2018年高考数学三轮考点总动员冲刺专题2.7+计数原理、概率与统计（理）

第二篇 易错考点大清查
专题7 计算原理、概率与统计（理科）
不能正确区分排列与组合导致错误
涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．21教育网
例1.某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）2·1·c·n·j·y
【答案】．
点评：解答本题的关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．
【举一反三】【2018安徽芜湖高三一模】某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）21世纪教育网版权所有
A. 96种 B. 84种 C. 78种 D. 16种
【答案】B
【解析】先确定选的两门: ,再确定学生选: ,所以不同的选课方案有选B.
2.混淆“二项式系数与各项系数”致误
的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.【版权所有：21教育】
例2.将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】由，知当时为有理项，则二项式展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为，无理项互为相邻有，所以所求概率＝，故选A．
点评：1、二项式定理；2、古典概型．
【举一反三】【2018广东高三一模】 的展开式中，的系数为（ ）
A. 120 B. 160 C. 100 D. 80
【答案】A
3.基本事件判断不准致误
基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.本题中基本事件是个位数与十位数之和为奇数的两位数.
例3. 【2017广东深圳一模】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点评：求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
【举一反三】【2018广东江门高三一模】6件产品中有件合格品，件次品。为找出件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验出最后一件次品的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】次正正次,正次正次,正正次次,以上三种可能,概率为,故选.
2.对图形的分割不清致误
解决几何概型问题要处理好以下两个问题：1.复杂几何图形的构成：对于复杂几何图形往往可分解成几个规则图形的组合或拆分，注意拆分成规则图形.
2.几何图形面积的求法：如果是规则的几何图形，可利用面积公式，如果是不规则图形，则可转化为规则图形.
例2.【2018甘肃兰州高三一模】若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
选B.
点评：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找
【举一反三】不等式组表示的点集记为，不等式组表示的点集记为，在中任取一点，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式组表示的点集为正方形，其面积为16，不等式组表示的点集为抛物线与围成的区域，两曲线的交点分别为，点集B恰好为点集A的真子集，下面计算点集B对应的区域的面积，，在中任取一点，则的概率为，选A.
4.概念不清导致错误
极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离，也表示波动幅度，但它与样本数据的单位一致；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动一般对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
例4.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.46 45 56
B.46 45 53
C.47 45 46
D.45 47 53
点评：本题易出现的错误主要有两个方面：
(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.
【举一反三】【2018河南八市学评高三下学期高三第一次测评】某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140分之间，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2，则100~120分数段的人数为（ ）
A. 12 B. 28 C. 32 D. 40
【答案】B
【解析】100~120分数段对应纵坐标为 ，根据对应关系得，选B.
6.因事件之间的关系不清致误
求事件的概率的关键在于搞清事件的关系，合理选择概率公式进行求解；如：互斥事件有一个发生的概率使用加法公式，相互独立事件同时发生的概率使用乘法公式.
例6.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
(1)至少有1株成活的概率；(2)两种大树各成活1株的概率．
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为：
.
点评：本题在解答中容易出现以下错误：弄错了“至少有1株成活”的对立事件，理解错了两种大树各成活一株的意义．如：(1)设至少有1株成活为事件A，，∴P(A)＝＝.(2)设两种大树各成活1株为事件B，P(B)＝×＝.
【举一反三】 【2018北京朝阳区高三一模】某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有8人
8
8
4
2
1
1
选考方案待确定的有6人
4
3
0
1
0
0
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
1
0
0
1
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率;
（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量两名男生选考方案相同时，两名男生选考方案不同时，求的分布列及数学期望.2-1-c-n-j-y
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
试题解析：（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为
（人），
所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为人.
（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为
.
（Ⅲ）由题意知的所有可能取值为
所以的分布列为
期望为.
7.解析不规范而致错
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义：思路一：将所求事件化为彼此互斥事件的和，再用互斥事件的概率加法公式求解；思路二：先求对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式进行求解.
