注意弄清追及和相遇问题的求解方法。
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高三物理知识点复习二：直线运动（2）
问题8：注意弄清追及和相遇问题的求解方法。
1. 追及和相遇问题的特点
追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为t甲=t乙+Δt。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
2. 追及和相遇问题的求解方法
首先分析各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据各物体的运动特点找出运动时间的关系。
方法1：利用不等式求解。利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离y=f（t），若对任何t，均存在y=f（t）>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y=f（t），则这两个物体可能相遇。其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）=0，若方程f（t）=0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f（t）=0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇。
方法2：利用图象法求解。利用图象法求解，其思路是用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇。
[例15] 火车以速率V1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，求出a应满足关式。
分析与解：设经过t时刻两车相遇，则有，整理得：
要使两车不致相撞，则上述方程无解，即
解得。
[例16] 在地面上以初速度2V0竖直上抛一物体A后，又以初速V0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）
分析与解：如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的。如换换思路，依据s=V0t－gt2/2作s－t图象，则可使解题过程大大简化。如图10所示，显然，两条图线的相交点表示A、B相遇时刻，纵坐标对应位移SA=SB。由图10可直接看出Δt满足关系式时， B可在空中相遇。
问题9：注意弄清极值问题和临界问题的求解方法。
[例17] 如图11所示，一平直的传送带以速度V=2m/s做匀速运动，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m。从A处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s，能传送到B处，欲用最短的时间把工件从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少多大？
分析与解：因，所以工件在6s内先匀加速运动，后匀速运动，
有
t1+t2=t， S1+S2=L
解上述四式得t1=2s，a=V/t1=1m/s2。
若要工件最短时间传送到B，工件加速度仍为a，设传送带速度为V，工件先加速后匀速，同上理有：又因为t1=V/a，t2=t－t1，所以，化简得：
，因为，
所以当，即时，t有最小值，。
表明工件一直加速到B所用时间最短。
[例18] 摩托车在平直公路上从静止开始起动，a1=1.6m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a2=6.4m/s2，直到停止，共历时130s，行程1600m。试求：
（1）摩托车行驶的最大速度Vm。
（2）若摩托车从静止起动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？
分析与解：（1）整个运动过程分三个阶段：匀加速运动；匀速运动；匀减速运动。可借助V－t图表示，如图12所示。利用推论有：
解得：Vm=12.8m/s（另一根舍去）
（2）首先要回答摩托车以什么样的方式运动可使得时间最短。借助V－t图象可以证明：当摩托车先以a1匀加速运动，当速度达到Vm/时，紧接着以a2匀减速运动直到停止时，行程不变，而时间最短，如图13所示，设最短时间为tmin，
则
由上述二式解得：Vm/=64m/s，故tmin=50s，即最短时间为50s。
问题10：注意弄清联系实际问题的分析求解。
[例19] 图14（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图14（b）中是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、、p2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是V＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图14（b）可知，汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 m，汽车的速度是_____________m/s
分析与解：本题由阅读图14（b）后，无法让人在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。只有仔细地分析图14（b）各符号的要素，深刻地思考才会在大脑中形成测速仪在P1时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t1=0.4S接收到信号，在P2时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t2=0.3S接收到信号的形象的物理情景图象。根据这些信息很容易给出如下解答：
汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是:
S=V（t1－t2）/2=17m，汽车通过这一位移所用的时间t=Δt－（t1－t2）/2=0.95S。所以汽车的速度是。
[例20] 调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有一滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h，从第一滴开始下落时计时，到第n滴水滴落在盘子中，共用去时间t，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？
分析与解：设两个水滴间的时间为T，如图15所示，根据自由落体运动规律可得：
所以求得：此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为
当地的重力加速度g=
二. 警示易错试题
典型错误之一：盲目地套用公式计算“汽车”刹车的位移。
[例1] 飞机着陆做匀减速运动可获得a=6m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为V0=60m/s，求它着陆后t=12s内滑行的距离。
错解：将t=12s代入位移公式得：288m.
