运动学专题教案
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高考物理二轮复习运动学专题分析与详解
问题1：匀变速直线运动的基本规律的应用
（1）初速度为零的匀加速直线运动的特点：设T为等分的时间间隔，则①1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为v1∶v2∶v3∶…vn=1∶2∶3…n；②1T内、2T内、3T内……位移之比为s1∶s2∶s2∶…sn=12∶22∶32∶∶n2；③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比为sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…sN=1∶3∶5∶…（2n－1）；④从静止开始通过连续的位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…tn=1∶（－1）∶（－）∶…（－）。
（2）自由落体运动：
①概念：物体只在重力作用下从静止开始的运动，叫做自由落体运动。
②特点：v0＝0，a＝g＝9.8 m/s2。
③规律：v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh
（3）解决运动学问题的基本步骤是：①定研究对象，画运动示意图；②由已知量和未知量定公式；③列方程，求解，验根．实际上，除速度、位移公式外，其它都是导出式，因此，所列方程并不唯一，一道题会有多种解法，同学们应多想想，多练练．
【例题】有一个做匀加速直线运动的物体从2s末至6s末的位移为24m，从6s末至10s末的位移为40m，求运动物体的加速度为多大？初速度为多大？
〖解析〗由题给条件画出运动示意图如图所示，由Δs＝at2得 m/s2＝1 m/s2， 由平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知 m/s＝6 m/s， 据速度公式得：v0=vt－at=2m/s
平行练习：
1．做初速度为0的匀加速直线运动的物体，将其运动时间顺次分成1︰2︰3的三段，则每段时间内的位移比为
A．1︰3︰5
B．1︰4︰9
C．1︰8︰27
D．1︰16︰81
2．由静止出发做匀加速直线运动的物体，3 s内的位移为54 m，该物体在第3 s内的位移为
A．18 m
B．24 m
C．30 m
D．36 m
3．长为5m的竖直杆下端距离一竖直隧道口为5 m，若这个隧道长为5 m，让这根杆自由下落，它通过隧道的时间为
A．s
B．(－1)s
C．(+1)s
D．(+1)s
4．一列火车由静止从车站出发，做匀加速直线运动，一位观察者站在这列火车第1节车厢的前端，经过10 s第1节车厢全部通过观察者所在位置；则前9节车厢经过 s可全部通过观察者，第9节车厢通过观察者需要的时间是 s。
5．一个做匀加速直线运动的物体，它在开始的两个连续相等的时间内所通过的位移分别是24 m和64 m，已知时间间隔为4 s，则质点的加速度为 ，其初速度为 。
6．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则这时第3个小球和第5个小球相距 m。（g取10 m/s2）
7．物体在斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初4 s内经过路程为S1，最后4 s内经过的路程为S2，且S2－S1＝8 m，S1︰S2＝1︰2，求斜面的全长是多少？
8．有若干相同的小球，从斜面上某一位置每隔0.1 s无初速释放一颗，在连续释放若干颗小球后，对准斜面上正在滚动的若干小球拍摄到如图所示的照片，测得AB＝15 cm，AC＝20 cm，求：
（1）拍摄照片时B球的速度。
（2）A球上面还有几颗正在滚动的小球。
问题1：匀变速直线运动的基本规律的应用
1．C 2．C 3．B 4．30，1.72 5．2.5 m/s2，1 m/s 6．35 7．18 m 8．1.75 m/s ，2颗
问题2： 竖直上抛运动的处理
竖直上抛运动是在离地面不太高的地方，物体以某一初速度竖直向上抛出后，只在重力作用下做的运动。即加速度为g的匀变速直线运动。
一、竖直上抛运动的性质
初速度不为零，加速度为g的匀变速直线运动。通常规定初速度的方向为正方向，因此竖直上抛运动是匀减速直线运动。
二、竖直上抛运动的基本规律
速度公式：vt=v0－gt
位移公式：h= v0t－gt2
速度位移公式：vt2－v02=－2gh
三、竖直上抛运动的特点
1．上升到最高点的时间t= v0/g；上升的最大高度H=。
2．上升到最高点和回落到抛出点所用的时间相等。
四、竖直上抛运动处理方法：
⑴分段法：上升阶段看做末速度为零，加速度为g的匀减速直线运动（或逆向转换变为自由落体运动），下降阶段为自由落体运动．这种方法要充分利用上升和下降两阶段的对称性。
上升阶段和下降阶段的特点是①物体从某点上升到最高点的时间与从最高点落回到该点的时间相等；②物体从某点上升时的速度与从最高点返回到该点时的速度大小相等，方向相反；③以初速度v0上抛的物体上升的最大高度为 H＝。