例7.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．21·cn·jy·com
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件的事件的概率为P1＝.故满足条件的事件的概率为1－P1＝1－＝.【来源：21cnj*y.co*m】
点评：本题在解答中容易出现以下错误：如(1)P＝＝.(2)m、n组成的数对的所有结果共有16个，满足的结果有11个．∴P＝.第(1)问在解题时，格式不规范，思维不流畅，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．而在第(2)问中，由于没有将事件n＜m＋2的概率转化为n≥m＋2的概率，导致数据复杂、易错．【出处：21教育名师】
【举一反三】【2018山西省高三一模】某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：21教育名师原创作品
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
【答案】（1）（2）①15元②公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利
【试题解析】
（1）样本中包裹件数在之间的天数为48，频率，
故可估计概率为，
显然未来3天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，
即，故所求概率为；
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
1.一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为、、，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为不同的抽样方法都遵循同一原则，即总体中每个个体被抽到的可能性是相等的，所以，故选D.
【考点】抽样方法.
2.已知回归直线的估计值为，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点】回归直线方程
3. 【2018四川德阳二诊】为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）21·世纪*教育网
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ，在区间的概率为0.997，成绩不小于90的学生所占的百分比为 故选A.
【考点】正态分布.
4.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【解析】
试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C.
考点：系统抽样法
5. 【2018福建南平高三质检一】已知点是圆的内部任意一点，则点满足的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆，即，表示圆心为(1,0)，1为半径的圆，面积为.
考点：几何概型.
6.【2018辽宁朝阳高三一模】某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为 ，宽为 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界 （虚线 上方部分）与下边界 （虚线 下方部分）围成，曲线 是函数 的图象，曲线 是函数 的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
7.【2018广东高三一模】下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）21cnjy.com
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选A.
【考点】几何概型.
8.如图3是一个从AB的“闯关游戏”，规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1，2，3，4的均匀的正四面体．在过第n关时，需要抛掷n次正四面体，如果这n次面朝下的数字之和大于，则闯关成功，否则称闯关失败． A???……Bwww.21-cn-jy.com
某人按规则进行闯关游戏，下列说法：
（1）他闯第一关成功的概率为；
（2）他仅过第一关的概率为；
（3）他在这项游戏中最多能过三关；
（4）他连过前两关，第三关失败的概率是．
其中，正确的说法的个数为 (??? )
A．1 ? ????B．2 ???? ? C．3 ????? D．421*cnjy*com
【答案】D
时，有3种情况；当时，有6种情况；当时，有10种情况，故从而该人仅过第一关的概率为，所以（2）正确；他连过前两关，第三关失败的概率为，所以（4）正确．因正四面体出现的点数最大为4，而，因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能，所以（3）正确．
【考点】随机事件的概率。
9.在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为 ．
【答案】
【解析】若有零点，则，解得或，
由几何概型可得函数有零点的概率.
考点：几何概型
10.【2018甘肃兰州高三一模】已知样本数据，，……的方差是，如果有 ，那么数据，，……的均方差为__________．21*cnjy*com
【答案】2
考点：样本数字特征
11.甲、乙、丙三位体育考生，参加2014年体育考试体能测试，在本次体能测试中有合格和不合格两个等级．若体能测试合格记1分，体能测试不合格记0分．假设甲、乙、丙体能测试合格的概率分别为，他们体能测试合格与不合格是相互独立的．
（Ⅰ）求在这次体能测试中，这三名考生至少有一名体能测试合格的概率；
（Ⅱ）记在这次体能测试中，甲、乙、丙三名考生所得分数之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）记“甲测试合格”为事件Ａ，“乙测试合格”为事件Ｂ，“丙测试合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名测试合格”为事件Ｅ．则．
（Ⅱ）的所有可能取值为．
；；
；．
0
1
2
3
所以的分布列为
．
【考点】互斥事件，相互独立事件概率，离散型随机变量的分布列及数学期望.
12.【2018山东济南高三一模】2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析
计算出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.
试题解析：（1）根据图3和表1得到列联表：
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.www-2-1-cnjy-com
（3）由表1知：
一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；
二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；
三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.
由已知得：随机变量的取值为：，，，，.
，
，
，
，
.
∴随机变量的分布列为：
240
300
360
420
480
∴ .
【考点】频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望