分析纠错：解决本问题时应先计算飞机能运动多长时间，才能判断着陆后t=12s内的运动情况。
设飞机停止时所需时间为t0，由速度公式Vt=V0－at0得t0=10s。
可见，飞机在t=12s内的前10s内做匀减速运动，后2s内保持静止。所以有：
典型错误之二：错误理解追碰问题的临界条件。
[例2] 经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？
错解： 设汽车A制动后40s的位移为S1，货车B在这段时间内的位移为S2。据
有A车的加速度为：a=－0.5m/s2。据匀变速直线运动的规律有：
而S2=V2t=6×40=240（m），两车位移差为400－240=160（m），因为两车刚开始相距180m＞160m，所以两车不相撞。
分析纠错：这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致错解。
本题也可以用不等式求解：设在t时刻两物体相遇，则有：
，即：。
因为，所以两车相撞。
典型错误之三：参考系的选择不明确。
[例3] 航空母舰以一定的速度航行，以保证飞机能安全起飞，某航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s2，速度须达V=50m/s才能起飞，该航空母舰甲板长L=160m，为了使飞机能安全起飞，航空母舰应以多大的速度V0向什么方向航行？
错解：据得。
分析纠错：上述错解的原因是没有明确指出参考系，速度、位移不是在同一参考系中得到的量。若以地面为参考系，则飞机的初速度为V0，末速度为V=50m/s，飞机的位移为S=L+V0t，则根据匀变速直线的规律可得：，V=V0+at。
代入数据求得：V0=10m/s.
即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。
若以航空母舰为参考系，则飞机的初速度为零，位移为L，设末速度为V1，则据匀变速直线的规律可得：。
所以V0=V－V1=10m/s。即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。
典型错误之四：对由公式求得“结果”不能正确取舍。
[例4] 汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过s=37.5m所需的时间为（ ）
A. 3s B. 4s C. 5s D. 6s
错解：设汽车初速度的方向为正方向，即V0=20m/s，a=－5m/s2，s=37.5m.
则由位移公式得：
解得：t1=3s，t2=5s。即A、C二选项正确。
分析纠错：因为汽车经过t0=已经停止运动，4s后位移公式已不适用，故t2=5s应舍去。即正确答案为A。
典型错误之五：忽视位移、速度和加速度的矢量性。
[例5] 竖直向上抛出一物体，已知其出手时的速度是5m/s，经过3s，该物体落到抛出点下某处，速度为25m/s，已知该物体在运动过程中加速度不变，求该加速度的大小及方向。
错解：由题意知V0=5m/s，Vt=25m/s，所以加速度a=（Vt－V0）/t=6.67m/s2。
分析纠错：由于速度是矢量，处理同一直线上的矢量运算，必须先选定正方向，将矢量运算转化为代数运算。
取向上为正方向，由题意知：V0=5m/s，Vt=－25m/s，所以加速度a=（Vt－V0）/t=－10m/s2。
加速度为负，表示加速度的方向与正方向相反，即a的方向竖直向下。
典型错误之六：不能正确理解运动图象。
[例6] 一质点沿直线运动时的速度－时间图线如图所示，则以下说法中正确的是（ ）
A. 第1s末质点的位移和速度都变方向
B. 第2s末质点的位移改变方向
C. 第4s末质点的位移为零
D. 第3s末和第5s末质点的位置相同
错解：选B、C
分析纠错：速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负。
由图16中可直接看出，速度方向发生变化的时刻是第2s末、第4s末，而位移始终为正值，前2s内位移逐渐增大，第3s、第4s内又逐渐减小。第4s末位移为零，以后又如此变化。第3s末与第5s末的位移均为0.5m。故选项CD正确。
所以正确答案是选项C、D。
【模拟试题】
1. 甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时同向驶向同一目的地，甲车在前一半时间内以速度V1做匀速运动，后一半时间内以速度V2做匀速运动；乙车在前一半路程中以速度V1做匀速运动，在后一半路程中以速度V2做匀速运动，且V1≠V2 ，则（ ）
A. 甲先到达 B. 乙先到达
C. 甲、乙同时到达 D. 无法比较
2. 一球由空中自由下落，碰到桌面立刻反弹，则V－t图象为图1中的（取向上为正）
图1
3. 甲、乙两车以相同的速率V0在水平地面上相向做匀速直线运动，某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为（ ）
