直线运动专题教案
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文档简介
2007年二轮复习名师点津 专题一 直线运动
考点解读
直线运动
内容 要求 说明
1．机械运动，参考系，质点2．位移和路程3．匀速直线运动.速度.速率.位移公式s=vt.s-t图.v-t图4．变速直线运动，平均速度5．瞬时速度（简称速度）6．匀变速直线运动.加速度.公式 ⅠⅡⅡ ⅡⅠⅡ 不要求会推导向心加速度的公式
机械运动：知道什么是机械运动，研究机械运动离不开参考系.
参考系：知道参考系的概念和如何选择参考系.
质点：知道质点的定义（用来代替物体的有质量的点），知道质点是理想化的物理模型，知道物体能够当作质点研究的条件.（当物体的大小、形状对所研究的问题的影响可以忽略时，物体可视为质点.）
位移：知道位移是物体位置的移动，其大小表示两个位置之间的距离，其方向由初位置指向末位置，是矢量，知道位移的大小与物体的具体路径无关.
路程：知道路程是质点运动的实际长度，其大小与路径有关，是标量.
匀速直线运动：知道在任何相等的时间内位移都相等的运动才是匀速直线运动，知道在什么条件下实际物体的运动可以看成匀速直线运动.
速度：知道速度是描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率.
速率：速度的大小，一般认为是路程和时间的比值.
变速直线运动：知道变速直线运动的定义，知道实际物体的运动都是变速运动.匀速直线运动只是在某一段时间（空间）内的理想情况.
平均速度：知道平均速度的定义和计算，知道平均速度只是表达质点在某一段时间内运动的快慢，并不能反映质点实际运动的快慢.
瞬时速度：知道瞬时速度是运动质点在某一时刻或位置的速度，能够准确表达质点的实际运动的快慢，匀速直线运动中没有提出瞬时速度的概念是因为匀速时每时每刻的速度都相等，没有区分的必要.
匀变速直线运动：知道匀变速直线运动的概念，理解在任何相等的时间内速度的变化都相等的运动是匀变速直线运动.并能够在解决问题过程中熟练地判断物体的运动是否是匀变速直线运动.
加速度：知道加速度是反映速度变化快慢的物理量，也是一个由其他物理量导出的物理量，深刻挖掘加速度的含义，理解加速度反映的是速度变化率的实质，并能够在解决问题中熟练运用且能够区分似是而非的说法.
基本公式：匀速直线运动的位移公式 s=vt
匀变速直线运动的速度公式 v=v0+at
匀变速直线运动的位移公式
由以上两式容易导出
s-t图象：反映位移随时间变化的图象，知道坐标轴的物理意义，截距的物理意义.在同一个坐标系里有两个以上的质点的位移图象时，知道图象交点的意义，并能够运用图象解决相关的问题.
v-t图象：反映速度随时间变化的图象，知道坐标轴的物理意义，截距的物理意义，在同一个坐标系里有两个以上的质点的速度图象时，知道图象交点的意义，知道速度图线与时间所围成的几何图形的面积表示物体的运动位移，并能够运用图象解决相关的问题.
考点清单
一、平均速度的求解及其应用方法
求平均速度的公式有两个：一个是定义式，普遍适用于各种运动；另一个是，只适用于加速度恒定的匀变速直线运动.
[例1] 汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲丙两地的中点.汽车从甲地匀加速运动到乙地，经过乙地速度为60 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为120 km/h，求汽车从甲地到达丙地的平均速度.
[剖析] 本题全过程并不是一个“完整”的匀加速运动，因而不能用求解全程的平均速度.
[解析] 设甲丙两地距离为2l，汽车通过甲乙两地时间为t1，通过乙丙两地的时间t2.
甲到乙是匀加速运动，由得
从乙到丙也是匀加速运动，由得：
[点评] 计算平均速度常见的错误是滥用.如将本例求解为，这种解法的错误是认为汽车全过程作加速度恒定的直线运动.其实，汽车从甲地到乙地和从乙地到丙地两段的加速度并不相同，由可知：故对全过程不适用.
物体作匀变速运动的平均速度，在时间t内的位移,相当于把一个变速运动转化为一个匀速运动，匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度：.
应用于解题会使求解更简单方便.
[例2] 某物体以12 m/s的初速度做匀减速运动，在第3 s内的位移为4.5 m，求物体的加速度.
