2018届高三数学优等生提分精品误区8.2+忽视直线与圆锥曲线相交

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
误区二：忽视直线与圆锥曲线相交失误
一、易错提醒
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有1个公共点；相交时，直线与圆锥曲线有2个公共点，直线与椭圆、双曲线、抛物线有一个或两个公共点.可通过它们的方程来研究：21教育名师原创作品
设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0，
由消元，如果消去y后得：ax2＋bx＋c＝0，
(1)当a≠0时，
①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线相切；
③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线相离.
(2)注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线.
当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.21*cnjy*com
直线和圆锥曲线的位置关系是高考考查热点，这类问题往往会用到韦达定理设而不求，但是前提是根的存在性，故要注意判别式的隐含条件，特别是当直线和圆锥曲线有两个交点时，一定别忘记这一条件．
空间线面位置关系的证明关键在于准确根据判定和性质定理进行逻辑推理,使用过程中应注意定理中条件的完备性,此类问题易出现的问题是不能正确利用相关定理,错用条件或证明过程逻辑性不强等导致失误.
二、典例精析
【例1】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
解得t＝±2.
由于±2?[－4，4 ]，
所以符合题意的直线l不存在．
【点评】当直线与圆锥曲线有两个公共点时一定要注意条件。
【例2】设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．21cnjy.com
【解析】(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则＋y2＝1，且－2≤x≤2.
所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，
当x＝0，即P(0，±1)时，
(·)min＝－2；
当x＝±2，即P(±2，0)时，
(·)max＝1.
(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由消去y，化简整理得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2＞.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
又∠AOB为锐角，所以·＞0，
即x1x2＋y1y2＞0，
即x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，
所以(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，
所以＜k2＜4，即k∈(－2，－)∪(，2)．
【点评】本题第2问，如忽视条件Δ＞0，会得到k∈(－2，2)的错误结论。
【小试牛刀】【2017届四川凉山州高三理上学期一诊】设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．21教育网
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得，且，∴，，
故，
∴椭圆的方程为．
（2）①当不存在时，，，
∴；
②当存在时，设直线方程为，则有整理得，
∴，，（i）
又，（ii）
，从而，（iii）
（iii）代入（ii）中，
∴．
三、迁移运用
1.【2017安徽寿县一中上月考】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设曲线方程为，
∵，∴，∴双曲线．
（2）由得，
∵，∴且．
设，则，
由得
．
∴，又，∴，
即．
2．【2017福建连城县一中上学期期中】已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由21世纪教育网版权所有
【答案】（1）（2）当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O
【解析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，
所以，故所求椭圆C的方程为．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．
又,于是，
解得，
经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
3.【2016届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟】已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列．21·cn·jy·com
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）试探究是否为定值？若是，求出这个值；否 则求出它的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）5．
【解析】（Ⅰ）由题意可知且，a=2
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）设直线的方程为，
由
且
恰好构成等比数列．=
即
因为，
此时，即
故==
所以是定值为5．
4.【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．2·1·c·n·j·y
（1）若，的面积为1，求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．2-1-c-n-j-y
【答案】（1）（2）不存在
【解析】（1）直线，直线．
联立可得．
所以．
又因为，所以．
所以椭圆方程为．
因为，所以．
代入椭圆方程得．
化简得．
因为，所以方程无解．
所以不存在这样的椭圆，使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．
5．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.www.21-cn-jy.com
【解析】（1）由条件得，所以方程 4分
（2）易知直线l斜率存在，令
由 5分
6分
由
得 7分21·世纪*教育网
由
得 8分
将代入
有 . 13分
6. 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．21*cnjy*com
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求实数的范围．
【解析】（1）设双曲线的方程为
则，再由得
故的方程为
（2）将代入
得
即，解得：②
由①、②得：
故的取值范围为
7. 已知椭圆，离心率为 ，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值.
【解析】（1）由题得：，，所以，。 3分
又，所以即椭圆的方程为. 4分
（2）由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时 ; 当m=－1时，同理可得 5分
当时，设切线的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，
则
又由l与圆 得
所以
9分【来源：21cnj*y.co*m】
因为 所以
且当时，|AB|=2，
由于当时，所以|AB|的最大值为2. 12分
8.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】（I）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点，
由题设：，解得：，
故所求椭圆的方程为．
9. 已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.
【解析】设直线方程为，联立
得
从而

则中点是，
则解得
由有实数解得即
于是则的取值范围是.
10．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆右焦点，且
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点（都不是顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【出处：21教育名师】
【解析】（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：且，
∴，∴．
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，
联立 得，

又，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
解得：或
∴直线l过点或点（舍）
11. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
【解析】（1）由题意得 解得，．椭圆的方程为．
（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得. 直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．的范围为．
12.已知曲线C：y2＝－4x(x＞－3)，直线l过点M(1，0)交曲线C于A，B两点，点P是AB的中点，EP是AB的中垂线，E点的坐标为(x0，0)，试求x0的取值范围.www-2-1-cnjy-com
【解析】由题意可知，直线l与x轴不垂直，可设l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得
k2x2＋2(2－k2)x＋k2＝0(－3＜x≤0)，①
设f(x)＝k2x2＋2(2－k2)x＋k2，由直线l交曲线C于A， B两点，则必有(等价代数形式) 【版权所有：21教育】
解之得k∈∪.