2018届高三数学优等生提分精品误区8.1+忽视直线的斜率不存在

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
误区一：忽视直线的斜率不存在失误
一、易错提醒
斜率是研究直线的重要工具,它贯穿于整个直线与方程的始终,在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,所以在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解．21*cnjy*com
二、典例精析
误区1: 用直线的点斜式方程,忘记讨论斜率不存在而致误
方程表示经过点,斜率为k的直线,该方程称作直线的点斜式方程,在利用直线的点斜式方程解题时,首先要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．
【例1】已知直线l经过直线与 的交点.
（1）点到直线l的距离为1,求l的方程；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
【解析】（1）联立解得交点,
若直线l的斜率不存在,即方程为,
此时点A到直线l的距离为1,满足题意；
若直线l的斜率存在,设方程为,即,
∴,解得,直线方程为；
综合得：直线l的方程为或.
（2）若直线l的斜率不存在,即方程为,距离为1 ,
若直线l的斜率存在,设方程为,即,
点A到直线l的距离为,
显然时,d有最大值,且
当且仅当取等号
∴点A到直线l的距离的最大值为
（2）由和得交点B（2,1）
依题意AB和直线垂直距离最大.又A（1,0）
距离最大值为
【点评】若忽视斜率不存在,则容易漏解．
【小试牛刀】已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论．
【解析】(1)由题意得,椭圆C的标准方程为＋＝1,
所以a2＝4,b2＝2,从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2,c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·＝0,即tx0＋2y0＝0,解得t＝－.
当x0＝t时,y0＝－,代入椭圆C的方程,得t＝±,
故直线AB的方程为x＝±,圆心O到直线AB的距离d＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时,直线AB的方程为y－2＝(x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离d＝ .
又x＋2y＝4,t＝－,故d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
【点评】注意本题第2问,要分x0＝t及x0≠t两种情况讨论,因为x0＝t时,直线AB的斜率不存在.
误区2: 用直线的斜截式方程,忘记讨论斜率不存在而致误
方程表示斜率为k,且在y轴上的截距为b的直线,称作直线的斜截式方程,在利用直线的斜截式方程解题,也要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．
【例2】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知椭圆,的离心率,且过点.
(Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设与圆相切的直线交椭圆与,两点,求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）；（2）最大值为,此时直线方程.
【分析】（1）利用由条件求出椭圆的几何量,然后求解椭圆方程；（2）①当不存在时,直接求解三角形的面积；②当存在时,设直线为,联立直线与椭圆的方程组,通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积,利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.
【解析】（1）由题意可得：

（2）①当不存在时,,

②当不存在时,设直线为,
,,
,
当且仅当,即时等号成立
,
面积的最大值为,此时直线方程.
【小试牛刀】(2015·四川)如图,椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.21cnjy.com
(1)求椭圆E的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得＝恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．2·1·c·n·j·y
【解析】(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,
因此
解得a＝2,b＝,
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,
如果存在定点Q满足条件,则有＝＝1,
即|QC|＝|QD|,
所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0)．
当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,－),
由＝,有＝,解得y0＝1或y0＝2,
所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,
则Q点坐标只可能为(0,2),
下面证明：对任意直线l,均有＝,
当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y＝kx＋1,A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0,
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0,
所以x1＋x2＝－,
x1x2＝－,
因此＋＝＝2k,
易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2,y2),
又kQA＝＝＝k－,
kQB′＝＝＝－k＋＝k－,
所以kQA＝kQB′,即Q,A,B′三点共线,
所以＝＝＝,
故存在与P不同的定点Q(0,2),使得＝恒成立．
误区3直线方程在解题中的应用
方程表示经过点的直线,注意该方程可以表示经过点,斜率不存在的直线,但不表示经过点斜率为0的直线,所以若能判断直线过,且斜率可能不存在但不为0,可考虑设其方程为,这样可以避免讨论斜率是否存在.2-1-c-n-j-y
【例3】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的
离心率为,且右焦点到直线（其中）的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程．
【解析】（1）由题意得,故,即,
从而,,,
故椭圆的标准方程为．
因此
,
则点的纵坐标为,
于是点的横坐标为,
又,故,
所以,
因为可得,
化简得,即,
化简得,计算得,
从而直线方程为或．
解法二：若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意；当的斜率为时,此时亦不满足题意；www.21-cn-jy.com
因此斜率存在且不为,不妨设斜率为,则方程,
不妨设,,
联立直线与椭圆,
即,
因为点在椭圆内,故恒成立,
所以,故
,
又,,
故,
因为,故,
即,即,
整理得,即,即,
解得,从而直线方程为或．
【小试牛刀】设抛物线C：y2＝4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A,B两点．
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小；
(2)求·的值．
【解析】：(1)∵F(1,0),∴直线L的方程为y＝x－1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得x2－6x＋1＝0,∴x1＋x2＝6,x1x2＝1.
