整体法与隔离法[上学期]
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课件19张PPT。整体法和隔离法
吕叔湘中学
庞留根
2004年7月
Email: dyszplg@yahoo.com.cn※研究对象的选择
※典型例题
例1 例2 例3 例4
例5 例6 例7 87年高考
例8 94年高考 例9 例10 整体法和隔离法 研究对象的选择
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度．
对于连结体问题，通常用隔离法，但有时也可采用整体法．
如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；
不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法．
对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法． 例1．如图所示，在两块相同的竖直木板间，有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，则左边木板对第一块砖，第二块砖对第三块砖的摩擦力分别为：( )
A．4mg、2mg B．2mg、0
C．2mg、mg D．4mg、mg【解析】设左、右木板对砖摩擦力为 f1，
第 3块砖对第2块砖摩擦为 f2， 则对四块砖作整体,画出受力图：由平衡条件有： 2f1=4mg∴ f1=2mg对1、2块砖画出受力图：平衡，有： f1+f2=2mg∴ f2=0故B正确．B【例2】如图所示，两个完全相同的重为G的球，两球与水平地面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？ 【解析】首先分析受力如图示，选用整体法，由平衡条件得F＋2N=2G ①再隔离任一球，由平衡条件得Tsin(θ/2)=μN ②对O点 2·Tcos(θ/2)=F ③①②③联立解之 例3、如图示, A、B两个小球在水平放置的细杆上，相距为l，两下球各用一根长也是l 的细绳连接C球，三个球的质量都是m，求杆对小球作用力的大小和方向。解：对C 球，受力如图示：由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球，受力如图示：由平衡条件得NA =T cos30°+ mg=1.5mg杆对小球作用力的大小为FA tanθ= f /NA=0.1924 θ=10.9 ° 解二：对C 球，受力如图示：由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球，受力如图示：FA为杆对A球的作用力 (杆对A球的作用力 是杆对A球的弹力和摩擦力的合力）由平衡条件得【例4】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面． 【解析】以球为研究对象，受力如图所示。由平衡条件 N1cosθ=N2 N1sinθ=Gsinθ=(R-h)/R再以整体为研究对象得：N2=F 例5.如下图所示，三个物体质量分别为m1、m2和m3，m3放在光滑水平面上，m1和m2用细绳跨过定滑轮相连不计滑轮和绳的质量及一切摩擦，为使3个物体没有相对运动，作用在m3上的水平推力F是 。
解：对m1 分析受力如图示：T= m1a对m2 分析受力如图示：T= m2 g N2=m2a∴ a = m2g/m1对整体分析：F= (m1+m2+m3)a
=(m1+m2+m3)m2g/m1（m1+m2+m3）m2g/m1 例6、如图示，人的质量为60kg，木板A的质量为30kg，滑轮及绳的质量不计，若人想通过绳子拉住木板，他必须用力的大小是 （ ）
A. 225N B. 300N C. 450N D. 600N解：对人分析受力，如图示：由平衡条件得 F+N=Mg 对木板A分析受力，如图示由平衡条件得 3 F=mA g +N解得 F=( mAg +Mg)/ 4=225N 又解：对人和木板整体分析受力，由平衡条件得 4 F=mA g +Mg解得 F= ( mAg +Mg) / 4=225N A 例7、如图所示，A，B两物体的质量均为m，它们之间连接一个轻质弹簧，放在光滑水平面上，A紧靠墙壁.现用力F将B向左推，压缩弹簧，平衡后，突然将力撤去的瞬时，以下说法中正确的是 （ ）
(A)A的加速度为F/2m； (B)B的加速度为F/2m；
