2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题3.2+不等式中恒成立、能成立、恰成立通关

第一类 不等式恒成立
1．已知函数．
（1）试讨论函数的极值点情况；
（2）当为何值时，不等式（且）恒成立？
【答案】(1)见解析;(2) ．
【解析】试题分析：（1）由题得，求得，设，由，分、、三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况．
（2）不等式可化为，再由（1）函数的性质，即可得到实数的取值范围．
②当时， ， 恒成立，
故在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增， 无极值；
③当时，令，得， ，
令，得或，
令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故的极大值点为，极小值点为．
综上所述，当时， 无极值点；
当时， 的极大值点为，极小值点为．
（2）不等式（且）可化为（*）．
由（1）知：
2．已知函数，．
（I）令，讨论函数的单调性；
（II）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）时，在递增，递减；时，在递增；
时，在和递增，递减；时，在和递增，递减；（II）．
【解析】试题分析：（I）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，www-2-1-cnjy-com
只需 即可，由（I）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围．
试题解析：（I）解：h(x)=f(x)-g(x)= ，定义域为
，（x>0）
a0时，>0得x>1；<0得0所以h(x)在（1，）递增，（0，1）递减
a=1时，，所以h(x)在（0，）递增
00得01；<0得aa>1时，>0得0a；<0得1综上：a 0时，h(x)在（1，）递增，（0，1）递减
a=1时，h(x)在（0，）递增
0a>1时，h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减
（II） 若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，
只需 即可
由（I）知， 时，h(x)在递增，=h（I）=4-a 0，解得a 4．又，所以，
ae时，h(x)在递减，=h(e)= 解得，又ae，所以 ，1因为，所以h(a)在(1，e)递减．所以，则h(a) 0恒成立，所以13．已知函数是定义在上的偶函数．当时，．
（I） 求曲线在点处的切线方程；
（II） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）（II）
【解析】试题分析：（I）根据是偶函数，当时，，可得当时，，，求出可得切线斜率，求出，可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（II）令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为．
试题解析：因为为偶函数，所以，
当时，则，故 ，所以，
从而得到， ，
（I）当时，，所以
所以在点的切线方程为：，即
（II）关于的不等式恒成立，即 恒成立
令，则原命题等价于，恒成立，
即恒成立，记，，
当时，，则递增；当时，，则递减；
所以，当时，取极大值，也是最大值，
所以，即实数a的范围为．
4．已知函数，，其中是自然常数．
（I）判断函数在内零点的个数，并说明理由；
（II） ，，使得不等式成立，试求实数的取值范围．
【答案】（I）见解析；（II）．
【解析】试题分析：（I）对函数求导，，得到函数在上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（II）不等式等价于，即，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值，取得最小值，故只需要，解出即可．
（II）因为不等式等价于，
所以，，使得不等式成立，等价于
，即，
当时，，故在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，又，
当时，，，，所以，故函数在区间上单调递减．
因此，当时，取得最大值，所以，所以，所以实数的取值范围为．
5．已知函数．
（I）求证：函数有唯一零点；
（II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）见解析；（II）．
【解析】试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．www.21-cn-jy.com
试题解析：（I），
易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，
因此，即在区间上恰有一个零点，
由题可知在上恒成立，即在上无零点，
则在上存在唯一零点．
（II）设的零点为，即．原不等式可化为，
令，则，由（I）可知在上单调递减，
在上单调递增，故只求，，设，
下面分析，设，则，
可得，即
若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．
因此，即求所求．
6．已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，其中且，是否存在整数使得不等式
恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ）
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）或．
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，令，讨论，结合单调性可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的两根，所以，可得，令，设（），可得，即，进而得所以，求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的两根，所以．
令，因为，所以，设（）
因为所以在上为减函数，所以，因为
所以，即．