A. B. C. D.
4. 作匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移SAB=SBC，已知物体在AB段的平均速度为3 m/s，在BC段的平均速度大小为6 m/s，那么物体在B点时的即时速度的大小为（ ）
A. 4 m/s B. 4.5 m/s C. 5 m/s D. 5.5 m/s
5. 物体以速度V匀速通过直线上的A、B两点间，需时为t。现在物体由A点静止出发，匀加速（加速度为a1）到某一最大速度Vm后立即作匀减速运动（加速度为a2）至B点停下，历时仍为t，则物体的（ ）
A. Vm 只能为2V，无论a1 、a2为何值
B. Vm 可为许多值，与a1 a2的大小有关
C. 值必须是一定的
D. D. a1、a2必须满足。
6. 作直线运动的物体，经过A、B两点的速度分别为VA和VB，经过A和B的中点的速度为VC，且VC=（VA+VB）；在AC段为匀加速直线运动，加速度为a1，CB段为匀加速直线运动，加速度为a2 ，则（ ）
A. a1=a2 B. a1＞a2 C. a1＜a 2 D. 不能确定
7. 一物体在AB两点的中点由静止开始运动（设AB长度足够长），其加速度如图2所示随时间变化。设向A的加速度为正向，从t=0开始，则物体的运动情况（ ）
A. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在原位置
B. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在偏A侧的某点
C. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在偏B侧的某点
D. 一直向A运动，4s末静止在偏向A侧的某点
图2
8. 从离地Ｈ高处自由下落小球a，同时在它正下方H处以速度Ｖ0竖直上抛另一小球b，不计空气阻力，有（ ）
（1）若Ｖ0＞，小球b在上升过程中与a球相遇
（2）若Ｖ0＜，小球b在下落过程中肯定与a球相遇
（3）若Ｖ0=，小球b和a不会在空中相遇
（4）若Ｖ0=，两球在空中相遇时b球速度为零
A. 只有（2）是正确的 B.（1）（2）（3）是正确的
C.（1）（3）（4）正确的 D.（2）（4）是正确的
9. 在平直轨道上有两辆长为L的汽车，中心相距为S。开始时，A车以初速度V0、加速度大小为2a正对B车做匀减速运动，而B车同时以加速度大小为a由静止做匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，则V0应满足的关系式为 。
10. 一根细杆长3m，用短绳悬挂（绳长不计），悬点下有一个2m高的窗门，门顶在悬点下8m处，今将绳剪断，让杆自由下落，则杆从门旁通过的时间是 s（g取10m/s2 ）
11. 将一个粉笔头轻放在2 m/s的恒定速度运动的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m的划线；若使该传送带改做匀减速运动（加速度的大小为1.5 m/s2），并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一支粉笔头放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线 （g取10 m/s2）
12. 跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m水平飞行时，运动员离开飞机在竖直方向作自由落体运动。运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5 m /s2的加速度匀减速下降。为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s。
g=10 m /s2。求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？
（2）运动员在空中的最短时间为多少？
13. 如图3所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为Vs和VA。空气中声音传播的速率为Vp，设Vs（1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为Δt，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔Δt'。
（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。
【试题答案】
1. A 2. A 3. D 4. C 5. AD 6. C 7. D 8. C
9.
