2018年高考数学三轮考点总动员冲刺专题2.2+函数与导数

第二篇 易错考点大清查
专题2 函数与导数
1. 函数概念不清致误
函数的定义域、值域、对应法则是函数的三要素注意与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域.求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错.21教育网
例1 已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（ ）
A． B． C. 3 D．9
【答案】B
点评：本题主要利用函数的奇偶性考查函数的表示与求值
【举一反三】【2018江西南昌高三一模】设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )【出处：21教育名师】
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，
据此排除B选项；
当时，，
绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，
据此排除CD选项；
本题选择B选项.
2.忽视函数的定义域致误
函数的定义域是函数的用三要素之一，是研究函数图像与性质的重要依据之一，在研究函数的奇偶性、单调性、极值、图像时，一定要定义域先行，可以避免忽视定义域致错.21cnjy.com
例2函数的单调递减区间是 (　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的定义域是，的增区间为，又因为，所以函数的单调区间为，故选D；
点评：此题考查学生求对数函数及二次函数图象和性质的研究能力,以及会求复合函数的增减性的能力.在完成此类题目时,学生往往会仅仅抓住复合函数单调性的规律：“同增异减”,而不考虑函数的定义域,进而得出错误的结果.【来源：21cnj*y.co*m】
【举一反三】【2018安徽芜湖高三一模】 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）【版权所有：21教育】
A. B. C. D.
【答案】B
3. 将曲线在某点的切线与过某点的切线搞混淆致错
在解曲线的切线问题时，一定要注意区分“过点A（x0,y0）的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.21*cnjy*com
例3.【2018广东高三一模】已知函数满足，则函数的图象在处的切线斜率为（ ）
A. 0 B. 9 C. 18 D. 27
【答案】C
【解析】令，则，即，则，，根据导数的几何意义可得函数的图象在处的切线斜率为，故选C.21教育名师原创作品
点评：对于曲线的切线问题，一定要注意是在某点的切线，还是过某点的切线.
【举一反三】已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 ．
【答案】
4.极值的概念不清致误
“函数y=f(x)在x=x0处的导数值为0”是“函数y=f(x)在点x=x0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f(x)在x=x0处取极值”的必要条件误作充要条件.21*cnjy*com
对于可导函数f(x):x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，即若f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”?f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)=0.f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑f′(x0)=0，又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则易产生增根.
例4 已知，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】
试题解析：（1），由题设得，，解得.
（2）由（1）知，∴ ，，
∴在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以.
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，
又，∴，
所以，存在，使得，
所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，∴，当且仅当时取等号，
故.
由（2）知，，即，
所以，即成立，当时，等号成立.
点评：求函数在某闭区间上的最值，首先需求函数在开区间内的极值，然后，将的各个极值与在闭区间上的端点的函数值、比较，才能得出函数在上的最值．
【举一反三】【2018福建南平高三一模】已知定义在区间上的函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和，根据导数正负得单调性；
试题解析：（Ⅰ）
①当时,.即是上的增函数.
②当时, ,令得,
则的增区间为减区间为
（Ⅱ）由不等式,恒成立,得不等式,
恒成立.
①当时,由（Ⅰ）知是上的增函数,,即当时, 不等式,恒成立.
②当时,, .
令,则.
要使不等式,恒成立,
只要.
令
.
是上的减函数,又,
,则,即,解得,故
综合①, ②得,即的取值范围是
5.导数与单调性的关系理解不准致误
已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.21·cn·jy·com
例5已知函数=在(1,＋∞)内单调递减，则实数的取值范围为 .
故实数的取值范围为（－1，+∞）.
点评：要掌握正确的已知函数单调性，求参数范围的方法，即先解大于（或小于）0恒成立的不等式，在验证参数取等号时，函数在给定区间上是否具有已知的单调性.2·1·c·n·j·y
【举一反三】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C．www-2-1-cnjy-com
6.错误利用定积分求面积（文科不作）
利用积分求平面图形面积，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解，要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可正，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意义下总是为正，因此当时，要通过取绝对值处理成正，可避免利用定积分计算两个曲边线围成图形的面积错误.2-1-c-n-j-y
例6【2018河南八市学评高三下学期高三第一次测评】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．
【答案】1
点评：解决本题的关键是将应用问题转化为定积分和利用定积分计算曲线围成图形的面积.
【举一反三】由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（ ）
A． B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 321世纪教育网版权所有
【答案】D
【解析】由曲线，直线所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：
其中
所以阴影部分的面积，故选D．
1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，解得，故选A．
【易错点】函数定义域是易错点.
2.【2018四川德阳高三二诊】已知，则、、的大小排序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【易错点】利用函数的单调性比较大小是易错点
3.（理）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,故选B.
【易错点】定积分的运算性质是易错点.
（文）【2018山东菏泽高三一模】已知是定义域为的单调函数，若对任意都有，且关于的方程 在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
【答案】A
.当时，，单调递减；与时，，单调递增，∴在处取得最大值a.，．分别作出函数和函数
的部分图象：
两图象只有一个交点（l，0），将的图象向上平移，且经过点（3，1），由，得．综上 ．故选A.
【易错点】三次函数有零点是易错点.
4. 【2018河南八市学评高三下学期高三第一次测评】已知函数,若函数有4个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【易错点】正确理解函数的周期性的概念是易错点.
5.已知在上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要是函数在上单调递增，需使，∴，∴，故选C．
【易错点】忽略分段函数分界点的大小是易错点.
6. 【2018山东聊城高三一模】已知函数，不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故
,所以,故选A.
【易错点】忽视奇偶应用是易错点.
7．函数在R上为减函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在R上恒成立，所以当时，，成立；当时，不恒成立，选A.
【易错点】对于用导数判定函数的充要条件掌握是易错点.
8.【2018江西南昌高三一模】函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
本题选择A选项.
【易错点】在解函数图像题中忽视函数性质及特殊点的应用是易错点.
9.【2018山东济南高三一模】设函数 ，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，在上递减，是偶函数，在上递增，等价于，两边平方化为，的范围是，故选C.
【易错点】忽视对数不等式的定义域是易错点.
10．已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 ．(为自然对数的底数)www.21-cn-jy.com
【答案】
【易错点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．
11. 已知函数（其中），函数在点处的切线过点．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数与函数的图像在有且只有一个交点，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）① 当时，单调递增，单调递减② 当时，单调递减，单调递增 （Ⅱ）或或21·世纪*教育网
【解析】（1），
，切线过点，
① 当时，单调递增，单调递减
② 当时，单调递减，单调递增
① 当时，在递减，的递增
当时，，要函数在与轴只有唯一的交点
或，或
②当时，在递增，的递减，递增
，当时，，
在与轴只有唯一的交点
③当，在的递增
在与轴只有唯一的交点
故 的取值范围是或或．
【易错点】正确找到分类讨论的分界点是易错点.
12.【2018广东高三一模】已知函数.
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）若函数的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】（1），
令，故在上单调递增，
则，
因此，当或时，只有一个零点；
当或时，有两个零点；
若，则，函数在上单调递增，
又，故不符合题意.
若，则，设正数，
则，
与函数的最小值为矛盾，
综上所述，，即.
【易错点】通过分类参数转化为函数的求函数的最值，求解时要注意研究的目标，把握函数的关键部分