因为，所以
所以，解得因为，所以，又因为，所以或
所以存在整数或使得不等式恒成立．
7．设函数．
（1）当， 时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．
（2）令 ，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】试题分析: (1)第(1)问， 令，化为，原方程在区间内有唯一实数解转化为常函数与函数在区间有且只有一个交点，再研究利用导数研究g(x)的单调性画图分析得到实数的取值范围． (2)第(2)问，
， ，则有，在上恒成立，再分离参数求实数的取值范围．
试题解析:
（1），令，化为，原方程在区间内有唯一实数解转化为常函数与函数在区间有且只有一个交点，
，容易得到在上单调递增，在上单调递减，
∴， ， ，
∴的取值范围是或．
（2）， ，则有，在上恒成立，
∴， ，
当时， 取得最大值，
∴．
8．已知函数，其中为自然对数的底数，若当时， 的最大值为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的， ，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】(1)见解析;(2) ．
【解析】试题分析：（1）由题意，得，对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的解析式；（2）令．令的最小值恒大于等于零，从而得到的最大值．
试题解析：
（1）由题意，得．
当，即时， 在时为单调递减函数，
所以最大值为．
当，即时，当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减，
所以的最大值为．
当时，即时， ， 在时为单调递增函数，
所以的最大值为．
综上得
（2）令．
①当时， ，
由，得，
所以当时， ；
当时， ，
故最小值为 ．
故当且时， 恒成立．
②当，且时， ．
因为，
所以单调递增，
故 ．
令，
则，
故当时， 为减函数，
所以，
又，
所以当时， ，
即恒成立．
③当，且时，
，
因为，
所以单调递减，
故．
令，
则，
所以当时， 为增函数，
所以，
所以，即．
综上可得当时，“”是“成立”的充要条件．
此时．
令，
则，
令，得．
故当时， ；
当时， ，
所以的最大值为，
当且仅当， 时，取等号，
故的最大值为．
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1) 当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)
【解析】试题分析：（1）函数的定义域为．．对a分类讨论，明确函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可．
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）当时，由（1)，知函数在区间上单调递增，
所以，所以恒成立，即符合题意．
法一:当时，令，
解得： ，
令，解得．
所以存在，使得，
即存在，使得，
即当时，不符合题意．
②当时， ，
即在区间上恒成立，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
显然不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
法二：当时，令，
，
所以，取，
故在上，
，
不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
10．已知函数．
（Ⅰ）设是函数的极值点，求证： ；
（Ⅱ）设是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围．（其中正
【答案】(1)见解析;(2) ．
【解析】试题分析：（1）由是函数的极值点可得，只要证明即可；
（2）），设，则
所以即在上单调递增，由于是函数的极值点，所以是在上的唯一零点，所以，即， 恒成立，
即的最小值恒大于等于零即可．
试题解析：
（Ⅰ）证明：
因为是函数的极值点，所以，解得
经检验， 符合题意
则，
当时， ， ，所以；
当时， ， ，所以
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，从而，即，所以
（Ⅱ），设，则
所以即在上单调递增
由于是函数的极值点，所以是在上的唯一零点
所以，则，即
当时， ；当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
从而函数在处取得最小值
所以
因为恒成立，所以
所以，即，也即
令，则有
因为函数在单调递减，在上单调递增，
且当时， ；当时， ， 所以
从而， ，于是
所以，故的取值范围为
11．已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析．
【解析】试题分析：（1）当时，得到，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；
（2）由，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，分类参数得出对恒成立，设函数，求得，求得函数单调性与极值，即可求解实数的最大值．
试题解析：
（1）当时， ， ．
令，解得，令，解得，
∴的单调增区间为，单调减区间为．
（2），
当时，由，知，
所以， 在上是单调增函数，且图象不间断，
又，∴当时， ，
∴函数在区间上没有零点，不合题意．
当时，由，解得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
∴当时， ，
又∵， 在上的图象不间断，
∴函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述， 的取值范围为．
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，
则由知，从而对恒成立（*）
记，得，
设， ，
∴在是单调增函数，
又在上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数，使得，
∴当时， 在上递减，
当时， 在上递增，
∴当时， 有极小值，即为最小值， ，
