2018高考数学破题之道第25计+函数开门+以静显动

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第25计 函数开门 以静显动?
【计名释义】
函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数 ( http: / / www.21cnjy.com )的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.
【典例示范】
【例1】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案：?
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长；?
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？?
【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题.?
【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米.?
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元，?
故总费用为:?
y=
得: 所以，
当且仅当 即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a?
(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为：
即?
∵但由于x=时，x=<14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵.
以下用求导法解决问题：?
∵y′=2a（1-）.?
∴x>时，y′>0，而14>.?
故x∈［14,+∞）时函数y单调增.?
∴x=14时，ymin=?
综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元.?
【点评】 函数应用题真正的难点在于处理 ( http: / / www.21cnjy.com )其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点.
【例2】 设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.
【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式. 公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围.?
【解析】 双曲线离心率的关系式，有??
由双曲线与直线相交于两点，得方程组?
消y后整理得?
函数e=f (a)=在（0，1）和（1，）上都是减函数，故有f (a)>且f (a)≠.即所求范围是.?
【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.
【强化训练】
1．在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.?
(Ⅰ)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.?
(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.?
( http: / / www.21cnjy.com )
2．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　 　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com )r C. ( http: / / www.21cnjy.com )r D. r
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 ( http: / / www.21cnjy.com )得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.
3．已知表面积为100 ( http: / / www.21cnjy.com )的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】设球的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，内接圆锥的底面半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，高为 ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意知， ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )=5，则球心到圆锥底面的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以该圆锥的体积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，设 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )( ( http: / / www.21cnjy.com ))，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，所以当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，故选B．
4． 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.?
【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(- x)2003+(-x).?
由方程的特点，我们构造函数f x)=x20 ( http: / / www.21cnjy.com )03+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.?
【点评】 此题从方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解
5．已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的短轴长为2，上顶点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，左顶点为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )分别是椭圆的左、右焦点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )为椭圆上的任意一点，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围为（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】由已知得 ( http: / / www.21cnjy.com )，故 ( http: / / www.21cnjy.com )；
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．即 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围为 ( http: / / www.21cnjy.com )．选D．
6．已知为单位向量， ，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )
7．已知等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值为（ ）
A. -3 B. -5 C. -6 D. -9
【答案】D
【解析】分析：由 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，进而得公差，由 ( http: / / www.21cnjy.com )可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而的通项公式，进而利用 ( http: / / www.21cnjy.com )可得解 ( http: / / www.21cnjy.com ).再通过构造函数求导，结合函数单调性及变量为正整数，即可得最值.
详解：由 ( http: / / www.21cnjy.com )可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，
设等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的公差为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
设 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的极小值点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，故选D.
点睛：求等差数列前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和 ( http: / / www.21cnjy.com )最值的三种方法
(1)函数法：利用等差数列前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和的函数表达式 ( http: / / www.21cnjy.com )通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，满足 ( http: / / www.21cnjy.com )的项数 ( http: / / www.21cnjy.com )使得 ( http: / / www.21cnjy.com )取得最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，满足 ( http: / / www.21cnjy.com )的项数 ( http: / / www.21cnjy.com )使得 ( http: / / www.21cnjy.com )取得最小值为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)通项公式法：求使 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( ( http: / / www.21cnjy.com ))成立时最大的 ( http: / / www.21cnjy.com )值即可．一般地，等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则：①若 ( http: / / www.21cnjy.com )为偶数，则当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )最大；②若 ( http: / / www.21cnjy.com )为奇数，则当 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )最大．
8．已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为________.
【答案】8
( http: / / www.21cnjy.com )
9． ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的夹角为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是______, ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是_______．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】分析：先对 ( http: / / www.21cnjy.com )平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数，再根据二次函数性质求最小值，同样对 ( http: / / www.21cnjy.com )平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数，再根据二次函数性质求最小值.
详解： ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ),即 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ),即 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是 ( http: / / www.21cnjy.com ).
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围 ( http: / / www.21cnjy.com )，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. 关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题.
10．已知腰长为 ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰直角△ ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )为斜边 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，点 ( http: / / www.21cnjy.com )为该平面内一动点，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值 ________.
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
如图建立平面直角坐标系， ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
当sin ( http: / / www.21cnjy.com )时，得到最小值为 ( http: / / www.21cnjy.com )
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )