2018届高三数学优等生提分精品问题8.6+圆锥曲线中的存在、探索问题

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
问题六：圆锥曲线中的存在、探索性问题
一、考情分析
圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．
二、经验分享
解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
三、知识拓展
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。【出处：21教育名师】
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：
1、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一
部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。
5、规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供
的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。
6、实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。
总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。
四、题型分析
(一) 是否存在值
【例1】已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与坐标原点距离为.21教育名师原创作品
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值,若不存在说明理由.
【分析】（1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去y,得到x的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要使以CD为直径的圆过点E,当且仅当CE⊥DE时,则,再利用y=kx+2,将上式转化,最后求得,并验证.
【解析】（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意解得
∴ 椭圆方程为
综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E . .
【点评】解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
【小试牛刀】【湖北省襄阳市第四中学2017届高三周考】已知椭圆（）的离心率为,且a2=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A,B两点,是否存在实数m,使线段AB的中点在圆x2+y2=5上,若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．
【答案】（1）；（2）实数不存在,理由见解析．
【解析】（1）由题意得,解得
故椭圆的方程为；
（2）设,,线段的中点为
联立直线与椭圆的方程得,
即,
即,
,
所以,
即．又因为点在圆上,
可得,
解得与矛盾．
故实数不存在．
(二) 是否存在点
【例2】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方）,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程；
（3）对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知,,即可得,由得,写出直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,由两点式求直线的方程即可；(3)由,得,设直线方程为,与椭圆方程联立得,由根与系数关系计算得,从而得到直线方程为,从而得到直线过定点.
【解析】（1）设,则,,
∴,化简,得,∴椭圆的方程为.
（2）,,∴,
又∵,∴,.
代入解,得（舍）∴,
,∴.即直线方程为.
（3）∵,∴.
设,,直线方程为.代直线方程入,得
.
∴,,∴=
,
∴,
∴直线方程为,
∴直线总经过定点.
【点评】定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y＝kx＋b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点．21·世纪*教育网
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关．
【小试牛刀】已知椭圆的离心率为,点和
点都在椭圆上,直线交轴于点.
（1）求椭圆的方程,并求点的坐标（用,表）；
（2）设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问：轴上是否存在点,使得？若存在,求点的坐标；若不存在,说明理由.www.21-cn-jy.com
（2）点与关于轴对称,所以,直线的方程：,令,所以可得,则,因为,
所以,所以,即,
因为,又点在椭圆上,
所以,即,所以,得.
(三) 是否存在直线
【例3】设F1,F2分别是椭圆的左右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值.
（2）是否存在经过点A（5,0）的直线l与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|＝|F2D|？若存在,求直线l的方程；若不存在,请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】（1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F2C|＝|F2D|,可知F2在弦CD的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入F2点即可判断.
【解析】（1）易知a＝,b＝2,c＝1,∴F1（－1,0）,F2（1,0）
设P（x,y）,则
＝（－1－x,－y）·（1－x,－y）
＝x2＋y2－1
＝x2＋4－x2－1
＝x2＋3
∵x2∈[0,5],
当x＝0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3；
当x＝±,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4.
（2）假设存在满足条件的直线l,易知点A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线l与椭圆无交点.
所以满足条件的直线斜率存在,设为k
则直线方程为y＝k（x－5）
由方程组
得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0
依题意,△＝20（16－80k2）＞0
得：
当时,设交点为C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD中点为R（x0,y0）
则x1＋x2＝,x0＝
∴y0＝k（x0－5）＝k（－5）＝
又|F2C|＝|F2D|,有F2R⊥l,即＝－1
即＝－1
即20k2＝20k2－4,
该等式不成立,所以满足条件的直线l不存在.
【点评】假设存在,将转化为弦的中点问题以及垂直问题是解题关键．
【小试牛刀】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．21世纪教育网版权所有
【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0),且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2,所以b2＝12,
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点,
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0,
解得－4≤t≤4.
另一方面,由直线OA与l的距离d＝4,得＝4,
解得t＝±2.
由于±2?[－4,4 ],
所以符合题意的直线l不存在．
(四) 是否存在圆
【例4】已知椭圆过点,其焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题：21cnjy.com
（i）如图（1）,点为在第一象限中的任意一点,过作的切线,分别与轴和轴的正
半轴交于两点,求面积的最小值；
（ii）如图（2）,过椭圆上任意一点作的两条切线和,切点分别为
．当点在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切？若存在,求出圆的方程；
若不存在,请说明理由．
【分析】（1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．21*cnjy*com
【解析】（I）解：依题意得：椭圆的焦点为,由椭圆定义知：
,所以椭圆的方程为．
（II）（ⅰ）设,则椭圆在点B处的切线方程为
令,,令,所以
又点B在椭圆的第一象限上,所以