∴|AB|＝＝·＝·＝8.
三、迁移运用
1.已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．21·cn·jy·com
(1)求椭圆的方程；
(2)过点S的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．21*cnjy*com
【解析】(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b＝c.又斜边长为2,即2c＝2,故c＝b＝1,a＝,椭圆方程为＋y2＝1.21教育名师原创作品
(2)当l与x轴平行时,以线段AB为直径的圆的方程为x2＋2＝；
当l与y轴平行时,以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由得
故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为Q(0,1)．
下面证明Q(0,1)为所求：
若直线l的斜率不存在,上述已经证明．
若直线l的斜率存在,设直线l：y＝kx－,
A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0,
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0,
x1＋x2＝,x1x2＝,
＝(x1,y1－1),＝(x2,y2－1),
·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－·＋＝0,
∴⊥,即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1)．
2．【2017届四川双流中学高三必得分训练】在平面直角坐标系中,动点到定点的距离和它到直线的距离
之比是常数,记动点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线,与轨迹交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点,与轨迹是否存在点,使得四边形为菱形？若存在,请求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】（1）设动点,
动点到定点的距离和它到直线的距离之比是常数,
由题意,得,
化简整理得的方程为.
轨迹的方程为.
（2）假设存在满足条件.依题意设直线为,
联立,消去,得,
令,,
则,,
的中点的坐标为.
,直线的方程为,
令,解得,即.
、关于点对称,,,
解得,,即.
点在椭圆上,,
解得,,,
的方程为或.
3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,的最大值是,的最小值是,且满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为,线段的垂直平分线与轴、轴分别交于,两点,是坐标原点,记的面积为,的面积为,求的取值范围.21教育网
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)令,则,.
由,得,即,即,,即,
所以椭圆的离心率为.
（2）由线段的垂直平分线分别与轴、轴交与点、,知的斜率存在且不为0.
令的方程为.
联立,得.
,,.
由,得,解之得.
由,得.
令,则,于是.
而上递增,.于是.
又,,的取值范围是.
4．【2017届湖南长沙一中高三理月考五】如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与y轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点、,直线,分别与相交于,．【来源：21cnj*y.co*m】
（i）证明：；
（ii）记,的面积分别是,．问：是否存在直线,使得？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．
【答案】（I）；（II）（i）证明见解析；（ii）和．
【解析】（Ⅰ）由题得,从而,又,解得,,
故的方程分别为．
（ii）设直线的斜率为,则直线的方程为．
由,解得或．
则点的坐标为．
又直线的斜率为,同理可得点B的坐标为．
于是．
由得．
解得或,,则点的坐标为．
又直线的斜率为．同理可得点的坐标为．
于是．
故,解得或．
又由点,的坐标得,．所以．
故满足条件的直线存在,且有两条,其方程为和．
椭圆的方程联立,转化为根与系数和韦达定理是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.
