2018年高考数学（理）之高频考点解密解密18+圆与方程

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
圆的方程
从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力.
2017新课标全国II 9
2017新课标全国Ⅲ 10,12,20
2016新课标全国Ⅰ 10，20
2016新课标全国Ⅱ 4
2015新课标全国Ⅰ 14
★★★★★
直线与圆、圆与圆的位置关系
2017新课标全国Ⅰ 15
2017新课标全国II 9
2017新课标全国Ⅲ 10,12,20
2016新课标全国Ⅰ 10，20
2016新课标全国Ⅱ 4
2016新课标全国III 16
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考点1 圆的方程
题组一 直接求圆的方程
调研1 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为 .
【答案】(x－2)2＋y2=10
【解析】设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2=r2，把所给两点坐标代入方程得，
解得，所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2=10.
【名师点睛】圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r，写出圆C的标准方程，将A，B两点坐标代入求a，r即可得圆C的方程．21cnjy.com
题组二 利用圆的几何性质求圆的方程
调研2 已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y=0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的标准方程为 .21·cn·jy·com
【答案】(x＋1)2＋(y＋1)2=2或(x－1)2＋(y－1)2=2
【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题意可知∴或故圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=2或(x－1)2＋(y－1)2=2.
☆技巧点拨☆
求圆的方程的两种方法
1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
附：
（1）圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2=r2.
（2）圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．
考点2 直线与圆的位置关系
题组一 与圆有关的对称问题
调研1 若直线y=kx与圆(x－2)2＋y2=1的两个交点关于直线2x＋y＋b=0对称，则点(k，b)所在的圆的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知直线y=kx与直线2x＋y＋b=0互相垂直，所以k=.又圆上两点关于直线2x＋y＋b=0对称，故直线2x＋y＋b=0过圆心(2,0)，所以b=－4，结合各选项可知，点在圆上，故选A．
☆技巧点拨☆
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系
调研2 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为
A．(－，) B．[－，]
C．(－，) D．[－，]
【答案】D
【解析】解法一：如图，BC=1，AC=2，
∴∠BAC=30°，∴－≤k≤.
解法二：设直线l的方程为y=k(x－4)，则由题意知，≤1，∴－≤k≤.
解法三：过A(4,0)的直线l可设为x=my＋4，代入(x－2)2＋y2=1中得：(m2＋1)y2＋4my＋3=0，
由Δ=16m2－12(m2＋1)=4m2－12≥0得m≤－或m≥.
∴l的斜率k=∈[－，0)∪(0，]，特别地，当k=0时，显然有公共点，
∴k∈[－，]．
调研3 已知M是圆C：(x－1)2＋y2=1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2=82上的点，则|MN|的最小值为2·1·c·n·j·y
A．4 B．4－1
C．2－2 D．2
【答案】D
【解析】设圆C′、圆C的半径分别为R ，r，∵|CC′|=5＜R－r=7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r=2. 21世纪教育网版权所有
☆技巧点拨☆
解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法
（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
题组三 与圆有关的综合问题
调研4 抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________.
【答案】(x－1)2＋y2=4
【解析】∵抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴不妨设A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)，
则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为C(a,0)，
则|CA|=|CM|，即，解得a=1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2=4.
调研5 已知圆内有一动弦，且，以为斜边作等腰直角三角形，点在圆外.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）从原点作圆的两条切线，分别交于四点，求以这四点为顶点的四边形的面积.
【答案】（1）；（2）6.
【解析】（1）连接，
∵，
∴为等腰直角三角形.
∵为等腰直角三角形，
∴四边形为正方形.
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
故点的轨迹的方程为.
（2）如图，作于点，连接.
在中，∵，∴.
∴，
∴.
∴与为正三角形.
∵，且，
∴.
∴.
【思路点拨】（1）可证为等腰直角三角形，进而证明四边形为正方形，从而可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；【出处：21教育名师】
（2）由四边形的面积，可求出其面积.
1．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线和圆的位置关系是
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相离 D．相切
【答案】A
2．（重庆綦江区2017~2018学年度第一学期期末高中联考）圆与圆的位置关系为
A．内切 B．外切
C．相交 D．相离
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径，圆心距为，，即，故两圆外切.
故选B．
3．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，代入圆的方程中，整理得，，解得.
故选D．
4．（四川省2018届高三“联测促改”活动数学试题）过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A． B．1
C． D．
【答案】C

