第八讲 一元一次不等式（组）及其应用提高培优辅导（含答案）

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第八讲一元一次不等式（组）及其应用提高
知识点一:
1、不等式的性质：若，则 （c为数或整式）；
若，，则ac bc,或
若，，则ac bc,或
2、不等式的解与不等式的解集:x=3是不等式的解，但的解集是
3、解一元一次不等式的步骤： ；
解一元一次不等式组的步骤： ；
4、一元一次不等式组的解集的确定如下表，请填完整。
不等式组（） 图示 解集
◆经典例题：
例1（不等式与绝对值）
已知、满足且，求的取值范围.
【变式题组】（易错）
1、已知,则x的取值范围是( ).
(A)x＞1; (B)x≤1; (C)x≥1; (D)x＜1.
2、|a|＞-a,则a的取值范围是( ).
(A)a＞0; (B)a≥0; (C)a＜0; (D)自然数.
3、，化简│m+2│-│1-m│+│m│得（ ）
A．m-3 B．m+3 C．3m+1 D．m+1
4、已知|x-y|=y-x, 则x与y的关系是：x y;
5**、|a|＞2,则a的取值范围是
例2（比较大小）．若实数a<1，则实数M=a，N=，P=的大小关系为（ ）
A．P>N>M B．M>N>P C．N>P>M D．M>P>N
【变式题组】
比较和的大小（）
例3（整数解问题）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是：（ ）
A．-5≤a≤- B．-5≤a<-≤- C．-5【变式题组】
1、已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是______．
2、不等式组的整数解的和是______．
3、不等式2x-4a≤0只有三个正整数解，则a的取值范围是
4、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是______．
强化训练
1、如果不等式组有解，则m的取值范围是（ ）
A．m< B．m≤ C．m> D．m≥
2、不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
3、若不等式组的解集是x<3，则m的取值范围是_________________．
4、若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是_________________．
5、若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________________．
6、关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______________． 21cnjy.com
7、**、已知（x-5）（x+3）>0，则a的取值范围是
知识点二．一元一次不等式组的应用
概括用一元一次不等式组解应用题的一般步骤
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系
（2）设：设适当的未知数
（3）列：列不等式组（ 找出题目中的所有不等关系）
（4）解：求出不等式组的解集
（5）检验：是否是原不等式（组）的解，是否符合题意
（6）答：写出符合题意的答案
例4 仔细观察图，认真阅读对话：
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
例5为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．21·cn·jy·com
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔需要花元，请你求出与关系式（即用x的代数式表示y）；www.21-cn-jy.com
（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．
例6.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品。若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？【来源：21·世纪·教育·网】
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【版权所有：21教育】
【强化训练】
1.目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
2、某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．21教育网
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．21教育名师原创作品
3、某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料2800克和乙原料2460克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；21世纪教育网版权所有
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式（即用x的代数式表示y），并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称饮料名称 甲 乙
A 20克 40克
B 30克 20克
4、某企业欲购买A型，B型两种设备共10台，.每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格(万元/台) 12 10
处理污水量 (吨/月) 240 200
年消耗费 (万元/台) 1 1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
(3)在第(2)问的条件下，每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）21·世纪*教育网
5、分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：21*cnjy*com
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则有
（2）若＜0，则有__________或_____________.
根据上述规律，求（1）不等式 的解集。（2）求出不等式的解.
思考；（3）你会解不等式吗，试一试，你一定行！
第八讲一元一次不等式（组）及其应用提高答案
知识点一:
1、不等式的性质：若，则 > （c为数或整式）；
若，，则ac > bc,或 >
若，，则ac < bc,或 <
2、不等式的解与不等式的解集:x=3是不等式的解，但的解集是 x 3
3、解一元一次不等式的步骤： ①去分母②去括号，③移项④合并同类项，⑤把系数化为1 ；
解一元一次不等式组的步骤：①.分别解出各不等式②把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分③利用数轴可以直观地表示不等式组的解集；【来源：21cnj*y.co*m】
4、一元一次不等式组的解集的确定如下表，请填完整。
不等式组（） 图示 解集
◆经典例题：
例1（不等式与绝对值）
已知、满足且，求的取值范围.
答案：解：解方程组
代入不等式得：5a-2-3（3a-1）＜-1，
解得a＞
【变式题组】（易错）
1、已知,则x的取值范围是( D ).
(A)x＞1; (B)x≤1; (C)x≥1; (D)x＜1.2·1·c·n·j·y
2、|a|＞-a,则a的取值范围是( A ).
