带电粒子在复合场中的运动
1、 知识储备
1、 三种场力的特点
(1) 重力场 重力的大小G=mg,方向是竖直向下,是个恒力,重力做功跟路径无关,由重力大小跟初、末位置的高度差决定,是重力势能变化的量度。
(2) 电场 电场力的大小F=qE,方向是跟场强E的方向相同(正电荷)或者相反(负电荷),在匀强电场中电场力是个恒力,在非匀强电场中电场力是变力,电场力做功跟路径无关,由电荷的电荷量跟初、末位置的电势差决定,是电势能变化的量度。
(3) 磁场 洛仑兹力的大小,当v∥B时,f=0,当v⊥B时,f=qvB,方向遵从左手定则,(注意:当电荷为正电荷时,四指指向电荷运动方向;当电荷为负电荷时,四指指向电荷运动的相反方向)洛仑兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所确定的平面。洛仑兹力在任何情况下都不做功,不能够引起能量的转化。
2、 解决问题的思路和方法
(1) 正确地进行受力分析是解决问题的前提
(2) 根据受力情况和初速度情况确定带电粒子的运动过程是关键
(3) 利用力学规律(牛顿运动定律、能量的观点、动量的观点、运动合成和分解的知识、匀速圆周运动的知识等)建立方程求解
3、近年高考试题
1(2006年全国) 如图所示,电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置,相距为d,与电动势为、内阻可不计的电源相连。设两板之间只有一个质量为m的导电小球,小球可视为质点。已知:若小球与极板发生碰撞,则碰撞后小球的速度立即变为零,带电状态也立即改变,改变后,小球所带电荷符号与该极板相同,电量为极板电量的倍()。不计带电小球对极板间匀强电场的影响。重力加速度为g。
(1)欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动,电动势至少应大于多少?
(2)设上述条件已满足,在较长的时间间隔T内小球做了很多次往返运动。求在T时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量。
解析:(1)用Q表示极板电荷量的大小,q表示碰后小球电荷量的大小。要使小球能不停地往返运动,小球所受的向上的电场力至少应大于重力,即,其中,又有,由以上三式有;
(2)当小球带正电时,小球所受电场力与重力方向相同,向下做加速运动。以表示其加速度,表示从A板到B板所用的时间,则有,,当小球带负电时,小球所受电场力与重力方向相反,向上做加速运动,以表示其加速度,表示从B板到A板所用的时间,则有,,小球往返一次共用时间为(t1+t2),故小球在T时间内往返的次数,由以上关系式得,小球往返一次通过的电量为2q,在T时间内通过电源的总电量。
点拨:处理此类带电粒子在复合场中的运动问题时,要认真审题,弄清关键词语的含义,如本题中的“电源内阻不计(板间场强恒定)、上下往返运动()、较长时间[]等”。还要弄清在不同物理过程中小球的运动情况和受力情况,寻找不同物理过程对应的规律,才能正确解题。
2(2005年全国) 如图所示,在x<0与x>0的区域中,存在磁感应强度大小分别为与的匀强磁场,磁场方向均垂直于纸而向里,且>。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出,要使该粒了经过一段时间后又经过O点,与的比值应满足什么条件
解析:粒子在整个过程中的速度大小恒为v,交替地在平面内与的磁场区域中做匀速圆周运动,轨道都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为和,圆周运动的半径分别为和,由得,,粒子的运动轨迹如图所示。在平面内粒子先沿半径为的半圆运动至轴上距为的A点,接着沿半径为的半圆运动至轴下方的点,距离为,此后,粒子每经过一次“回旋”(即从轴出发沿半径为的半圆和沿半径为的半圆回到原点下方的轴上),与入射相比,粒子的坐标就降低。设粒子经过次“回旋”后经过点,若间的距离(即)满足,则粒子再经过半个圆就能经过原点,所以,整理得,其中为“回旋”次数。
点拨:处理带电粒子在两单一磁场中的组合问题,关键是尽可能准确地画出粒子的运动轨迹,通过轨迹寻找半径与其他量间的关系,进而确定磁场间的关系。
