2018高考数学破题之道第28计+三角开门+八面玲珑

跳出题海，我有36计
第28计 三角开门 八面玲珑
【计名释义】
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：?
1.公式多，变换多，技巧多；?
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；?
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用
【典例示范】
【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）?
A.-2 B. C.-3 D.?21世纪教育网版权所有
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.?21cnjy.com
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),?
设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：?
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)?
方程(1)有相异二实根的条件是：?
?1,?
设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=?
设AB之中点为Q(x,y)， ∵t=.?
∴，?消去θ得：y2=2p(x+p),?
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).?21教育网
【点评】直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.?
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：?
其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x?0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.2·1·c·n·j·y
【强化训练】
1．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的坐标系：
则，，，，，即，，.
∵
∴
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
故选A.
2．在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，，，，又 ，，，，故选C.
3．在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。www-2-1-cnjy-com
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为与直线的交点为，求的范围。
【答案】（1）；（2）
（2）设，则有，
设，且直线的方程是，则有，
所以，
所以
点睛：解决该题的关键是需要熟记参数方程与普通方程的转化，以及平面直角坐标方程与极坐标方程的转换关系，还有就是明确极坐标中的意义，以及有关三角函数形式的式子的值域问题的求解方法.
4．选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）. .（2）.
【解析】试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数的最值求出结果．21·世纪*教育网
（2）设 .
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离 .
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．其中把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，是解题的关键 21·cn·jy·com
5．在中，内角所对的边分别为，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）由题得=0，再利用正弦定理和余弦定理化简得到C的值. （2）先求出，再利用三角函数图像和性质求出的取值范围.2-1-c-n-j-y
详解：（1）∵
∴
∴
∴
∴又 .
∴ .
（2）∵，
∴外接圆直径
∴
∵ ∴
∴
∴的取值范围是.
点睛：求变量的取值范围，经常利用函数的思想分析解答.本题先求出，再结合，利用三角函数图像和性质求出的取值范围，这就是函数的思想解答问题的一般步骤.函数的思想是高中数学常用的思想，在解题过程中，注意理解掌握并做到灵活运用.www.21-cn-jy.com
6．如图，在平面四边形中，已知， ，且为等边三角形.(1)将四边形的面积表示为的函数；(2)求的最大值及此时的值.21*cnjy*com
【答案】（1）（2）
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
7．如图，半圆的直径为， 为直径延长线上的一点， ， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，设 .【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当为何值时,四边形面积最大,最大值为多少；
（2）当为何值时， 长最大，最大值为多少．
【答案】（1）当，最大；（2）当时， 有最大值.
试题解析：
(1) 中， ，
又，
∴四边形的面积为，
∵，
∴，
∴当，即时，四边形的面积最大，且最大值为．
（2）在中，

在中，由余弦定理得
=，
∴
∵，
∴当，即时， 有最大值，且的最大值为3.
点睛：
解决三角函数最值问题的常用方法，根据题意将所求最值问题转化为求形如的函数的最值问题处理，解题时要注意求出变量的取值范围，然后将作为一个整体进行求解，必要时可借助函数图象的直观性解题．【来源：21·世纪·教育·网】
8．选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.【版权所有：21教育】
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.21教育名师原创作品
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.21*cnjy*com
详解：（Ⅰ）由题可变形为，
∵， ，∴，∴.
点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.【出处：21教育名师】
9．已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
如图建立平面直角坐标系，,
∴
，
当sin时，得到最小值为
故答案为：
10．设分别为线段的中点,且,记为与的夹角,则的最小值为____.
【答案】
【解析】∵D，E分别为线段AB，AC的中点，∴BD CD分别为△ABC的中线．
∵?=0，记α为与的夹角，
∴?=（）?（+）=（﹣+﹣）?（﹣+﹣）
=（﹣2）?（﹣2）=（﹣2﹣2+4 ）=0，
∴2+2=5?，即 2AB2+2AC2=5AB?AC?cosA≥4AB?AC，
∴cosA≥，即cosα≥，
∵sin（﹣2α）=cos2α=2cos2α﹣1≥，
故答案为： ．