[解析] 解法一 物体前2 s的位移，,物体前3 s的位移，第3 s内的位移
解得
解法二 物体在第3秒内的平均速度，即为第3秒中间时刻2.5秒时的即时速度，所以
.
[例3] 两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图1-9所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（ ）
图1-9
A.在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B.在时刻t1两木块速度相同
C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同
D.在时刻t4和时刻t5之间某瞬间两木块速度相同
[解析] 首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显的是做匀速运动.由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C.
二、匀变速直线运动的规律及其应用
1.匀变速直线运动的特证：a =恒量
2.匀变速直线运动的规律：，
3.几个重要推论：
时，将时间等分，
恒量，此式对于均成立，是判定物体是否做匀变速运动的依据之一，其中T为时间间隔.
一段时间内物体的平均速度恰等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，.
从静止开始连续相等的位移所用时间之比为.
[例4] 汽车自O点由静止在平直公路上做匀加速直线运动，途中6 s时间内依次经过P、Q两根电线杆.已知P、Q相距60 m，车经过Q时的速率为15 m/s,则
（1）汽车经过P时的速率是多少？
（2）汽车的加速度为多少？
（3）O、P两点间距离为多少？
[解析] 方法一：设汽车经过P点的速度为，经过Q的速度为,由得
，
所以.
由.
由得
.
方法二：设汽车经过P点的速度为,由，
得
由代值可得.
[例5] 一辆汽车以72 km/h行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动，已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少
[剖析] 本题的刹车过程有一个“陷阱”，即在5 s内是正在刹车，还是停车，若正在刹车，可用位移公式；若停车时间t < 5 s,则刹车过程的距离即为所求.
[解析] 汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为，选的方向为正方向.
，得
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经静止，后1 s是静止的.
由知刹车后5 s内通过的距离
.
[说明] 此题易犯的错误是将t=5 s直接代入位移公式得m，这样得出的位移实际上是汽车停止后又反向加速运动1 s的总位移，显然与实际情况不符.
[例6] 一物体初速度为零，先以大小为的加速度做匀加速运动，后以大小为的加速度做匀减速运动直到静止，整个过程中物体的位移为s，则该物体在此直线运动过程中最大的速度为 。
[剖析] 加速与减速阶段的分界点是最大速度所在的位置，抓住分界点灵活选择公式求解并不难。
[解析] 物体匀加速运动的末速度等于匀减速运动的初速度，由匀变速直线运动的平均速度公式知，前后两段位移上物体的平均速度相等，都等于.
设物体的最大速度为v，匀加速和匀减速运动过程的+3时间分别是，则由题意得
而对于加速过程，
对于减速过程，
由、整理出，代入中得
故.
[点评] 两段运动的联系，就是分界点的速度，故解决此类问题，要善于找到两部分运动的联系，找到与前后运动都有关系的物理量.
三、自由落体与竖直上抛运动
（一）自由落体运动
物体只受重力作用由静止开始下落的运动叫自由落体运动.自由落体运动是初速度为零，加速度a=g的匀变速直线运动.自由落体运动实际上是物理学中的理想化运动，只有满足一定的条件才能把实际的落体运动看成是自由落体运动.第一、物体只受重力作用，如果还受空气阻力作用，那么空气阻力与重力比可以忽略不计.第二、物体必须从静止开始下落，即初速度为零.
（二）自由落体运动的规律
1.初速度，加速度a=g.g与物体无关，只与物体所在位置有关，通常计算中取g=9.8 m/s2,粗略计算中取g=10 m/s2,且方向总是竖直向下.
2.基本公式
3.初速度为零的匀加速直线运动的一切规律和推论对自由落体运动都是适用的.
（三）竖直上抛运动
将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，物体所做的运动叫竖直上抛运动.竖直上抛运动是初速度竖直向上，加速度竖直向下的匀变速直线运动.通常以向上为正方向，则竖直上抛运动，可以看作是初速度为，加速度a=-g的匀减速直线运动.竖直上抛运动还可以根据运动方向的不同，分为上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动.
（四）竖直上抛运动的规律
1.以抛出点为坐标原点，以方向为正方向有
2.竖直上抛运动的对称性，即物体经过空中某一位置时上升速率与下降速率的关系；由此位置上升到最高点所用的时间与由最高点下降到此位置所用时间的关系.