3(2006年高考理综全国Ⅰ)图1所示,为一“滤速器”的示意图,ab为水平放置的平行金属板,一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b之间,为了选取特定速率的电子,可以在ab间加上电压,并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场,使所选电子能够沿水平直线OO’运动,由O’射出,不计重力作用,可能达到上述目的的办法是:( AD )
A、 a板电势比b板电势高,磁场方向垂直于纸面向里
B、 a板电势比b板电势低,磁场方向垂直于纸面向里
C、 a板电势比b板电势高,磁场方向垂直于纸面向外
D、 a板电势比b板电势低,磁场方向垂直于纸面向外
4(2005年高考理综全国Ⅱ)在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系oxyz(z轴正方向竖直向上),如图2所示,已知电场方向沿z轴正方向,场强大小是E,磁场方向沿y轴正方向,磁感应强度大小是B,重力加速度位g,问:一质量为m、电荷量为q的从原点出发的质点能否在坐标轴(x、y、z)上以速度v做匀速运动?若能,m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系?若不能,说明理由。
解析:已知带电质点受到的电场力qE,方向沿z轴正方向,质点受到的重力为mg,沿z轴负方向,
假设质点在x轴方向上作匀速运动,则它受的洛仑兹力必沿z轴正方向(当v沿x轴正方向时)或沿z轴负方向(当v沿x轴负方向时),要质点做匀速运动比分别有
或
假设质点在y轴方向上作匀速运动,则无论沿y轴正方向还是沿y轴负方向,它受的洛仑兹力都为0,要质点做匀速运动,必须有:
假设质点在z轴方向上作匀速运动,则它受的洛仑兹力都平行于x轴,而电场力和重力都平行于z轴,三者的合力不可能为0,可见质点不可能沿z轴做匀速运动。
点拨:上面两道题都是复合场中的平衡问题,考查学生三种场力的规律以及平衡条件的应用。
二、典型问题点拨
a) 复合场中带电粒子的直线运动问题
方法点拨:牢牢抓住带电粒子作直线运动的条件利用牛顿运动定律和平衡条件建立方程
b) 复合场中带电粒子的匀速圆周运动问题
方法点拨:1、受力分析弄清向心力的来源;2、确定圆心画出轨迹确定物理过程;
例题1 如图所示,一质量为m的带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动,已知电场强度的大小为E,方向竖直向下,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,若此液滴在垂直于磁感应强度的平面内,做半径为R的匀速圆周运动,求:(1)液滴的速度大小和绕行方向;(2)倘若液滴运行到轨迹最低点A时,分裂成大小相同的两滴,其中一个液滴仍在原来面内做半径为的圆周运动,绕行方向不变,且此圆周的最低点也是A,另一液滴将如何运动
解析:(1)因液滴做匀速圆周运动,必然有重力与电场力平衡,故液滴带的是负电,由得,所以,其方向为顺时针环绕。
(2)分裂成大小相同的两个液滴后,由于已知一个液滴仍做匀速圆周运动,所以两个液滴各自所受电场力仍与重力平衡。设按原绕行方向做半径为运动的液滴速度为,由 (1)的解法可知;因分裂前后动量守恒,得。表明另一液滴速度与原液滴速度大小相等、方向相反,所以这该液滴仍以R为半径做圆周运动,其轨迹最高点为A,绕行方向也为顺时针。
点拨:微粒在复合场中运动时,应注意对微粒运动过程及运动状态的变化分析,据此推断应遵守的物理规律,找到物理量间的联系。微粒在复合场是否计重力的判定:对于微观粒子,重力通常被忽略,对质量较大的油滴或固体微粒,则重力一般不能忽略。
例题2在以坐标原点O为圆心,半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图3所示,一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x轴方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y轴方向飞出,(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B’,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°,求磁感应强度B’多大?此次粒子在磁场中运动时间t是多少?