⑵整体法：从整体看，运动的全过程加速度与初速度方向始终相反，因此可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀变速直线运动，而上升阶段和下降阶段不过是整体运动的两个过程。此时要注意各运动物理量的方向，一般地初速度的方向，即向上为正方向时，下落时速度取负值；加速度的方向取负值；末位置在抛出点上方时位移取正，末位置在抛出点下方时位移取负值。
【例题】某一物体被竖直上抛，空气阻力不计，当它经过抛出点之上0.4 m时，速度为3 m/s，当它经过抛出点之下0.4 m时，速度应为多少？（g取10 m/s2）
〖解析〗一种方法是，据竖直上抛物体的上抛速度与回落速度等值反向的特点，我们就研究物体回落到抛出点上方0.4 m时，速度向下到抛出点以下0.4 m这一段．则由得 m/s＝5 m/s；另一种方法是，设物体高度为h1＝0.4 m时速度为v1，则，物体高度为h2＝－0.4 m时速度为v2，则，两式联立，可以解得v2＝±5 m/s，依题意，取负号，表示速度方向向下．
平行练习：
1．一个小球以初速度v0沿光滑斜面上滑，经M点到N点所用的时间为t1，如图所示，小球到达最高点后，沿斜面下滑时经过N点到M点所用的时间为t2，则（设斜面足够长）
A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1＝t2 D．无法判断
2．一杂技演员，用一只手抛球、接球。他每隔0.40 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球。将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛出点算起，取g=10 m/s2）
A．1.6 m
B．2.4 m
C．3.2 m
D．4.0 m
（广东高考卷）
3．一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点．跃起后重心升高0.45m达到最高点．落水时身体竖直，手先入水．（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到手接触水面，他可用于完成空中动作的时间是__________s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取9.8m/s2，结果保留二位数字．）
（全国高考卷）
4．某人在高层楼房的阳台外侧以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间是 。（g取10 m/s2）
5．从地面上竖直上抛一物体，在抛出后的第4 s内位移的大小为3 m，则物体上升的最大高度是
。
6．一个做竖直上抛的物体，在6.4 s和8.2 s先后两次经过同一高度，则该位置高度h＝ ，抛出时的初速度v0＝ 。(g取10 m/s2)
7．一个氢气球以4 m/s2的加速度由静止从地面竖直上升，10 s从气球上面掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多高处？此重物从氢气球上掉下后，经多长时间落回地面？（g取10 m/s2）
8．在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时在A正下方地面上以初速度v0竖直向上抛出另一小球B。求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件。不计空气阻力作用。
问题2： 竖直上抛运动的处理
1．C 2．C
3．1.7s 提示：把运动员抽象为一个质点后，跃起的过程可以看成一个竖直上抛运动。
由向上跃起的高度h1＝0.45 m，得向上跃起的时间为t1＝＝0.3 s。由最高点下降做自由落体运动，下降高度h2＝h1＋H＝10.45 m，同理可求出下落时间t2＝1.45 s，所以运动员完成空中动作的时间为t＝t1＋t2＝1.75 s，保留两位有效数字，则答案为1.7 s或1.8 s。
4．(2＋)s 5．72.2 m 6．262.4 m，73 m/s 7．280 m，11.48 m
8．A、B在空中相遇的条件v0＞。当＜v0＜时，在B球下落过程中两球相遇；当v0＞时，在B球上升过程中两球相遇。
问题3：追及和相遇问题
（1）两个物体在一条直线上运动时，在追及、相遇问题中，两物体运动时间、位移、速度都有一定的联系．要根据各个物体运动的特点，分别列出两个物体的位移和速度方程式，就可以求解．追及问题中，追及物体A和被追及物体B的位移和速度都有确定的关系，而速度相等，往往是解题的关键条件．例如做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体时，恰好能追上或恰好追不上的临界条件；初速度为零做匀加速直线运动的物体追赶同向以一定的速度做匀速直线运动的物体时，追上之前两者间距离最大的条件．相遇问题中，要求两物体处于同一位置，因此它们的位移与开始时两物体之间距离便有了确定的关系，同时注意它们在时间上的关系，一般都可正确求解．
（2）处理“追及和相遇”类问题思路方法
由示意图找两
解决“追碰”问题大致分两类方法，即数学法（如函数极值法、图象法等）和物理方法（参照物变换法、守恒法等）。
【例题】客车以v＝20 m/s的速度行驶，突然发现同轨道的正前方s＝120 m处有一列货车正以v0＝6 m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，若客车刹车的加速度大小为a＝0.8 m/s2，做匀减速运动，问客车是否会与货车相撞？
