°。要保持小船能在河流正中间沿直线行驶，乙怎样用力最小？其最小的力为多大？此时小船受到两人拉力的合力为多大？
8、如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力有向线段恰好分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1=10N，则这五个力的合力大小为_______N.
七、三力平衡的解法
物体受三个力而平衡的问题，解法较多，通常情况可以转化为直角三角形、棱形、或相似三角形。有的四力平衡也可以转化为三力平衡进行处理，如支持力与滑动摩擦力合成为一个力的情况。
例1、轻绳OA与轻杆OB的A、B端固定在墙上，O点下悬挂一个质量为10kg的物体。∠ABO=90°，∠AOB =30°，当物体静止时，求：⑴OA绳对O点的拉力？⑵OB杆对O点的作用力？（g=10N/kg）.
解法一：正交分解法。见图，由共点力平衡条件，在x轴上：T cos30°=FN
y轴上：Tsin30°=mg .解两式得：T =2mg = 200N，FN = mgctg 30° = 100/3(N)
解法二：利用“任意两个力的合力跟第三力等值反向”作图求解，如图所示。
作图：反思延长重力作用线，取R = mg，以R为对角线，T和FN为邻边完成平行四边形。平行四边形由两个直角三角形组成，从图可知：
T = R/sin30°= 2R =2mg, FN =R ctg30°=Rmgctg30°。
解法三：由正弦定理的变形得：
，sin150°=sin(180°—30°) = sin30°, sin120° = sin(180°—60°) = sin60° = cos30°, ∴ T = 2 mg, FN = mgctg30°.
解法四：利用杠杆平衡原理（力矩平衡条件）
如图所示，作BD⊥AO ，BD为细线拉力T的力臂，拉力的力臂为BO =L，轻杆，不计重力，杠杆BO平衡。以B点为支点，所以有：F L = TL1= Tlsin30°， F =mg， ∴ T =2mg。
把整个三角形AOB作为一个杠杆，以A点为支点，则有FN AB = FL ， FN Ltg30° = mg L , ∴ FN= mgctg30°.
注意：①轻杆BO两端受力，称为二力杆，所以，对杆的作用力一定沿杆的方向，墙对杆的作用力FN 跟杆对O点的作用力大小相等，所以没有用不同字母区别。
② 直杆如果有自重（例如均匀杆，隐含受重力）则不成为二力杆，其受力不沿杆的方向。本题如果杆不是轻杆，则方法四可能不成立。
解法五：应用力的分解——研究对象为竖直绳对O点的拉力F，将F沿AO方向和OB方向分解为F1和F2。 F1 = T = mgsin30° =2mg,
F2= FN = mgctg30°.
例2、如图所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，已知AB绳长L，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d ，∠ABO > 90°。则绳中张力大小为________,大球对小球的支持力大小为______（小球直径忽略不计）
解法六：应用相似三角形知识求解。小球受力三个：mg, T, FN，如图所示。
反向延长AB，作重力mg与支持力FN的合力F。根据平衡条件，有F = T 。
从阴影所示的力三角形与空间三角形ABC相似，所以：
，∴T = F = ， FN =
反思：①在三力平衡问题中，如果题中的已知条件有几个边长的数据或字母，可能要利用相似三角形的性质列式求解。如果已知的是角度，一般不会利用相似三角形的性质求解，多数可化为直角三角形或棱形的对角线公式求解。②如果减小绳长L，拉力T也随之减小，在小球缓慢移动到大球顶点C之前，大球对小球的支持力FN的大小保持不变。③如果用一颗光滑钉子挂住绳子，绳子两端分另系一小球m1, m2，两球仍放在大球面上，整个系统处于静止状态，利用上面的结论，可以很快求出两球的质量比跟绳子长度L成反比。读者可以自行证明。
解法七：图解法（参见前面第六部分的例题）
解法八：利用余弦定理求解（不常用）一质点受三个共点力F1、F2、F3处于静止状态。已知F1 = 30N， F2 = 40N，F1与F2的夹角为120°，求F3的大小及方向。
解：本题相当于已知三角形的两边和夹角求对边的长度及方向。作出三个力分布的矢量图，再将F1和F3平移或滑动，使F1、F2、F3构成封闭三角形。从图中可得： F32 = F12 +F22 —2F1F2cos60° ,
∴ F3 = 10N = 36.1N. 由F2反方向与F3的夹角为φ，则有F12 = F22+F32—2F2F3cosφ,
cosφ = 25/36 =0.6940, φ = 45.7°. 所以，F3跟F2的夹角为134.3°。
2004．10．7．完稿
重庆市铝城中学 牟长元 （ muchangyuanls@ ( mailto:muchangyuanls@ ) ）
这份资料是作者在04年的力作之一，以静力学问题为载体，全面研究高中物理中的常用解题方法：正交分解法、整体与隔离法、临界状态与临界方法、等效方法、对称方法、动态问题的图解法；另附有三力平衡的八种解法。高水平的画板制图，清晰规范，在随意移动和复制方面，比之Word下制作的图片更胜一筹。（文档长度：五号字、A4纸24页）
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