2018高考数学破题之道第23计+探索开门+智勇双锋

跳出题海，我有36计
第23计 探索开门 智勇双锋
【计名释义】
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过 ( http: / / www.21cnjy.com )没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.?
“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.?
过河人还需要两大素质：大智大勇！?
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证
【典例示范】
【例1】已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线过定点.
【解析】试题分析： 由长轴长为得，由，设代入计算得设直线的方程为，求出直线的方程，联立直线与椭圆方程求出， 求出直线过定点
( http: / / www.21cnjy.com )（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.
联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.
当，即，则与轴交点为，
当，即时，下证直线过点，
由 ，
故直线过定点.
【例2】在数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中，若 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为常数)，则 ( http: / / www.21cnjy.com )称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：
①若 ( http: / / www.21cnjy.com )是等方差数列，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是等差数列；
② ( http: / / www.21cnjy.com )是等方差数列；
③若 ( http: / / www.21cnjy.com )是等方差数列，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为
__________(写出所有正确命题的序号).
【答案】①②③
( http: / / www.21cnjy.com )
②数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中, ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是等方差数列；故②正确；
③数列{ ( http: / / www.21cnjy.com )}中的项列举出来是, ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ),…, ( http: / / www.21cnjy.com ),…, ( http: / / www.21cnjy.com )，…
数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中的项列举出来是, ( http: / / www.21cnjy.com ),…, ( http: / / www.21cnjy.com )，…，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) (k∈N ,k为常数)是等方差数列；故③正确；
故答案为：①②③.
点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；
（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.
【强化训练】
1．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 ( http: / / www.21cnjy.com )则 ( http: / / www.21cnjy.com )”、“若 ( http: / / www.21cnjy.com )则 ( http: / / www.21cnjy.com )”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )”为真，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的充分条件．
2．等价法：利用 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )与非 ( http: / / www.21cnjy.com ) 非 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )与非 ( http: / / www.21cnjy.com ) 非 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )与非 ( http: / / www.21cnjy.com ) 非 ( http: / / www.21cnjy.com )的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的充分条件或 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的必要条件；若 ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的充要条件．
2．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，记 ( http: / / www.21cnjy.com )表示不超过 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大整数，如 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值域为（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】分析：易得 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为整数时，易得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )不为整数，设 ( http: / / www.21cnjy.com )其中， ( http: / / www.21cnjy.com )，代入即可得解.
详解：由 ( http: / / www.21cnjy.com )，可知 ( http: / / www.21cnjy.com ).
可得： ( http: / / www.21cnjy.com ).
若 ( http: / / www.21cnjy.com )为整数，则 ( http: / / www.21cnjy.com )
若 ( http: / / www.21cnjy.com )不为整数，设 ( http: / / www.21cnjy.com )其中， ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值域为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
故选B.
点睛：本题考查了函数的中心对称性，得到 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论， ( http: / / www.21cnjy.com )为整数时易得解， ( http: / / www.21cnjy.com )不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可.
3．定义可导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性函数为 ( http: / / www.21cnjy.com )；在区间D上，若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性函数值大于1，则称 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作 ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性区间．
(1)若 ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性函数及弹性函数的零点；
(2)对于函数 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（其中e为自然对数的底数），求 ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性区间D.
【答案】（1）弹性函数为 ( http: / / www.21cnjy.com )．其零点为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )试题解析：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
令 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )弹性函数的零点为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
⑵ ( http: / / www.21cnjy.com )，函数定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )。
因为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的弹性函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，
此不等式等价于下面两个不等式组，
(Ⅰ) ( http: / / www.21cnjy.com )或(Ⅱ) ( http: / / www.21cnjy.com ).
因①对应的函数就是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在定义域上单调增，
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以①的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
而② ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上恒正，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，故②在 ( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立.
于是不等式组(Ⅰ)的解为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
同①的解法得③的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
因为在 ( http: / / www.21cnjy.com )时，④左正、右负，不可能成立.
故不等式组(Ⅱ)无实数解．
综上， ( http: / / www.21cnjy.com )的弹性区间 ( http: / / www.21cnjy.com ).