,当且仅当
所以当时,三角形OCD的面积的最小值为
（Ⅲ）设,则椭圆在点处的切线为：
又过点,所以,同理点也满足,
所以都在直线上,
即：直线MN的方程为
所以原点O到直线MN的距离,
所以直线MN始终与圆相切．
【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线MN的方程,再证明圆心到直线的距离为定值．
【小试牛刀】如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.www-2-1-cnjy-com
【解析】（1）设,其中,
由得
从而故.
从而,由得,因此.
所以,故
因此,所求椭圆的标准方程为：
当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心,设
由得而故
圆的半径
综上,存在满足条件的圆,其方程为：
四、迁移运用
1.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A,B两点,与直线x＝－4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足＝＋(其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得·为定值？若存在,求出点T的坐标及·的值；若不存在,请说明理由．21*cnjy*com
【解析】(1)抛物线y2＝8x的焦点为椭圆E的顶点,即a＝2.又＝,故c＝1,b＝.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵＝＋,
∴P(x1＋x2, y1＋y2),
联立
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由根与系数的关系,得
x1＋x2＝－,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
将P代入椭圆E的方程,
得＋＝1,整理,得4m2＝4k2＋3.
设T(t,0),Q(－4,m－4k),
∴＝(－4－t,m－4k),＝.
即·＝＋
＝.
∵4k2＋3＝4m2,
∴·＝＝＋.
要使·为定值,
只需2＝＝为定值,则1＋t＝0,∴t＝－1,
∴在x轴上存在一点T(－1,0),使得·为定值.
2.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知椭圆C:的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线与椭圆C有且只有一个公共点A,平行于OA的直线交于P ,交椭圆C于不同的两点D,E,问是否存在常数,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】（I）（II）
【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点是, 在中, …………2分
所以椭圆的方程为 …………4分
（Ⅱ）设直线DE的方程为,解方程组
消去得到 若
则,其中 …………6分
又直线的方程为,直线DE的方程为, …………8分
所以P点坐标,
所以存在常数使得 …………12分
3.【2017长郡中学高三入学考试】已知椭圆的两个焦点分别为,,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问是否为定值？并证明你的结论.
【答案】(1) ;(2) 为定值2.
【解析】（1）由已知得：,由已知易得,解得,则椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得
,
依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,,
又,,
所以
综上得：为定值2.
4.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且．【来源：21cnj*y.co*m】
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点,的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由．【版权所有：21教育】
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）设,则,
所以所以
（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在,设直线的方程是,
联立,消去得,
因为,所以,
设,
........10分
当且仅当时取等号,
面积的最大值为．
5.【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.21·cn·jy·com
【答案】（1）；（2）存在点B的坐标．
【解析】（Ⅰ）由已知得,点在椭圆上,
所以,解得,
所以椭圆的方程为．
下面证明：对任意直线l,都有,即．
当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为．
设M,N的坐标分别为,
由得,
其判别式,
所以,,
因此,．
易知点N关于y轴对称的点的坐标为
又,
,
所以,即三点共线,
所以．
故存在与点A不同的定点,使得．
6．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】已知椭圆,F为椭圆的右焦点,点A,B分别为椭圆的上下顶点,过点B作AF的垂线,垂足为M．
（1）若,的面积为1,求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆,使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上,若存在,求椭圆的离心率的值；若不存在,说明理由．
【答案】（1）（2）不存在
【解析】（1）直线,直线．
联立可得．
所以．
又因为,所以．
所以椭圆方程为．
因为,所以．
代入椭圆方程得．
化简得．
因为,所以方程无解．
所以不存在这样的椭圆,使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．
7．【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切．
（I）求圆的方程；
（II）若椭圆的离心率为,且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形？若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【答案】（I）;（Ⅱ）存在,有四个这样的点.
（i）过作轴的垂线,交圆,则,符合题意； 9分
（ii）过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点,
连接,则,符合题意． 11分
综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形． 12分
8.如图所示,椭圆：的离心率是,过点
的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的
线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立？
【解析】（1）由已知点在椭圆上.
所以,解得,.所以椭圆方程为.
（2）当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点.
如果存在定点满足条件,则,即.
所以点在轴上,可设点的坐标为.
当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点.
则,,由,
有,解得或.
所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线,均有.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,的坐标分别为,.
联立,得.
其判别式,,
所以,.
因此.
易知,点关于轴对称的点的坐标为.
又,,,
所以,即三点共线.
所以.
故存在与点不同的定点,使得恒成立.
9.在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上,是否存在点,使得直线：与圆：相交于不同的两点、,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由
【解析】（Ⅰ）因为,所以,于是. 1分
设椭圆上任一点,椭圆方程为,,=

①当,即时,（此时 舍去； 3分
②当即时, 5分
综上椭圆C的方程为. 6分
（Ⅱ）圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为 8分
点, 10分
当时, 由得
综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为. 12分21教育网
10．如图,已知椭圆：,其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,且、、构成等差数列.2·1·c·n·j·y
（1）求椭圆的方程；
（2）记△的面积为,△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线,使得？说明理由．
【解析】（1）因为、、构成等差数列,
所以,所以. （2分）
又因为,所以, （3分）2-1-c-n-j-y
所以椭圆的方程为. （4分）
故点的横坐标为．所以 ． （8分）
因为 ,所以 , 解得 ,
即 （10分）
和相似,若,则 （11分）
所以 , （12分）
整理得 ． （13分）
因为此方程无解,所以不存在直线,使得 ． （14分）
11. 【2015吉林省吉林市高三第二次模拟】如图,已知椭圆C:的左、右焦点为,其上顶点为.已知是边长为的正三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆C于两点,记若在线段上取一点使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线,若不在请说明理由.
【解析】（1）是边长为的正三角形,则, 1分
故椭圆C的方程为. 3分
(2)直线MN的斜率必存在,设其直线方程为,并设.
联立方程,消去得,则
4分
由得,故. 5分
设点R的坐标为,则由得,解得
. 8分
又,
,从而,故点R在定直线上. 10分
12. 定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即,叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同,称这两个椭圆相似.
（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；
（2）若椭圆与椭圆相似,求的值；
（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点,试探究：在椭圆上是否存在异于的定点,使得直线的斜率之积为定值？若存在,求出定点的坐标；若不存在,说明理由.
【解析】（1）,相似； 4分
（2）由,得； 8分
（3）设、、、（为常数）,将代入,整理得 10分
则有 （＊）
由得,即
亦即（＊＊）
将（＊）代入（＊＊）整理得：
12分
因为对动直线,总要存在定点,所以上式成立与无关,因此必须有 14分
得,或,. 16分