(A)a＞0; (B)a≥0; (C)a＜0; (D)自然数.【出处：21教育名师】
3、，化简│m+2│-│1-m│+│m│得（ B ）
A．m-3 B．m+3 C．3m+1 D．m+1
4、已知|x-y|=y-x, 则x与y的关系是：x ≤ y;
5**、|a|＞2,则a的取值范围是 a>2或a<-2
例2（比较大小）．若实数a<1，则实数M=a，N=，P=的大小关系为（C ）
A．P>N>M B．M>N>P C．N>P>M D．M>P>N
【变式题组】
比较和的大小（）
作比较法差：<
例3（整数解问题）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是：（ C ）
A．-5≤a≤- B．-5≤a<≤- C．-5【变式题组】
1、已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是_-22、不等式组的整数解的和是_0_____．
3、不等式2x-4a≤0只有三个正整数解，则a的取值范围是 1.5≤a<2
4、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是_4强化训练
1、如果不等式组有解，则m的取值范围是（ B ）
A．m< B．m≤ C．m> D．m≥
2、不等式组无解，则a的取值范围是（ B ）
A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1
3、若不等式组的解集是x<3，则m的取值范围是_m_≥_3__．
4、若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是_m_≥_3．
5、若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是m≤_3__．
6、关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是__2_．2-1-c-n-j-y
7、**、已知（x-5）（x+3）>0，则a的取值范围是 x>5或x<-3
知识点二．一元一次不等式组的应用
概括用一元一次不等式组解应用题的一般步骤
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系
（2）设：设适当的未知数
（3）列：列不等式组（ 找出题目中的所有不等关系）
（4）解：求出不等式组的解集
（5）检验：是否是原不等式（组）的解，是否符合题意
（6）答：写出符合题意的答案
例4 仔细观察图，认真阅读对话：
根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，则
由（2）得y=9.2-0.9x（4）
把（4）代入（1）得：9.2-0.9x+x>10，解得x>8，
由（3）综合得
∴8又∵x是整数，
∴x=9，
把x=9代入（4）得：y=9.2-0.9×9=1.1（元），
答：一盒饼干标价9元，一袋牛奶标价1.1元。
例5为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔需要花元，请你求出与关系式（即用x的代数式表示y）；
（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．
解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元，
，解得，
答：每个笔记本14元，每支钢笔15元；
（2）；
（3）当时，x<15，
当时，x=15，
当时，x>15，
综上，当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱；
当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；
当买奖品超过15件时，买钢笔省钱。
例6.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品。若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案：解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https://zhidao./question/_blank"INCLUDEPICTURE \d "https://gss0./-vo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh=600,800/sign=7c16a188334e251fe2a2ecfe97b6e52f/caef76094b36acaf13ff954e7fd98d1001e99c60.jpg" \* MERGEFORMATINET ，∴解方程组得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https://zhidao./question/_blank"INCLUDEPICTURE \d "https://gss0./-4o3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh=600,800/sign=8d3549bc6409c93d07a706f1af0dd4e4/8c1001e93901213ffc2c4d6e57e736d12f2e9560.jpg" \* MERGEFORMATINET ，
∴购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https://zhidao./question/_blank"INCLUDEPICTURE \d "https://gss0./9vo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh=600,800/sign=72e5a9bffbdcd100cdc9f02742bb6b28/7aec54e736d12f2ef01aadd24cc2d56285356860.jpg" \* MERGEFORMATINET ，解得20≤y≤25，∵y为正整数，∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
W =20x+30y=20（200-2 y）+30y=-10y+4000（20≤y≤25），
∴W随y的增大而减小，∴当y=20时，W有最大值，
W 最大 =-10×20+4000=3800（元），
∴-当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元。
【强化训练】
1.目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
答案：解：=58+0.4x,,=0.6x，
若＞
则58+0.4x＞0.6x，解得：x＜290，
所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算．
若=，
则58+0.4x=0.6x，解得：x=290，
所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同．
若＜，
则58+0.4x＜0.6x，解得：x＞290，
所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算．
2、某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
，解得：x=5， ∴（人），
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人；
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆，由题意得：
，解这个不等式组，得，∵y取正整数， ∴y=2，
∴4-y=4-2=2，∴320×2+400×2=1440（元），故本次实践活动所需车辆的租金为1440元。
3、某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料2800克和乙原料2460克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式（即用x的代数式表示y），并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称饮料名称 甲 乙
A 20克 40克
B 30克 20克
解：（1）设生产A种饮料x瓶，根据题意得：
2800
2460
解这个不等式组，得20≤x≤23．
因为其中正整数解共有4个，所以符合题意的生产方案有4种．
（2）根据题意，得y=2.6x+2.8（100﹣x），整理，
得y=﹣0.2x+280，
∴y随x的增大而减小．
∴当x=23时成本总额最低．
4、某企业欲购买A型，B型两种设备共10台，.每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格(万元/台) 12 10
处理污水量 (吨/月) 240 200
年消耗费 (万元/台) 1 1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
(3)在第(2)问的条件下，每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）www-2-1-cnjy-com
解：（1）设购买污水处理设备A型x台，购买B型y台。由题意知：
,
解得，
∵x取非负整数，∴x=0，1，2。
即有三种购买方案：
（2）由题意得，解得，
∵，∴x=1或2，
当x=1时，购买资金：12×1+10×9=102（万元），
当x=2时，购买资金：12×2+10×8=104（万元），
∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台；
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
102+1×10×10=202（万元），
若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为：2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）
244.8-202=42.8（万元），
∴能节约资金42.8万元。21*cnjy*com
5、分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则有
（2）若＜0，则有_____或______.
根据上述规律，求（1）不等式 的解集。（2）求出不等式的解.
答案：（1）x＞2或x＜-1
（2）-0.5＜x＜1
思考；（3）你会解不等式吗，试一试，你一定行！
答案：（1）x＞5或x-2
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