又，∴，∴ ，
由（*）知， ，又， ，∴ 的最大值为3，
即存在最大的正整数，使得在上恒成立．
12．已知函数，（ ， ）．
（1）若， ，求函数的单调减区间；
（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当， 时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证： ．
【答案】(1) (2) ;(3)见解析．
【解析】试题分析：（1）代入， 时，得到，求得，即可求解函数的单调区间；
（2）把不等式在上恒成立，转化为在区间上恒成立，令，利用导数求得函数的最小值，即可求解实数的取值范围．21教育网
（3）方法一：求得，得， 是方程的两个根，即，
化简，令，利用导数求得的最小值，即可证明结论；

（2）时， ，
不等式在上恒成立即为： 在区间上恒成立
令，则，令得： ，
因为时， ， 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以．
方法二：因为，所以，从而（）．
由题意知， ， 是方程的两个根．记，则，
因为，所以， ，
所以， ，且在上为减函数．
所以．
因为，故．
13．已知函数．
讨论的单调性；
若对任意的，恒有 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）当a<0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（2）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3>|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
试题解析：
1，
当时， ，
令得或，
令得；
当时，得，
令得或，
令得；
当时， ，
综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；
当时， 在单调递减；
当时， 的递减区间为和，递增区间为
2由Ⅱ可知，当时， 在区间上单调递减，
当时， 取最大值；
当时， 取最小值；
，
恒成立，

整理得，
恒成立，
，
．
14．已知．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】试题分析：（1）求得，得，确定切点为，即可求解切线的方程；
（2）由题意原不等式得，设，转化为对任意恒成立，利用导数得到函数的单调性，分类讨论即可求解实数的取值范围．
试题解析：
（1）由，则，切点为，
所求切线方程为，即．
（2）由，原不等式即为，
记， ，
依题意有对任意恒成立，
求导得，当时， ，
则在上单调递增，有，
若，则，若在上单调递增，且，适合题意；
若，则，又，故存在使，
当时， ，得在上单调递减，在，舍去，
综上，实数的取值范围是．
15．已知函数， ．
（1）求的单调区间．
（2）证明：当时，方程在区间上只有一个零点．
（3）设，其中若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为; （2）见解析；（3）．
【解析】试题分析：
（1）根据导函数的符号可得函数的单调区间．（2）令，由条件可证得函数单调递增，根据零点存在定理可证得零点唯一．（3）结合（2）可求得函数的最小值，然后根据最小值大于等于零可得实数的取值范围是．
试题解析：
（）∵，
∴，
令，得；
令，得，
故的单调减区间为，单调增区间为．
（）设， ，
则，
由（）可知在上单调递增，
又， ，
∴在上只有个零点，
故当，方程在区间上只有一个零点．
（）由题意得， ，
∴ ，
令，则，
由（）得在区间上单调递增且只有一个零点，
不妨设的零点为，
则当时， ，即， 单调递减．
当时， ，即， 单调递增，
∴函数的最小值为 ，且，
由，得，
故，
根据题意，即，
解得，
故实数的取值范围是．
16．已知，函数．
（I）当为何值时， 取得最大值？证明你的结论；
（II） 设在上是单调函数，求的取值范围；
（III）设，当时， 恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)见解析(2) （3）
【解析】试题分析：（I）求得，取得的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值．
（II）由（I）知，要使得在上单调函数，则，即可求解的取值范围；
（III）由，分类参数得，构造新函数
，利用导数求得函数的单调性和最值，即得到的取值范围．
（II）由（I）知
或
或
17．已知函数（其中为自然对数的底， ）的导函数为．
（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；
（2）设点， 是函数图象上两点，若对任意的，割线的斜率都大于，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析;(2) ．
【解析】试题分析：（1）由 ，记，问题转化为函数的图象与x轴的交点个数问题；（2）对任意的，割线的斜率都大于，即，记 ，研究函数的单调性与最值即可．
试题解析：
（1）时，由 ，记，
，当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值，
①当即时，函数在区间上无零点；
②当即时，函数在区间上有一个零点；
③当即时，函数在区间上有两个零点；
（2），
， ，
依题意：对任意的，都有，
即，
记 ， ，
记，则． 记，
则，
所以时， 递增，所以，
①当即时， ，即，所以在区间上单调递增，所以，得到，从而在区间上单调递增，
所以恒成立；
②当即时，因为时， 递增，所以，
所以存在，使得时， 即，所以在区间上单调递减，所以时， 即，
所以时， 在区间上单调递减，所以时， ，从而不恒成立。综上：实数的取值范围是．
18．已知函数．
（1）证明：直线与曲线相切；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由得，又，即可证得；
（2）设，则，分和两种情况讨论即可．
试题解析：
（1）证明： ，∴由得，解得，
又，∴直线与曲线相切．
（2）解：设，则，
当时， ，
若， ，则，∴在上递增，从而．此时， 在上恒成立．
若，令 ，当时， ；
当时， ．∴ ，
则不合题意．
故的取值范围为．