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值) ( http: / / www.21cnjy.com )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
4．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )为实数，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
(1) 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，令 ( http: / / www.21cnjy.com )，若 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立，求实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围；
(2) 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，令 ( http: / / www.21cnjy.com )，是否存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得对于函数 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域中的任意实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，均存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，有 ( http: / / www.21cnjy.com )成立？若存在，求出实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）见解析
( http: / / www.21cnjy.com )① b≤ ( http: / / www.21cnjy.com )时，因为b(x＋1)－1≤ ( http: / / www.21cnjy.com ) (x＋1)－1< ( http: / / www.21cnjy.com )×2－1＝0，
故Q′(x)<0，所以函数y＝Q(x)在x∈(0，1)时单调递减，Q(x)>Q(1)＝0，
即H′(x)>0，从而函数y＝H(x)在x∈(0，1)时单调递增，
故H(x)② 当b＞ ( http: / / www.21cnjy.com )，Q′(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，
因为b> ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )－1<1，记I＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∩(0，1)，则当x∈I时，x－ ( http: / / www.21cnjy.com )>0，
故Q′(x)>0，所以函数y＝Q(x)在x∈I时单调递增，Q(x)即H′(x)<0，从而函数y＝H(x)在x∈I时单调递减，所以H(x)>H(1)＝0，此时(*)不成立；
所以当x∈(0，1)，G(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )lnx≥1恒成立时，b≤ ( http: / / www.21cnjy.com )；
2) 当x∈(1，＋∞)时，G(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )lnx≥1可化为(bx＋1－b)lnx－x＋1≥0，
令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(1，＋∞)，问题转化为：
H(x)≥0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立(**)；则H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )＋b－1，H′(1)＝0.
令Q(x)＝blnx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )＋b－1，则Q′(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
ⅱ) 若01，所以x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )时，Q′(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ( http: / / www.21cnjy.com )<0，
故函数y＝Q(x)在x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减，Q(x)所以函数y＝H(x)在x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )时单调递减，所以H(x)所以当x∈(1，＋∞)，G(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )lnx≥1恒成立时，b≥ ( http: / / www.21cnjy.com ).(15分)
综上所述，当x∈(0，1)∪(1，＋∞)，G(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )lnx≥1恒成立时，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，从而实数b的取值集合为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
5．已知数列 ( http: / / www.21cnjy.com )满足 ( http: / / www.21cnjy.com ).数列 ( http: / / www.21cnjy.com ) 前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
(Ⅰ) 求数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的通项公式；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )，求正整数 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（Ⅲ）是否存在正整数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )恰好为数列 ( http: / / www.21cnjy.com )中的一项？若存在，求出所有满足条件的 ( http: / / www.21cnjy.com )值，若不存在，说明理由.
【答案】(Ⅰ) ( http: / / www.21cnjy.com )（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com )（III） ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】（I） ( http: / / www.21cnjy.com ),因此数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇数项依次构成以 ( http: / / www.21cnjy.com )为首项， ( http: / / www.21cnjy.com )为公差的等差数列，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ) ，因此数列 ( http: / / www.21cnjy.com )偶数项依次构成以 ( http: / / www.21cnjy.com )为首项， ( http: / / www.21cnjy.com )为公比的等比数列，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).
故 ( http: / / www.21cnjy.com ) .
( http: / / www.21cnjy.com )
（III）若 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )中的一项，则 ( http: / / www.21cnjy.com )为正整数
又 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
故若 ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )中的某一项只能为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
①若 ( http: / / www.21cnjy.com )无解；
②若 ( http: / / www.21cnjy.com )，显然 ( http: / / www.21cnjy.com )不符合题意， ( http: / / www.21cnjy.com )符合题意，
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )
即 ( http: / / www.21cnjy.com )为增函数，故 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )为增函数，
故 ( http: / / www.21cnjy.com )，故当 ( http: / / www.21cnjy.com )时方程 ( http: / / www.21cnjy.com )无解，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程唯一解；
③若 ( http: / / www.21cnjy.com )即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
综上所述， ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com ).