5．（2018年普通高校招生全国卷Ⅰ（A）【衡水金卷】高三信息卷）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则直线PA的方程为，
直线PB的方程为，点均在两直线上，故，所以直线AB的方程为3x+4y=4，点到直线AB的距离，则.
本题选择D选项.
6．（宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C

7．（湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校2018届高三第二次联考）已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为www.21-cn-jy.com
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.
故选B．
8．（云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统））已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值等于21·世纪*教育网
A．?7或?1 B．1或7
C．?1或7 D．?7或1
【答案】C

9．（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线的渐近线与抛物线相切，且被圆截得的弦长为，则【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可设切点为(x0，＋1)，由y′=2x，可得切线方程为y－(＋1)=2x0(x－x0)，即y=2x0x－＋1，∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴，x0=±1，=2，则其中一条渐近线方程为y=2x，圆心到直线的距离是.
故选B．
10．（安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则__________．21教育网
【答案】?2
【解析】因为点P在圆上，所以过点的直线与圆相切的切线为，又该切线方程与直线平行，得
11．（北京市朝阳区2018年高三一模）已知点若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________．21教育名师原创作品
【答案】

12．（辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考）已知以点（，且）为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为坐标原点．
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）.
（2）因为，，
所以垂直平分线段．
因为，
所以，
所以，解得或．
当时，圆心的坐标为，，此时点到直线的距离，圆与直线相交于两点，符合题意；
当时，圆心的坐标为， ，此时点到直线的距离，圆与直线不相交，所以不符合题意，舍去．
所以所求圆的方程为．
【思路点拨】（1）因为圆过原点，所以，设圆的方程是,分别令和求出A,B的坐标,代入面积公式计算即可;
（2）因为，，所以垂直平分线段，从而可得解.
13．（云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测）在直角坐标系中，已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.21*cnjy*com
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为(异于点)，若直线分别交轴于点，证明:为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
（2）设，则，
由题意知，则，直线的方程为，令，得，
同理，
于是，
又和在椭圆上，
故，
则
.
所以.
【思路点拨】（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程；
（2）解析几何中的定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴的交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算可得为定值.

1．（2017新课标全国卷Ⅱ理科）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为【来源：21·世纪·教育·网】
A． 2 B．
C． D．
【答案】A
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
2．（2017新课标全国卷Ⅲ理科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
【答案】A

3．（2017新课标全国卷Ⅲ理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为21*cnjy*com
A．3 B．2
C． D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,则，
易得圆的半径，即圆C的方程是，
若满足，则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．
4．（2016新课标全国卷Ⅰ理科）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B

5．（2016新课标全国卷Ⅱ理科）圆的圆心到直线的距离为1，则a=
A． B．
C． D．2
【答案】A

6．（2017新课标全国卷Ⅰ理科）已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离.www-2-1-cnjy-com
在中，，代入计算得，即，
由得，所以.
7．（2016新课标全国卷Ⅲ理科）已知直线：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若,则_________________.
【答案】4

8．（2015新课标全国卷Ⅰ理科）一个圆经过椭圆＋=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
【答案】　
【解析】由题意知a=4，b=2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2=r2(00)，则解得所以圆的标准方程为.
9．（2017新课标全国卷Ⅲ理科）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）直线的方程为，圆的方程为；或直线的方程为，圆的方程为
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【思路点拨】（1）设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由斜率之积为可得，即得结论；
（2）结合（1）的结论求得实数的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程.
10．（2016新课标全国卷Ⅰ理科）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，点E轨迹方程为（）；（2）.
（2）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.