19．设函数．若曲线在点处的切线方程为
（为自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) 函数的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据曲线在点处的切线方程为
求出m=1，n=0，再利用导数求函数f(x)的单调区间．(2)第（2）问，先把原命题转化为函数对任意恒成立，再利用导数求函数H（x）的单调性，检验每一种情况下H(x)的最大值是否小于零．
试题解析：
（1）函数定义域为．得，
，即所以．所以，
．函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由题得函数对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立．
又，当即恒成立时，
函数递减，设，则，所以，即，符合题意；
当时， 恒成立，此时函数单调递增．于是不等式对任意恒成立，不符合题意；
当时，设，
则 ；
当时， ，此时单调递增，
，
故当时，函数递增．于是当时， 成立，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为： ．
20．已知函数，．
（1）讨论函数与函数的零点情况；
（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围．
注：．
【答案】（1）当时，不存在零点；当时，有一个零点为，当时， 不存在零点，当时，不存在零点，当且时，有一个零点为；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据对数函数的单调性与值域可得当时，不存在零点；当时， 函数有且仅有一个零点，根据幂函数的性质可得当时， 不存在零点，当时，不存在零点，当且时，有一个零点；（2）当，函数在区间上单调递增．又，符合题意；当时，存在，使，不合题意，综合两种情况可得结果．
（2）若，则，．
令，得，则函数的定义域是；
令，得，则函数的定义域是．
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立．
令，则对任意恒成立．
．
讨论：当，即时，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递增．
又，
所以对任意恒成立．故符合题意；
当时，令，得．
令，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．又，所以当时，存在，使．
故知对任意不恒成立．故不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
21．已知函数 (其中， )．
（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）或；（2）
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数， 在其定义域内为单调函数等价于或，即可求得的取值范围；（2）先证，当时，不等式恒成立可等价于在时恒成立，令，根据函数的单调性，求得，从而可得的取值范围．
（2）在时恒成立，
令， ， ，函数在递增，故时， 取最小值，故在恒成立，
故问题转化为在时恒成立，
令， ，
令，
而， ，
故存在，使得在递减，在递增
∴或
∵
∴．
22．已知函数．
（1）判断的零点个数；
（2）若函数，当时， 的图象总在的图象的下方，求的取值范围．
【答案】（1）1（2）
【解析】试题分析：（1）的定义域为，利用导数研究其单调性，可知在上只有一个零点．
（2）由题意当时， 恒成立．令，求导，分当时和当时两种情况讨论其性质，可得的取值范围．
试题解析：（1）的定义域为，
又，
∵，∴，
∴在上为增函数，又，
∴在上只有一个零点．
（2）由题意当时， 恒成立．
令，则．
当时，∵，∴在上为增函数．
又，∴恒成立．
当时， ，
令，则．
令的两根分别为且，
则∵，∴，
当时， ，∴，
∴在上为减函数，又，∴当时， ．
故的取值范围为．
23．已知函数 ．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对任意恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间．（2）第（2）问，
先分离参数得到对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，再利用导数求函数的最小值得解．
试题解析：
（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，，当a>0时，由<0，得；由>0，得，∴f(x)在上递减，在上递增．21*cnjy*com
(2) ∵函数f(x)在x＝1处取得极值，
∴＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x， x∈(0，＋∞)．
因此，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，令，则，令＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝，即，故实数b的最大值是1－．21·世纪*教育网
24．已知函数，（）．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：(1) 令，求出的最大值，令其小于等于零，即可求出实数的取值范围；（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证．【版权所有：21教育】
（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，
要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，，即证
令，，
有在上单调递增，，所以．
25．设函数， ．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值2；（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）代入，求得，得到和的解集，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值；