6．如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )分别在 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )上， ( http: / / www.21cnjy.com )，现将四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )沿 ( http: / / www.21cnjy.com )折起，使平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（Ⅰ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )，在折叠后的线段 ( http: / / www.21cnjy.com )上是否存在一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )？若存在，求出 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )的体积的最大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）3.
【解析】分析：（Ⅰ）在折叠后的图中过 ( http: / / www.21cnjy.com )作 ( http: / / www.21cnjy.com )，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com )，过 ( http: / / www.21cnjy.com )作 ( http: / / www.21cnjy.com )交 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com )，连结 ( http: / / www.21cnjy.com )，易证得 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，从而得平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（Ⅱ）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，由棱锥的体积公式可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而可得最值.
详解：（Ⅰ）在折叠后的图中过 ( http: / / www.21cnjy.com )作 ( http: / / www.21cnjy.com )，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com )，过 ( http: / / www.21cnjy.com )作 ( http: / / www.21cnjy.com )交 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com )，连结 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).
折起后 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
又平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com ).
又 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，所以平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，因为 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com ).
所以在 ( http: / / www.21cnjy.com )存在一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，使 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（Ⅱ）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
故 ( http: / / www.21cnjy.com )
所以当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )取得最大值3.
点睛：解决与平行、垂直有关的探索性问题时， ( http: / / www.21cnjy.com )通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．
7．在四棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
（I）求证： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（II）求证： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com ) 说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )；（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可证明平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )；（III）在棱 ( http: / / www.21cnjy.com )上存在中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用线面平行的判定定理证明．
试题解析：（I）因为 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
又因为 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（II）因为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
8．已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )的左焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )左顶点 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（Ⅰ）求椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程；
（Ⅱ）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )是椭圆上的两点， ( http: / / www.21cnjy.com )是椭圆上位于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )两侧的动点.若 ( http: / / www.21cnjy.com )，试问直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ( http: / / www.21cnjy.com ).（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com ).
【解析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而可得方程；
（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方程为y-9=-k（x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值 ( http: / / www.21cnjy.com ).
详解：（Ⅰ）由题意可得， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )由 ( http: / / www.21cnjy.com )，得 ( http: / / www.21cnjy.com )
所以椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（Ⅱ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率之和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，设直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )，设 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
联立 ( http: / / www.21cnjy.com )消 ( http: / / www.21cnjy.com )得
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )
同理 ( http: / / www.21cnjy.com )
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为定值 ( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
9．已知长轴长为4的椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )过点 ( http: / / www.21cnjy.com ),右焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )。
（1）求椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程；
（2）是否存在 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得过 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )交椭圆于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点.设点 ( http: / / www.21cnjy.com )为点 ( http: / / www.21cnjy.com )关于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的对称点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )三点共线？若存在，求 ( http: / / www.21cnjy.com )点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )满足条件.
( http: / / www.21cnjy.com )（2）存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )满足条件：
设 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，联立 ( http: / / www.21cnjy.com )
消 ( http: / / www.21cnjy.com )有 ( http: / / www.21cnjy.com )
设 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )
由 ( http: / / www.21cnjy.com )三点共线有：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )满足条件.
点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题 ( http: / / www.21cnjy.com )意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
10．对于三次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )给出定义：设 ( http: / / www.21cnjy.com )是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导数， ( http: / / www.21cnjy.com )是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导数，若方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有实数解 ( http: / / www.21cnjy.com )，则称点 ( http: / / www.21cnjy.com )为函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，请你根据上面探究结果，计算 ( http: / / www.21cnjy.com )__________.
【答案】2016
( http: / / www.21cnjy.com )
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为偶函数 ( http: / / www.21cnjy.com )（定义域关于原点对称）；
（2）函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关于点 ( http: / / www.21cnjy.com )对称 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )对称 ( http: / / www.21cnjy.com )，
（3）函数周期为T,则 ( http: / / www.21cnjy.com )