〖解析〗客车刹车后虽然做匀减速运动，但在其速度减为v0之前，两车间的距离仍将逐渐减小；当客车的速度减小至小于货车的速度时，两车间的距离将逐渐增大．则客车由速度v减为 v 0所用时间s，则客车在此过程中的位移m，而货车在这段时间内的位移为s2＝v0t＝105 m，由于s1＞s2＋s，所以客车会与货车相撞．
平行练习：
1．为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s,刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s2）
（1999年全国高考卷）
2．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持距离至少应为多少？
（全国高考卷）
3．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰好这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。试求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车这前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
4．从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？
5．一辆长20m的货车和一辆长6m的汽车正以20m/s的速度一前一后在平直公路上匀速行驶，两车相距25m，现汽车以0.5m/s2的加速度超车，汽车超过货车30m后才从超车道进入行车道。求：
（1）汽车超车所用的时间和在这段时间内行驶的距离；
（2）汽车完成超车后的末速度；
6．从离地H高处自由落下一只小球，同时在地面上正对着这只小球以初速度v0竖直向上抛出另一只小球，要使两球在离地2H/3处相遇，第二个球抛出的速度v0应为多大？
7．车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，车后相距S0＝25 m处，与车前行方向相同，某人同时开始以6 m/s的速度匀速追车，能否追上，若能，求出追上所用的时间，若不能，求人、车间的最小距离。
8．A、B在同一平直公路上运动，加速度都是向东的5 m/s2。A是某时刻从车站C由静止开始运动的，B在A运动3 s后开始向东以18 m/s 的初速度从同一点C出发，问B出发后经多长时间AB的间距为开始时AB间距离的2倍。
问题3：追及和相遇问题
1．1.6×102 m 2．2s 3．（1）2 s；6 m，（2）4 s，12 m/s
4．当v0≥,两物体在空中相碰，当 ≤v0≤时，乙物体在下落过程中与甲物体相碰。
5．（1）18 s，441 m（2）29 m/s 6． 7．不能，Δs=7 m 8．22.5 s
问题4： 小船渡河问题
运动的合成和分解是很重要的一种物理思想，它可以把复杂的问题简单化。小船渡河问题是运动的合成与分解中最简单、最基本的应用。
1．以渡河时间为限制条件
先来分析一个特殊情况，渡河时间最短问题。因为水流的速度始终是沿河岸方向，不可能提供垂直与河岸的分速度，因此只要是船头垂直与河岸航行，此时的渡河时间一定是最短时间。即
tmin＝d/v ，d为河宽
此时的渡河位移s＝d/sin ， 为位移或合速度与水流的夹角
一般情况下，如果用时间t渡河，t＞tmin，这个时间可以用t＝d/vsin ，从而可以求出 ， 为船头与河岸的夹角。注意，这种情况往往有两个解。
【例题】一条河宽d＝10 m，水流速度v水＝3 m/s，一小船，在静水中船速v船＝4 m/s，现在要求在5 s之内过河，问船头与河岸的夹角应多大？小船沿河运动多长的路程？
解析：渡河时间t＝（ 为船头与河岸的夹角），代入数据解得 ＝30°，即船头与河岸下游的夹角范围为30°≤ ≤150°。
当 ＝30°时，沿河的速度v1＝v船cos ＋v水＝（3＋2）m/s。故沿河路程s1＝v1t＝32.32 m。当 ＝150°时，沿河的速度v2＝－v船cos ＋v水＝（3－2）m/s。故沿河路程s1＝v2t＝2.32 m。因此小船沿河运动的路程范围是沿河向上小于2.32 m，向下小于32.32 m。
答案：船头与河岸的夹角范围为30°≤ ≤150°。船沿河运动的路程范围是沿河向上小于2.32 m，向下小于32.32 m。
2．以渡河位移为限制条件
先分析渡河位移最短的特例。分两种情况讨论。
情况一：v水＜v船。此时，使船头向上游倾斜，使船在沿河方向的速度等于水流的速度，这样船的实际位移即垂直于河岸，最短的位移即为河宽d。这种情况下，船头与上游的夹角 ＝arccos，渡河的时间t＝d/ v船sin 。
情况二：：v水＞v船。此时，无论船头方向指向什么方向，都不能使船垂直于河岸航行，但也应该有一个最短位移。
如图所示，当船的实际速度即合速度的方向沿如图中的v的方向时，船的位移最短。以船的速度为半径所做的圆表示了船可能的速度方向，很显然，只有当合速度的方向与圆周相切时，船渡河的实际位移最短，其它的方向不仅要大于该位移，而且沿该轨迹运动，船的速度方向对应两个方向，有两个合速度的大小。
此时，速度三角形和位移三角形相似，有，
