2018高考数学破题之道第22计+数形开门+体美神丰

跳出题海，我有36计
第22计 数形开门 体美神丰
【计名释义】
“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.?
“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.?
“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.?
“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.?
“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.?
函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.?
然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.?
这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？?
【典例示范】
【例1】已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )上的偶函数，且满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，若当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上零点的个数为（ ）
A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )详解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数 函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．
由 ( http: / / www.21cnjy.com )是定义在 ( http: / / www.21cnjy.com )上的偶函数，且满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，即f（﹣x）=f（x）．
又∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，f（x）是周期为2的偶函数．
∵当x∈[0，1]时， ( http: / / www.21cnjy.com )，
作出y=f（x）与 ( http: / / www.21cnjy.com )图象如下图，
( http: / / www.21cnjy.com )
可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．
故选：D．
点睛：本题考查了函数的奇偶性、周期性，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了数形结合思想，属于中档题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让不是常函数的函数式子尽量简单一些。
【例2】在平面直角坐标系中， ， ，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
画出图形，如图所示，结合图象知，直线，可化为， 该直线过点，解得，又该直线过点 ，解得，又直线与线段有公共点， 实数的取值范围是或，即实数的取值范围是，故答案为.
【强化训练】
1．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上有两对关于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称的点，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是 （　　）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：已知函数零点情况求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的交点个数不少于2个，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围为（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com )
C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】由题可知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f(x)的图像与函数y=mx+m的图像的交点个数不少于2个，由于函数y=mx+m的图像过定点P（-1,0），且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
数形结合可知，当动直线过点A时有2个交点，当动直线为 ( http: / / www.21cnjy.com )的切线时，即过点B时有两个交点，在这两种极限位置之间有3个交点，易知 ( http: / / www.21cnjy.com )设直线y=mx+m与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图像相切，联立方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )由题可知 ( http: / / www.21cnjy.com )又x>1.所以 ( http: / / www.21cnjy.com )
过点（-1,0）作 ( http: / / www.21cnjy.com )的切线，设切点坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )此时，切线的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )
故实数m的取值范围为 ( http: / / www.21cnjy.com ).综上实数m的取值范围为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
故选A.
点睛：本题有两个难点,一个难点是要会通过数形结合分析出在什么情况下函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的交点个数不少于2个,找到三个极限位置.第二个难点是怎么利用导数和导数的几何意义求切线的斜率,要求对导数的知识比较熟练.
3．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，对任意的实数 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，关于 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )的解集不可能是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】令 ( http: / / www.21cnjy.com )，则方程 ( http: / / www.21cnjy.com )化为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
设它有解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则求方程 ( http: / / www.21cnjy.com )化为求方程 ( http: / / www.21cnjy.com )及 ( http: / / www.21cnjy.com ).
由 ( http: / / www.21cnjy.com )的图形（如图所示）关于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )对称，
若方程 ( http: / / www.21cnjy.com )及 ( http: / / www.21cnjy.com )有解，则解 ( http: / / www.21cnjy.com )，
或有成对的解且两解关于 ( http: / / www.21cnjy.com )对称，所以D选项不符合条件.
本题选择D选项.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：本题考查了直线和圆的位置关系，求得圆上的到点的距离的最大值为是解题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想的应用，同时熟记直线与圆的位置关系、圆与圆的位置的判定与应用是解答的基础.
5．已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
∵圆： ，圆： ，
动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ，
由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆，
∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则
，选A.
6．已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )，3），P是抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵F（0，2）、M（ ( http: / / www.21cnjy.com )，3），
∴ME=3，FM= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
7．设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】画出可行域如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
联立，解得，则.
表示可行域内的点与连线的斜率，从图像可以看出，经过点时， 有最大值.
故选B.
点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.
8．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料 ( http: / / www.21cnjy.com )，其各棱长都为2，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为上，下底面的中心， ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. 2
【答案】B
【解析】如图:
( http: / / www.21cnjy.com )
连 ( http: / / www.21cnjy.com )延长交 ( http: / / www.21cnjy.com )于M,易证 ( http: / / www.21cnjy.com ),因为 ( http: / / www.21cnjy.com )为中心，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，过 ( http: / / www.21cnjy.com )做 ( http: / / www.21cnjy.com )|| ( http: / / www.21cnjy.com ),则梯形 ( http: / / www.21cnjy.com ) 即为所求截面， ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ),所以梯形的高 ( http: / / www.21cnjy.com )，故梯形面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，故选B.
9．过圆 ( http: / / www.21cnjy.com )内一点 ( http: / / www.21cnjy.com )作两条相互垂直的弦 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为__________．
【答案】19
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【点睛】本题的关键点有以下：
1.利用数形结合法作辅助线构造正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )；
2.利用勾股定理求解.
10．已知实数 ( http: / / www.21cnjy.com )满足条件 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值为_______.
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】 画出约束条件 ( http: / / www.21cnjy.com )所表示的平面区域，如图所示，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )表示平面区域内点 ( http: / / www.21cnjy.com )与点 ( http: / / www.21cnjy.com )距离的平方，
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时点 ( http: / / www.21cnjy.com )到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离的平方时， ( http: / / www.21cnjy.com )取得最小值，
所以最小值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )