2018高考数学（理）名师押题高端精品冲刺高考最后一个月专题14+解析几何大题

命题特点和预测：
7年7考，每年1题．特点：全国Ⅰ卷中，载体用过圆、抛物线和椭圆！不侧重两类圆锥曲线的整合，只侧重于直线与圆锥曲线的联系．圆锥曲线一定过方法关、运算关．其实近几年的圆锥曲线题目更侧重于运算．方法还是比较常规的．为什么这样呢？这与命题人的苦衷有关系，因为圆锥曲线是压轴题，压轴题不能简单，简单了肯定不行．但太难、或是思维量太大又怕把很多人拒之门外，所以又不敢出思维量太大的题目，最后就只剩下运算了，谁有能耐谁就能算出来，没有能耐就算不出来，但不能说题目难．
（二）历年试题比较：
年份
题目
2017年
【2017新课标1，理20】（12分）
已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
2016年
【2016高考新课标理数1】设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
2015年
【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
2014年
2013年
【2014课标Ⅰ，理20】(本小题满分12分）
已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（I）求E的方程；
（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.
2012年
【2012全国，理20】设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
2011年
【2011全国新课标，理20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，，M点的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
5. 【2011全国，理21】已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足
(1)证明：点P在C上；
(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．
【解析与点睛】
（2017年）【解析】
试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
.
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，于是l：，即，
所以l过定点（2，）.
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.www.21-cn-jy.com
（2016年）【答案】（I）（）；（II）
【解析】
（）.
（II）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
【考点】圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
（2015年）【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.2·1·c·n·j·y
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或. ……5分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
【考点定位】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
（2014年）【答案】（I）；（II）或.
【解析】（I）设右焦点，由条件知，，得．
又，所以，．故椭圆的方程为．
（II）当轴时不合题意，故设直线，．
将代入得．当，即时，
．从而．又点到直线的距离
，所以的面积．设，则，．因为，当且仅当时，时取等号，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或．2-1-c-n-j-y
（2013年）
（2012年）【解析】(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径.
由于n与C只有一个公共点，故＝p2＋8pb＝0，
解得.
因为m的截距，，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
（2011年）【解析】：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
再由题意可知，即(－x，－4－2y)·(x1，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：上一点，因为，所以l的斜率为.
因此直线l的方程为，即.
则O点到l的距离又，
所以，
设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②
由①②得l1、l2的交点为N，
，
，
，，
，
故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，
所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
（三）命题专家押题
题号
试 题
1.
1．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.
2.
2．已知椭圆的一个焦点为,为椭圆的右顶点,以为圆心的圆与直
线 相交于两点,且.
(1)求椭圆的标准方程和圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆相较于两点，设直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.
①求的值；
②是否存在直线使得满足的点在椭圆上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
3.
3．已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.
4.
4．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时， 内切圆的半径为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
5.
5．已知抛物线的焦点为，为轴上的点.
（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；
（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.
6
6．已知平面上动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的动点，直线的方程为.
①设直线与圆交于不同两点， ，求的取值范围；
②求与动直线恒相切的定椭圆的方程；并探究：若是曲线： 上的动点，是否存在直线： 恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由.
7
7．如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．
8
8．已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：与曲线有（）个公共点.
（1）若，求的最小值；
（2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围.
9
9．设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.
（1）求抛物线的方程椭圆的方程；
（2）若，求的取值范围.
10
10．如图，椭圆 的左、右焦点分别为， 轴，直线交轴于点， ， 为椭圆上的动点， 的面积的最大值为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【详细解析】
1.【答案】(1) 离心率;(2) ,.
详解：(1)由得，
从而
整理，得，
故离心率
(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写
设直线AB的方程为，即.
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去，解得 解出
(依照解法一酌情给分)
(ii)由(i)可知
当时，得，由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
，
由解得故
点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.【答案】（1），；（2）不存在
则,
即,
由,
则,
由已知,
则，即.
②假设存在直线满足题设条件，且设,
由，得,
代入椭圆方程得：,
即：,
则，即,
则,
所以,
化简得：，而,则，
此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点），与成等比数列相矛盾，
故这样的直线不存在.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21教育网
3.【答案】（1）（2）
所以点的轨迹方程为.
设直线的方程为，
则
，
，
当且仅当，即时，
有最大值，
所以，
即面积的取值范围为.
点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21·cn·jy·com
4.【答案】(1) 椭圆的方程为;(2)见解析.
联立直线和椭圆的方程得： ,
综上所述： ，故点到直线的距离没有最大值.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.【来源：21·世纪·教育·网】
5.【答案】(1) 切线的方程为或;(2) 的取值范围为或或.
【解析】分析：（1）设切点为，再求切线的斜率和切点，最后写出直线的点斜式方程化简即得解. (2)
设，，则，.
∴.点到的距离为，
∴的面积为.
同理的面积为.
由已知得，
化简得， ⑤
欲使⑤有解：则，∴.
又，得，∴.
综上，的取值范围为或或.
点睛：本题的难点在第（2）问，首先要求出与的面积，涉及到较复杂的字符运算，其次是求出，要想到函数，分析出a的范围，最后是不要漏掉了，其中也包含了a的范围.所以在解答数学问题时，要学会分析数学问题，同时要严谨.21世纪教育网版权所有
6.【答案】（1）；（2）见解析
整理，得，所以曲线的方程为.
（2）①圆心到直线的距离
∵直线于圆有两个不同交点，
∴
又∵
∴
由，得.
又∵
∴
∴
点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21cnjy.com
7.【答案】(1) (2)见解析
【解析】分析：
(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 ，，列出关于 、
所以椭圆的标准方程为.
证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，
所以直线的斜率为-2.
所以可设直线的方程为.
据得.
设点，，.
所以， .
所以，.
因为，所以.
所以点在直线上.
又点，也在直线上，
所以三点共线.
点睛：
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
8.【答案】（1）（2）
联立与，得.
∵，∴.
∵，∴，∴的最小值为.
（2）设，，，，
则两点在抛物线上，两点在抛物线上，
∴，，，，且，，∴.
∴，，
∴ .
∴，∴，∴.
9.【答案】（1）， （2）
∴，∴抛物线的方程是
(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，
由消去整理得（*）
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
设，则①，②，
∵，
∴
∴，③
点睛：本题的难点一是计算，其中的计算量比较大，字母参数比较多.难点二是求出 后，利用什么方法求函数的值域，这里可以换元，设 21·世纪*教育网
，再利用二次函数的图像和性质分析函数的值域也可以.
10.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】分析：（Ⅰ） 意味着通径的一半， 最大面积为，所以，故椭圆的方程为.
(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设， ，则， ，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即
设直线与轴交于点，直线的方程为，
联立，消去，得，
点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；
（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.www-2-1-cnjy-com