2018高考数学破题之道第24计+杠杆开门+以轻拨重

跳出题海，我有36计
第24计 杠杆开门 以轻拨重
【计名释义】
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千 ( http: / / www.21cnjy.com )斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.?
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.?
支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功” ( http: / / www.21cnjy.com )，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！
【典例示范】
【例1】在几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )是正三角形，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的外接球的表面积等于__________．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体），则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.
【例2】已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点 到直线的距离的最小值为__________．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
【强化训练】
1．设函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，若互不相等的实数 ( http: / / www.21cnjy.com )满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】分析：不失一般性可设 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )，结合图象可得 ( http: / / www.21cnjy.com )的范围及 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，将所求式子转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.
详解：作出函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象，由 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，可化为 ( http: / / www.21cnjy.com )；当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，令 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )或7，由图象可得存在 ( http: / / www.21cnjy.com )使得 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，即有 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )，设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )递减，则 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )，故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用．
2．已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上有两对关于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称的点，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是 （　　）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：已知函数零点情况求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．偶函数 ( http: / / www.21cnjy.com )满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上有且只有200个整数解，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【解析】分析：根据题意得到函数 ( http: / / www.21cnjy.com )周期性，结合周期性将问题转化在一个周期 ( http: / / www.21cnjy.com )内来研究，然后在结合函数图象的对称性将问题转化在 ( http: / / www.21cnjy.com )内研究，最后结合函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )内整数解的个数及图象中的特殊点确定实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围．
详解：由 ( http: / / www.21cnjy.com )得函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象的对称轴为 ( http: / / www.21cnjy.com )，故 ( http: / / www.21cnjy.com )；
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
作出函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在一个周期上的图象（如图所示）．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为偶函数，且不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上有且只有200个整数解,
∴不等式在 ( http: / / www.21cnjy.com )上有且只有100个整数解．
∵函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )内有25个周期，
∴函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在一个周期内有4个整数解，即 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )内有4个整数解．
( http: / / www.21cnjy.com )
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
点睛：①已知函数零点个数或 ( http: / / www.21cnjy.com )方程根的个数求参数的取值（或范围）时，一般根据数形结合的方法求解，将问题转化为两个函数图象公共点的个数的问题处理．
②解题时注意函数性质的综合运用及性质间的相互转化的结论，即已知函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个可得到第三个性质．
4．已知定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )的 函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上为增函数，且函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为奇函数，则（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com )
C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
5．已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式即为，
∵函数在区间上单调递增，
∴，即，解得．
∴实数的取值范围是．选A．
6．某几何体三视图如图所示，若这个几何体的各顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据给定的三视图，根据三视图的特征，换元得到原几何体，得到几何体的外接球和直三棱柱的外接球是同一个球，即可求得球的半径，进而计算球的体积.
详解：由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为等腰直角三角形的一个直三棱柱，
截去一个三棱锥的几何体，
如图所示，
其中，
此时几何体的外接球和直三棱柱的外接球是同一个球，
其中球的直径，即，
所以球的体积为，故选B.
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际 ( http: / / www.21cnjy.com )形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.
7．在三棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，且三棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )的外接球的表面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com ).
故选B.
点睛：本题考查了有关球的组合体问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积．
8．如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：
( http: / / www.21cnjy.com )
异面直线与间的距离为定值；
三棱锥的体积为定值；
异面直线与直线所成的角为定值；
二面角的大小为定值．
其中真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．
对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确．
对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P 平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确；
对于④，因为二面角P BC1 D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确．
综上①②③④正确．选D．
9．将函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象向左平移 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度，得到偶函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值是__________．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )点睛：本题的易错点是：函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象向左平移 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度得到
( http: / / www.21cnjy.com )的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于自变量 ( http: / / www.21cnjy.com )而言，不要得到错误答案“ ( http: / / www.21cnjy.com )”.
10．如图，在空间四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上， ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上，且有 ( http: / / www.21cnjy.com )，求证： ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )交于一点．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】详见解析
【解析】试题分析：连接 ( http: / / www.21cnjy.com )，证得 ( http: / / www.21cnjy.com )，不妨设 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据平面定性质，即可证得 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )交于一点．
试题分析：
连接 ( http: / / www.21cnjy.com )，易得HE∥AC，GF∥AC，所以HE∥GF，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )四点共面，而 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )不平行，不妨设 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，而 ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )交于一点．