2018高考数学破题之道第27计+方程开门+欲擒故纵-跳出题海

跳出题海，我有36计
第27计 方程开门 欲擒故纵?
【计名释义】
数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.
?方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.?
方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x ( http: / / www.21cnjy.com )）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来.
【典例示范】
【例1】求?sin20°cos70°+sin10°sin50°?的值.?
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.
【例2】求二项式展开式中的常数项.?
【分析】这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.?
【解答】由二项展开式的通项公式Tr+1=C
由此得Tr+1=Cr=…=（-1）rCx?
欲Tr+1为常数，只须=0.?
解方程，得r=4.
故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.?
【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”
【强化训练】
1．已知等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的前 ( http: / / www.21cnjy.com )项为 ( http: / / www.21cnjy.com )且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )( )
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
【答案】A
【解析】分析：
( http: / / www.21cnjy.com )是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.
详解：
设 ( http: / / www.21cnjy.com )公差为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A.
点睛：
等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如 ( http: / / www.21cnjy.com )是等差数列，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是等比数列，如 ( http: / / www.21cnjy.com )是等比数列且均为正，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是等差数列.
2．设 ( http: / / www.21cnjy.com )为双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )的左、右焦点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点，若四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )有内切圆，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】分析：求出圆的圆心、半径和直线PF1的方程，根据切线的性质列方程求出a，b，c的关系，得出离心率．
详解：F1（﹣c，0），F2（c，0），P（c， ( http: / / www.21cnjy.com )），
直线PF1的方程为y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )，即b2x﹣2acy+b2c=0，
四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴M到直线PF1的距离d= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
化简得：9b2﹣12abc﹣b4=0，
令b=1可得ac= ( http: / / www.21cnjy.com )，又c2﹣a2=1，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，c= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴e= ( http: / / www.21cnjy.com )=2．
故选C．
点睛：求离心率的取值，一般是找到关于离心率的方程，再解方程.关键是找方程，本题是根据直线和圆相切得到圆心到直线的距离等于半径找到的方程.
3．已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )是直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的动点，由点 ( http: / / www.21cnjy.com )向圆 ( http: / / www.21cnjy.com )引切线，切点分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，若满足以上条件的点 ( http: / / www.21cnjy.com )有且只有一个，则 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】分析：先分析得到四边形PMON是正方形，再分析出 ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据点到直线的距离求出b的值.
详解：由题得 ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴四边形PMON是正方形，
∴|PO|= ( http: / / www.21cnjy.com ),
∵满足以上条件的点 ( http: / / www.21cnjy.com )有且只有一个，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
故选B.
点睛：本题的关键是对已知条件的分析转化，首先要分析出四边形PMON是正方形，再分析出 ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据点到直线的距离求出b的值.
4．用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（ ）
A. 0.3 B. C. D. 4
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
5．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )恰有4个零点，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是__________.
【答案】（2，3]
【解析】分析：函数 ( http: / / www.21cnjy.com )恰有4个零点，等价于 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )有四个交点，只需 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴都有两个交点，画出图象，利用数形结合思想求解即可.
详解：
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，即方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有四个解，又由函数 ( http: / / www.21cnjy.com )与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )大致形状可知，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的左右两支曲线与 ( http: / / www.21cnjy.com )都有两个交点，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )，同时在 ( http: / / www.21cnjy.com )上 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值 ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，在 ( http: / / www.21cnjy.com )上 ( http: / / www.21cnjy.com )，要使 ( http: / / www.21cnjy.com )恰有四个零点，则满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数 ( http: / / www.21cnjy.com )与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
6．在四面体 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )的重心，若四面体 ( http: / / www.21cnjy.com )的外接球的表面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )_______.
【答案】2
【解析】分析：结合题意先确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的外心O的位置，进而求得 ( http: / / www.21cnjy.com )外接圆的半径．然后根据四面体外接球的表面积求得外接球的半径，由此可求得 ( http: / / www.21cnjy.com )，最后根据 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )求解即可得到结论．
详解：设BC的中点为E．
∵点 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的重心，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
设 ( http: / / www.21cnjy.com )的外心为O，由题意得点O在AE上，
令 ( http: / / www.21cnjy.com )，则有 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
又 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四面体 ( http: / / www.21cnjy.com )的外接球的半径 ( http: / / www.21cnjy.com )，
由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
点睛：本题求四面体外接球半径的方法具有一般性，其条件是在三棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，设 ( http: / / www.21cnjy.com )外接圆的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，外接球半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )．
7．若直角坐标平面内两点满足条件：①两点分别在函数与的图象上；②关于轴对称，则称是函数与的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）.若函数与有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】设点在上，则点所在的函数为，则与有两个交点，
的图象由的图象左右平移产生，当时， ，
如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，当左移超过个单位时，都能产生两个交点，
所以的取值范围是。
点睛：本题考查函数的综合应用。由对称性得到 ( http: / / www.21cnjy.com )其对称点的函数，则题目转化为图象交点个数问题。然后，本题利用函数图象移动来辅助解题，通过图象平移，观察交点个数的情况，得到答案。
8．在二项式的展开式中，含的项的系数是______
【答案】
【解析】分析：先求得二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于7，求得r的值，即可求得含项的系数值.
详解：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，可得展开式中含项的系数是，故答案是-5.
点睛：根据所给的二项式，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为7求得r，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式.
9．已知圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆心为原点，其半径与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.
（1）求圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线 ( http: / / www.21cnjy.com )（其斜率不为0）交圆 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，试探究在 ( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴上是否存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率之和为0？若存在，求出点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com )（2）当点 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）假设存在符合条件的点 ( http: / / www.21cnjy.com ).
设 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率存在时，
设直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
由 ( http: / / www.21cnjy.com )
得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
由 ( http: / / www.21cnjy.com )，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
即 ( http: / / www.21cnjy.com ).
当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率不存在时，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，与圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，显然满足 ( http: / / www.21cnjy.com ).
所以当点 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com ).
点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数， ( http: / / www.21cnjy.com )建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
点睛：本小题主要考查求简单曲线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力；对于圆锥曲线中的定值定点问题，一般是可以先有特殊位置得到定点，再证明一般情况。或者由特殊情况推出一般情况。证明过定点问题，一般是求谁设谁，或者像这个题一样求出交点坐标，用这两个点表示出直线方程。
10．在锐角中，角所对的边分别为，已知向量， ，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先由 化简得到 ，再解方程得到角的大小.(2)第（2）问，先求出，再利用三角函数的图像和性质求出的取值范围.
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：求的取值范围，常用函数的方法，先通过化简得到函数的解析式，再求函数的定义域，最后求函数的取值范围.函数的思想是高中数学非常重要的数学思想，要理解掌握灵活运用.