(C)A的加速度为零； (D)B的加速度为F/m.C D 有一轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m .当盘静止时，弹簧长度比自然长度伸长了L，如图。今向下拉盘使弹簧伸长ΔL 后停止，然后松手放开，设弹簧总在弹性限度以内，则松开手时盘对物体支持力为 .?解：对弹簧问题一般都要画出弹簧的原长，如图示：伸长L时整体的受力如图示：kL=Mg M=m+m0 k /M= g/L再伸长Δ L时整体的受力如图示：K(L +ΔL) －Mg = Ma∴a=kΔL/M= gΔL/L对m：N－mg=ma∴ N=mg＋ma =mg(1＋ΔL/L）（1+ΔL /L）mg?87年高考.例8. 如图所示，A、B两物体的质量分别是m1和m2，其接触面光滑，与水平面的夹角为θ，若A、B与水平地面的动摩擦系数都是μ，用水平力F 推A，使A、B一起加速运动，求：（1）A、B 间的相互作用力 （2）为维持A、B间不发生相对滑动，力F 的取值范围。 分析与解：A 在F 的作用下，有沿A、B 间斜面向上运动的趋势，据题意，A、B 间恰好不发生相对滑动时，则A 处恰好不脱离水平面，即A不受到水平面的支持力，此时A与水平面间的摩擦力为零。 （1）对A 受力分析如图所示: 因此有：Ncosθ= m1g [1] F - Nsinθ= m1a [2]∴N=m1g/cosθNcosθ= m1g [1]
F - Nsinθ= m1a [2]（2）对B受力分析如图所示，则：N2=m2g+Ncosθ [3]f2=μN2 [4]将[1]、[3]代入[4]式得： f2=μ(m1+ m2)g取A、B组成的系统，有：F-f2=(m1+ m2) a [5]由[1]、[2]、[5]式解得：F=m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2故A、B不发生相对滑动时F的取值范围为：0＜F≤m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2想一想：当A、B与水平地面间光滑时,且m1=m2=m时,则F的取值范围是多少？（0＜F≤2mgtgθ） 如图所示,质量M=10千克的木楔ABC静置于粗糙水平地面上,滑动摩擦系数μ=0.02.在木楔的倾角θ为30°的斜面上,有一质量m=1.0千克的物块由静止开始沿斜面下滑.当滑行路程S=1.4米时,其速度v=1.4米/秒.在这过程中木楔没有动.求地面对木楔的摩擦力的大小和方向. (重力加速度取g=10m/s2)解：由匀加速运动公式v2=v02+2a s,得物块沿斜面下滑的加速度为a = v2 /2S =1.42 / 2.8 = 0.7 m/s2 ① 由于a< gsinθ= 5m/s2 ,可知物块受到摩擦力作用. 分析物块受力,它受三个力,如图所示,由牛顿定律,有mgsinθ-f1=ma ②mgcosθ-N1=0 ③94年高考.分析木楔受力,它受五个力作用, 如图所示,对于水平方向,由牛顿定律,有f2+f1cosθ-N1sinθ=0 ④ 由此可解得地面作用于木楔的摩擦力f2=N1sinθ-f1cosθ=mgcosθsinθ-(mgsinθ-ma)cosθ
=macos θ=1×0.7×0.866 =0.61N此力的方向与图中所设的一致(由C指向B 的方向)又解： 以系统为研究对象，木楔静止，物体有沿斜面的加速度a，一定受到沿斜面方向的合外力， 由正交分解法,水平方向的加速度ax一定是地面对木楔的摩擦力产生的。∴f=max =macosθ=0.61N∴ f1= mgsinθ - ma N1= mgcosθ 例9．如图所示，用轻质绝缘细线把两个带等量异种电荷的小球悬挂起来．今将该系统移至与水平方向成30°角斜向右上方向的匀强电场中，达到平衡时，表示平衡状态的图可能是： （ ）C 例10、如图示，半径为 R 的细金属圆环中通有恒定电流 I，圆环置于水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，求 ：圆环受到的张力。解一：取上半段圆环AB作为研究对象， 圆环AB受到安培力F， F的方向向上
F的大小为F=BI×2R （有效长度为2R）圆环AB两端受到的张力为T，方向沿切线，由平衡条件得 F=2T ∴ T= BIR解二：取很小的一小段圆环CD作为研究对象，则 CD所对的圆心角为α=2Δθ,圆弧长度 ΔL = 2RΔθ CD受到安培力ΔF=BIΔL= 2BIRΔθ CD两端受到的张力为T，方向沿切线，如图示 由平衡条件 2T sinΔθ= ΔF= 2BIRΔθ 角度很小时有sinΔθ= Δθ ∴T=BIR 上述方法称为微元法