（Ⅱ）由题意得，令，得，设，求得，得到的单调性，得到的最大值，分类讨论，即可求解零点的个数；
（Ⅲ）由题意原命题等价于恒成立，设，进而转化为在上单调递减，利用导数，即可求得实数的取值范围．21*cnjy*com
试题解析：
（1）因为，所以当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增；
所以当时， 取得极小值．
（2） ，
令，得．
设，则 ．
所以当时， ， 在上单调递增；
当时， ， 在上单调递减；
所以的最大值为，又，可知：
①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；
③当时，函数有2个零．
（3）原命题等价于恒成立． ．
设 ，
则等价于在上单调递减．
即在上恒成立，
所以 恒成立，所以．
即的取值范围是．
26．已知函数是偶函数，且满足，当时， ，当时， 的最大值为．
（1）求实数的值；
（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）2；（2）或
【解析】试题分析：
（1）由题意先求得函数具有性质，于是可得当时， ，利用导数可判断在上单调递增，故，根据条件得到．（2）由于“对任意的，总存在，使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．
试题解析：
（1）∵，即，
∴，
∴，
当时， ，
∴当时， ，
∴．
又，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
令，解得．
∴实数的值为2．
（2）当时， ，
∴，
∴函数在单调递增，
∴当时， ．
又当时， ，
∴．
①当时， ，函数在区间单调递增，
∴．
∵对任意的，总存在，使不等式恒成立，
∴
解得；
②当时， ，函数在区间单调递减，
∴，
同①可得，
解得；
综上或．
∴实数的取值范围．
27．已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．（2）见解析（3）
【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得：当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(Ⅲ)分两种情况讨论，当时，不合题意，当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立，从而可得结果．
试题解析：(Ⅰ)由所以，
①当时，则有，函数在区间单调递增；
②当时， ，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，
综合①②的当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
又，
令，
则，
所以，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由(Ⅰ)知当时，对，有，
即，
所以当且趋向0时， 趋向，随着的增长， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，故当且趋向时， 趋向，得到函数的草图如图所示，
①当时，函数有两个不同的零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数无零点．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时， ，故对，
先分析法证明： ，
要证，
只需证，
即证，
构造函数)，
所以，
故函数在单调递增， ，
则成立，
①当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立，
②当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，在单调递减，
故当时， ，所以，则不满足题意，
综合①②得，满足题意的实数的取值范围．
28．．
（）当时，求曲线在点处的切线方程．
（）若在上为单调递减，求的取值范围．
（）设，求证： ．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，进而得到切线方程；（2）在恒成立，即在恒成立，根据单调性得到参数值;(3)根据第一问得到在上单调递减， ，
∴，进而得到结果．
解析：
（）当时， ，
∴，
∴， ，
故曲线在点处的切线方程是： ，
即．
（）由（）知，当时， 在上单调递减，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
29．已知函数
（Ⅰ）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；
（Ⅱ）设在其定义域内有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出可得在有解，转化为函数与的图象在上有交点，求出相切时，利用数形结合思想可得结果；（Ⅱ）根据极值点的定义可得，作差可得， 等价于 令，则，不等式在上恒成立，讨论两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得函数最值，从而筛选符合题意的的取值范围．21世纪教育网版权所有
试题解析：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0， ），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解．
方程有解转化为函数的图像在上有交点，
如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须
令切点为，所以
，所以
（Ⅱ）
因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即
因为


令，则，由题意知，不等式上恒成立．
令
如果所以上单调递增，又
上恒成立，符合题意．
如果时， 上单调递增，在上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须．
30．已知函数
（1）求函数的极值；
（2）求证： ；