合速度的大小v＝，船头与河岸上游的夹角cos ＝。
【例题】如图所示，一条两岸为平行直线的小河，河宽60 m，水流速度为5 m/s。一小船欲从码头A处渡过河去，A的下游80 m处的河床陡然形成瀑布，要保证小船不掉下瀑布，小船相对静水的划行速度至少应多大？此时船的划行方向如何？
解析：这是一道受位移限制的小船渡河问题。小船渡河过程中同时参与两种分运动，一是随水流的漂移运动，另一是相对静水的划行运动。而小船渡河的实际速度是水流速度和小船划行速度的合速度。代表这三种速度的有向线段应构成一矢量三角形。由此先作出代表水流速度的有向线段v水，再作出三条虚线段代表合速度的三种可能方向，如图所示。由三角形的知识可知，无论小船渡河的合速度方向偏向下游的哪一方向，欲使小船划行速度最小，划行方向都应与合速度方向垂直。由图看出，当合速度方向恰好指向瀑布所在的对岸B点时，小船划行速度最小。
设A到瀑布的距离为s，由图中的三角形相似有
代入数据，解得 v船＝ v水＝3 m/s
与水流方向的夹角为（180°－arccos）＝127°。
答案：3 m/s，127°
平行练习：
1．一小船以恒定的航速渡河，当行至河中央时，水流速度突然增大，则小船渡河时间将
A．增大
B．减小
C．不变
D．不能确定
2．一只船在静水中的速度为3 m/s ，它要横渡一条30 m宽的河，水流速度为4 m/s，下列说法正确的是
A．这只船不可能垂直于河岸到达正对岸
B．这只船对地的速度一定是 5 m/s
C．过河时间可能是6 s
D．过河时间可能是12 s
3．如图所示，半径为R的圆盘，以角速度 绕过圆心O的竖直轴匀速转动，在圆盘边缘P点向中心发射粒子，粒子发射速度为v。下列说法正确的是
A．粒子对准O发射有可能击中目标
B．粒子发射方向向PO左偏一适当角度，才可能击中目标
C．粒子发射方向向PO右偏一适当角度，才可能击中目标
D．以上说法都不正确
4．如右图所示，一船自A点过河，船速v1，水速v2，河宽s，如船速方向垂直河岸，经10 min船达C点，测得BC ＝120 m，如航速方向与AB线成角经12.5 min船达到B点，求：① 角的大小②水速v2大小③船速 v1大小④河宽。
问题4： 小船渡河问题
1．C 2．AD 3．B
4．① ＝ °②v2＝0.2 m/s③v1＝m/s④s＝200 m
提示：船在过河过程中参与两个分运动，一个是船对水的运动，速度就是船速v1；另一个是水对岸的运动，速度就是水速v2，分运动和合运动的物理特点是等时性和分运动的独立性原理。
（1）根据运动的独立性原理、合运动与分运动等时性原理，如河水是静止的，则船以v1由A到B历时10 min；由A到D历时12.5 min。
（2）根据分运动、合运动等时性原理，有 v2＝ m/s＝0.2 m/s
（3）研究v1与AB成 角的情况如右图所示v1方向指向D，合运动方向A指向B，则有v1sin＝v2，解得 v1＝ m/s
（4）由运动的独立性原理s＝v1t1＝200 m
问题5：绳子末端速度的分解
1．绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行
用绳子通过定滑轮拉物体，当绳子以速度v0匀速前进时，物体将一起向前运动，物体的运动即绳子末端的运动，可看成两个分运动的合成：一是沿绳子的方向，被绳子牵引，绳子缩短的速度即为v0；二是垂直于绳子的方向，以定滑轮为圆心的转动，它不改变绳子的长度。物体的合速度即实际速度是沿水平方向的。由此物体的速度v＝v0/cos 。
【例题】如图所示，在河岸上通过滑轮用细绳拉船，绳的速度为4m/s，当绳拉船的部分与水平方向成60°角时，船的速度是多少？
解析：船向岸边的水平方向的运动是合运动，它包括两个分运动，沿绳方向的运动和垂直绳子方向的圆周运动，两个运动合在一起使船向岸边靠拢。
答案：设绳子的速度为v1，船的速度为v，则两个速度的关系如图所示。由平行四边形法则
得 v＝＝8 m/s。
2．速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。
【例题】如图所示，水平面上有一个物体，人通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若人的速度为5 m/s，则物体的瞬时速度为多少？
解析：根据速度投影定理，
v1cos60°＝v2cos30°
有v1＝v2cos30°/ cos60°＝5 m/s
答案：5 m/s
平行练习：
1．如图所示，在水平地面上，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B点速度为v，则A点的速度是多少？
2．如图所示，河岸上有一物体，与河里的小船通过滑轮用绳相连，已知小船以速度v匀速行驶，当绳与水平方向的夹角为 时，求岸上物体的速度。
问题5：绳子末端速度的分解
1．vcot
提示：A点速度vA沿墙竖直向下，根据速度投影定理，有
vAcos（90°－ ）＝vcos
解得：vA＝vcot
2．vcos
0
2s
6s
10s
24m
40m
A
B
C
M
N
v0
联立方程求解（判断能否碰撞）
据物体运动性质列（含有时间）的位移方程
由示意图找两物体位移关系
分析两物体运动过程画运动示意图
v水
v船
v
s
d
v水
v船
v
A
B
v水
v合
L
O
P
B
v1
v2
v
A
v0
v
v1
60°
30°
60°
v1