吕叔湘中学
庞留根
2004年7月
Email: dyszplg@yahoo.com.cn※研究对象的选择
※典型例题
例1 例2 例3 例4
例5 例6 例7 87年高考
例8 94年高考 例9 例10 整体法和隔离法 研究对象的选择
选择研究对象是解决物理问题的首要环节．在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度．
对于连结体问题，通常用隔离法，但有时也可采用整体法．
如果能够运用整体法，我们应该优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；
不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法．
对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法． 例1．如图所示，在两块相同的竖直木板间，有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，则左边木板对第一块砖，第二块砖对第三块砖的摩擦力分别为：( )
A．4mg、2mg B．2mg、0
C．2mg、mg D．4mg、mg【解析】设左、右木板对砖摩擦力为 f1，
第 3块砖对第2块砖摩擦为 f2， 则对四块砖作整体,画出受力图：由平衡条件有： 2f1=4mg∴ f1=2mg对1、2块砖画出受力图：平衡，有： f1+f2=2mg∴ f2=0故B正确．B【例2】如图所示，两个完全相同的重为G的球，两球与水平地面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？ 【解析】首先分析受力如图示，选用整体法，由平衡条件得F＋2N=2G ①再隔离任一球，由平衡条件得Tsin(θ/2)=μN ②对O点 2·Tcos(θ/2)=F ③①②③联立解之 例3、如图示, A、B两个小球在水平放置的细杆上，相距为l，两下球各用一根长也是l 的细绳连接C球，三个球的质量都是m，求杆对小球作用力的大小和方向。解：对C 球，受力如图示：由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球，受力如图示：由平衡条件得NA =T cos30°+ mg=1.5mg杆对小球作用力的大小为FA tanθ= f /NA=0.1924 θ=10.9 ° 解二：对C 球，受力如图示：由平衡条件得 2T cos30°= mg 对A 球，受力如图示：FA为杆对A球的作用力 (杆对A球的作用力 是杆对A球的弹力和摩擦力的合力）由平衡条件得【例4】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面． 【解析】以球为研究对象，受力如图所示。由平衡条件 N1cosθ=N2 N1sinθ=Gsinθ=(R-h)/R再以整体为研究对象得：N2=F 例5.如下图所示，三个物体质量分别为m1、m2和m3，m3放在光滑水平面上，m1和m2用细绳跨过定滑轮相连不计滑轮和绳的质量及一切摩擦，为使3个物体没有相对运动，作用在m3上的水平推力F是 。
解：对m1 分析受力如图示：T= m1a对m2 分析受力如图示：T= m2 g N2=m2a∴ a = m2g/m1对整体分析：F= (m1+m2+m3)a
=(m1+m2+m3)m2g/m1（m1+m2+m3）m2g/m1 例6、如图示，人的质量为60kg，木板A的质量为30kg，滑轮及绳的质量不计，若人想通过绳子拉住木板，他必须用力的大小是 （ ）
A. 225N B. 300N C. 450N D. 600N解：对人分析受力，如图示：由平衡条件得 F+N=Mg 对木板A分析受力，如图示由平衡条件得 3 F=mA g +N解得 F=( mAg +Mg)/ 4=225N 又解：对人和木板整体分析受力，由平衡条件得 4 F=mA g +Mg解得 F= ( mAg +Mg) / 4=225N A 例7、如图所示，A，B两物体的质量均为m，它们之间连接一个轻质弹簧，放在光滑水平面上，A紧靠墙壁.现用力F将B向左推，压缩弹簧，平衡后，突然将力撤去的瞬时，以下说法中正确的是 （ ）
(A)A的加速度为F/2m； (B)B的加速度为F/2m；