5.已知椭圆＋＝1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足＝λ1,＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l过定点并求此定点．
【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b＝1,且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2,
又a2＝b2＋c2,所以a2＝3.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),
N(x2,y2),设l方程为x＝t(y－m),
由＝λ1知(x1,y1－m)＝λ1(x0－x1,－y1),
∴y1－m＝－y1λ1,由题意y1≠0,∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3,∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0,①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0,
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0,②
且有y1＋y2＝,y1y2＝,③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0,
∴(mt)2＝1,
由题意mt<0,∴mt＝－1,满足②,
得l方程为x＝ty＋1,过定点(1,0),即Q为定点．
6．已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的动直线交椭圆于两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点？若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在且定点为．
【解析】（1）圆心到直线的距离为,又,所以弦长为,所以,又,则,,所以椭圆的方程是．
（2）假设存在点,若直线的斜率存在,设其方程为,将它代入椭圆方程,并整理得．
设点的坐标分别为,则,
因为及,
所以
＝．
当且仅当恒成立时,以为直径的圆恒过定点,
所以,解得,
此时以为直径的圆恒过定点．
当直线的斜率不存在,与轴重合,以为直径的圆为也过点．
综上可知,在坐标平面上存在一个定点,满足条件．
7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意 得c＝,b2＝a2－c2＝1,
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).当AB与x轴垂直时,|AB|＝.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝,得m2＝(k2＋1).
把y＝kx＋m代入椭圆方程,整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
∵直线l与椭圆C交于A,B两点,
∴Δ＝36k2m2－12(3k2＋1)(m2－1)＝12(3k2＋1－m2)＝36k2＋12－9(k2＋1)＝27k2＋3＞0,即k∈R.【来源：21·世纪·教育·网】
∴x1＋x2＝,x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝(1＋k2)＝
＝＝3＋＝3＋≤3＋＝4(k≠0).
当且仅当9k2＝,即k＝±时等号成立.当k＝0时,|AB|＝.综上所述：|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时,△AOB的面积取得最大值S＝×|AB|max×＝.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为,, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点,求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为, ,
且,探究：直线是否过定点,并说明理由.
【答案】（1）（2）（3）直线过定点（）．
（3）若直线的斜率存在,设方程为,依题意．
设,,由 得 ．
则． 由已知,
所以,即．
所以,整理得 ．故直线的方程为,即（）．所以直线过定点（）． www-2-1-cnjy-com
若直线的斜率不存在,设方程为,设,,由已知,得．此时方程为,显然过点（）．
综上,直线过定点（）．
9．设是椭圆上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率,短轴长为2,O为坐标原点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0,c）,（c为半焦距）,求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面积为定值1．
【解析】（Ⅰ）2b=2,b=1,,
所以椭圆的方程为．
（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在是,即,由,．
又因在椭圆上,所以,,
所以三角形的面积为定值．
当直线AB斜率存在时：设AB的方程为,
,
所以
而代入整理得：,
所以,
所以三角形的面积为定值．
10．已知椭圆C：的离心率为,连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（1,0）的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点,且O为坐标原点,当时,求t的取值范围．【出处：21教育名师】
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）,
,即．
又,．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知,当直线MN斜率存在时,
设直线方程为,,
联立方程消去y得,
因为直线与椭圆交于两点,
所以恒成立,
,
又,
因为点P在椭圆上,所以,
即,
又,
即,整理得：,
化简得：,解得或（舍）,
,即．
当直线MN的斜率不存在时,,此时,
．
11. 已知椭圆,离心率为 ,两焦点分别为、,过的直线交椭圆于两点,且△的周长为.【版权所有：21教育】
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作圆的切线交椭圆于两点,求弦长的最大值.
【解析】（1）由题得：,,所以,.
又,所以即椭圆的方程为.
（2）由题意知,.
当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为
此时 ; 当m=－1时,同理可得
当时,设切线的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为,
则
又由l与圆 得
所以
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因为 所以
且当时,|AB|=2,
由于当时,所以|AB|的最大值为2.