[例7] 从地面竖直向上抛出一物体A，同时在离地面某一高度处另有一物体B自由下落，两物体在空中达到同一高度时速度大小都是v，则下述正确的是（ ）
A.物体A上抛初速度大小和B物体落地时的速度大小都是2v
B.物体A和B落地时间相同
C.物体A能上升的最大高度和物体B开始下落时的高度相同
D.两物体在空中达同一高度处，一定是B物体开始下落时高度的中点
[解析] 由于物体A与B同时开始运动，在空中相遇达到同一高度，速度大小相同均为v，即从开始到相遇运动的时间相同.根据上抛物体运动特点；（1）物体在上升与下降过程，中同一高度速度大小相等；（2）从同一高度上升到最高点和从最高点返回的时间相等.可判断：（1）物体A是在上升阶段与B物体相遇；（2）物体A从相遇处继续向上运动是B物体相遇前自由落体的逆过程；而物体B从相遇处继续向下运动是A物体相遇前的逆过程，那么A物体上升的最大高度为B物体开始下落的高度；B物体从相遇到落地运动的时间与相遇前运动的时间相同，所以B物体落地速度大小为2v，故A、C正确.
[答案] AC
[例8] 物体从高处自由落下，通过1.75 m高的窗户所需时间为0.1 s，物体从窗底落到地面所需时间为0.2 s，则物体是从多高处下落的？
[解析] 因物体做自由落体运动，所以通过窗户的中间时刻的速度等于通过窗户全程的平均速度，即，物体抵达地面时的速度为，物体自由下落的高度
.
[例9] 一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点.跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 s.(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2，结果保留二位有效数字)
[解析] 在上升过程中，根据竖直上抛运动的最大高度与初速度的关系可得运动员（质点）的初速度，在运动员离开跳台到手接触到水的全过程，质点做匀减速直线运动.取方向为正方向，运动员运动的加速度是重力加速度g，方向竖直向下，所以取负值：a= - g=-10 m/s2，位移大小为10 m，方向也竖直向下，故有s=-10 m.利用匀变速直线运动的位移公式，即，解得.
四、追击和相遇问题的求解方法
两物体在同一直线上运动，往往涉及追击、相遇或避免碰撞问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置.基本思路是：
分别对两物体研究；
画出运动过程示意图；
列出位移方程；
找出时间关系、速度关系、位移关系；
解出结果，必要时进行讨论.
1.追击问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件.
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离.
（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件.
（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值.
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时有最大相遇.
（2）若两者位移相等时，则追上.
2.相遇问题
（1）同向运动的两物体追上即距离.
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇.
[例10] 火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度（对地，且>）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？
[解析] 后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至与相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度后，两车距离将逐渐增大.可见，当两车速度相等时，两车距离最近，若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为与前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为与前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故，若后车加速度大小等于某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.
解法一 设经时间t，恰追上而不相撞，则：
解之可得
时，两车不会相撞.
解法二 要使两车不相撞，其位移关系应为
即
对任一时间t，不等式都成立的条件为
由此得
解法三 以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度、加速度为的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移，则不会相撞.故由
得
[点评] 解法一中应用物理的临界条件，恰好追上而不撞.而解法二中运用了常用的数学方法，由位移关系到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系.解法三通过巧妙地选取参考系，使两车运动的关系变得十分简明.
五、逆向转换法
即逆着原来的运动过程考虑.如火车进站刹车滑行，逆着车行驶方向考虑时就把原来的一个匀减速运动转化为一个初速度为零的匀加速运动；物体竖直上抛，逆着抛出方向，就变成从最高点向下的自由落体运动，等等.
[例11] 运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3.5 s停止，试问它在制动开始的1 s内、2 s内、3 s内通过的位移之比为多少？
[解析] 如图1-10所示，汽车从O开始制动后，1 s末到A，2 s末到B，3 s末到C，停止在D.
图1-10
这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度，如图1-11所示.将3.5 s等分为7个0.5 s，那么，逆过程从D起的连续7个0.5 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13.在图1-10中，.
图1-11
汽车从O起1 s内、2 s内、3 s内的位移即图中的，所以.
[点评] 本题若从运动基本规律入手通过代数变换求解，不够简捷，上述提供的巧解中用了两个要点：（1）运动在空间、时间上的可逆性；（2）的匀加速运动的特点，用的匀加速运动逆向代表末速度为零的匀减速运动常可简化解题过程.