v2
A
B
O
v
v
问题1：匀变速直线运动的基本规律的应用
（1）初速度为零的匀加速直线运动的特点：设T为等分的时间间隔，则①1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为v1∶v2∶v3∶…vn=1∶2∶3…n；②1T内、2T内、3T内……位移之比为s1∶s2∶s2∶…sn=12∶22∶32∶∶n2；③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比为sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…sN=1∶3∶5∶…（2n－1）；④从静止开始通过连续的位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…tn=1∶（－1）∶（－）∶…（－）。
（2）自由落体运动：
①概念：物体只在重力作用下从静止开始的运动，叫做自由落体运动。
②特点：v0＝0，a＝g＝9.8 m/s2。
③规律：v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh
（3）解决运动学问题的基本步骤是：①定研究对象，画运动示意图；②由已知量和未知量定公式；③列方程，求解，验根．实际上，除速度、位移公式外，其它都是导出式，因此，所列方程并不唯一，一道题会有多种解法，同学们应多想想，多练练．
【例题】有一个做匀加速直线运动的物体从2s末至6s末的位移为24m，从6s末至10s末的位移为40m，求运动物体的加速度为多大？初速度为多大？
〖解析〗由题给条件画出运动示意图如图所示，由Δs＝at2得 m/s2＝1 m/s2， 由平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知 m/s＝6 m/s， 据速度公式得：v0=vt－at=2m/s
平行练习：
1．做初速度为0的匀加速直线运动的物体，将其运动时间顺次分成1︰2︰3的三段，则每段时间内的位移比为
A．1︰3︰5
B．1︰4︰9
C．1︰8︰27
D．1︰16︰81
2．由静止出发做匀加速直线运动的物体，3 s内的位移为54 m，该物体在第3 s内的位移为
A．18 m
B．24 m
C．30 m
D．36 m
3．长为5m的竖直杆下端距离一竖直隧道口为5 m，若这个隧道长为5 m，让这根杆自由下落，它通过隧道的时间为
A．s
B．(－1)s
C．(+1)s
D．(+1)s
4．一列火车由静止从车站出发，做匀加速直线运动，一位观察者站在这列火车第1节车厢的前端，经过10 s第1节车厢全部通过观察者所在位置；则前9节车厢经过 s可全部通过观察者，第9节车厢通过观察者需要的时间是 s。
5．一个做匀加速直线运动的物体，它在开始的两个连续相等的时间内所通过的位移分别是24 m和64 m，已知时间间隔为4 s，则质点的加速度为 ，其初速度为 。
6．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则这时第3个小球和第5个小球相距 m。（g取10 m/s2）
7．物体在斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初4 s内经过路程为S1，最后4 s内经过的路程为S2，且S2－S1＝8 m，S1︰S2＝1︰2，求斜面的全长是多少？
8．有若干相同的小球，从斜面上某一位置每隔0.1 s无初速释放一颗，在连续释放若干颗小球后，对准斜面上正在滚动的若干小球拍摄到如图所示的照片，测得AB＝15 cm，AC＝20 cm，求：
（1）拍摄照片时B球的速度。
（2）A球上面还有几颗正在滚动的小球。
问题1：匀变速直线运动的基本规律的应用
1．C 2．C 3．B 4．30，1.72 5．2.5 m/s2，1 m/s 6．35 7．18 m 8．1.75 m/s ，2颗
问题2： 竖直上抛运动的处理
竖直上抛运动是在离地面不太高的地方，物体以某一初速度竖直向上抛出后，只在重力作用下做的运动。即加速度为g的匀变速直线运动。
一、竖直上抛运动的性质
初速度不为零，加速度为g的匀变速直线运动。通常规定初速度的方向为正方向，因此竖直上抛运动是匀减速直线运动。
二、竖直上抛运动的基本规律
速度公式：vt=v0－gt
位移公式：h= v0t－gt2
速度位移公式：vt2－v02=－2gh
三、竖直上抛运动的特点
1．上升到最高点的时间t= v0/g；上升的最大高度H=。
2．上升到最高点和回落到抛出点所用的时间相等。
四、竖直上抛运动处理方法：
⑴分段法：上升阶段看做末速度为零，加速度为g的匀减速直线运动（或逆向转换变为自由落体运动），下降阶段为自由落体运动．这种方法要充分利用上升和下降两阶段的对称性。
上升阶段和下降阶段的特点是①物体从某点上升到最高点的时间与从最高点落回到该点的时间相等；②物体从某点上升时的速度与从最高点返回到该点时的速度大小相等，方向相反；③以初速度v0上抛的物体上升的最大高度为 H＝。
⑵整体法：从整体看，运动的全过程加速度与初速度方向始终相反，因此可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀变速直线运动，而上升阶段和下降阶段不过是整体运动的两个过程。此时要注意各运动物理量的方向，一般地初速度的方向，即向上为正方向时，下落时速度取负值；加速度的方向取负值；末位置在抛出点上方时位移取正，末位置在抛出点下方时位移取负值。