（3），若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析； （2）．
【解析】试题分析：（1）由题意，得，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；
（2）由（1）知的极小值即为最小值，推得，进而可证得结论；
（3）由题意的解析式，求得，令，求得，利用得存在，使，且在上递减， 在上递增，求得函数的的最小值，再转化为函数，利用导数的单调性，即可求解实数的取值范围．
（3） ∴
令，则，∴在上递增
∵，当时， ∴存在，使，且在上递减， 在上递增
∵ ∴，即
∵对于任意的，恒有成立
∴ ∴
∴ ∴ ∴，又，
∵ ∴，令， ，显然在单增，而， ，
∴ ∴．
31．已知各项都是正数的数列的前项和为， ， ．
（1）求数列的通项公式；设数列满足： ， ，求数列的前项和；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）， ；（2）．
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先利用项和公式求出数列的通项公式 ，再利用累加法求数列 的通项，再用裂项相消求数列的前项和． (2)第（2）问，先分离参数得到，再利用基本不等式求的取值范围．
试题解析：
（1）时， ，
，
是以为首项， 为公差的等差数列
．
因为，
所以 ，
，
（2） 当且仅当时， 有最大值， ．
32．设．
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）若a>0，b>0，c>0且ab+bc+ac=1，求证：当xR时，f(x)
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）当a=2时，将化为分段函数，然后在不同区间上解不等式即可．（2）根据绝对值的三角不等式可得，再由基本不等式可得，从而可得结论成立．
试题解析：
（1）解：当时，
①当时， ，不等式无 解；
②当时，可得，
解得，
∴；
③当时， 恒成立，
∴．
综上得．
∴不等式的解集为．
（2）证明：当时， ，
而
，
当且仅当时等号成立，
∴，
∴当时， ．
第二类 不等式能成立
1．设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）<0的解集是（1，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x ，不等式f（x）≦2+t有解，求实数t的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由根与系数关系可求得b，c．(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，即t≥，x 。21教育名师原创作品
试题解析：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），
∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系知，
解得b=-12，c=10，∴
（2）不等式f（x）≤2+t?在[1，3]有解，
等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，
只要t≥即可，
不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，3]上单调递减
∴g（x）≥g（3）=-10，
∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）
2．已知．
(1)当时，求证:;
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）设=，对函数进行求导，结合化简可得恒成立，故可得成立即得结论；（2）易知，设，对再次进行求导得，所以在上单调递增，则，对分为和，两种情形，得最值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
试题解析：(1)设=，，由，得，
故==，
所以在上单调递增，所以即．
(2)由条件知
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，则．
3．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调减区间为；(2)答案见解析．
【解析】试题分析： 求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；
（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．
（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”．
即可转化为恒成立．
令，则只需在恒成立即可，
，
当时，在时， ，在时，
的最小值为，由得，
故当时， 恒成立，
当时， ， 在不能恒成立，
当时，取，有， 在不能恒成立，
综上所述，即时，至少有一个，使成立．
4．已知函数 ．
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数，若对于任意，总存在，
使得 成立，求的取值范围．
【答案】(1)减区间 (2)
【解析】试题分析：（1）对函数求导，得，明确的正负范围，从而得到的单调区间和值域；
（2）分别明确、的值域，若对于任意，总存在，使得 成立转化为两个值域间的包含关系，从而得到的取值范围．2-1-c-n-j-y
（2）对函数求导，得，
因为，当时， ，
因此当时， 为减函数，从而当时有， ，
又，即当时有，
任给， ，存在使得，
则，
解（1）式得或，
解（2）式得，又，故的取值范围是．
5．设函数．
（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设， 是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证： ．
【答案】(1) ；(2)①．证明见解析；②证明见解析．
【解析】试题分析：（1）由题意， 对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，