[例12] 将一小物体以初速竖直上抛.若物体所受空气阻力大小不变，则小物体在到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程、速度的变化量的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
[解析] 上升的加速度大于下落的加速度.根据逆向转换的方法，上升最后一秒可以看成以从零下降的最初一秒，故有,而以下降的第一秒内有.,，即A、C正确
[答案] AC
六、图象运用
1.理解直线运动图象的意义
运动图象是通过建立坐标系来表达有关物体运动规律的一种重要方法.形状类似的图象在不同的坐标系中表示的物理规律不同，因此，应用图象时，首先要看清纵、横坐标代表何种物理量.对直线运动的图象应从以下几点认识它的物理意义:
(1)能从图象识别物体运动的性质.
(2)能认识图象截距的意义.
(3)能认识图象斜率的意义.
(4)能认识图象覆盖面积的意义（仅限于v-t图象）.
(5)能说出图线上任一点的状况.
2.位移-时间（s-t）图象
物体运动的s-t图象表示物体的位移随时间变化的规律.与物体运动的轨迹无任何直接关系.图1-12中a、b、c三条直线对应的s-t关系式分别为，都是匀速直线运动的位移图象.纵轴截距表示t=0时a在b前方处；横轴截距表示c比b晚出发时间；斜率表示运动速度，易见；交点P可反映t时刻c追及b.
图1-12
3.速度-时间（v-t）图象
物体运动的v-t图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体运动的轨迹也无任何直接关系.
图1-13中a、b、c、d四条直线对应的v-t关系式分别为，直线是匀速运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象.纵轴截距表示b、d的初速度，横轴截距表示匀减速直线运动到速度等于零需要的时间.斜率表示运动的加速度，斜率为负者
（如d）对应于匀减速直线运动.图线下边覆盖的面积表示运动的位移.两图线的交点P可反映在时刻t两个运动（c和d）有相同的速度.
图1-13
4.s-t图象与v-t图象的比较
图1-14中和下表是形状一样的图线在s-t图象与v-t图象中的比较.
图1-14
s-t图 v-t图
表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度v） 表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）
表示物体静止 表示物体做匀速直线运动
表示物体静止 表示物体静止
表示物体向反方向做匀速直线运动；初位移为s0 表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0
交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移 交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
t1时间内物体位移为s1 t1时刻物体速度为v1（图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移）
[例13] 两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车后，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持距离至少为（ ）
A.s B.2s C.3s D.4s
[解析] 本题的解法很多，在这里只通过图线分析.根据题意，作出前车刹车后两车的v-t图线，分别为图1-15中的AC和ABD，图中三角形AOC的面积为前车刹车后的位移s，梯形面积ABDO为前车刹车后后车的位移，由于前后两车刹车的加速度相同，所以图中AC∥BD，OC=CD.即梯形ABDO的面积是三角形AOC面积的三倍.
图1-15
SABDO＝3S△AOC=3S
为了使两车不发生相撞，两车行驶时应保持的距离至少是△s=SABDO-S△AOC=3s-s=2s.
[答案] B
[点评] 本题中采用图象法的妙处在于，图象能形象地表示出两车位移变化的物理情景，可以说，作出上图后一眼便可看出答案.
[例14] 如图1-16所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有（ ）
图1-16
A.两球同时落地
B.b球先落地
C.两球落地时速率相等
D.a球先落地
[解析] 在分析运动的全过程中，可由机械能守恒定律判断出两球落地时速率相等.根据v-t图中的“面积”表示位移的大小，可作出两次运动的v-t图，由图可知b球用时少，故正确答案为B、C
[答案] BC
[例15] 两支完全相同的光滑直角弯管（如图1-17所示），现有两只相同小球a和a′同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？（假设通过拐角处时无机械能损失）
图1-17
[解析] 首先由机械能守恒可以确定拐角处v1 > v2，而两小球到达出口时的速率v相等.又由题意可知两球经历的总路程s相等.由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα+,小球a第一阶段的加速度跟小球a′第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a′第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1 > a2.根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）.开始时a球曲线的斜率大.由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间t1）则必然有s1>s2,显然不合理.考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a的速度图象只能如Ⅱ线所示.因此有t1＜t2，即a球先到.
[例16] 老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1，则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时速度是多大？从甲处到乙处用去多少时间？
[解析] 由题意可知，老鼠的速度v与它到洞穴的距离d的乘积为一常数,设d2处的速度为v2，则有1/v是与d成正比的，在1/v-d的图象中，图象与d轴所围的面积就是时间t，由图1-18中的图象可知老鼠从甲处到乙处所需时间.