【例题】某一物体被竖直上抛，空气阻力不计，当它经过抛出点之上0.4 m时，速度为3 m/s，当它经过抛出点之下0.4 m时，速度应为多少？（g取10 m/s2）
〖解析〗一种方法是，据竖直上抛物体的上抛速度与回落速度等值反向的特点，我们就研究物体回落到抛出点上方0.4 m时，速度向下到抛出点以下0.4 m这一段．则由得 m/s＝5 m/s；另一种方法是，设物体高度为h1＝0.4 m时速度为v1，则，物体高度为h2＝－0.4 m时速度为v2，则，两式联立，可以解得v2＝±5 m/s，依题意，取负号，表示速度方向向下．
平行练习：
1．一个小球以初速度v0沿光滑斜面上滑，经M点到N点所用的时间为t1，如图所示，小球到达最高点后，沿斜面下滑时经过N点到M点所用的时间为t2，则（设斜面足够长）
A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1＝t2 D．无法判断
2．一杂技演员，用一只手抛球、接球。他每隔0.40 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球。将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛出点算起，取g=10 m/s2）
A．1.6 m
B．2.4 m
C．3.2 m
D．4.0 m
（广东高考卷）
3．一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点．跃起后重心升高0.45m达到最高点．落水时身体竖直，手先入水．（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到手接触水面，他可用于完成空中动作的时间是__________s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取9.8m/s2，结果保留二位数字．）
（全国高考卷）
4．某人在高层楼房的阳台外侧以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间是 。（g取10 m/s2）
5．从地面上竖直上抛一物体，在抛出后的第4 s内位移的大小为3 m，则物体上升的最大高度是
。
6．一个做竖直上抛的物体，在6.4 s和8.2 s先后两次经过同一高度，则该位置高度h＝ ，抛出时的初速度v0＝ 。(g取10 m/s2)
7．一个氢气球以4 m/s2的加速度由静止从地面竖直上升，10 s从气球上面掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多高处？此重物从氢气球上掉下后，经多长时间落回地面？（g取10 m/s2）
8．在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时在A正下方地面上以初速度v0竖直向上抛出另一小球B。求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件。不计空气阻力作用。
问题2： 竖直上抛运动的处理
1．C 2．C
3．1.7s 提示：把运动员抽象为一个质点后，跃起的过程可以看成一个竖直上抛运动。
由向上跃起的高度h1＝0.45 m，得向上跃起的时间为t1＝＝0.3 s。由最高点下降做自由落体运动，下降高度h2＝h1＋H＝10.45 m，同理可求出下落时间t2＝1.45 s，所以运动员完成空中动作的时间为t＝t1＋t2＝1.75 s，保留两位有效数字，则答案为1.7 s或1.8 s。
4．(2＋)s 5．72.2 m 6．262.4 m，73 m/s 7．280 m，11.48 m
8．A、B在空中相遇的条件v0＞。当＜v0＜时，在B球下落过程中两球相遇；当v0＞时，在B球上升过程中两球相遇。
问题3：追及和相遇问题
（1）两个物体在一条直线上运动时，在追及、相遇问题中，两物体运动时间、位移、速度都有一定的联系．要根据各个物体运动的特点，分别列出两个物体的位移和速度方程式，就可以求解．追及问题中，追及物体A和被追及物体B的位移和速度都有确定的关系，而速度相等，往往是解题的关键条件．例如做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体时，恰好能追上或恰好追不上的临界条件；初速度为零做匀加速直线运动的物体追赶同向以一定的速度做匀速直线运动的物体时，追上之前两者间距离最大的条件．相遇问题中，要求两物体处于同一位置，因此它们的位移与开始时两物体之间距离便有了确定的关系，同时注意它们在时间上的关系，一般都可正确求解．
（2）处理“追及和相遇”类问题思路方法
由示意图找两
解决“追碰”问题大致分两类方法，即数学法（如函数极值法、图象法等）和物理方法（参照物变换法、守恒法等）。
【例题】客车以v＝20 m/s的速度行驶，突然发现同轨道的正前方s＝120 m处有一列货车正以v0＝6 m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，若客车刹车的加速度大小为a＝0.8 m/s2，做匀减速运动，问客车是否会与货车相撞？