解析:(1) 根据左手定则,由粒子的飞行轨迹可知该粒子带负电。
粒子由A点射入,由C点飞出了其速度方向改变了900,则粒子轨迹半径,而,粒子的比荷。
(2)粒子从D点飞出磁场速度方向改变了600角,故AD弧所对圆心角为600,粒子做圆周运动的半径,而,所以。粒子在磁场中飞行时间。
点评:带电粒子在磁场中的圆周运动的问题,往往是确定圆心、半径、运动时间。确定方法分别是:①圆周轨迹上任意两点的速度的方向垂线的交点或者一条速度的方向垂线和圆的某条弦的中垂线的交点,就是圆心;②圆心确定后,画出半径,根据平面几何知识(大多用勾股定理)去求解半径;③先求出运动轨迹所对应的圆心角,然后根据公式(为运动周期)就可求得运动时间。
c) 复合场中带电粒子的一般曲线运动
方法点拨:1、运动的合成和分解的方法分析运动情况
2、用能量的观点活动量的观点建立方程求解
例题1真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中,若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放,运动中小球速度与竖直方向夹角为37°(取sin37°=0.6,cos37°=0.8)。
现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中
(1)小球受到的电场力的大小及方向
(2)小球从抛出点至最高点的电势能变化量
(3)小球的最小动量的大小及方向。
解析(1)根据题设条件,电场力大小
Fe=mgtan37°=mg
电场力的方向水平向右
(2)小球沿竖直方向做匀减速运动,速度为v,
vy=v0-gt
沿水平方向做初速度为0的匀加速运动,加速度为a
ax==g
小球上升到最高点的时间t=,此过程小球沿电场方向位移
sx=axt2=
电场力做功 W=Fxsx=mv02
小球上升到最高点的过程中,电势能减少mv02
(3)水平速度vx=axt,竖直速度vy=v0-gt
小球的速度v=
由以上各式得出
解得当t=时,v有最小值 vmin=v0
此时vx=v0,vy=v0,tanθ==,即与电场方向夹角为37°斜向上
小球动量的最小值为pmin=mvmin=mv0
最小动量的方向与电场方向夹角为37°,斜向上。
点评:利用运动的合成与分解分析解决曲线运动运动学问题,结合牛顿运动定律、动量和能量的观点处理曲线运动的动力学问题。
d)有边界复合场中的临界问题和跨区域问题
方法点拨:1、分析物理过程是解决问题的前提
2、认真处理物理过程间的衔接点
3、画出临界轨迹非常必要
例题1如图所示,在真空环境下的纸平面内,一带电粒子以某一速度作直线运动,一段时间后进入以垂直于纸面向外的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域),粒子飞出磁场后从上板边缘平行于板面进入两块平行的金属板间,两金属板带等量异种电荷,粒子在两板间竟偏转后恰能从下极板边缘飞出,已知带电粒子的质量为m,电量为q,其重力不计,粒子进入磁场前的速度大小为v,方向与带电金属板成θ=60°角,匀强磁场的磁感应强度为B,带电金属板板长为l,板间距为d,试解答:
(1)上金属板带什么电?
(2)两极板间电压U为多少?
(3)圆形磁场区域的最小面积多大?
解析:(1)粒子带正电,进入电场后向下偏转,可得上极板应带正电
(2)带电粒子进入电场中后发生偏转,可得
(1)
(2)
(3)
联立可得
(3)带电粒子先作匀速运动,从A进入磁场后作匀速圆周运动发生偏转,如图所示,从B点离开磁场进入偏转电场,在磁场中洛仑兹力提供向心力,可得
(4)
根据几何知识不难得到
圆形磁场区域的最小面积: (5)
联立解得:
点评:处理有边界复合场中的临界问题和跨区域问题,其关键是在分析物理过程时把握好过程之间的衔接点,本题涉及到三个物理过程:匀速运动、匀速圆周运动、类平抛运动。
三、高考预测练习题
1.一带负电小球在从空中的a点运动到b点的过程中,受重力、空气阻力和电场力作用,小球克服重力做功5J,小球克服空气阻力做功1J,电场力对小球做功2J,则下列说法正确的是( )
A.小球在a点的重力势能比在b点的大5J
B.小球在a点的机械能比在b点的大1 J
C.小球在a点的电势能比在b点的多2 J
D.小球在a点的动能比在b点的多4 J
2.如图所示,在竖直放置的铅屏A的右表面上贴着射线放射源,已知射线实质为高速电子流,放射源放出粒子的速度。足够大的荧光屏M与铅屏A平行放置,相距,其间有水平向左的匀强电场,电场强度大小。已知电子电量,电子质量取。
求(1)电子到达荧光屏M上的动能;(2)荧光屏上的发光面积。