即，，
只需证，换元研究函数最值即可．
解析：
（1）由题意， 对恒成立．
∵
∴对恒成立，
∵
∴，从而．
（2）①，则．
若，则存在，使，不合题意．
∴．
取，则．
此时．
∴存在，使．
②依题意，不妨设，令，则．
由（1）知函数单调递增，则，从而．
∵
∴
∴．
∴．
下面证明，即证明，只要证明．
设，则在恒成立．
∴在单调递减，故，从而得证．
∴，即．
6．已知函数，．
（）当时，求在点处的切线方程．
（）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（）；（）
【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义得到，；（2）原题等价于有解，有解，构造函数求导研究单调性，从而得到函数最值．
解析：
（）∵，，
，，
∴在的切线方程为，
整理得．
（）∵，使得，
∴，
∴，
，
，
令，
．
单调递减，故函数在 恒成立，故函数是单调递减函数，=1．
故答案为：．
7．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数， ， 为自然对数的底数．当时，若， ，不等式成立，求的最大值．
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于等价于， 对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．【出处：21教育名师】
（2）当时，由（1）可知，
， ，不等式成立等价于当时， 恒成立，
即对恒成立，
因为时，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，
则，
令，则，
当时， ，
所以函数在上单调递增，
而， ，
所以，
所以存在唯一的，使得，即，
当时， ， ，所以函数单调递减；
当时， ， ，所以函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，
因为 ，
又，且，
所以的最大整数值是．
8．设函数的单调减区间是。
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，关于的不等式在
时有解，求实数的取值范围。
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）f'（x）=3ax2+2bx+c．由f（x）的单调减区间是（1，2），知，由此能求出f（x）的解析式．2·1·c·n·j·y
（2）由（1）得f'（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3．要使关于x的不等式在x∈[2，+∞）时有解，只需在m∈（0，2]恒成立．由此能求出实数t的取值范围．
　　　　　　　　　　　
⑵由⑴得，
当时， ≥0，∴在单调递增，∴ ．
要使关于的不等式在时有解，
即，即对任意恒成立，
只需在恒成立．
设， ，则。，
当时， 在上递减，在上递增，
∴．
9．， ， ．
（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；
（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=ex+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据a（x﹣）＜1，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．
试题解析：
（1）设切点为，
则， ，①
和相切，则， ，②
所以，
即，令， ，所以单增，
又因为， ，所以，存在唯一实数，使得，且，
所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．
10．已知函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求的取值范围．
【答案】（1）在上递减，在和上递增，极大值为，极小值为；（2）．
【解析】试题分析：（1），解关于导函数的不等式，得到单调区间及极值；
（2）对分类讨论，变量分离转求最值即可．
试题解析：
（1），
令得或；令得，
∴在上递减，在和上递增，
∴在处取极大值，且极大值为，在处取极小值，且极小值为．
（2）当时，不等式无解．
当时， ，设，
当时， ，∴在上递减，∴，
当时， ，令，得；令，得，
∴，∴，
综上， 的取值范围为．
11．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设，若函数在内有两个极值点，求证： ．
【答案】（1）极大值，极小值 （2）见解析
【解析】试题分析：
（1）当时， ，求导后根据导函数的符号判断函数的单调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得，设，结合题意可得方程在上有两个不相等的实根，且1不能是方程的根，故可得，由此可得．然后求得，最后由可得结论成立．21·cn·jy·com
（2）由题意得，
∴，
设，
∵函数在内有两个极值点，
∴方程在上有两个不相等的实根，且1不能是方程的根，
∴，解得．
∴，
∴
∴，
∴．
12．已知函数f(x)=lnx - ．
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)证明:当x>1时，f(x)(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x-1)．
【答案】(1) (0， ) (2)见解析(3) (-∞，1)
【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，可得函数利用单调性的最大值为 ，从而可得结论；（3）根据（2）可得， 不合题意， 不合题意，当 时利用导数研究函数的单调性与极值，可得时，符合题意．21cnjy.com
试题解析：(1)解:f′(x)= -x+1=，x∈(0，+∞)，
由f′(x)>0，得
解得0故f(x)的单调递增区间是(0， )．
(3)解:由(2)知，当k=1时，不存在x0>1满足题意．
当k>1时，对于x>1，有f(x)则f(x)从而不存在x0>1满足题意．
当k<1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，
