第九讲 三角形有关的线段与角辅导培优竞赛辅导（含答案）

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第九讲 三角形有关的线段与角辅导
（一）知识回顾
1、三角形的定义：不在 上的三条线段 连接而成的平面图形。
其表示方法是符号“△”后接着三个顶点字母。三角形是边数最少的多边形。
2、三角形的有关重要线段:
⑴三角形的三边：三角形的两边之和 第三边；两边之差 第三边；
△ABC的三边a、b、c中，已知a、b，求c的取值范围是： ＜c＜ ；
2 三角形的高线、中线、角平分线：
①三线都经过顶点，都是 ;
②除直角三角形的两条高线在三角形的两条 边上,钝角三角形的两条高线在三角形 ,其他各线均在形内;21·世纪*教育网
③三条中线、三条角平分线、三条高线均交于一点：锐角三角形的高交于三角形 一点，直角三角形的高交于直角三角形的 点，钝角三角形的高的延长线交于三角形 一点。
④三角形的一条中线把三角形分成两个 相等的小三角形；
⑤三角形的角平分线所分得的两个角 。
⑥有高就有 度的角，三角形的各边与这边上的高的乘积相等，据此可以建立方程解题：如图4中有：AC·BC= · ；
注意基本图形：双垂直图形
3、三角形 稳定性，四边形 稳定性。
4、三角形有关的角：
1 三角形内角和等于 ；
2 外角：是三角形的一边与另一边的 的夹角，外角和等于 ；
3 外角关系：三角形的一个外角等于 ，
三角形的一个外角
三角形的外角与之相邻的内角互为 ；
基础夯实
[1] 三角形的有关概念
1、三角形一边上的高（ ）。
A.必在三角形内部 B.必在三角形的边上
C.必在三角形外部 D.以上三种情况都有可能
2、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A、三角形的角平分线 B、三角形的中线 C、三角形的高线 D、以上都不对
3、等腰三角形底边长5cm,一腰中线将周长分成的两部分差为3cm,则腰长为
A.2cm　　　　 B.3cm　　　　　　　C.8cm　　　　　D.2cm或8cm
4、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。
A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B=∠C C.∠A=90°-∠B D.∠A-∠B=90°
5、如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，最少有 个锐角
一个三角形外角中最多 个锐角，最少 个钝角。
7、如图,AD是的中线,DE=2AE.若,则_____________
5题图 7题图 8题图
8、如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.21cnjy.com
9、AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，
则△BDE 中BD边上的高为多少？
[二]三角形三边关系的应用
1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。
A：、、 B：、、 C：、、 D：、、
2、现有两根木棒，它们的长度分别为40 cm和50 cm，若要钉成一个三角架，则在下列四根棒中应选取（ ）。21·cn·jy·com
A：10 cm 的木棒 B：40 cm 的木棒 C：90 cm 的木棒 D：100 cm 的木棒
3、三条线段a=5,b=3,c为整数，从a、b、c为边组成的三角形共有（ ）.
A：3个 B：5个 C：无数多个 D： 无法确定
4、已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )
A.15、已知a,b,c为三角形ABC的三边,化简：｜a+b-c｜+｜b-c-a｜-｜c-a-b｜
[三] 三角形的内、外角和定理及其推论的应用
1、下列说法错误的是（ ）。
A：一个三角形中至少有两个锐角
B：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角
C：在一个三角形中至少有一个角大于60°
D：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90°
2、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）。
A：锐角三角形 B：直角三角形 C：钝角三角形 D：不能确定
3、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是_________
4、△中，，则
5、在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=40°，则∠B=_________，∠C=_________。
6、已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E
求证：∠BAC>∠B
7、如图1所示，则的度数为_________。
如图2所示，则的度数为_________。
如图3所示，求的度数为_________。
如图4所示，∠A＋∠B＋∠C+∠D＋∠E＋∠F+∠H的度数为_________。
图1 图2
图3 图4
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.
