2018版高考数学（文）解答题揭秘高端精品专题2.3+中档大题规范练03（三角+概率+立体几何+选讲）（第02期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
三角大题
由三角函数的部分图像求解析式
给值求值问题
“五点作图”思想的应用
两角和差公式的灵活应用——配凑角
概率大题
频率分布直方图的应用
获利问题
数据处理能力
信息整合能力
频率分布直方图求均值和方程
立体几何
面面垂直的证明
三棱锥的体积
点到面的投影
考查了空间想象力
线面的位置关系
选讲1（极坐标参数方程）
直线与圆的位置关系
直线一侧点的不等式关系
三角不等式恒成立求解
点在直线一侧的不等转化
选讲2（不等式）
利用绝对值三角不等式求最值
三元的不等式证明问题
作差法比较大小
1.三角大题
已知函数 的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)设为锐角， ，求的值.
【答案】（1）；（2）.
2.概率大题
从某企业生产的产品的生产线上随机抽取 件产品,测量这批产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图： 21世纪教育网版权所有
(Ⅰ) 估计这批产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ) 若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中为产品质量指标值):
当, 该产品定为一等品,企业可获利 200 元；
当且，该产品定为二等品,企业可获利 100 元；
当且，该产品定为三等品,企业将损失 500 元；
否则该产品定为不合格品,企业将损失 1000 元．
(ⅰ)若测得一箱产品(5 件)的质量指标数据分别为：76、85、93、105、112,求该箱产品的利润；
(ⅱ)设事件；事件；事件. 根据经验,对于该生产线上的产品,事件发生的概率分别为0.6826、0.9544、0.9974.根据以上信息,若产品预计年产量为10000件,试估计该产品年获利情况.(参考数据:)21教育网
【答案】（1）平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104．（2）100元，元
这种产品质量指标的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104．
(Ⅱ)因
.
(i)计算得5件产品中有一等品两件：93,105；二等品两件：85,112；三等品一件：76.
故根据规则,获利为: 元．
(ⅱ)根据提供的概率分布,该企业生产的 10000件产品中一等品大约为 件,
二等品大约为件,三等品件,
不合格品大约为件.
估计年获利为: 元.
3.立体几何
如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，分别是棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若四面体的体积为，且在平面内的正投影为，求线段的长.
【答案】(1)见解析.（2）见解析.
所以平面，则
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，因为平面，
所以
又为的中点，所以为的中点，
因为，，
所以四面体体的体积为 ，
则
在中，，，
在中，，.
4.选讲1（极坐标参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.
【答案】（1）.
（2）.
故点到直线的距离的最小值为.
（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，
所以对，有恒成立，
即 恒成立，
所以，
又，所以.
故的取值范围为.
5.选讲2（不等式）
已知，函数的最小值为3.
（1）求的值；
（2）若,且，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析