则G′(x)= -x+1-k=，
由G′(x)=0得，-x2+(1-k)x+1=0，
解得x1=<0， x2=>1．
当x∈(1，x2)时，G′(x)>0，故G(x)在[1，x2)内单调递增，从而当x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)=0，即f(x)>k(x-1)，
综上，k的取值范围是(-∞，1)．
第三类 不等式恰成立
1．已知．
（1）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由；
（2）若是的极值点，证明．
【答案】（1）恒有两个零点；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）由题意时，得，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函数的零点个数；
（2）求得函数的导数，由是的极值点，得，得到函数的解析式，令，转化为证明，设，
根据导数得到的单调性和最小值，证得，即可作出证明．
试题解析：
（1）当时， ，
， ， ，
， ，
∴在上递减，在上递增，∴恒有两个零点；
（2）∵，∵是的极值点，
∴；∴
故要证： ，令，即证，
设，即证，
，
令， ，
∴在上递增，又，
故有唯一的根， ，
当时， ，当时， ，
∴ ．
综上得证．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，且，证明： ．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程：无根以及两个等根或两个负根时导函数不变号，为单调递增；当两个不等正根时，有三个单调区间，（2）由极值定义得， ，则化简为一元函数： ，最后根据导数确定其单调性，得其最大值小于．
试题解析：（1），
所以
（1）当时， ，所以在上单调递增
（2）当时，令，
当即时， 恒成立，即恒成立
所以在上单调递增
当，即时，
，两根
所以，
，
，
故当时， 在上单调递增
当时， 在和上单调递增
在上单调递减．
（2）
由（1）知时， 上单调递增，此时无极值
当时，
由得
，设两根，则，
其中
在上递增，在上递减，在上递增
令
，所以在上单调递减，且
故．
3．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求和实数的值；
（2）设， 分别是函数的两个零点，求证．
【答案】（I）， ．（II）见解析．
【解析】试题分析：（I）求得曲线在点处的切线方程，利用待定系数法与比较，得解得 ， ．
（II） 由， 分别是函数的两个零点，有
． 所以． ．
要证，即证 ．
令， ， ，利用导数求解即可．
（II） ．
因为， 分别是函数的两个零点，所以
两式相减，得，
所以．
因为， 所以． ．
要证，即证．
因，故又只要证．
令，则即证明．
令， ，则．
这说明函数在区间上单调递减，所以，
即成立．
由上述分析可知成立．
4．已知函数且．
（1）求实数的值；
（2）令在上的最小值为，求证： ．
【答案】（1）．（2）见解析．
【解析】试题分析：由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，由于，故 ，
可证： 在上单调递增；在上单调递减．故合题意．
（2）由（1）知 ，
所以，
令，可证，使得，且当时， ；当时， ，进而证明 ，
即．试题解析：（1）法1：由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，则，
当时， ，故在上单调递增，
由于，所以当时， ，不合题意．
当时， ，所以当时， ；当时， ，所以在上单调递增， 在上单调递减，即 ．
所以要使在时恒成立，则只需，
亦即，
令，则，
所以当时， ；当时， ，即在上单调递减，在上单调递增．
又，所以满足条件的只有2，
即．
法2：由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，由于，故 ，
所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故．
又，所以，
此时，当时， ，当时， ，
即： 在上单调递增；在上单调递减．
故合题意．
5．设函数， ．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ， ， ，所以单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；所以，再证明出。
试题解析（1）的定义域为，
，
当时， ， 在上单调递增；
当时，当， ， 单调递减；
当， ， 单调递增；
综上，当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递减，在上单调递增．
解法二：要证，即证，即证： ，
令，则只需证，
，
当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增；
所以 ，
所以，即．
6．已知函数．
（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程;
（ii）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求证: ．
【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是，递减区间是；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明，则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论．
试题解析：（Ⅰ）当时， ，定义域为
（i）
所以切点坐标为，切线斜率为
所以切线方程为
（ii）令，
所以在上单调递减，且
所以当时， 即
所以当时， 即
综上所述， 的单调递增区间是，单调递减区间是．
(Ⅱ)方法一:
，即
设
设
所以在小于零恒成立
即在上单调递减
因为
所以，
所以在上必存在一个使得
即
所以当时， ， 单调递增
当时， ， 单调递减
所以
因为
所以
令得
因为，所以，
因为，所以恒成立
即恒成立
综上所述，当时，
所以
即，则
令
因为，所以
所以恒成立
即
所以
综上所述，
即当时， ．