2018年高考数学三轮考点总动员冲刺专题2.4+数列

第二篇 易错考点大清查
专题4 数列
1.求数列通项忽视检验首项致错
在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前项和公式，都应该检验首项是否适合
例1【2017浙江省温州市普通高中高三8月模拟】已知数列的前项和为
,．
（1）求的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,证明：．　
∴,∴,
∴．
（2）．
当时,,
∴．
点评：由Sn和an的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时,a1不适合an的情况要分开写,即an＝[]21·cn·jy·com
(2)要注意an和Sn互化具有双向性,既可由an化为Sn,也可由Sn求an.
【举一反三】 【2018广东江门高三一模】已知数列的前项和（为正整数）．
（Ⅰ）求证：为等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和公式．
【答案】(1)见解析(2)
【试题解析】
所以是以为首项，为公差的等差数列
（方法二）当时，解得
，设，则，
当时，有
代入得
整理得
所以即是以为首项，为公差的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
依题意①
上式两边同乘以，得②
①-②得，
所以
2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略或造成错误
用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略或而造成求解不全导致错误.
例2已知等差数列满足：，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.www.21-cn-jy.com
（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.
当时，，令，即，
解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.
综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.
点评：本题求解第（1）问，在解方程时，容易丢掉这一结果，导致数列的通项公式缺一种结果.
【举一反三】等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.
【答案】或.
【解析】设数列的公差为，由得,所以或，由成等比数列得，又，所以，
若，则，此时，不合题意；
若，则，解之得或，
因此数列的通项公式为或.
3.应用等差数列与等比数列性质不当
综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误.
例3.【2017山西大学附属中学上学期11月模块诊断，11】设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．2·1·c·n·j·y
【答案】C
【解析】
因此而，所以，选C.
点评：等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【来源：21·世纪·教育·网】
【举一反三】【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为________________________．21·世纪*教育网
【答案】4
.,,化简得,当时,上式左边为负数,当时,左边为正数,故的最小值为.
4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误
错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错.www-2-1-cnjy-com
例4．【2018广东高三一模】 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，可得，化简得，又，所以，从而.；（2）结合（1）可得，利用错位相减法结合等比数列的求和公式求解即可.2-1-c-n-j-y
试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，
所以，即，
化简得，
又，所以，从而.
（2）因为，
所以，
所以，
以上两个等式相减得，
化简得.
点评：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
【举一反三】已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；（II）求数列的前项和.
【答案】（1）;（2）.
解：（1）方程的两根为2,3，由题意得.
所以.
5.周期数列的周期判断失误
有的数列是呈周期性变化的，在求这类数列通项或求和问题时，常因判断不准数列的周期或数列的项数与通项的关系致错.【来源：21cnj*y.co*m】
例5. 数列满足，则________．
解：由已知得，，，所以，，，
由此可知该数列是周期为3的为周期数列，．
点评：在求解本题时，常因为判断不清数列的周期性或项数出错.
【举一反三】已知数列满足，（），计算并观察数列的前若干项，根据前若干项的变化规律推测， ． 【出处：21教育名师】
【答案】
【解析】由题意，，即数列是以为周期的周期数列，则
1.已知数列 满足 ，则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
为 等差数列”的充分不必要条件，故选A．
【易错点】1、充分条件与必要条件；2、等差数列的通项公式．
2.已知等差数列的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】，∴，，，，时，最小.选A.
【易错点】求解数列中的最大项或最小项的一般方法
先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
3. 【2018甘肃兰州高三一模】已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 为等比数列，，， ，故选A.
【易错点】正确应用等比中项来解决相关试题
4. 已知等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【易错点】求等比数列的公比易错.
5. 【2018黑龙江哈尔滨三中高三一模】函数（且）的图像恒过定点，若点在直线 上，其中，则的最大值为21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选
【易错点】1.等比数列的性质；2.基本不等式.
6. 【2018贵州黔东南州高三一模】在等差数列中，若，则（ ）
A. 9 B. 8 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】设的公差为，由 得，所以，
则，故选A．
【易错点】等差数列性质应用不准导致错误.
7. 【2018山东菏泽高三一模】等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为
A. 2 B. 或 C. D.
【答案】B
【易错点】忽略题中正项等比数列导致错误.
8. 在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）21教育网
A．数列是单调递增数列，数列是单调递减数列
B．数列是等比数列
C.数列有最小值，无最大值
D．若中，，，，则最小时，
【答案】C
【解析】由，
，所以，
所以C为假命题，故选C.
【易错点】1.向量的线性运算；2.数列的性质.
9. 【2018北京朝阳区高三一模】 等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】例如,则，故答案为.
【易错点】忽略检验首项致错.
10. 已知等比数列中，，则其前项之和为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以．
【易错点】等比数列的通项公式及前项和公式．
11.设数列为等差数列，且；数列的前n项和为，且。
（I）求数列，的通项公式；
（II）若，为数列的前n项和，求.
【答案】（Ⅰ）； ；（Ⅱ）
当时，
是以1为首项，为公比的等比数列。

（II）由（I）知，

【易错点】1.求数列通项公式时不检验首项；2.应用错位相减法求和时弄不准等比数列的项数.
12.【2018安徽芜湖高三一模】已知数列的首项，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
试题解析：（1），①
当时，，②
①-②得，，
所以.
故是首项为的常数列，所以.
（2），
∴.
【易错点】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.