(C)A的加速度为零； (D)B的加速度为F/m.C D 有一轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m .当盘静止时，弹簧长度比自然长度伸长了L，如图。今向下拉盘使弹簧伸长ΔL 后停止，然后松手放开，设弹簧总在弹性限度以内，则松开手时盘对物体支持力为 .?解：对弹簧问题一般都要画出弹簧的原长，如图示：伸长L时整体的受力如图示：kL=Mg M=m+m0 k /M= g/L再伸长Δ L时整体的受力如图示：K(L +ΔL) －Mg = Ma∴a=kΔL/M= gΔL/L对m：N－mg=ma∴ N=mg＋ma =mg(1＋ΔL/L）（1+ΔL /L）mg?87年高考.例8. 如图所示，A、B两物体的质量分别是m1和m2，其接触面光滑，与水平面的夹角为θ，若A、B与水平地面的动摩擦系数都是μ，用水平力F 推A，使A、B一起加速运动，求：（1）A、B 间的相互作用力 （2）为维持A、B间不发生相对滑动，力F 的取值范围。 分析与解：A 在F 的作用下，有沿A、B 间斜面向上运动的趋势，据题意，A、B 间恰好不发生相对滑动时，则A 处恰好不脱离水平面，即A不受到水平面的支持力，此时A与水平面间的摩擦力为零。 （1）对A 受力分析如图所示: 因此有：Ncosθ= m1g [1] F - Nsinθ= m1a [2]∴N=m1g/cosθNcosθ= m1g [1]
F - Nsinθ= m1a [2]（2）对B受力分析如图所示，则：N2=m2g+Ncosθ [3]f2=μN2 [4]将[1]、[3]代入[4]式得： f2=μ(m1+ m2)g取A、B组成的系统，有：F-f2=(m1+ m2) a [5]由[1]、[2]、[5]式解得：F=m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2故A、B不发生相对滑动时F的取值范围为：0＜F≤m1g(m1+ m2)(tgθ+μ)/m2想一想：当A、B与水平地面间光滑时,且m1=m2=m时,则F的取值范围是多少？（0＜F≤2mgtgθ） 如图所示,质量M=10千克的木楔ABC静置于粗糙水平地面上,滑动摩擦系数μ=0.02.在木楔的倾角θ为30°的斜面上,有一质量m=1.0千克的物块由静止开始沿斜面下滑.当滑行路程S=1.4米时,其速度v=1.4米/秒.在这过程中木楔没有动.求地面对木楔的摩擦力的大小和方向. (重力加速度取g=10m/s2)解：由匀加速运动公式v2=v02+2a s,得物块沿斜面下滑的加速度为a = v2 /2S =1.42 / 2.8 = 0.7 m/s2 ① 由于a< gsinθ= 5m/s2 ,可知物块受到摩擦力作用. 分析物块受力,它受三个力,如图所示,由牛顿定律,有mgsinθ-f1=ma ②mgcosθ-N1=0 ③94年高考.分析木楔受力,它受五个力作用, 如图所示,对于水平方向,由牛顿定律,有f2+f1cosθ-N1sinθ=0 ④ 由此可解得地面作用于木楔的摩擦力f2=N1sinθ-f1cosθ=mgcosθsinθ-(mgsinθ-ma)cosθ
=macos θ=1×0.7×0.866 =0.61N此力的方向与图中所设的一致(由C指向B 的方向)又解： 以系统为研究对象，木楔静止，物体有沿斜面的加速度a，一定受到沿斜面方向的合外力， 由正交分解法,水平方向的加速度ax一定是地面对木楔的摩擦力产生的。∴f=max =macosθ=0.61N∴ f1= mgsinθ - ma N1= mgcosθ 例9．如图所示，用轻质绝缘细线把两个带等量异种电荷的小球悬挂起来．今将该系统移至与水平方向成30°角斜向右上方向的匀强电场中，达到平衡时，表示平衡状态的图可能是： （ ）C 例10、如图示，半径为 R 的细金属圆环中通有恒定电流 I，圆环置于水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，求 ：圆环受到的张力。解一：取上半段圆环AB作为研究对象， 圆环AB受到安培力F， F的方向向上
F的大小为F=BI×2R （有效长度为2R）圆环AB两端受到的张力为T，方向沿切线，由平衡条件得 F=2T ∴ T= BIR解二：取很小的一小段圆环CD作为研究对象，则 CD所对的圆心角为α=2Δθ,圆弧长度 ΔL = 2RΔθ CD受到安培力ΔF=BIΔL= 2BIRΔθ CD两端受到的张力为T，方向沿切线，如图示 由平衡条件 2T sinΔθ= ΔF= 2BIRΔθ 角度很小时有sinΔθ= Δθ ∴T=BIR 上述方法称为微元法
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