经典例题
例1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数。
变式、如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）如图（2）若将点A在AD 上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？21世纪教育网版权所有
例2、△ABC中，∠A=50°，
（1）如图1，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．求∠P的度数；猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？并说明理由。21教育网
（3）如图2若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；猜想∠P与∠A又有怎样的大小关系？并说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
（4）如图3若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？并说明理由。
图1 图2 图3
思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数） 21*cnjy*com
第九讲 三角形有关的线段与角辅导答案
（一）知识回顾
1、三角形的定义：不在 同一直线 上的三条线段 首尾顺次连接而成的平面图形。
其表示方法是符号“△”后接着三个顶点字母。三角形是边数最少的多边形。
2、三角形的有关重要线段:
⑴三角形的三边：三角形的两边之和 大于 第三边；两边之差 小于第三边；
△ABC的三边a、b、c中，已知a、b，求c的取值范围是： /a-b/ ＜c＜ a+b ；
3 三角形的高线、中线、角平分线：
①三线都经过顶点，都是 线段 ;
②除直角三角形的两条高线在三角形的两条 直角 边上,钝角三角形的两条高线在三角形 外部 ,其他各线均在形内;【来源：21cnj*y.co*m】
③三条中线、三条角平分线、三条高线均交于一点：锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于直角三角形的 直角顶 点，钝角三角形的高的延长线交于三角形 外部 一点。【版权所有：21教育】
④三角形的一条中线把三角形分成两个 面积 相等的小三角形；
⑤三角形的角平分线所分得的两个角 相等 。
⑥有高就有 90 度的角，三角形的各边与这边上的高的乘积相等，据此可以建立方程解题：如图4中有：AC·BC= AB · CD ；
注意基本图形：双垂直图形
3、三角形 具有 稳定性，四边形 不具有 稳定性。
5、三角形有关的角：
4 三角形内角和等于 180° ；
5 外角：是三角形的一边与另一边的反向延长线 的夹角，外角和等于 360°；
6 外角关系：三角形的一个外角等于 不相邻的两内角之和 ，
三角形的一个外角 大于不相邻的任意一个内角
三角形的外角与之相邻的内角互为 邻补角 ；
基础夯实
[2] 三角形的有关概念
1、三角形一边上的高（ D）。
A：必在三角形内部 B：必在三角形的边上
C：必在三角形外部 D：以上三种情况都有可能
2、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ B ）。
A、三角形的角平分线 B、三角形的中线 C、三角形的高线 D、以上都不对
3、等腰三角形底边长5cm,一腰中线将周长分成的两部分差为3cm,则腰长为（ C ）
A.2cm B.3cm C.8cm D.2cm或8cm
4、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ D ）。
A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B=∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90°
5、如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ C ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6、一个三角形最多有 1 个直角，有 1 个钝角，最少有 2 个锐角
一个三角形外角中最多 1 个锐角，最少 2 个钝角。
7、如图,AD是的中线,DE=2AE.若,则_=__
5题图 7题图 8题图
8、如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝_4cm___.2·1·c·n·j·y
9、AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，
则△BDE 中BD边上的高为多少？
答案：
（1）∠BED的度数=55°
（3）△BDE 中BD边上的高为4.
[二]三角形三边关系的应用
1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ A ）。
A：、、 B：、、 C：、、 D：、、
2、现有两根木棒，它们的长度分别为40 cm和50 cm，若要钉成一个三角架，则在下列四根棒中应选取（ B ）。21教育名师原创作品
A：10 cm 的木棒 B：40 cm 的木棒 C：90 cm 的木棒 D：100 cm 的木棒
3、三条线段a=5,b=3,c为整数，从a、b、c为边组成的三角形共有（ B ）.
A：3个 B：5个 C：无数多个 D： 无法确定
4、已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( C )
A.15、已知a,b,c为三角形ABC的三边,化简：｜a+b-c｜+｜b-c-a｜-｜c-a-b｜
答案：a-b+c
[三] 三角形的内、外角和定理及其推论的应用
1、下列说法错误的是（ C ）。
A：一个三角形中至少有两个锐角
B：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角
C：在一个三角形中至少有一个角大于60°
D：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90°
2、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ B ）。
A：锐角三角形 B：直角三角形 C：钝角三角形 D：不能确定
3、直角三角形两锐角的平分线相交所成的角是___135°或45°_
4、△中，，则
5、在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=40°，则∠B=__60°_，∠C=_20°。
6、已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E
求证：∠BAC>∠B
证明：∵CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC＞∠1，且∠2＞∠B．
∴∠BAC>∠B
8、如图1所示，则的度数为____180°_____。
如图2所示，则的度数为_180°________。
如图3所示，求的度数为___360°______。
如图4所示，∠A＋∠B＋∠C+∠D＋∠E＋∠F+∠H的度数为____540°_____。
图1 图2
图3 图4
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.
答案：解：∵∠EDC+∠C=∠AED，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+40°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=40°，
∴∠EDC=20°．
故答案为：20°．21*cnjy*com
经典例题
例1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数。
解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，
∴∠BAD=48°，
∵∠DAE=18°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°。
变式、如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）如图（2）若将点A在AD 上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？www-2-1-cnjy-com
解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°；
∵AD是角平分线，
∴∠DAC=∠BAC=25°；
在△ADC中，∠ADC=180°-∠C-∠DAC=75°；
在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADC-AED=15°．
（2）∠DAE=180°-∠ADC-AED=180°-∠ADC-90°=90°-∠ADC=90°-（180°-∠C-∠DAC）=90°-（180°-∠C-∠BAC）=90°-[180°-∠C-（180°-∠B-∠C）]=（∠C-∠B）．
（3）（2）中的结论仍正确．
∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+∠B-∠C；
在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-（90°+∠B-∠C）=（∠C-∠B）．
例2、△ABC中，∠A=50°，
（1）如图1，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．求∠P的度数；猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？并说明理由。www.21-cn-jy.com
（3）如图2若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；猜想∠P与∠A又有怎样的大小关系？并说明理由。2-1-c-n-j-y
（4）如图3若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？并说明理由。
图1 图2 图3
答案：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点
∴∠PBC=∠ABC, ∠PCB=∠ACB）
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°；
（2）∠BPC=∠A+90．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BPC=∠A+90°；
（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴（∠ACB+∠ABC）=90°-∠A，
∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，
180°-∠BPC=∠A+90°-∠A，
∴∠BPC=90°-∠A；
（4）若P为∠ABC和∠ACB外角的平分线BP，CP的交点，则∠BPC与∠A的关系为：∠BPC=∠A．【出处：21教育名师】
∵∠A+∠ABC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠PCF，BP，CP分别是∠ABC和∠ACF的平分线，
∵∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
由以上各式可推得∠BPC= ∠A．
思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）
如图所示，
答案：∠Fn=∠A．
A
B
D
C
E
F
D
A
H
E
C
B
A
B
D
C
E
F
D
A
H
E
C
B
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