图1-18
考点解读
直线运动
内容 要求 说明
1．机械运动，参考系，质点2．位移和路程3．匀速直线运动.速度.速率.位移公式s=vt.s-t图.v-t图4．变速直线运动，平均速度5．瞬时速度（简称速度）6．匀变速直线运动.加速度.公式 ⅠⅡⅡ ⅡⅠⅡ 不要求会推导向心加速度的公式
机械运动：知道什么是机械运动，研究机械运动离不开参考系.
参考系：知道参考系的概念和如何选择参考系.
质点：知道质点的定义（用来代替物体的有质量的点），知道质点是理想化的物理模型，知道物体能够当作质点研究的条件.（当物体的大小、形状对所研究的问题的影响可以忽略时，物体可视为质点.）
位移：知道位移是物体位置的移动，其大小表示两个位置之间的距离，其方向由初位置指向末位置，是矢量，知道位移的大小与物体的具体路径无关.
路程：知道路程是质点运动的实际长度，其大小与路径有关，是标量.
匀速直线运动：知道在任何相等的时间内位移都相等的运动才是匀速直线运动，知道在什么条件下实际物体的运动可以看成匀速直线运动.
速度：知道速度是描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率.
速率：速度的大小，一般认为是路程和时间的比值.
变速直线运动：知道变速直线运动的定义，知道实际物体的运动都是变速运动.匀速直线运动只是在某一段时间（空间）内的理想情况.
平均速度：知道平均速度的定义和计算，知道平均速度只是表达质点在某一段时间内运动的快慢，并不能反映质点实际运动的快慢.
瞬时速度：知道瞬时速度是运动质点在某一时刻或位置的速度，能够准确表达质点的实际运动的快慢，匀速直线运动中没有提出瞬时速度的概念是因为匀速时每时每刻的速度都相等，没有区分的必要.
匀变速直线运动：知道匀变速直线运动的概念，理解在任何相等的时间内速度的变化都相等的运动是匀变速直线运动.并能够在解决问题过程中熟练地判断物体的运动是否是匀变速直线运动.
加速度：知道加速度是反映速度变化快慢的物理量，也是一个由其他物理量导出的物理量，深刻挖掘加速度的含义，理解加速度反映的是速度变化率的实质，并能够在解决问题中熟练运用且能够区分似是而非的说法.
基本公式：匀速直线运动的位移公式 s=vt
匀变速直线运动的速度公式 v=v0+at
匀变速直线运动的位移公式
由以上两式容易导出
s-t图象：反映位移随时间变化的图象，知道坐标轴的物理意义，截距的物理意义.在同一个坐标系里有两个以上的质点的位移图象时，知道图象交点的意义，并能够运用图象解决相关的问题.
v-t图象：反映速度随时间变化的图象，知道坐标轴的物理意义，截距的物理意义，在同一个坐标系里有两个以上的质点的速度图象时，知道图象交点的意义，知道速度图线与时间所围成的几何图形的面积表示物体的运动位移，并能够运用图象解决相关的问题.
考点清单
一、平均速度的求解及其应用方法
求平均速度的公式有两个：一个是定义式，普遍适用于各种运动；另一个是，只适用于加速度恒定的匀变速直线运动.
[例1] 汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲丙两地的中点.汽车从甲地匀加速运动到乙地，经过乙地速度为60 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为120 km/h，求汽车从甲地到达丙地的平均速度.
[剖析] 本题全过程并不是一个“完整”的匀加速运动，因而不能用求解全程的平均速度.
[解析] 设甲丙两地距离为2l，汽车通过甲乙两地时间为t1，通过乙丙两地的时间t2.
甲到乙是匀加速运动，由得
从乙到丙也是匀加速运动，由得：
[点评] 计算平均速度常见的错误是滥用.如将本例求解为，这种解法的错误是认为汽车全过程作加速度恒定的直线运动.其实，汽车从甲地到乙地和从乙地到丙地两段的加速度并不相同，由可知：故对全过程不适用.
物体作匀变速运动的平均速度，在时间t内的位移,相当于把一个变速运动转化为一个匀速运动，匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度：.
应用于解题会使求解更简单方便.
[例2] 某物体以12 m/s的初速度做匀减速运动，在第3 s内的位移为4.5 m，求物体的加速度.
[解析] 解法一 物体前2 s的位移，,物体前3 s的位移，第3 s内的位移
解得
解法二 物体在第3秒内的平均速度，即为第3秒中间时刻2.5秒时的即时速度，所以
.