10. 11. 1m 12.（1）99m，1.25m （2）8.6s
13.（1）
（2）略
问题8：注意弄清追及和相遇问题的求解方法。
1. 追及和相遇问题的特点
追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为t甲=t乙+Δt。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
2. 追及和相遇问题的求解方法
首先分析各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据各物体的运动特点找出运动时间的关系。
方法1：利用不等式求解。利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离y=f（t），若对任何t，均存在y=f（t）>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y=f（t），则这两个物体可能相遇。其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）=0，若方程f（t）=0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f（t）=0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇。
方法2：利用图象法求解。利用图象法求解，其思路是用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇。
[例15] 火车以速率V1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，求出a应满足关式。
分析与解：设经过t时刻两车相遇，则有，整理得：
要使两车不致相撞，则上述方程无解，即
解得。
[例16] 在地面上以初速度2V0竖直上抛一物体A后，又以初速V0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）
分析与解：如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的。如换换思路，依据s=V0t－gt2/2作s－t图象，则可使解题过程大大简化。如图10所示，显然，两条图线的相交点表示A、B相遇时刻，纵坐标对应位移SA=SB。由图10可直接看出Δt满足关系式时， B可在空中相遇。
问题9：注意弄清极值问题和临界问题的求解方法。
[例17] 如图11所示，一平直的传送带以速度V=2m/s做匀速运动，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m。从A处把工件无初速地放到传送带上，经过时间t=6s，能传送到B处，欲用最短的时间把工件从A处传送到B处，求传送带的运行速度至少多大？
分析与解：因，所以工件在6s内先匀加速运动，后匀速运动，
有
t1+t2=t， S1+S2=L
解上述四式得t1=2s，a=V/t1=1m/s2。
若要工件最短时间传送到B，工件加速度仍为a，设传送带速度为V，工件先加速后匀速，同上理有：又因为t1=V/a，t2=t－t1，所以，化简得：
，因为，
所以当，即时，t有最小值，。
表明工件一直加速到B所用时间最短。
[例18] 摩托车在平直公路上从静止开始起动，a1=1.6m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a2=6.4m/s2，直到停止，共历时130s，行程1600m。试求：
（1）摩托车行驶的最大速度Vm。
（2）若摩托车从静止起动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？
分析与解：（1）整个运动过程分三个阶段：匀加速运动；匀速运动；匀减速运动。可借助V－t图表示，如图12所示。利用推论有：
解得：Vm=12.8m/s（另一根舍去）
（2）首先要回答摩托车以什么样的方式运动可使得时间最短。借助V－t图象可以证明：当摩托车先以a1匀加速运动，当速度达到Vm/时，紧接着以a2匀减速运动直到停止时，行程不变，而时间最短，如图13所示，设最短时间为tmin，
则
由上述二式解得：Vm/=64m/s，故tmin=50s，即最短时间为50s。
问题10：注意弄清联系实际问题的分析求解。
[例19] 图14（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图14（b）中是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、、p2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是V＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图14（b）可知，汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 m，汽车的速度是_____________m/s
分析与解：本题由阅读图14（b）后，无法让人在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。只有仔细地分析图14（b）各符号的要素，深刻地思考才会在大脑中形成测速仪在P1时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t1=0.4S接收到信号，在P2时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t2=0.3S接收到信号的形象的物理情景图象。根据这些信息很容易给出如下解答：
汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是:
S=V（t1－t2）/2=17m，汽车通过这一位移所用的时间t=Δt－（t1－t2）/2=0.95S。所以汽车的速度是。
[例20] 调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有一滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h，从第一滴开始下落时计时，到第n滴水滴落在盘子中，共用去时间t，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？
分析与解：设两个水滴间的时间为T，如图15所示，根据自由落体运动规律可得：
所以求得：此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为
当地的重力加速度g=
二. 警示易错试题
典型错误之一：盲目地套用公式计算“汽车”刹车的位移。
[例1] 飞机着陆做匀减速运动可获得a=6m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为V0=60m/s，求它着陆后t=12s内滑行的距离。
错解：将t=12s代入位移公式得：288m.