〖解析〗客车刹车后虽然做匀减速运动，但在其速度减为v0之前，两车间的距离仍将逐渐减小；当客车的速度减小至小于货车的速度时，两车间的距离将逐渐增大．则客车由速度v减为 v 0所用时间s，则客车在此过程中的位移m，而货车在这段时间内的位移为s2＝v0t＝105 m，由于s1＞s2＋s，所以客车会与货车相撞．
平行练习：
1．为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s,刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s2）
（1999年全国高考卷）
2．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持距离至少应为多少？
（全国高考卷）
3．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰好这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。试求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车这前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
4．从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？
5．一辆长20m的货车和一辆长6m的汽车正以20m/s的速度一前一后在平直公路上匀速行驶，两车相距25m，现汽车以0.5m/s2的加速度超车，汽车超过货车30m后才从超车道进入行车道。求：
（1）汽车超车所用的时间和在这段时间内行驶的距离；
（2）汽车完成超车后的末速度；
6．从离地H高处自由落下一只小球，同时在地面上正对着这只小球以初速度v0竖直向上抛出另一只小球，要使两球在离地2H/3处相遇，第二个球抛出的速度v0应为多大？
7．车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，车后相距S0＝25 m处，与车前行方向相同，某人同时开始以6 m/s的速度匀速追车，能否追上，若能，求出追上所用的时间，若不能，求人、车间的最小距离。
8．A、B在同一平直公路上运动，加速度都是向东的5 m/s2。A是某时刻从车站C由静止开始运动的，B在A运动3 s后开始向东以18 m/s 的初速度从同一点C出发，问B出发后经多长时间AB的间距为开始时AB间距离的2倍。
问题3：追及和相遇问题
1．1.6×102 m 2．2s 3．（1）2 s；6 m，（2）4 s，12 m/s
4．当v0≥,两物体在空中相碰，当 ≤v0≤时，乙物体在下落过程中与甲物体相碰。
5．（1）18 s，441 m（2）29 m/s 6． 7．不能，Δs=7 m 8．22.5 s
问题4： 小船渡河问题
运动的合成和分解是很重要的一种物理思想，它可以把复杂的问题简单化。小船渡河问题是运动的合成与分解中最简单、最基本的应用。
1．以渡河时间为限制条件
先来分析一个特殊情况，渡河时间最短问题。因为水流的速度始终是沿河岸方向，不可能提供垂直与河岸的分速度，因此只要是船头垂直与河岸航行，此时的渡河时间一定是最短时间。即
tmin＝d/v ，d为河宽
此时的渡河位移s＝d/sin ， 为位移或合速度与水流的夹角
一般情况下，如果用时间t渡河，t＞tmin，这个时间可以用t＝d/vsin ，从而可以求出 ， 为船头与河岸的夹角。注意，这种情况往往有两个解。
【例题】一条河宽d＝10 m，水流速度v水＝3 m/s，一小船，在静水中船速v船＝4 m/s，现在要求在5 s之内过河，问船头与河岸的夹角应多大？小船沿河运动多长的路程？
解析：渡河时间t＝（ 为船头与河岸的夹角），代入数据解得 ＝30°，即船头与河岸下游的夹角范围为30°≤ ≤150°。
当 ＝30°时，沿河的速度v1＝v船cos ＋v水＝（3＋2）m/s。故沿河路程s1＝v1t＝32.32 m。当 ＝150°时，沿河的速度v2＝－v船cos ＋v水＝（3－2）m/s。故沿河路程s1＝v2t＝2.32 m。因此小船沿河运动的路程范围是沿河向上小于2.32 m，向下小于32.32 m。
答案：船头与河岸的夹角范围为30°≤ ≤150°。船沿河运动的路程范围是沿河向上小于2.32 m，向下小于32.32 m。
2．以渡河位移为限制条件
先分析渡河位移最短的特例。分两种情况讨论。
情况一：v水＜v船。此时，使船头向上游倾斜，使船在沿河方向的速度等于水流的速度，这样船的实际位移即垂直于河岸，最短的位移即为河宽d。这种情况下，船头与上游的夹角 ＝arccos，渡河的时间t＝d/ v船sin 。
情况二：：v水＞v船。此时，无论船头方向指向什么方向，都不能使船垂直于河岸航行，但也应该有一个最短位移。
如图所示，当船的实际速度即合速度的方向沿如图中的v的方向时，船的位移最短。以船的速度为半径所做的圆表示了船可能的速度方向，很显然，只有当合速度的方向与圆周相切时，船渡河的实际位移最短，其它的方向不仅要大于该位移，而且沿该轨迹运动，船的速度方向对应两个方向，有两个合速度的大小。
此时，速度三角形和位移三角形相似，有，
合速度的大小v＝，船头与河岸上游的夹角cos ＝。