[例3] 两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图1-9所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（ ）
图1-9
A.在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B.在时刻t1两木块速度相同
C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同
D.在时刻t4和时刻t5之间某瞬间两木块速度相同
[解析] 首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显的是做匀速运动.由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C.
二、匀变速直线运动的规律及其应用
1.匀变速直线运动的特证：a =恒量
2.匀变速直线运动的规律：，
3.几个重要推论：
时，将时间等分，
恒量，此式对于均成立，是判定物体是否做匀变速运动的依据之一，其中T为时间间隔.
一段时间内物体的平均速度恰等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，.
从静止开始连续相等的位移所用时间之比为.
[例4] 汽车自O点由静止在平直公路上做匀加速直线运动，途中6 s时间内依次经过P、Q两根电线杆.已知P、Q相距60 m，车经过Q时的速率为15 m/s,则
（1）汽车经过P时的速率是多少？
（2）汽车的加速度为多少？
（3）O、P两点间距离为多少？
[解析] 方法一：设汽车经过P点的速度为，经过Q的速度为,由得
，
所以.
由.
由得
.
方法二：设汽车经过P点的速度为,由，
得
由代值可得.
[例5] 一辆汽车以72 km/h行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动，已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少
[剖析] 本题的刹车过程有一个“陷阱”，即在5 s内是正在刹车，还是停车，若正在刹车，可用位移公式；若停车时间t < 5 s,则刹车过程的距离即为所求.
[解析] 汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为，选的方向为正方向.
，得
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经静止，后1 s是静止的.
由知刹车后5 s内通过的距离
.
[说明] 此题易犯的错误是将t=5 s直接代入位移公式得m，这样得出的位移实际上是汽车停止后又反向加速运动1 s的总位移，显然与实际情况不符.
[例6] 一物体初速度为零，先以大小为的加速度做匀加速运动，后以大小为的加速度做匀减速运动直到静止，整个过程中物体的位移为s，则该物体在此直线运动过程中最大的速度为 。
[剖析] 加速与减速阶段的分界点是最大速度所在的位置，抓住分界点灵活选择公式求解并不难。
[解析] 物体匀加速运动的末速度等于匀减速运动的初速度，由匀变速直线运动的平均速度公式知，前后两段位移上物体的平均速度相等，都等于.
设物体的最大速度为v，匀加速和匀减速运动过程的+3时间分别是，则由题意得
而对于加速过程，
对于减速过程，
由、整理出，代入中得
故.
[点评] 两段运动的联系，就是分界点的速度，故解决此类问题，要善于找到两部分运动的联系，找到与前后运动都有关系的物理量.
三、自由落体与竖直上抛运动
（一）自由落体运动
物体只受重力作用由静止开始下落的运动叫自由落体运动.自由落体运动是初速度为零，加速度a=g的匀变速直线运动.自由落体运动实际上是物理学中的理想化运动，只有满足一定的条件才能把实际的落体运动看成是自由落体运动.第一、物体只受重力作用，如果还受空气阻力作用，那么空气阻力与重力比可以忽略不计.第二、物体必须从静止开始下落，即初速度为零.
（二）自由落体运动的规律
1.初速度，加速度a=g.g与物体无关，只与物体所在位置有关，通常计算中取g=9.8 m/s2,粗略计算中取g=10 m/s2,且方向总是竖直向下.
2.基本公式
3.初速度为零的匀加速直线运动的一切规律和推论对自由落体运动都是适用的.
（三）竖直上抛运动
将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，物体所做的运动叫竖直上抛运动.竖直上抛运动是初速度竖直向上，加速度竖直向下的匀变速直线运动.通常以向上为正方向，则竖直上抛运动，可以看作是初速度为，加速度a=-g的匀减速直线运动.竖直上抛运动还可以根据运动方向的不同，分为上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动.
（四）竖直上抛运动的规律
1.以抛出点为坐标原点，以方向为正方向有
2.竖直上抛运动的对称性，即物体经过空中某一位置时上升速率与下降速率的关系；由此位置上升到最高点所用的时间与由最高点下降到此位置所用时间的关系.