分析纠错：解决本问题时应先计算飞机能运动多长时间，才能判断着陆后t=12s内的运动情况。
设飞机停止时所需时间为t0，由速度公式Vt=V0－at0得t0=10s。
可见，飞机在t=12s内的前10s内做匀减速运动，后2s内保持静止。所以有：
典型错误之二：错误理解追碰问题的临界条件。
[例2] 经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？
错解： 设汽车A制动后40s的位移为S1，货车B在这段时间内的位移为S2。据
有A车的加速度为：a=－0.5m/s2。据匀变速直线运动的规律有：
而S2=V2t=6×40=240（m），两车位移差为400－240=160（m），因为两车刚开始相距180m＞160m，所以两车不相撞。
分析纠错：这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致错解。
本题也可以用不等式求解：设在t时刻两物体相遇，则有：
，即：。
因为，所以两车相撞。
典型错误之三：参考系的选择不明确。
[例3] 航空母舰以一定的速度航行，以保证飞机能安全起飞，某航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s2，速度须达V=50m/s才能起飞，该航空母舰甲板长L=160m，为了使飞机能安全起飞，航空母舰应以多大的速度V0向什么方向航行？
错解：据得。
分析纠错：上述错解的原因是没有明确指出参考系，速度、位移不是在同一参考系中得到的量。若以地面为参考系，则飞机的初速度为V0，末速度为V=50m/s，飞机的位移为S=L+V0t，则根据匀变速直线的规律可得：，V=V0+at。
代入数据求得：V0=10m/s.
即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。
若以航空母舰为参考系，则飞机的初速度为零，位移为L，设末速度为V1，则据匀变速直线的规律可得：。
所以V0=V－V1=10m/s。即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。
典型错误之四：对由公式求得“结果”不能正确取舍。
[例4] 汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过s=37.5m所需的时间为（ ）
A. 3s B. 4s C. 5s D. 6s
错解：设汽车初速度的方向为正方向，即V0=20m/s，a=－5m/s2，s=37.5m.
则由位移公式得：
解得：t1=3s，t2=5s。即A、C二选项正确。
分析纠错：因为汽车经过t0=已经停止运动，4s后位移公式已不适用，故t2=5s应舍去。即正确答案为A。
典型错误之五：忽视位移、速度和加速度的矢量性。
[例5] 竖直向上抛出一物体，已知其出手时的速度是5m/s，经过3s，该物体落到抛出点下某处，速度为25m/s，已知该物体在运动过程中加速度不变，求该加速度的大小及方向。
错解：由题意知V0=5m/s，Vt=25m/s，所以加速度a=（Vt－V0）/t=6.67m/s2。
分析纠错：由于速度是矢量，处理同一直线上的矢量运算，必须先选定正方向，将矢量运算转化为代数运算。
取向上为正方向，由题意知：V0=5m/s，Vt=－25m/s，所以加速度a=（Vt－V0）/t=－10m/s2。
加速度为负，表示加速度的方向与正方向相反，即a的方向竖直向下。
典型错误之六：不能正确理解运动图象。
[例6] 一质点沿直线运动时的速度－时间图线如图所示，则以下说法中正确的是（ ）
A. 第1s末质点的位移和速度都变方向
B. 第2s末质点的位移改变方向
C. 第4s末质点的位移为零
D. 第3s末和第5s末质点的位置相同
错解：选B、C
分析纠错：速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负。
由图16中可直接看出，速度方向发生变化的时刻是第2s末、第4s末，而位移始终为正值，前2s内位移逐渐增大，第3s、第4s内又逐渐减小。第4s末位移为零，以后又如此变化。第3s末与第5s末的位移均为0.5m。故选项CD正确。
所以正确答案是选项C、D。
【模拟试题】
1. 甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时同向驶向同一目的地，甲车在前一半时间内以速度V1做匀速运动，后一半时间内以速度V2做匀速运动；乙车在前一半路程中以速度V1做匀速运动，在后一半路程中以速度V2做匀速运动，且V1≠V2 ，则（ ）
A. 甲先到达 B. 乙先到达
C. 甲、乙同时到达 D. 无法比较
2. 一球由空中自由下落，碰到桌面立刻反弹，则V－t图象为图1中的（取向上为正）
图1
3. 甲、乙两车以相同的速率V0在水平地面上相向做匀速直线运动，某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为（ ）