3.如图3所示,已知一质量为m的带电液滴,经电压U加速后,水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B中(E和B已知),液滴在此空间的竖直平面内做匀速圆周运动,则( )
A. 液滴在此空间可能受4个力作用
B. 液滴一定带正电
C. 液滴作圆周运动的半径
D. 液滴在场中运动时总动量不变
4.一些氢的同位素粒子、、,从如图所示容器下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场,然后粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动,最后打在照相底片D上,留下三条谱线A、B、C,下列说法正确的是:( )
A. A是,B是,C是
B. A是,B是,C是
C. 三条谱线的间隔是均匀的
D. 三条谱线的间隔是不均匀的
5.如图所示,在空间存在着水平方向的匀强磁场和竖直方向的匀强电场,电场强度为E,磁感应强度为B,在某点由静止释放一个带电液滴,它运动到最低点处,恰与一个原来处于静止的液滴相撞,撞后两液滴合为一体,沿水平方向做直线运动,已知液滴质量是液滴质量的2倍,液滴所带电荷量是液滴所带电荷量的4倍,求两液滴初始位置之间的高度差(设、之间的静电力可以不计)。
6.空间中存在着以平面为理想分界面的两个匀强磁场,左右两边磁场的磁感强度分别为和,且:=4:3,方向如图所示,现在原点处有带等量异号电荷的二个带电粒子、,分别以大小相等的水平初动量沿轴正向和负向同时在磁场中开始运动,且带正电,带负电,若粒子在第4次经过轴时,恰与粒子相遇,试求粒子和粒子的质量比(不计、粒子的重力)。
7.如图所示,坐标平面的第I象限内存在大小为E、方向水平向左的匀强电场,足够长的挡板MN垂直x轴放置且距离点O为d,第II象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m,带电量为-q的粒子(重力忽略不计)若自距原点O为L的A点以一定的速度垂直x轴进入磁场,则粒子恰好到达O点而不进入电场。现该粒子仍从A点进入磁场,但初速度大小为原来的4倍,为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上,求:(1)粒子从A点进入磁场时,速度方向与x轴正向间的夹角大小;(2)粒子打到挡板上时的速度大小。
8.如图所示,在>0的空间中,存在沿轴方向的匀强电场,电场强度=10N/C;在x<0的空间中,存在垂直xy平面方向的匀强磁场,磁感应强度B=0.5T。一带负电的粒子(比荷)在x=0.06m处的d点以=8m/s的初速度沿y轴正方向开始运动,不计带电粒子的重力。求:
(1)带电粒子开始运动后第一次通过y轴时距O点的距离。
(2)带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场。
(3)带电粒子运动的周期。
【参考答案】
1.C D。
2.,。
解析:(1)由动能定理得,;
(2)射线在A、M间电场中被加速,除平行于电场线的电子流外,其余均在电场中偏转,其中和铅屏A平行的电子流在纵向偏移距离最大:,该电子的竖直位移为,在荧光屏上观察到的范围是半径的圆面,面积。
3.C
4.AC
5.。
解析:由受洛伦兹力作曲线运动知,带负电荷,由液滴原来处于静止知,带正电荷。设的质量为2m,带电椅量为-4q;的质量为m,带电荷量为+ q。
碰前:对液滴有 ,对液滴有,碰撞过程满足动量守恒定律;碰后整体有,整理得。
6.。
解析:由题意知,,在区域内,在区域内,所以,两粒子在场区中运动轨迹如图所示。要第4次经过轴时,、相遇,应相遇在必然在图中A点处,设从开始运动到相遇历时为,则对有,对有,整理可得。
7.或,。
解析:(1)粒子在磁场中作圆周运动半径为r,速度为,由牛顿第二定律知: , ;粒子初速度为原来的4倍时半径为,速度为,由牛顿第二定律知: ,,r1=2L ,所以,为使粒子进入电场后能垂直到达挡板MN上,粒子必须平行x轴进入电场,圆心O在y轴上的点,设速度方向与x轴正方向间夹角为,由几何关系知:,故或。
(2)设粒子到达挡板速度为,由动能定理知 ,所以有 。
8.,,。
解析:(1)对于粒子在电场中的运动有,,第一次通过y轴的交点到O点的距离为;
(2)x方向的速度,设进入磁场时速度与y轴正方向的夹角为,,故,所以在磁场中作圆周运动所对应的圆心角为,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动周期为,带电粒子在磁场中运动的时间;
(3)从开始至第一次到达y轴的时间,从磁场再次回到电场中的过程(未进入第二周期)是第一次离开电场时的逆运动,根据对称性,因此粒子的运动周期为。
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