[例7] 从地面竖直向上抛出一物体A，同时在离地面某一高度处另有一物体B自由下落，两物体在空中达到同一高度时速度大小都是v，则下述正确的是（ ）
A.物体A上抛初速度大小和B物体落地时的速度大小都是2v
B.物体A和B落地时间相同
C.物体A能上升的最大高度和物体B开始下落时的高度相同
D.两物体在空中达同一高度处，一定是B物体开始下落时高度的中点
[解析] 由于物体A与B同时开始运动，在空中相遇达到同一高度，速度大小相同均为v，即从开始到相遇运动的时间相同.根据上抛物体运动特点；（1）物体在上升与下降过程，中同一高度速度大小相等；（2）从同一高度上升到最高点和从最高点返回的时间相等.可判断：（1）物体A是在上升阶段与B物体相遇；（2）物体A从相遇处继续向上运动是B物体相遇前自由落体的逆过程；而物体B从相遇处继续向下运动是A物体相遇前的逆过程，那么A物体上升的最大高度为B物体开始下落的高度；B物体从相遇到落地运动的时间与相遇前运动的时间相同，所以B物体落地速度大小为2v，故A、C正确.
[答案] AC
[例8] 物体从高处自由落下，通过1.75 m高的窗户所需时间为0.1 s，物体从窗底落到地面所需时间为0.2 s，则物体是从多高处下落的？
[解析] 因物体做自由落体运动，所以通过窗户的中间时刻的速度等于通过窗户全程的平均速度，即，物体抵达地面时的速度为，物体自由下落的高度
.
[例9] 一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点.跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 s.(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2，结果保留二位有效数字)
[解析] 在上升过程中，根据竖直上抛运动的最大高度与初速度的关系可得运动员（质点）的初速度，在运动员离开跳台到手接触到水的全过程，质点做匀减速直线运动.取方向为正方向，运动员运动的加速度是重力加速度g，方向竖直向下，所以取负值：a= - g=-10 m/s2，位移大小为10 m，方向也竖直向下，故有s=-10 m.利用匀变速直线运动的位移公式，即，解得.
四、追击和相遇问题的求解方法
两物体在同一直线上运动，往往涉及追击、相遇或避免碰撞问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置.基本思路是：
分别对两物体研究；
画出运动过程示意图；
列出位移方程；
找出时间关系、速度关系、位移关系；
解出结果，必要时进行讨论.
1.追击问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件.
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离.
（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件.
（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值.
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
（1）当两者速度相等时有最大相遇.
（2）若两者位移相等时，则追上.
2.相遇问题
（1）同向运动的两物体追上即距离.
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇.
[例10] 火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度（对地，且>）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？
[解析] 后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至与相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度后，两车距离将逐渐增大.可见，当两车速度相等时，两车距离最近，若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为与前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为与前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故，若后车加速度大小等于某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.
解法一 设经时间t，恰追上而不相撞，则：
解之可得
时，两车不会相撞.
解法二 要使两车不相撞，其位移关系应为
即
对任一时间t，不等式都成立的条件为
由此得
解法三 以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度、加速度为的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移，则不会相撞.故由
得
[点评] 解法一中应用物理的临界条件，恰好追上而不撞.而解法二中运用了常用的数学方法，由位移关系到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系.解法三通过巧妙地选取参考系，使两车运动的关系变得十分简明.
五、逆向转换法
即逆着原来的运动过程考虑.如火车进站刹车滑行，逆着车行驶方向考虑时就把原来的一个匀减速运动转化为一个初速度为零的匀加速运动；物体竖直上抛，逆着抛出方向，就变成从最高点向下的自由落体运动，等等.
[例11] 运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3.5 s停止，试问它在制动开始的1 s内、2 s内、3 s内通过的位移之比为多少？
[解析] 如图1-10所示，汽车从O开始制动后，1 s末到A，2 s末到B，3 s末到C，停止在D.
图1-10
这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度，如图1-11所示.将3.5 s等分为7个0.5 s，那么，逆过程从D起的连续7个0.5 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13.在图1-10中，.
图1-11
汽车从O起1 s内、2 s内、3 s内的位移即图中的，所以.
[点评] 本题若从运动基本规律入手通过代数变换求解，不够简捷，上述提供的巧解中用了两个要点：（1）运动在空间、时间上的可逆性；（2）的匀加速运动的特点，用的匀加速运动逆向代表末速度为零的匀减速运动常可简化解题过程.