A. B. C. D.
4. 作匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移SAB=SBC，已知物体在AB段的平均速度为3 m/s，在BC段的平均速度大小为6 m/s，那么物体在B点时的即时速度的大小为（ ）
A. 4 m/s B. 4.5 m/s C. 5 m/s D. 5.5 m/s
5. 物体以速度V匀速通过直线上的A、B两点间，需时为t。现在物体由A点静止出发，匀加速（加速度为a1）到某一最大速度Vm后立即作匀减速运动（加速度为a2）至B点停下，历时仍为t，则物体的（ ）
A. Vm 只能为2V，无论a1 、a2为何值
B. Vm 可为许多值，与a1 a2的大小有关
C. 值必须是一定的
D. D. a1、a2必须满足。
6. 作直线运动的物体，经过A、B两点的速度分别为VA和VB，经过A和B的中点的速度为VC，且VC=（VA+VB）；在AC段为匀加速直线运动，加速度为a1，CB段为匀加速直线运动，加速度为a2 ，则（ ）
A. a1=a2 B. a1＞a2 C. a1＜a 2 D. 不能确定
7. 一物体在AB两点的中点由静止开始运动（设AB长度足够长），其加速度如图2所示随时间变化。设向A的加速度为正向，从t=0开始，则物体的运动情况（ ）
A. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在原位置
B. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在偏A侧的某点
C. 先向A后向B，再向A、向B、4s末静止在偏B侧的某点
D. 一直向A运动，4s末静止在偏向A侧的某点
图2
8. 从离地Ｈ高处自由下落小球a，同时在它正下方H处以速度Ｖ0竖直上抛另一小球b，不计空气阻力，有（ ）
（1）若Ｖ0＞，小球b在上升过程中与a球相遇
（2）若Ｖ0＜，小球b在下落过程中肯定与a球相遇
（3）若Ｖ0=，小球b和a不会在空中相遇
（4）若Ｖ0=，两球在空中相遇时b球速度为零
A. 只有（2）是正确的 B.（1）（2）（3）是正确的
C.（1）（3）（4）正确的 D.（2）（4）是正确的
9. 在平直轨道上有两辆长为L的汽车，中心相距为S。开始时，A车以初速度V0、加速度大小为2a正对B车做匀减速运动，而B车同时以加速度大小为a由静止做匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，则V0应满足的关系式为 。
10. 一根细杆长3m，用短绳悬挂（绳长不计），悬点下有一个2m高的窗门，门顶在悬点下8m处，今将绳剪断，让杆自由下落，则杆从门旁通过的时间是 s（g取10m/s2 ）
11. 将一个粉笔头轻放在2 m/s的恒定速度运动的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m的划线；若使该传送带改做匀减速运动（加速度的大小为1.5 m/s2），并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一支粉笔头放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线 （g取10 m/s2）
12. 跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m水平飞行时，运动员离开飞机在竖直方向作自由落体运动。运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5 m /s2的加速度匀减速下降。为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s。
g=10 m /s2。求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？
（2）运动员在空中的最短时间为多少？
13. 如图3所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为Vs和VA。空气中声音传播的速率为Vp，设Vs
（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。
【试题答案】
1. A 2. A 3. D 4. C 5. AD 6. C 7. D 8. C
9.
10. 11. 1m 12.（1）99m，1.25m （2）8.6s
13.（1）
（2）略
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