【例题】如图所示，一条两岸为平行直线的小河，河宽60 m，水流速度为5 m/s。一小船欲从码头A处渡过河去，A的下游80 m处的河床陡然形成瀑布，要保证小船不掉下瀑布，小船相对静水的划行速度至少应多大？此时船的划行方向如何？
解析：这是一道受位移限制的小船渡河问题。小船渡河过程中同时参与两种分运动，一是随水流的漂移运动，另一是相对静水的划行运动。而小船渡河的实际速度是水流速度和小船划行速度的合速度。代表这三种速度的有向线段应构成一矢量三角形。由此先作出代表水流速度的有向线段v水，再作出三条虚线段代表合速度的三种可能方向，如图所示。由三角形的知识可知，无论小船渡河的合速度方向偏向下游的哪一方向，欲使小船划行速度最小，划行方向都应与合速度方向垂直。由图看出，当合速度方向恰好指向瀑布所在的对岸B点时，小船划行速度最小。
设A到瀑布的距离为s，由图中的三角形相似有
代入数据，解得 v船＝ v水＝3 m/s
与水流方向的夹角为（180°－arccos）＝127°。
答案：3 m/s，127°
平行练习：
1．一小船以恒定的航速渡河，当行至河中央时，水流速度突然增大，则小船渡河时间将
A．增大
B．减小
C．不变
D．不能确定
2．一只船在静水中的速度为3 m/s ，它要横渡一条30 m宽的河，水流速度为4 m/s，下列说法正确的是
A．这只船不可能垂直于河岸到达正对岸
B．这只船对地的速度一定是 5 m/s
C．过河时间可能是6 s
D．过河时间可能是12 s
3．如图所示，半径为R的圆盘，以角速度 绕过圆心O的竖直轴匀速转动，在圆盘边缘P点向中心发射粒子，粒子发射速度为v。下列说法正确的是
A．粒子对准O发射有可能击中目标
B．粒子发射方向向PO左偏一适当角度，才可能击中目标
C．粒子发射方向向PO右偏一适当角度，才可能击中目标
D．以上说法都不正确
4．如右图所示，一船自A点过河，船速v1，水速v2，河宽s，如船速方向垂直河岸，经10 min船达C点，测得BC ＝120 m，如航速方向与AB线成角经12.5 min船达到B点，求：① 角的大小②水速v2大小③船速 v1大小④河宽。
问题4： 小船渡河问题
1．C 2．AD 3．B
4．① ＝ °②v2＝0.2 m/s③v1＝m/s④s＝200 m
提示：船在过河过程中参与两个分运动，一个是船对水的运动，速度就是船速v1；另一个是水对岸的运动，速度就是水速v2，分运动和合运动的物理特点是等时性和分运动的独立性原理。
（1）根据运动的独立性原理、合运动与分运动等时性原理，如河水是静止的，则船以v1由A到B历时10 min；由A到D历时12.5 min。
（2）根据分运动、合运动等时性原理，有 v2＝ m/s＝0.2 m/s
（3）研究v1与AB成 角的情况如右图所示v1方向指向D，合运动方向A指向B，则有v1sin＝v2，解得 v1＝ m/s
（4）由运动的独立性原理s＝v1t1＝200 m
问题5：绳子末端速度的分解
1．绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行
用绳子通过定滑轮拉物体，当绳子以速度v0匀速前进时，物体将一起向前运动，物体的运动即绳子末端的运动，可看成两个分运动的合成：一是沿绳子的方向，被绳子牵引，绳子缩短的速度即为v0；二是垂直于绳子的方向，以定滑轮为圆心的转动，它不改变绳子的长度。物体的合速度即实际速度是沿水平方向的。由此物体的速度v＝v0/cos 。
【例题】如图所示，在河岸上通过滑轮用细绳拉船，绳的速度为4m/s，当绳拉船的部分与水平方向成60°角时，船的速度是多少？
解析：船向岸边的水平方向的运动是合运动，它包括两个分运动，沿绳方向的运动和垂直绳子方向的圆周运动，两个运动合在一起使船向岸边靠拢。
答案：设绳子的速度为v1，船的速度为v，则两个速度的关系如图所示。由平行四边形法则
得 v＝＝8 m/s。
2．速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。
【例题】如图所示，水平面上有一个物体，人通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若人的速度为5 m/s，则物体的瞬时速度为多少？
解析：根据速度投影定理，
v1cos60°＝v2cos30°
有v1＝v2cos30°/ cos60°＝5 m/s
答案：5 m/s
平行练习：
1．如图所示，在水平地面上，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B点速度为v，则A点的速度是多少？
2．如图所示，河岸上有一物体，与河里的小船通过滑轮用绳相连，已知小船以速度v匀速行驶，当绳与水平方向的夹角为 时，求岸上物体的速度。
问题5：绳子末端速度的分解
1．vcot
提示：A点速度vA沿墙竖直向下，根据速度投影定理，有
vAcos（90°－ ）＝vcos
解得：vA＝vcot
2．vcos
0
2s
6s
10s
24m
40m
A
B
C
M
N
v0
联立方程求解（判断能否碰撞）
据物体运动性质列（含有时间）的位移方程
由示意图找两物体位移关系
分析两物体运动过程画运动示意图
v水
v船
v
s
d
v水
v船
v
A
B
v水
v合
L
O
P
B
v1
v2
v
A
v0
v
v1
60°
30°
60°
v1
v2
A
B
O
v
v
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