[例12] 将一小物体以初速竖直上抛.若物体所受空气阻力大小不变，则小物体在到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程、速度的变化量的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
[解析] 上升的加速度大于下落的加速度.根据逆向转换的方法，上升最后一秒可以看成以从零下降的最初一秒，故有,而以下降的第一秒内有.,，即A、C正确
[答案] AC
六、图象运用
1.理解直线运动图象的意义
运动图象是通过建立坐标系来表达有关物体运动规律的一种重要方法.形状类似的图象在不同的坐标系中表示的物理规律不同，因此，应用图象时，首先要看清纵、横坐标代表何种物理量.对直线运动的图象应从以下几点认识它的物理意义:
(1)能从图象识别物体运动的性质.
(2)能认识图象截距的意义.
(3)能认识图象斜率的意义.
(4)能认识图象覆盖面积的意义（仅限于v-t图象）.
(5)能说出图线上任一点的状况.
2.位移-时间（s-t）图象
物体运动的s-t图象表示物体的位移随时间变化的规律.与物体运动的轨迹无任何直接关系.图1-12中a、b、c三条直线对应的s-t关系式分别为，都是匀速直线运动的位移图象.纵轴截距表示t=0时a在b前方处；横轴截距表示c比b晚出发时间；斜率表示运动速度，易见；交点P可反映t时刻c追及b.
图1-12
3.速度-时间（v-t）图象
物体运动的v-t图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体运动的轨迹也无任何直接关系.
图1-13中a、b、c、d四条直线对应的v-t关系式分别为，直线是匀速运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象.纵轴截距表示b、d的初速度，横轴截距表示匀减速直线运动到速度等于零需要的时间.斜率表示运动的加速度，斜率为负者
（如d）对应于匀减速直线运动.图线下边覆盖的面积表示运动的位移.两图线的交点P可反映在时刻t两个运动（c和d）有相同的速度.
图1-13
4.s-t图象与v-t图象的比较
图1-14中和下表是形状一样的图线在s-t图象与v-t图象中的比较.
图1-14
s-t图 v-t图
表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度v） 表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）
表示物体静止 表示物体做匀速直线运动
表示物体静止 表示物体静止
表示物体向反方向做匀速直线运动；初位移为s0 表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0
交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移 交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
t1时间内物体位移为s1 t1时刻物体速度为v1（图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移）
[例13] 两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车后，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持距离至少为（ ）
A.s B.2s C.3s D.4s
[解析] 本题的解法很多，在这里只通过图线分析.根据题意，作出前车刹车后两车的v-t图线，分别为图1-15中的AC和ABD，图中三角形AOC的面积为前车刹车后的位移s，梯形面积ABDO为前车刹车后后车的位移，由于前后两车刹车的加速度相同，所以图中AC∥BD，OC=CD.即梯形ABDO的面积是三角形AOC面积的三倍.
图1-15
SABDO＝3S△AOC=3S
为了使两车不发生相撞，两车行驶时应保持的距离至少是△s=SABDO-S△AOC=3s-s=2s.
[答案] B
[点评] 本题中采用图象法的妙处在于，图象能形象地表示出两车位移变化的物理情景，可以说，作出上图后一眼便可看出答案.
[例14] 如图1-16所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有（ ）
图1-16
A.两球同时落地
B.b球先落地
C.两球落地时速率相等
D.a球先落地
[解析] 在分析运动的全过程中，可由机械能守恒定律判断出两球落地时速率相等.根据v-t图中的“面积”表示位移的大小，可作出两次运动的v-t图，由图可知b球用时少，故正确答案为B、C
[答案] BC
[例15] 两支完全相同的光滑直角弯管（如图1-17所示），现有两只相同小球a和a′同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？（假设通过拐角处时无机械能损失）
图1-17
[解析] 首先由机械能守恒可以确定拐角处v1 > v2，而两小球到达出口时的速率v相等.又由题意可知两球经历的总路程s相等.由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα+,小球a第一阶段的加速度跟小球a′第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a′第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1 > a2.根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）.开始时a球曲线的斜率大.由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间t1）则必然有s1>s2,显然不合理.考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a的速度图象只能如Ⅱ线所示.因此有t1＜t2，即a球先到.
[例16] 老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1，则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时速度是多大？从甲处到乙处用去多少时间？
[解析] 由题意可知，老鼠的速度v与它到洞穴的距离d的乘积为一常数,设d2处的速度为v2，则有1/v是与d成正比的，在1/v-d的图象中，图象与d轴所围的面积就是时间t，由图1-18中的图象可知老鼠从甲处到乙处所需时间.
图1-18
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